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2015年浙江省杭州市高考数学一模试卷(理科)


2015 年浙江省杭州市高考数学一模试卷(理科)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.(5 分)(2015?杭州一模)若 sinα= ,则 cos( A . B . ﹣ C . +α)=( D . ) ﹣

2.(5 分)(2015?杭州一模)设实数 x,y 满足不等式组 最大值为( A ﹣1 . 积是( ) ) B

4 . C . D .

,若 z=x+2y,则 z 的

3.(5 分)(2015?杭州一模)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体

A 24cm3 .

B 40cm3 .

C 36cm3 .
a b a+b

D 48cm3 . ”是“a+b≥2”的( )

4.(5 分)(2015?杭州一模)设 a,b∈R,则“2 +2 =2 A 充分不必要条 B 必要不充分条 . 件 C 充要条件 . . 件 D 既不充分也不 . 必要条件
|lnx|

5.(5 分)(2015?杭州一模)设函数 f(x)=e =f(x2),则下列结论一定不成立的是( A x2f(x1)>1 B x2f(x1)=1 . .

(e 为自然对数的底数).若 x1≠x2 且 f(x1) D x2f(x1)<x1f . (x2) =k ( + )

) C x2f(x1)<1 .

6. (5 分) (2015?杭州一模) 设 P 为锐角△ ABC 的外心 (三角形外接圆圆心) , (k∈R).若 cos∠BAC= ,则 k=( A . B . ) C . D .

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7.(5 分)(2015?杭州一模)设 F 为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右焦点,过点 F

且斜率为﹣1 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点,若 C 的离心率 e=( A .
2

= ﹣3

,则双曲线

) B . C . D .

8.(5 分)(2015?杭州一模)已知函数 f(x)(x∈R)是以 4 为周期的奇函数,当 x∈(0,2) 时,f(x)=ln(x ﹣x+b).若函数 f(x)在区间[﹣2,2]上有 5 个零点,则实数 b 的取值范围 是( ) A ﹣1<b≤1 . B . ≤b≤ C ﹣1<b<1 或 . b= D . <b≤1 或 b=

二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 题每题 4 分,共 36 分. 9.(6 分)(2015?杭州一模)已知函数 y= 为 ,最小值为 sin(2x+ )(x∈R),则该函数的最小正周期 . ) = ;

,单调递减区间为
2

10. (6 分) (2015?杭州一模) 设函数 f ( x) =x ﹣ (k+1) x+2 (k∈R) , 则f ( 若当 x>0 时,f(x)≥0 恒成立,则 k 的取值范围为
2


2

11.(6 分)(2015?杭州一模)设圆 C:(x﹣k) +(y﹣2k+1) =1,则圆 C 的圆心轨迹方程 是 ,若直线 l:3x+ty﹣1=0 截圆 C 所得的弦长与 k 无关,则 t= . 12.(6 分)(2015?杭州一模)设函数 f(x)=x|x﹣2|,则当 x∈(0,2)时,函数 f(x)的最 大值等于 ,若 x0 是函数 g(x)=f(f(x))﹣1 的所有零点中的最大值,且 x0∈ (k,k+1)(k∈Z),则 k= . 13.(6 分)(2015?杭州一模)设实数 a1,d 为等差数列{an}的首项和公差.若 a6=﹣ d 的取值范围是 .
2

,则

14.(6 分)(2015?杭州一模)已知抛物线 C:y =2px(p>0),过点 G(3p,0)的直线 l 与 抛物线 C 交于 A,B 两点(点 B 在第四象限),O 为坐标原点,且∠OBA=90° ,则直线 l 的斜 率 k= . 15.(6 分)(2015?杭州一模)在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,其中 ABCD 是正方形,AA1 >AB.设点 A 到直线 B1D 的距离和到平面 DCB1A1 的距离分别为 d1,d2,则 是 . 的取值范围

三.解答题:本大题共 5 个题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.(15 分)(2015?杭州一模)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 cos2A+ =2cosA.
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(1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ ABC 的周长 l 的取值范围. 17.(15 分)(2015?杭州一模)已知四边形 ABCD 是矩形,BC=kAB(k∈R),将△ ABC 沿 着对角线 AC 翻折,得到△ AB1C,设顶点 B1 在平面 ABCD 上的投影为 O. (1)若点 O 恰好落在边 AD 上, ①求证:AB1⊥平面 B1CD; ②若 B1O=1,AB>1.当 BC 取到最小值时,求 k 的值 (2)当 k= 时,若点 O 恰好落在△ ACD 的内部(不包括边界),求二面角 B1﹣AC﹣D 的余 弦值的取值范围.

18.(15 分)(2015?杭州一模)在直角坐标系 xOy 中,设点 A(﹣1,0),B(1,0),Q 为 △ ABC 的外心.已知 +2 =0,OG∥AB.

(1)求点 C 的轨迹 Γ 的方程 (2)设经过 f(0, 是直线 y= )的直线交轨迹 Γ 与 E,H,直线 EH 与直线 l:y= 交于点 M,点 P

上异于点 F 的任意一点.若直线 PE,PH,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3,问是否 + = ,若存在,求 t 的值;若不存在,说明理由.
+

存在实数 t,使得

19.(15 分)(2015?杭州一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+an=n(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证: + + +…+ <2.

20. (14 分) (2015?杭州一模)已知实数 a>0,函数 f(x)= (1)若函数 f(x)在区间(﹣b,b)(b>0)上存在最小值,求 b 的取值范围 (2)对于函数 f(x),若存在区间[m,n](n>m),使{y|y=f(x),x∈[m,n]}=[m,n],求 a 的取值范围,并写出满足条件的所有区间[m,n].

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2015 年浙江省杭州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.(5 分)(2015?杭州一模)若 sinα= ,则 cos( A . 考点: 专题: 分析: 解答: B . ﹣ C . +α)=( D . ) ﹣

同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值. 三角函数的求值.

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原式利用诱导公式化简,把 sinα 的值代入计算即可求出值. 解:∵sinα= , ∴cos( 故选:B. +α)=﹣sinα=﹣ ,

点评:

此题考查了同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是 解本题的关键.

2.(5 分)(2015?杭州一模)设实数 x,y 满足不等式组 大值为( A ﹣1 . 考点: 专题: 分析: 解答: ) B 4 . 简单线性规划. C . D .

,若 z=x+2y,则 z 的最

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不等式的解法及应用. 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 解:作出不等式对应的平面区域, 由 z=x+2y,得 y=﹣ 平移直线 y=﹣ 最大,此时 z 最大. , ,由图象可知当直线 y=﹣ 经过点 A 时,直线 y=﹣ 的截距



,得



即 A( , ),
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此时 z 的最大值为 z= +2× = 故选:C



点评:

本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

3.(5 分)(2015?杭州一模)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积 是( )

A 24cm3 . 考点: 专题: 分析: 解答:

B 40cm3 . 由三视图求面积、体积.

C 36cm3 .

D 48cm3 .

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计算题;空间位置关系与距离. 根据该几何体的三视图,作出该几何体的图形,结构图形求该几何体的体积. 解: 由该几何体的三视图, 知该几何体是具有公共边 CD 的两个等腰梯形 ABCD 和 A1B1CD 组成的几何体,体积的计算,利用分割法,过 D,C 作 DG⊥A1B1,CH⊥A1B1,DE⊥AB, CF⊥AB,则左右四棱锥的底面为矩形,长为 4,宽为 2,高为 3,棱柱的底面三角形,底 边为 4,高为 3,棱柱的高为 4, 所以它的体积 V= (2× 4)× 3=8+24+8=40(cm ). 故选:B
3

= × (2× 4) × 3+ (

) × 4+ ×

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点评:

本题考查利用几何体的三视图求几何体的体积, 是基础题. 解题时要认真审题, 仔细解答.
a b a+b

4.(5 分)(2015?杭州一模)设 a,b∈R,则“2 +2 =2 A 充分不必要条 B 必要不充分条 . 件 C 充要条件 . 考点: 专题: 分析: 解答: . 件 D 既不充分也不 . 必要条件

”是“a+b≥2”的(



必要条件、充分条件与充要条件的判断. 不等式的解法及应用;简易逻辑.

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根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可. 解:若 a=0,b=3,满足 a+b≥2 但 2 +2 =1+8=9,2 若 2 +2 =2 即(2
a+b a b a+b 2 a b a+b

=8,则 2 +2 =2

a

b

a+b

不成立,

,则 2

a+b

=2 +2

a

b



) ≥4(2

a+b

),

解得 2 ≥4 或 2 即 a+b≥2 成立, 即“2 +2 =2 故选:A 点评:
a b a+b

a+b

a+b

≤0(舍去),

”是“a+b≥2”的充分不必要条件,

本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据基本不等式的性质是解决本题的关键.
|lnx|

5.(5 分)(2015?杭州一模)设函数 f(x)=e =f(x2),则下列结论一定不成立的是( A x2f(x1)>1 B x2f(x1)=1 . 考点: 专题: 分析: 解答: 解:f(x)= .

(e 为自然对数的底数).若 x1≠x2 且 f(x1) D x2f(x1)<x1f . (x2)

) C x2f(x1)<1 .

指数型复合函数的性质及应用. 计算题;函数的性质及应用.

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作出 f(x)的图象,对选项分若 0<x1<1<x2,若 0<x2<1<x1,由于 f(x1)=f(x2), 则有 x2x1=1,一一讨论即可得到结论.



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作出 y=f(x)的图象, 若 0<x1<1<x2,则 f(x1)= >1,f(x2)=x2>1,

则 x2f(x1)>1,则 A 可能成立; 若 0<x2<1<x1,则 f(x2)= >1,f(x1)=x1>1,

则 x2f(x1)=x2x1=1,则 B 可能成立; 对于 D.若 0<x1<1<x2,则 x2f(x1)>1,x1f(x2)=1,则 D 不成立; 若 0<x2<1<x1,则 x2f(x1)=1,x1f(x2)>1,则 D 成立. 故有 C 一定不成立. 故选 C.

点评:

本题考查分段函数的图象及运用,考查判断推理能力,属于中档题和易错题.

6. (5 分) (2015?杭州一模)设 P 为锐角△ ABC 的外心(三角形外接圆圆心), (k∈R).若 cos∠BAC= ,则 k=( A . 考点: 专题: 分析: B . ) C . D .

=k(

+



平面向量的基本定理及其意义. 平面向量及应用.

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如图所示,取 BC 的中点 D,连接 PD,AD.可得 PD⊥BC, ( + )(k∈R),可得 =

.由满足

=k

,A,P,D 三点共线,得到 AB=AC.因此 = .即可得出.

cos∠BAC=cos∠DPC= 解答: 解:如图所示,

取 BC 的中点 D,连接 PD,AD. 则 PD⊥BC, , ∵满足 =k( + )(k∈R
第 7 页(共 20 页)





∴A,P,D 三点共线, ∴AB=AC. ∴cos∠BAC=cos∠DPC= ∴ ∴ 解得 k= , . . = = .

故选:A.

点评:

本题考查了向量共线定理、直角三角形的边角关系、三角形外心性质、向量平行四边形法 则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

7.(5 分)(2015?杭州一模)设 F 为双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的右焦点,过点 F

且斜率为﹣1 的直线 l 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点,若 C 的离心率 e=( A . 考点: 专题: 分析: ) B . 双曲线的简单性质. C . D .

= ﹣3

,则双曲线

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计算题;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 设出过焦点的直线方程,与双曲线的渐近线方程联立把 A,B 表示出来,再由 求出 a,b,c,然后求双曲线的离心率. =﹣3 ,

解答: 解:设 F(c,0),则过双曲线: ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点 F

作斜率为﹣1 的直线为:y=﹣(x﹣c), 而渐近线的方程是:y= x,

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得:B(

,﹣

),



得,A(



),

=(

,﹣

),

=(

,﹣

),



=﹣3

,则

=﹣3?



即有 b= a,则 c= 则 e= = 故选 D. 点评: .

=

a,

本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意向量共线的合理运用.

8.(5 分)(2015?杭州一模)已知函数 f(x)(x∈R)是以 4 为周期的奇函数,当 x∈(0,2) 时,f(x)=ln(x ﹣x+b).若函数 f(x)在区间[﹣2,2]上有 5 个零点,则实数 b 的取值范围 是( ) A ﹣1<b≤1 . B . ≤b≤ C ﹣1<b<1 或 . b= D . <b≤1 或 b=
2

考点: 专题: 分析:

函数奇偶性的性质;函数的周期性. 函数的性质及应用.

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由奇函数的性质和函数的周期性,可得 0、± 2 是函数 f(x)的零点,将函数 f(x)在区间[﹣ 2,2]上的零点个数为 5,转化为当 x∈(0,2)时,x ﹣x+b>0 恒成立,且 x ﹣x+b=1 在(0, 2)有一解,由此构造关于 b 的不等式组,解不等式组可得实数 b 的取值范围.
2 2

解答:

解:由题意知,f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0)=0,即 0 是函数 f(x)的零点, 因为 f(x)是定义在 R 上且以 4 为周期的周期函数, 所以 f(﹣2)=f(2),且 f(﹣2)=﹣f(2),则 f(﹣2)=f(2)=0, 即± 2 也是函数 f(x)的零点, 因为函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的零点个数为 5, 且当 x∈(0,2)时,f(x)=ln(x ﹣x+b), 所以当 x∈(0,2)时,x ﹣x+b>0 恒成立,且 x ﹣x+b=1 在(0,2)有一解,
2 2 2







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解得 <b≤1 或 b= , 故选:D. 点评: 本题考查奇函数的性质,函数的周期性,对数函数的性质,函数的零点的综合应用,二次 函数根的分布问题,难度比较大. 二、填空题:本大题共 7 小题,第 9 至 12 题每小题 6 分,第 13 至 15 题每题 4 分,共 36 分. 9.(6 分)(2015?杭州一模)已知函数 y= 为 π ,最小值为 ﹣ sin(2x+ [k )(x∈R),则该函数的最小正周期 ,k ],(k∈Z) .

,单调递减区间为

考点: 专题: 分析: 解答:

正弦函数的图象.

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三角函数的图像与性质. 利用正弦型曲线的性质能求出正弦函数的最小正周期、最小值和单调减区间的求法. 解:∵函数 y= sin(2x+ )(x∈R), =π,

∴该函数的最小正周期为 T= 最小值为 ymin=﹣ 单调递减区间满足: 解得:k ≤x≤k ,

,k∈Z, ,k∈Z, ,k ,[k ,k ],(k∈Z). ],(k∈Z).

∴单调递减区间为[k 故答案为:π,﹣ 点评:

本题考查正弦函数的最小正周期、最小值和单调减区间的求法,是基础题,解题时要注意正 弦函数的图象与性质的合理运用.

10. (6 分) (2015?杭州一模) 设函数 ( f x) =x ﹣ (k+1) x+2 (k∈R) , 则( f 若当 x>0 时,f(x)≥0 恒成立,则 k 的取值范围为 考点: 专题: 分析: (﹣∞,

2

) = ﹣1] .



二次函数的性质;函数恒成立问题. 函数的性质及应用. 将 带入 ( f x) 即可求得

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, 求出 ( f x) 的对称轴 x=

, 讨论



两种情况,然后使得每种情况下 f(x)在(0,+∞)的范围或最小值满足大于等于 0,从而 求出 k 的范围即可. 解答: 解: = ;

第 10 页(共 20 页)

f(x)的对称轴为 x= (1)若



,即 k≤﹣1,f(x)在(0,+∞)上单调递增;

又 f(0)=2>0; ∴对于任意的 x>0,f(x)≥0 恒成立; (2)若 ,即 k>﹣1,则: )= ;

f(x)在 x>0 时的最小值为 f( ∴需 解得 成立;

; ]. .

综合(1)(2)得 k 的取值范围为(﹣∞, 故答案为: 点评: ,

考查已知函数解析式求函数的值,以及二次函数的对称轴和顶点,二次函数的最值,根据二 次函数的单调性求其在一区间上的范围.

11.(6 分)(2015?杭州一模)设圆 C:(x﹣k) +(y﹣2k+1) =1,则圆 C 的圆心轨迹方程 是 y=2x﹣1 ,若直线 l:3x+ty﹣1=0 截圆 C 所得的弦长与 k 无关,则 t= ﹣ .

2

2

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与圆的位置关系;轨迹方程. 计算题;直线与圆.

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利用消参法,可得圆 C 的圆心轨迹方程,直线 l:3x+ty﹣1=0 截圆 C 所得的弦长与 k 无关, 则圆心到直线的距离为定值,可得直线 l:3x+ty﹣1=0 与 y=2x﹣1 平行,即可求出 t 的值. 解:设圆心 C(x,y),则 x=k,y=2k﹣1, 消去 k 可得 y=2x﹣1; 直线 l:3x+ty﹣1=0 截圆 C 所得的弦长与 k 无关,则圆心到直线的距离为定值, ∴直线 l:3x+ty﹣1=0 与 y=2x﹣1 平行, ∴﹣ =2, ∴t=﹣ . 故答案为:y=2x﹣1;﹣ .

点评:

本题考查轨迹方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

12.(6 分)(2015?杭州一模)设函数 f(x)=x|x﹣2|,则当 x∈(0,2)时,函数 f(x)的最 大值等于 1 ,若 x0 是函数 g(x)=f(f(x))﹣1 的所有零点中的最大值,且 x0∈(k,k+1) (k∈Z),则 k= 2 . 考点: 函数的最值及其几何意义;函数零点的判定定理.
第 11 页(共 20 页)

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专题: 分析: 解答:

计算题;作图题;函数的性质及应用. 当 x∈(0,2)时,配方法求最值;作函数的图象,故可得 f(x0)=1+ 定定理判断位置. 解:当 x∈(0,2)时, f(x)=x|x﹣2|=x(2﹣x)=﹣(x﹣1) +1≤1; 作函数 f(x)=x|x﹣2|的图象如下,
2

,从而由零点的判

解 x|x﹣2|=1 得, x=1 或 x=1+ ∴f(x0)=1+ 且 f(2)=0<1+ 故 k=2. 故答案为:1,2. 点评: 本题考查了复合函数的性质应用及数形结合的思想应用,属于中档题. ; ; ,f(3)=3>1+ ; 又∵x0 是函数 g(x)=f(f(x))﹣1 的所有零点中的最大值,

13.(6 分)(2015?杭州一模)设实数 a1,d 为等差数列{an}的首项和公差.若 a6=﹣ 的取值范围是 考点: 专题: 分析: 解答: (﹣∞,﹣2 ]∪[2 ,+∞) .

,则 d

等差数列的前 n 项和.

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等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 根据题意,得出(a1+5d)(a1+4d)=﹣3,利用方程有实数解,△ ≥0,求出 d 的取值范围. 解:∵实数 a1,d 为等差数列{an}的首项和公差, 且 a6 = ﹣ ,

∴(a1+5d)(a1+4d)=﹣3, 即 +9a1d+20d +3=0;
2

要使方程有实数解,须 △ =81d ﹣4(20d +3)≥0, 即 d ≥12, 解得 d≤﹣2 ,或 d≥2 ; ]∪[2 ,+∞). ]∪[2 ,+∞). ∴d 的取值范围是(﹣∞,﹣2 故答案为:(﹣∞,﹣2
2 2 2

第 12 页(共 20 页)

点评:

本题考查了等差数列的应用问题,也考查了方程与不等式的应用问题,是综合性题目.
2

14.(6 分)(2015?杭州一模)已知抛物线 C:y =2px(p>0),过点 G(3p,0)的直线 l 与 抛物线 C 交于 A,B 两点(点 B 在第四象限),O 为坐标原点,且∠OBA=90° ,则直线 l 的斜 率 k= .

考点: 专题: 分析:

抛物线的简单性质.

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计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 设直线 l:y=k(x﹣3p),直线 OB:y=﹣ x,联立可得 B 的坐标,代入 y =2px,即可求出 直线 l 的斜率.
2

解答:

解:设直线 l:y=k(x﹣3p),直线 OB:y=﹣ x,

联立可得 B(

,﹣

)(k>0),

代入 y =2px 可得(﹣

2

) =2p×

2

∴k=

. .

故答案为: 点评:

本题考查直线与抛物线的位置关系,考查学生的计算能力,确定 B 的坐标是关键.

15.(6 分)(2015?杭州一模)在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,其中 ABCD 是正方形,AA1 >AB.设点 A 到直线 B1D 的距离和到平面 DCB1A1 的距离分别为 d1,d2,则 的取值范围是



考点: 专题: 分析:

棱柱的结构特征.

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空间位置关系与距离. 设 AB=a,AA1=b(b>a),利用长方体中的垂直关系和面积相等求出 d1,连接 A1D、过 A 作 AE⊥A1D,利用长方体中的垂直关系、线面垂直的判定定理和定义,得到 d2=AE,利用 面积相等求出 d2,化简 后设 t= ,求出 0<t<1,化简后利用基本不等式和函数的单调

性求出 解答:

的范围.

解:设 AB=a,AA1=b,由 AA1>AB 得 b>a,
第 13 页(共 20 页)

所以点 A 到直线 B1D 的距离 d1= 连接 A1D,过 A 作 AE⊥A1D,

=



由 CD⊥平面 ADD1A1 得,CD⊥AE,又 AE⊥A1B,则 AE⊥平面 DCB1A1, 所以 AE 为点 A 到平面 DCB1A1 的距离, 则 d2=AE= = ,

所以

=

=

,上式分子分母同除以 b 得,

2

=



设 t= 设

,则 0<t<1,代入上式可得

=



y=

=

=

=



=1, 当且仅当 时取等号,此时 t=0,

因为 0<t<1,函数 y 在(0,1)上是增函数,当 t=1 时,y=

=



所以 1<y<







故答案为:



点评:

本题的考点是点、线、面间的距离计算,线面垂直的判定定理和定义,面积相等法求距离, 关键是利用长方体的几何特征寻找表示点面距离的线段, 再转化为函数关系利用函数的单调 性、基本不等式求最值,注意换元法的应用以及变量的范围确定,属于难题.
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三.解答题:本大题共 5 个题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(15 分)(2015?杭州一模)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 cos2A+ =2cosA. (1)求角 A 的大小; (2)若 a=1,求△ ABC 的周长 l 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 计算题;三角函数的求值;解三角形. (1)运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值,即可得到 A; (2)运用正弦定理,求得 b,c,再由两角差的正弦公式,结合正弦函数的图象和性质,即可 得到范围. 解答: 解:(1)cos2A+ =2cosA, 即 2cos A﹣1+ =2cosA, 即有 4cos A﹣4cosA+1=0, (2cosA﹣1) =0, 即 cosA= ,(0<A<π), 则 A= ; = = sinB,
2 2 2

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(2)由正弦定理可得 b=

c=

=

sinC, (sinB+sinC), , ﹣B)= sinB+ cosB= sin(B+ ),

则 l=a+b+c=1+ 由 A= ,B+C=

则 sinB+sinC=sinB+sin( 即有 l=1+2sin(B+ 由于 0<B< sin(B+ 即有 2<l≤3. ,则 )≤1, ),

<B+





则有△ ABC 的周长 l 的取值范围为(2,3]. 点评: 本题考查三角函数的化简和求值,考查正弦定理和二倍角公式及两角和差的正弦公式,考查 正弦函数的图象和性质,考查运算能力,属于中档题.
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17.(15 分)(2015?杭州一模)已知四边形 ABCD 是矩形,BC=kAB(k∈R),将△ ABC 沿着 对角线 AC 翻折,得到△ AB1C,设顶点 B1 在平面 ABCD 上的投影为 O. (1)若点 O 恰好落在边 AD 上, ①求证:AB1⊥平面 B1CD; ②若 B1O=1,AB>1.当 BC 取到最小值时,求 k 的值 (2)当 k= 时,若点 O 恰好落在△ ACD 的内部(不包括边界),求二面角 B1﹣AC﹣D 的余 弦值的取值范围.

考点: 专题: 分析:

与二面角有关的立体几何综合题;直线与平面垂直的判定. 综合题;空间位置关系与距离.

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(1)①由面面垂直的判定定理得平面 AB1D⊥平面 ACD,从而 CD⊥AD,由线面垂直得 AB1⊥CD,由矩形性质得 AB1⊥CB1,由此能证明 AB1⊥平面 B1CD. ②作矩形 ABMN,使得 B1 在 MN 上,设 AB=x,BC=y,求出 y,利用基本不等式,即可求出 当 BC 取到最小值时,k 的值; (2)作 BF⊥AC,交 AC 于 E,交 AD 于 F,当点 O 恰好落在△ ACD 的内部(不包括边界), 点 O 恰好在线段 EF 上,∠B1EF 为二面角 B1﹣AC﹣D 的平面角,由此能求出二面角 B1﹣AC ﹣D 的余弦值的取值范围.

解答:

(1)①证明:∵点 B1 在平面 ABCD 上的射影为 O,点 O 恰好落在边 AD 上 ∴平面 AB1D⊥平面 ACD,又 CD⊥AD, ∴CD⊥平面 AB1D,∴AB1⊥CD, 又∵AB1⊥CB1,∴AB1⊥平面 B1CD. ②解:作矩形 ABMN,使得 B1 在 MN 上,设 AB=x,BC=y,则 NB1= ∵AB1⊥B1D,∴△ANB1∽△B1MD, ∴B1D= = , ,

∴y=B1C= 当且仅当 x=

= 时取等号,y 有最小值,k=

≥2, ;

(2)解:作 BF⊥AC,交 AC 于 E,交 AD 于 F, 当点 O 恰好落在△ ACD 的内部(不包括边界),点 O 恰好在线段 EF 上, 又∵B1E⊥AC,EF⊥AC, ∴∠B1EF 为二面角 B1﹣AC﹣D 的平面角

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∴cos∠B1EF=

∈(0, ),

故二面角 B1﹣AC﹣D 的余弦值的取值范围为(0, ).

点评:

本题考查直线与平面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,涉及到线面垂直、面面垂直的 性质定理和判定理的应用,是中档题.

18.(15 分)(2015?杭州一模)在直角坐标系 xOy 中,设点 A(﹣1,0),B(1,0),Q 为 △ ABC 的外心.已知 +2 =0,OG∥AB.

(1)求点 C 的轨迹 Γ 的方程 (2)设经过 f(0, 是直线 y= )的直线交轨迹 Γ 与 E,H,直线 EH 与直线 l:y= 交于点 M,点 P

上异于点 F 的任意一点.若直线 PE,PH,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3,问是否 + = ,若存在,求 t 的值;若不存在,说明理由.

存在实数 t,使得

考点: 专题: 分析:

直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 圆锥曲线中的最值与范围问题. (1)设 C(x,y), 可得出. +2

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= ,可得 G

,Q

,根据|QA|=|QC|,即

(2)当直线 EF 的斜率不存在时,t=2.当直线 EF 的斜率存在时,设斜率为 k.则直线 EH 的 方程为 y=kx+ ,点 M 的坐标为 .把直线方程代入椭圆方程可得 )(a≠0).利用

,设 E(x1,y1),F(x2,y2),P(a,

根与系数的关系可得 即可得出.

=

=



=



=

.又

+

=



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解答:

解:(1)设 C(x,y), 根据|QA|=|QC|, 可得 .

+2

= ,则 G

,Q



(2)当直线 EF 的斜率不存在时,t=2. 当直线 EF 的斜率存在时,设斜率为 k.则直线 EH 的方程为 y=kx+ . 把直线方程代入椭圆方程可得 P(a, 则 )(a≠0). ,x1x2= , ,设 E(x1,y1),F(x2,y2), ,点 M 的坐标为



=

=



=



=



又∵

+

=





+

=



故存在常数 t=2 满足条件. 点评: 本题综合考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相切转化为方程联立可得根与系数 的关系、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19.(15 分)(2015?杭州一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn+an=n(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证: + + +…+ <2.
+

考点: 专题: 分析:

数列的求和;数列递推式. 等差数列与等比数列.

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(1)当 n=1 时,a1+a1=1,解得 ,

.Sn+an=n,当 n≥2 时,Sn﹣1+an﹣1=n﹣1,可得 .利用等比数列的相同公式即可得出;

(2)利用

=

,再利用等比数列的前 n 项和公式就看得出.

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解答:

(1)解:当 n=1 时,a1+a1=1,解得



Sn+an=n,当 n≥2 时,Sn﹣1+an﹣1=n﹣1,可得 an+an﹣an﹣1=1, ∴ ∴数列{an﹣1}是等比数列, ∴ . , . ,

(2)证明:∵

=





+

+

+…+



+…+

=

=

<2.



+

+

+…+

<2.

点评:

本题考查了等比数列的通项公式及前 n 项和公式、“放缩法”、递推式的应用,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

20. (14 分) (2015?杭州一模)已知实数 a>0,函数 f(x)= (1)若函数 f(x)在区间(﹣b,b)(b>0)上存在最小值,求 b 的取值范围 (2)对于函数 f(x),若存在区间[m,n](n>m),使{y|y=f(x),x∈[m,n]}=[m,n],求 a 的取值范围,并写出满足条件的所有区间[m,n]. 考点: 专题: 分析: 分段函数的应用;函数的最值及其几何意义. 计算题;数形结合;函数的性质及应用. (1)画出函数 f(x)的图象,由图象可得,函数 f(x)在区间(﹣b,b)(b>0)上存在 最小值,最小值为 ?( ﹣a)=﹣ 围; (2)画出直线 y=x,求出交点,通过图象观察,当 x<0 时,递增,再由 x>0 的最小值,解 不等式 a﹣ 解答: ≤﹣ ,即可得到 a 的范围,进而区间[m,n]. ,令 f(x)=﹣ (x<0),求出 x,即可得到 b 的范

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解:(1)画出函数 f(x)的图象,由图象可得, 函数 f(x)在区间(﹣b,b)(b>0)上存在最小值, 则最小值为 ?( ﹣a)=﹣ 解得 x=﹣ ,即有 <b≤ ,令﹣ ; x(x﹣a)=﹣ (x<0),

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(2)当区间[m,n]?(﹣∞,0),即为增区间, 由﹣ 由 a﹣ x(x﹣a)=x,可得 x=0,或 a﹣ <0,可得 0<a< ,0], . ,

则区间 m,n]为[a﹣

再由 x(x﹣a)=x,解得 x=0 或 a+1, 由 a﹣ ≤﹣ ,解得﹣ ≤a≤ .但 a>0,则有 0<a≤ .

则区间[m,n]为[a﹣

,a+1]. ,区间为[a﹣ ,0],[a﹣ ,a+1].

综上可得 a 的范围是 0<a<

点评:

本题考查分段函数的运用,考查函数的单调性的运用,考查数形结合的思想方法,考查运算 能力,属于中档题.

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