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浙江省杭州市桐庐县分水高中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年浙江省杭州市桐庐县分水高中高一(上)期中数学 试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 () A.{0,2,4} B.{2,3,4} C.{1,2,4} D.{0,2,3,4}

2. (4 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(3) )=()

A.

B. 3

C.

D.

3. (4 分)下列每组函数是同一函数的是() A.f(x)=x﹣1,g(x)=( )
2

B. f(x)=|x|,g(x)=

C. f(x)=

,g(x)=x+2

D.f(x)=x﹣1,g(x)=

4. (4 分)已知 M={x|y=x ﹣2},N={y|y=x ﹣2},则 M∩N 等于() A.N B. M C. R D.? 5. (4 分)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是() A.f(x)=3﹣x B.f(x)=x ﹣3x
2

2

2

C.f(x)=﹣

D.f(x)=﹣|x|

6. (4 分)下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是() A. C. B. D.

7. (4 分)已知 A.有最小值 1,最大值

,则函数 f(x)=x +x+1() B. 有最小值 ,最大值 1

2

C. 有最小值﹣ ,无最大值
x

D.无最小值和最大值
2

8. (4 分)若 0<a<1,则函数 y=a 与 y=(a﹣1)x 的图象只可能是()

A.

B.

C.

D. 9. (4 分)f(x)是定义在[﹣6,6]上的偶函数,且 f(3)>f(1) ,则下列各式一定成立的() A.f(0)<f(6) B.f(3)>f(2) C.f(﹣1)<f(3) D.f(2)>f(0)

10. (4 分)设函数

,若 f(a)>1,则 a 的取值范围是()

A.(﹣1,1) ∪(1,+∞)

B.(﹣1,+∞)

C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D. (﹣∞, 0)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11. (3 分)函数 的定义域为.

12. (3 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x﹣3>0},则?UA=. 13. (3 分)已知 f(2x﹣1)=x ,则 f(1)=. 14. (3 分)函数 f(x)=( ) ﹣1,x∈[﹣1,2]的最大值为.
x 2

2

15. (3 分)已知 f(x)=ax +bx﹣4,其中 a,b 为常数,若 f(﹣2)=2,则 f(2)=. 16. (3 分)已知 f(x)=﹣x ﹣2x+2 在区间[m,0]上值域为[2,3],则实数 m 的范围是. 17. (3 分)设定义在[﹣2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m﹣ 1)>0,则实数 m 的范围是.
2

3

三、解答题(本大题共 4 小题,共 39 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (10 分)已知集合 A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求(?RA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 19. (10 分)已知函数 f(x)= ,x∈[3,5]

(1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. 20. (10 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣4x +8x﹣3 (1)求当 x<0 时,f(x)的解析式; (2)作出函数 f(x)的图象, (3)求 y=f(x)的最大值,并指出其单调区间. (不必证明) 21. (9 分)已知 f(x)为二次函数,且 f(x+1)+f(x﹣1)=2x ﹣4x; (1)求 f(x) ; (2)当 x∈[﹣1,2]时,求 f(2 )的最大值与最小值. (3)若 f(x)﹣1≤a 在 x∈[0,3]上恒成立,求 a 的取值范围.
x 2 2

2014-2015 学年浙江省杭州市桐庐县分水高中高一(上) 期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. (4 分)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为 () A.{0,2,4} B.{2,3,4} C.{1,2,4} D.{0,2,3,4} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合.

分析: 根据集合交集、补集、并集的定义,首先求出集合 A 的补集,然后求与集合 B 的并 集. 解答: 解:由题意?UA={0,4},所以(?UA)∪B={0,2,4}; 故选 A. 点评: 本题考查了集合的运算;只要根据集合交集、补集、并集的定义解答即可,属于基 础题.

2. (4 分)设函数 f(x)=

,则 f(f(3) )=()

A.

B. 3

C.

D.

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由条件求出 f(3)= ,结合函数解析式求出 f(f(3) )=f( )= +1,计算求得结 果.

解答: 解:函数 f(x)=

,则 f(3)= ,

∴f(f(3) )=f( )= +1=



故选 D. 点评: 本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法,体现了分类讨论的数学思想,求出 f (3)= ,是解题的关键,属于基础题.

3. (4 分)下列每组函数是同一函数的是() A.f(x)=x﹣1,g(x)=( )
2

B. f(x)=|x|,g(x)=

C. f(x)=

,g(x)=x+2

D.f(x)=x﹣1,g(x)=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同即可. 解答: 解:A.函数 g(x)的定义域为{x|x≥1},两个函数的定义域不相同,不是同一函数. B.函数 f(x)和 g(x)的定义域为 R,两个函数的定义域相同,对应法则相同,是同一函数. C.函数 f(x)的定义域为{x|x≠2},两个函数的定义域不相同,不是同一函数. D.函数 g(x)=|x﹣1|,两个函数的对应法则不相同,不是同一函数.

故选 B. 点评: 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的依据是判断两个函数的定义域 和对应法则是否完全相同. 4. (4 分)已知 M={x|y=x ﹣2},N={y|y=x ﹣2},则 M∩N 等于() A.N B. M C. R D.? 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 先化简两个集合,再由交集的定义根据所得的集合求两个集合的交集, 解答: 解:由题意 M=R,N={y|y≥﹣2},∴M∩N={y|y≥﹣2}=N 故选 A. 点评: 本题考查交集及其运算,求解的关键是正确理解交集的定义以及对两个集合进行化 简. 5. (4 分)下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是() A.f(x)=3﹣x B.f(x)=x ﹣3x
2 2 2

C.f(x)=﹣

D.f(x)=﹣|x|

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题. 分析: 由题意知 A 和 D 在(0,+∞)上为减函数;B 在(0,+∞)上先减后增;c 在(0,+∞) 上为增函数. 解答: 解:∵f(x)=3﹣x 在(0,+∞)上为减函数,∴A 不正确; ∵f(x)=x ﹣3x 是开口向上对称轴为 x= 的抛物线,所以它在(0,+∞)上先减后增,∴B 不正确; ∵f(x)=﹣ 在(0,+∞)上 y 随 x 的增大而增大,所它为增函数,∴C 正确;
2

∵f(x)=﹣|x|在(0,+∞)上 y 随 x 的增大而减小,所以它为减函数,∴D 不正确. 故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性,解题时要认真审题,仔细解答. 6. (4 分)下列根式中,分数指数幂的互化,正确的是() A. C. B. D.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题.

分析: 利用根式与分数指数幂的关系得出 A﹣

=﹣

(x>0) ,

=

,.

(x>0) ,.

=

,从而选出答案.

解答: 解:A.﹣

=﹣

(x>0)故 A 错;

B.

=

故 B 错;

C.

(x>0)故 C 正确;

D.

=

故D错

故选 C. 点评: 本题考查了根式与分数指数幂的互化,解题过程中尤其要注意根式有意义的条件, 属于基础题.
2

7. (4 分)已知 A.有最小值 1,最大值

,则函数 f(x)=x +x+1() B. 有最小值 ,最大值 1 D.无最小值和最大值

C. 有最小值﹣ ,无最大值

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出二次函数的对称轴,利用区间和对称轴之间的关系确定函数的单调性和最值情 况. 解答: 解:f(x)=x +x+1=(x+ ) 当
2 2

,对称轴为 x=﹣ , .

时,函数单调递增,此时函数有最小值 f(0)=1,最大值 f( )=

故选 A. 点评: 本题主要考查二次函数的图象和性质,利用对称轴和区间的关系确定函数的取值是 解决本题 的关键. 8. (4 分)若 0<a<1,则函数 y=a 与 y=(a﹣1)x 的图象只可能是()
x 2

A.

B.

C.

D. 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. x 2 分析: 由 0<a<1,可得函数 y=a 与在 R 上是减函数,二次函数 y=(a﹣1)x 的图象开口 向下,关于 y 轴对称,结合所给的选项得出结论. x 2 解答: 解:∵0<a<1,则函数 y=a 与在 R 上是减函数,二次函数 y=(a﹣1)x 的图象开 口向下,关于 y 轴对称, 故选 A. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性、二次函数的图象和性质,属于基础题. 9. (4 分)f(x)是定义在[﹣6,6]上的偶函数,且 f(3)>f(1) ,则下列各式一定成立的() A.f(0)<f(6) B.f(3)>f(2) C.f(﹣1)<f(3) D.f(2)>f(0) 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由于 f(x)是偶函数,所以 f(1)=f(﹣1) ,结合 f(3)>f(1) ,于是“一定成立的” 的选项为 C. 解答: 解:∵f(x)是偶函数, ∴f(1)=f(﹣1) ,又 f(3)>f(1) , ∴“一定成立的”的选项为 C. 故选 C. 点评: 本题考查函数奇偶性的性质,关键在于准确理解题意,易错点在于题目中没有给出 函数的单调性质,由 f(3)>f(1)错误的认为 f(x)在(1,3)上单调递增,从而认为 B 正确,属于中档题.

10. (4 分)设函数

,若 f(a)>1,则 a 的取值范围是()

A.(﹣1,1) ∪(1,+∞)

B.(﹣1,+∞)

C.(﹣∞,﹣2)∪(0,+∞) D. (﹣∞, 0)

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 计算题.

分析: 由 f(x)=

可知,f(a)>1,可对 x 分 x≤0 与 x>0 讨论解决之.

解答: 解:∵f(x)=

,f(a)>1,

∴当 a≤0 时,f(a)>1? ∴a<0; 当 a>0 时,f(a)>1? >1,

>1=



∴a>1. 综上所述,a 的取值范围是 a<0 或 a>1. 故选 D. 点评: 本题考查分段函数的解析式的理解与应用,考查指数函数与幂函数的性质,属于基 础题. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分) 11. (3 分)函数 的定义域为[﹣1,0)∪(0,+∞) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 直接利用分式的分母不为 0,无理式大于等于 0,求解即可得到函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,必须 ,解得 x∈[﹣1,0)∪(0,+∞) .

函数的定义域为:[﹣1,0)∪(0,+∞) . 故答案为:[﹣1,0)∪(0,+∞) . 点评: 本题考查函数的定义域的求法,考查计算能力.

12. (3 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x﹣3>0},则?UA=[﹣1,3]. 考点: 并集及其运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意求出集合 A,然后直接写出它的补集即可. 2 解答: 解:全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x﹣3>0}={x|x<﹣1 或 x>3}, 所以?UA={x|﹣1≤x≤3}, 即?UA=[﹣1,3]. 故答案为:[﹣1,3]. 点评: 本题考查集合的基本运算,补集的求法,考查计算能力. 13. (3 分)已知 f(2x﹣1)=x ,则 f(1)=1. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的性质求解. 解答: 解:∵f(2x﹣1)=x , 2 ∴f(1)=f(2×1﹣1)=1 =1. 故答案为:1. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意函数性质的合理运用. 14. (3 分)函数 f(x)=( ) ﹣1,x∈[﹣1,2]的最大值为 2.
x 2 2

2

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接利用指数函数的单调性,求出区间的函数的最大值即可. 解答: 解:函数 f(x)=( ) ﹣1,x∈[﹣1,2]是奇函数, ∴函数 f(x)=( ) ﹣1,x∈[﹣1,2]的最大值为:f(﹣1)=( ) ﹣1=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查指数函数的单调性的应用,函数的最值的求法,基本知识的考查. 15. (3 分)已知 f(x)=ax +bx﹣4,其中 a,b 为常数,若 f(﹣2)=2,则 f(2)=﹣10. 考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由 f(﹣2)=2 可得 8a+2b,然后把 x=2 代入所求的函数解析式中,结合所求 8a+2b 的值可求 解答: 解:∵f(﹣2)=﹣8a﹣2b﹣4=2 ∴8a+2b=﹣6 ∴f(2)=8a+2b﹣4=﹣10 故答案为:﹣10
3 x
﹣1

x

点评: 本题主要考查了利用整体思想求解函数的值,属于基础试题 16. (3 分)已知 f(x)=﹣x ﹣2x+2 在区间[m,0]上值域为[2,3],则实数 m 的范围是[﹣2, ﹣1]. 考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: f(x)=﹣x ﹣2x+2 的图象是开口朝下,且以 x=﹣1 为对称的抛物线,故当 x=﹣1 时, 2 函数取最大值 3,又由 f(0)=f(﹣2)=2,可得当 f(x)=﹣x ﹣2x+2 在区间[m,0]上值域 为[2,3]时,实数 m 的范围. 2 解答: 解:∵f(x)=﹣x ﹣2x+2 的图象是开口朝下,且以 x=﹣1 为对称的抛物线, 当 x=0 时,f(0)=f(﹣2)=2, x=﹣1 时,f(﹣1)=3, 2 故当 f(x)=﹣x ﹣2x+2 在区间[m,0]上值域为[2,3]时, ﹣2≤m≤﹣1, 故实数 m 的范围是[﹣2,﹣1], 故答案为:[﹣2,﹣1]. 点评: 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质是解 答的关键. 17. (3 分)设定义在[﹣2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m﹣ 1)>0,则实数 m 的范围是 .
2 2

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行等价转化即可. 解答: 解:∵f(x)是定义在[﹣2,2]上的奇函数,且 f(x)在[0,2]上是减函数, ∴f(x)在[﹣2,0]也是减函数, ∴f(x)在[﹣2,2]上单调递减…(2 分) 又 f(m﹣1)+f(m)>0?f(m)>﹣f(m﹣1)=f(1﹣m) , 即 f(1﹣m)<f(m) ,



…(6 分)

即:

,所以

…(11 分)

故满足条件的 m 的值为

…(12 分) ,

故答案为:



点评: 本题主要考查不等式的求解,根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关 键. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 39 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (10 分)已知集合 A={x|4≤x<8},B={x|2<x<10},C={x|x<a}. (1)求(?RA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的交集、并集、补集的运算求解即可. 解答: 解:因为集合 A={x|4≤x<8},所以(?RA)={x|x<4 或 x≥8}, 所以(?RA)∩B={x|2<x<4 或 x≤8<10}; (2)因为集合 A={x|4≤x<8},C={x|x<a},A∩C≠?, 所以 a>4. 点评: 本题主要考查集合的交、并、补集的运算,属于基础题. ,x∈[3,5]

19. (10 分)已知函数 f(x)=

(1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用函数的单调性的定义证明其单调性,借助单调性求函数的最大值和最小值. 解答: 解: (1)∵f(x)= 设任意的 x1,x2,且 3≤x1<x2≤5, ∴6≤x1+3<x2+3, > , )﹣(2﹣ )= ﹣ <0,即 f(x1)<f(x2) =2﹣ ,

∴f(x1)﹣f(x2)=(2﹣ ∴函数 f(x)=

,x∈[3,5]是增函数; ,x∈[3,5]是增函数; .

(2)由(1)知函数 f(x)= 故当 x=1 时,

;当 x=5 时,

点评: 本题主要考查函数的单调性和最值的求法,属于基础题. 20. (10 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=﹣4x +8x﹣3 (1)求当 x<0 时,f(x)的解析式;
2

(2)作出函数 f(x)的图象, (3)求 y=f(x)的最大值,并指出其单调区间. (不必证明) 考点: 函数奇偶性的性质;函数的单调性及单调区间. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 x<0,则﹣x>0,代入 x>0 时的解析式,结合函数为偶函数即可求出 f(x) ; (2)根据二次函数图象的特征,分两段画出函数的图象; (3)结合(2)的图象即可求出其最值和单调区间. 解答: 解: (1)设 x<0,则﹣x>0,又因为是偶函数, 2 所以 f(x)=f(﹣x)=﹣4x ﹣8x﹣3, (x<0) (2)由已知结合(1)可知: f(x)= ,所以该函数的图象如下:

(3)由图象可知该函数的最大值为 1; 单调增区间为(﹣∞,﹣1]和[0,1];单调减区间为[﹣1,0]和[1,+∞) . 点评: 本题考查了函数的奇偶性性质以及二次函数图象的画法.属于基础题. 21. (9 分)已知 f(x)为二次函数,且 f(x+1)+f(x﹣1)=2x ﹣4x; (1)求 f(x) ; (2)当 x∈[﹣1,2]时,求 f(2 )的最大值与最小值. (3)若 f(x)﹣1≤a 在 x∈[0,3]上恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)设二次函数为 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,然后根据已知条件列出关于 a,b,c 的方程组即可; (2)采用换元法,问题转化为二次函数在指定区间上的最值问题; (3)这是一道不等式恒成立问题,只需求出函数 f(x)﹣1 在[0,3]上的最大值即可.
x 2

解答: 解: (1)由题意设 f(x)=ax +bx+c(a≠0) ,则由 f(x+1)+f(x﹣1)=2x ﹣4x 可得: 2 2 2ax +2bx+2a+2c=2x ﹣4x 对任意的 x 恒成立.

2

2



,解得 a=1,b=﹣2,c=﹣1.
2

所以 f(x)=x ﹣2x﹣1. (2)令 t=2 ∈[ g(t)=
x

].则原函数可化为: ,

易知,g(t)min=g(1)=﹣2,g(t)max=g(4)=7. x 即 f(2 )当 x∈[﹣1,2]时,最大值为 7,最小值为﹣2. 2 (3)令 h(x)=f(x)﹣1=x ﹣2x﹣2,x∈[0,3]. 2 易知 h(x)=(x﹣1) ﹣3,x∈[0,3],显然 x=3 时,h(x)max=1. 所以要使 f(x)﹣1≤a 恒成立,只需 a≥1 即可. 故所求 a 的范围是[1,+∞) . 点评: 本题考查了待定系数法求二次函数解析式,以及二次函数在指定区间上的最值问题, 不等式恒成立问题的解法,属于常规题,难度不大.


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