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2016淮北二模数学理科试卷(含答案)4.16


淮北市 2016 届高三第二次模拟考试数学试题

(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。考生要 认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名 是否一致。 2.第 1 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选出其他答案标号。第 II 卷用 0.5 毫米的黑色签字笔在答 题卡上书写作答,在试题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
2 2 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? { y | y ? 4 ? x ? 2}, B ? {x x ? 7 x ? 12 ? 0} , 则 A ? (CU B)

=( ) A.[2,3) 2.复数 z ? 3 ? A. 3
x y

B. (2,4)

C.(3,4]

D.(2,4]

3 ? 4i ,则 z 等于() 4 ? 3i B. 10

C. 13

D. 4 )

? x ? 4 y ? ?3 ? 3.设 z ? 4 ? 2 中变量 x,y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则 z 的最小值为( ?x ? 1 ?
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

4. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn , 点(n, Sn)在函数 f(x)= 的通项公式为( A.an ? 2n ) B.an ? n2 ? n ? 2
2 2

?

x

1

(2t ? 1)dt 的图象上,则数列{an}
? 0 ,n ? 1 ?2n , n ? 2

C.an ? ?

? 0 ,n ? 1 ?2n ? 1, n ? 2

D.an ? ?

5.过点 ( 2,0) 引直线 l 与圆 x ? y ? 2 相交于 A, B 两点, O 为坐标原点,当 ?AOB 面积 取最大值时,直线 l 的斜率为 A. ( )

3 3

B . ? 3 C. ?

3 3

D. 3

1 第页

6.将 4 本完全相同的小说,1 本诗集全部分给 4 名同学,每名同学至少 1 本书,则不同分 法有() A. 24 种 B. 28 种 C. 32 种 D. 16 种

7.下列四个结论: ①命题“若 f ( x) 是周期函数,则 f ( x) 是三角函数”的否命题是“若 f ( x) 是周期函数, 则 f ( x) 不是三角函数” ;
2 ②命题“ ?x0 ? R, x0 ; ? x0 ?1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ”

开始 输入 m S=0,i=1 S=S+i i<m 否 输出 S 结束

③在 △ABC 中, “ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”的充要条件; ④当 a ? 0 时,幂函数 y ? xa 在区间 (0, ??) 上单调递减. 其中正确命题的个数是() A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.阅读如图所示的程序框图,若输入 m=2016, 则输出 S 等于() A.10072 B.10082 C.10092 D.20102

i=i+2 是

9.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 满足 f ( x) ? f (a) 对 x ? R 恒成立,则函数() A. f ( x ? a) 一定为奇函数 B. f ( x ? a) 一定为偶函数 C. f ( x ? a) 一定为奇函数 D. f ( x ? a) 一定为偶函数 10.已知函数 f ? x ? ? ? 取值范围是( A. (1, ??)
?x ? ?2 ? 1, x ? 0 若函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? a 只有一个零点,则实数 a 的 f x ? 1 , x ? 0 ? ? ? ?

)

B. [1, ??)

C. (??,1)

D. (??,1]

11.已知一空间几何体的三视图如图所示,其中正视图与左视图都是等腰梯形,则该几何体 的体积为() A. 17

B.

55 3

C.

52 D. 18 3

2 第页

12.如图,已知点 D 为 ?ABC 的边 BC 上一点, BD ? 3DC , En (n ? N? ) 为边 AC 的一 列点,满足 En A ? 的通项公式为() A. 3 ? 2n?1 ? 2 B. 2 ? 1
n

??? ?

????

???? ?

???? ? ???? ? 1 an ?1 En B ? (3an ? 2) En D ,其中实数列 {an } 中 an ? 0 ,a1 ? 1,则 {an } 4
C. 3n ? 2 D. 2 ? 3n?1 ? 1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分). 13.函数 y ? x ? 2 cos x ? 3 在区间 ?0, ? ? 上的最大值是.
? ? 2? ?

a? ? 14. 设常数 a ? 0 , ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x 4 项的系数为 40,记等差数列 ?an ? 的前 n x? ?
项和为 Sn ,已知 a2 ? a4 ? 6 , S4 ? 5a ,则 a10 ? .

5

15.已知 tan ? ? ? 2 ,抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ? ? sin ? cos ? ,0? ,直线 l 经过 点 F 且与抛物线交于 A, B 点,且 AB ? 4 ,则线段 AB 的中点到直线 x ? ? 为 .
3 ? ? ln x ,0 ? x ? e

1 的距离 2
f ? x3 ? x2

16. 已知函数 f ? x ? ? ?

? ?? x ? e ? 3, x ? e
3

3

, 存在 x1 ? x2 ? x3 ,f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? , 则

的最大值为. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,边 a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对的边,且满足

2sin B ? sin A ? sin C ,设 B 的最大值为 B0 .

(Ⅰ)求 B0 的值;
(Ⅱ)当 B ? B0 , a ? 1, c ? 2, D 为 AC 的中点时,求 BD 的长.

3 第页

18. (本小题满分 12 分)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件,测量这些产品的质量指 标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间 55,65? ,

?

?65,75? , ?75,85? 内的频率之比为 4:2:1 .
(Ⅰ)求这些产品质量指标值落在区间

频 0.03 0 0.01 9 0.01 2 0.00 4 0 15 25 35 45 55 65 75 85 质 量 指 标 率 组 距

?75,85? 内的频率;
(Ⅱ)若将频率视为概率,从该企业生产的 这种产品中随机抽取 3 件,记这 3 件产 品中质量指标值位于区间 45,75? 内的产

?



品件数为 X ,求 X 的分布列与数学期望.

19.(本小题满分 12 分)已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC, ∠BAC=∠ACD=90° ,∠EAC=60° ,AB=AC=AE.

(Ⅰ)若 P 是 BC 的中点,求证:DP∥平面 EAB. (Ⅱ)求平面 EBD 与平面 ACDE 所成的锐二面角θ 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知点 A ? ?2,0 ? ,P 是 ? O : x ? y ? 4 上任意一点,P 在 x 轴上
2 2

MP ? 2MN ,动点 N 的轨迹为 C , 的射影为 M, 直线 y ? kx ? k ? 0? 与轨迹 C 交于 E ,
F 两点,直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N .
(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)以 MN 为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标; 若不经过,请说明理由.

????

???? ?

4 第页

21. (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? (2 ? a ) ln x ?

1 ? 2ax (a ? R) , x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间; (III)当 ? 3 ? a ? ?2 时,若对存在 ?1 , ?2 ?[1,3] , 使得 | f (?1 ) ? f (?2 ) |? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 恒成立,求 m 的取值范围.

选做题: (考生从以下三题中选做一题) 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 已知在 ?ABC 中,AB ? AC , 以 AB 为直径的 ? O 交 BC 于 D , 过

D 点作 ? O 的切线交 AC 于 E .求证: (Ⅰ) DE ? AC
(Ⅱ) BD 2 ? CE ? CA

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 已知直线 为参数), 曲线 ( 为参数).

(Ⅰ)设 与 (Ⅱ)若把曲线

相交于

两点,求

; 倍,得到曲线

上各点的横坐标压缩为原来的 倍,纵坐标压缩为原来的 上的一个动点,求它到直线 的距离的最小值.

,设点 是曲线

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲. 设函数 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ?

1 的解集; 2

(Ⅱ)若对任意 a ? 0,1 ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,求实数 b 的取值范围.

? ?

5 第页

淮北市 2016 届高三二模参考答案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 C 6 D 7 C 8 C 9 D 10 B 11 C 12 D

二、填空题

? 13、 6
三、解答题

14、10

15、

21 10

1 16、 e

(17)解: (Ⅰ)由题设及正弦定理知, 2b ? a ? c ,即 b ?

a?c .由余弦定理知, 2

a 2 ? c 2 ? b2 cos B ? ? 2ac

a2 ? c2 ? (

a?c 2 ) 3(a 2 ? c 2 ) ? 2ac 3(2ac) ? 2ac 1 2 ? ? ? , ??4 2ac 8ac 8ac 2

分 ? y ? cos x 在 (0, ? ) 上单调递减,? B 的最大值 B0 ? ( Ⅱ )

? . 3

? B ? B0 ? , ?8 分

?
3

, a ? 1, c ? 2,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 3,

? c 2 ? a 2 ? b 2 ,? C ?

?
2

? BD ?

1 1 3 7 AC ? AB 2 ? BC 2 ? ,? BD ? CD 2 ? BC 2 ? . 2 2 2 2

(18)解: (Ⅰ)设区间 ?75,85? 内的频率为 x , 则区间 ?55,65? , ?65,75? 内的频率分别为 4 x 和 2 x .??????????1 分 依题意得 ? 0.004 ? 0.012 ? 0.019 ? 0.03? ?10 ? 4 x ? 2 x ? x ? 1 ,??????3 分 解得 x ? 0.05 . 所以区间 ?75,85? 内的频率为 0.05 .??????????????????4 分 (Ⅱ)从该企业生产的该种产品中随机抽取 3 件,相当于进行了 3 次独立重复试验, 所以 X 服从二项分布 B ? n, p ? ,其中 n ? 3 . 由(Ⅰ)得,区间 ?45,75? 内的频率为 0.3 ? 0.2+0.1=0.6 , 将频率视为概率得 p ? 0.6 .?????????????????????5 分 因为 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,????????????????6 分 且 P( X ? 0) ? C3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.064 , P( X ? 1) ? C3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.288 ,
0 0 3 1 1 2

6 第页

2 3 0 P( X ? 2) ? C3 ? 0.62 ? 0.41 ? 0.432 , P( X ? 3) ? C3 3 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.216 .

所以 X 的分布列为:

X P

0 0.06 4

1 0.28 8

2 0.43 2

3 0.21 6

?????????10 分

所以 X 的数学期望为 EX ? 0 ? 0.064 ? 1? 0.288 ? 2 ? 0.432 ? 3 ? 0.216 ? 1.8 . (或直接根据二项分布的均值公式得到 EX ? np ? 3 ? 0.6 ? 1.8 )?????12 分 (19)解: (I)设 AB=a,取 AC 的中点 O,连接 EO,OP. ∵AE=AC,又∠EAC=60°,∴EO⊥AC. 又平面 ABC⊥平面 ACDE,∴EO⊥平面 ABC,∴EO⊥OP, 又 OP∥AB,AB⊥AC,所以 OP⊥AC. 以射线 OP,OC,OE 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,

a a 3 a 3 a 则 C(0, ,0) ,A(0,- ,0) ,E(0,0, a) ,D(0, , a) ,B(a,- ,0). 2 2 2 2 2 2 a 则 P( ,0,0) , 2

a 3 → → 设平面 EAB 的法向量为 n=(x0,y0,z0).AB=(a,0,0) ,AE=(0, , a) , 2 2 → → ∴AE·n=0,AB·n=0, ? ?ay0+ 3az0=0, 2 即?2 令 z0=1,得 y0=- 3,又 x0=0,

? ?x0·a=0,

∴n=(0,- 3,1). a a 3 → ∴n·DP=(0,- 3,1)·( ,- ,- a)=0, 2 2 2 ∴DP∥平面 EAB (另法:取 AB 中点 F,然后证 DP∥EF 或证平面 ODP∥平面 EAB) (II)设平面 EBD 的法向量为 n1=(x1,y1,z1) ,易知平面 ACDE 的一个法向量为 n2= (1,0,0). a 3 → ax1- y1- az1=0, ? ?n1·EB=0, 2 2 ∵? 即 → a ?n1·ED =0, ? y1=0, 2

? ? ? ? ?

令 z1=1,则 x1=

3 3 ,y1=0,n1=( ,0,1). 2 2
7 第页

|n1·n2| 21 ∴cos θ = = . |n1||n2| 7

(20)解: (Ⅰ)设 N ( x, y) , ∴ M ( x,0) ,∵ MP ? 2MN ∴ P( x, 2 y ) ∵P 在 ? O : x2 ? y 2 ? 4 上,∴ x 2 ? 4 y 2 ? 4

????

???? ?

x2 ? y 2 ? 1.??????????????????4 分 所以轨迹 C 的方程为 4
(Ⅱ)因为点 A 的坐标为 ? ?2,0? 因为直线 y ? kx (k ? 0) 与轨迹 C 于两点 E , F , 设点 E ? x0 , y0 ? (不妨设 x0 ? 0 ) ,则点 F ? ? x0 , ? y0 ? .
? y ? kx, 4 ? 联立方程组 ? x 2 消去 y 得 x2 ? . 2 1 ? 4k 2 ? ? y ?1 ?4

所以 x0 ?

2 1 ? 4k
2

,则 y0 ?

2k 1 ? 4k 2



所以直线 AE 的方程为 y ?

k 1 ? 1 ? 4k 2

? x ? 2? .

因为直线 AE , AF 分别与 y 轴交于点 M , N , 令x ? 0得 y ?

2k 1 ? 1 ? 4k 2
2k

,即点 M ? 0,

?

? ?. 2 ? 1 ? 1 ? 4k ? 2k

同理可得点 N ? 0,

?

? ? .???????????????????8 分 ? 1 ? 1 ? 4k ?
2

所以 MN ?

2k 1 ? 1 ? 4k 2

?

2k 1 ? 1 ? 4k 2

1 ? 4k 2 ? . k

设 MN 的中点为 P ,则点 P 的坐标为 P ? 0, ?

? ?

1 ? ?. 2k ?
2

2 1 ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 则以 MN 为直径的圆的方程为 x ? ? y ? ? , ? ?? ? 2 k 2k ? ? ? ? ? 1 2 2 即 x ? y ? y ? 1 .??????????????????????10 分 k 2

令 y ? 0 ,得 x ? 1 ,即 x ? 1 或 x ? ?1 .
2

8 第页

故以 MN 为直径的圆经过两定点 P 1 ?1,0? , P 2 ? ?1,0? .?????????12 分

(21)

9 第页

(22)证明: (I)连 OD ,则 ?ABD ? ?ODB ? ?ACD 得 OD // AC ,又 DE 为切线, 所以 OD ? DE 得 DE ? AC 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 (II)由(I)得 D 为 BC 中点, 所以 AD ? BC (或有直径上圆周角得) 所以 DC ? CE ? AC (射影定理)
2

有 BD ? DC 得 BD ? CE ? CA
2

。 。 。 。 。 。 。 。10 分

(23)解: (I) 的普通方程为
10 第页

的普通方程为

联立方程组

解得 与

的交点为

,

,则

.??5 分

(II)

的参数方程为

为参数).故点

的坐标是

,从

而点 此当

到直线 的距离是 时, 取得最小值,且最小值为 .????10 分

,由

(24) (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ? x ? ?

1 1 等价于 x ? 1 ? x ? . 2 2 1 ①当 x ? ?1 时,不等式化为 ? x ? 1 ? x ? ,无解; 2 1 1 ②当 ?1 ? x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 ? ? x ? 0 ; 4 2 1 ③当 x ? 0 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? ,解得 x ? 0 . 2
综上所述,不等式 f ?x ? ? 1 的解集为 ? ?

? 1 ? , ?? ? .????????????4 分 ? 4 ?

(Ⅱ)因为不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集,所以 b ? ? ? f ? x ?? ? max .???????5 分 以下给出两种思路求 f ? x ? 的最大值. 思路 1:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a 当x??

? 0 ? a ? 1? ,

a 时, f ? x ? ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? ? a ? 1? a < 0 .
当?

a ? x ? 1 ? a 时, f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a ? 2x ? a ? 1 ? a
? 2 1- a + a -

1- a = a + 1- a .

当 x ? 1 ? a 时, f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? a ? 1? a .
所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

思路 2:因为 f ? x ? ? x ? a ? x ? 1 ? a

? x ? a ? x ? 1? a ? a ? 1 ? a ? a ? 1? a ,

11 第页

当且仅当 x ? 1 ? a 时取等号. 所以 ? ? f ? x ?? ? max ?

a ? 1 ? a .????????????????????7 分

因为对任意 a ??0,1? ,不等式 f ? x ? ? b 的解集为空集, 所以 b ? ? a ? 1 ? a ?

?

? max .?????????????????????8 分

以下给出三种思路求 g ? a ? ? a ? 1 ? a 的最大值. 思路 1:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 所以 g 2 ? a ? ? 1 ? 2 a 1 ? a ? 1 ? 当且仅当 a ? 1 ? a ,即 a ? 所以 ? ? g ? a ?? ? max ?

? a? ??
2

1? a

?

2

? 2.

1 时等号成立. 2

2.

所以 b 的取值范围为

?

2, +? .???????????????????10 分

?

思路 2:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 因为 0 ? a ? 1 ,所以可设 a ? cos ? ? 0 ? ? ?
2

? ?

?? ?, 2?

则 g ?a? ?

?? ? a ? 1 ? a ? cos ? ? sin ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 , 4? ?
? 时等号成立. 4

当且仅当 ? ?

所以 b 的取值范围为

?

2, +? .???????????????????10 分

?

思路 3:令 g ? a ? ? a ? 1 ? a , 因为 0 ? a ? 1 ,设 í
2

ì ? ? x = a, 2 2 则 x + y = 1 (0 #x 1,0 #y 1) . ? ? ? y = 1- a ,
2

问题转化为在 x + y = 1 (0 #x 求 z = x + y 的最大值.

1,0 #y 1) 的条件下,

y

利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为 2 ,

2 此时 x = y = . 2
所以 b 的取值范围为

O

x

?

2, +? .???????????????????10 分

?

12 第页


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