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3.1.1 两角和差的正弦余弦公式(1))


3.1 两角和差的正余弦公式

两角和的余弦公式
y

P 3
?

P2

0 ??

?

P1 P4

P 3 ? cos ?? ? ? ? ,sin ?? ? ? ? ?
x

P P 1 ?1,0 ? 2 ? cos? ,sin ? ?

P4 ? cos ? ? ? ? ,sin ? ? ? ? ?
PP 1 3 ?P 2P 4

P 1 ?1,0 ? P 2 ? cos? ,sin ? ? P 3 ? cos ?? ? ? ? ,sin ?? ? ? ? ? P 4 ? cos ? , ? sin ? ?

PP 1 3 ?P 2P 4
2 2 PP ? (cos( ? ? ? ) ? 1) ? (sin( ? ? ? ) ? 0) 1 3 2

? cos2 (? ? ? ) ? 2cos(? ? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? 2 ? 2cos(? ? ? ) P2 P4 ? (cos ? ? cos ? )2 ? (sin ? ? sin ? )2 ? cos2 ? ? 2cos ? cos ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2sin ? sin ? ? sin 2 ? ? 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? )
2

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

称为和角余弦公式,简记为C(? ?? )

例 1:利用和角余弦公式求 cos105? 和 cos 75? 的值
解:

cos 105? ? cos (60? ? 45?) = cos 60? cos 45? ? sin 60? sin 45? 1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 ? 4

例 1:利用和角余弦公式求 cos105? 和 cos 75? 的值
解:

cos 75 ? cos (30 ? 45 ) ? ? ? ? = cos 30 cos 45 ? sin 30 sin 45
? ? ?

3 2 1 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? 4
由诱导公式同样可知 cos105? ? ? cos 75? , 证明结论 正确

思考:能不能利用两角和的余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? , 得到两角
差的余弦公式 cos(? ? ? ) 呢?

因为 ? ? ? ? ? ? (? ? )

cos(? ? ? ) ? cos[? ? (? ? )] ? cos ? cos(? ? ) ? sin ? sin(? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

例 2:利用差角余弦公式求 cos15? 和 cos 75? 的值

解:

cos 15 ? cos (60 ? 45 ) = cos 60? cos 45? ? sin 60? sin 45?
? ? ?

1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 ? 4

例 2:利用差角余弦公式求 cos15? 和 cos 75? 的值

解:

cos 75 ? cos (120 ? 45 ) = cos 120? cos 45? ? sin120? sin 45?
? ? ?

?1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 ? 2? 6 ? 4

思考:我们知道用诱导公式可以实现正弦、余 弦互化,能不能利用两角和与两角差的余弦公 式,得到两角和与两角差的正弦公式 sin(? ? ? ),sin(? ? ? ) 呢?

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ? ) ? cos[? ? ( ? ? )] 2 2 ? cos ? cos( ? ? ) ? sin ? sin( ? ? ) 2 2 ? cos ? sin ? ? sin ? cos ?

?

?

?

?

sin(? ? ? ) ? cos? sin ? ? sin ? cos ?

sin(? ? ? ) ? sin[? ? (? ? )] ? sin ? cos(? ? ) ? cos ? sin(? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

练习:求 sin15? 和 sin 75? 的值

解:

sin 15 ? sin (60 ? 45 ) = sin 60? cos 45? ? cos 60? sin 45?
? ? ?

3 2 1 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? 4

练习:求 sin15? 和 sin 75? 的值

解:

sin 75 ? sin (30 ? 45 ) ? ? ? ? = sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45
? ? ?

1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 ? 4

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

3 ? ? ?? 例3: 已知cos? = , ? ? ? 0, ?,求 sin( ? ? ). 5 6 ? 2? 3 ? ?? 解:? cos ? = ,? ? ? 0, ?
5 ? 2? 4 ?3? ? sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? 5 ?5?
2 2

sin(? ? ) ? sin ? cos ? cos ? sin 6 6 6 4 3 3 1 ? ? ? ? 5 2 5 2 4 3 ?3 ? . 10

?

?

?

2 3 ?? ? ? 3? ? 例4 已知 sin ? = , ? ? ? , ? ?, cos ? =- , ? ? ? ? , ? 3 4 ?2 ? ? 2 ? 求 cos(? ? ? ).
2 5 ?? ? 解:? sin ? = ,? ? ? ,? ? ? cos ? ? ? 3 3 ?2 ? 3 7 ? 3? ? ? cos ? =- ,? ? ? ? , ? ? sin ? ? ? 4 2 ? 4 ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 5 ? 3? 2 ? 7? ?? ??- ? ? ?? ? ? ? 3 ? 4? 3 ? 4 ? ? 3 5?2 7 ? . 12

3 ? 3? ? 练习:已知 sin ? ? - ,? ? ? , 2? ?, 5 ? 2 ?

? ? ? 求 sin( - ? ),cos( ? ? ), tan(? - )的值。 4 4 4 3 ? 3? ? 解:? sin ? =- ,? ? ? , 2? ?
5 ? 2 ? 4 3 ? 3? ? cos ? ? 1 ? ? - ? ? ,? tan ? ? ? 5 4 ? 5? 7 2 sin( ? ? ) ? sin cos ? ? cos sin ? ? 4 4 4 10 ? ? ? 7 2 cos( ? ? ) ? cos cos ? ? sin sin ? ? 4 4 4 10 ? tan ? ? 1 tan(? ? ) ? ? ?7 4 1 ? tan ?
2

?

?

?

1 例5.若 cos(? ? ? ) ? , 3 2 2 求(sin ? ? sin ? ) ? (cos ? ? cos ? ) 的值.
1 1 变式训练:已知 sin ? ? sin ? ? , cos ? ? cos ? = , 求 cos(? ? ? )的值。 2 3

解: (sin ? ? sin ? ) 2 ? (cos ? ? cos ? ) 2 ? 2 ? 2sin ? sin ? ? 2cos ? cos ? 1 1 13 ? ? ? 4 9 36

59 所以 sin ? sin ? ? cos? cos ? ? cos(? ? ? ) ? ? 72

3 ? 2sin ? ? 3sin ? ? (1) ? ? 5 变式训练:已知 ? 3 ?2cos ? ? 3cos ? ? (2) ? 5 ? 求 cos(? ? ? )的值.
分 析 : (1) ? ( 2 ) 构 造 cos(? ? ? ).
2 2

2 2 例6:已知 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? , 3 5 tan ? 求 的值. tan ?

tan ? sin ? cos ? 分析 : ? , tan ? cos ? sin ? 从已知条件中, 应用方程的思想 解出 sin ? cos ? , cos ? sin ? 代入即可.


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