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11-12学年高二数学课件:1[1].1.1


选修2-2

? ●课程目标 ? (1)理解函数在某点的平均变化率的概念, 掌握函数平均变化率的求法. ? (2)理解运动物体的速度在某时刻的瞬时变 化率(瞬时速度),知道函数在某点x0 处的 瞬时变化率就是导数,理解导数的概念和 定义,会求函数在某点处的瞬时变化率(导 数). ? (3)理解导数的几何意义,并会求出曲线在 某点处的切线方程.

? (4)了解常数函数和幂函数的求导方法和规律, 会求任意幂函数y=xα(α∈Q)的导数,掌握基本 初等函数的导数公式,并能利用这些公式求基 本初等函数的导数.
(5)能根据导数定义求出函数 y=c、y=x、y=x2、y= 1 3 x 、y= 、y= x的导数,会使用导数公式表. x

? (6)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简 单的复合函数的导数. ? (7)了解函数的单调性与导数的关系;能利用导 数研究函数的单调性;会求不超过三次的多项 式函数的单调区间.

? (8)结合函数的图象,了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件;会利用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值,以及在 给定区间上的不超过三次的多项式函数的最大 值、最小值. ? (9)了解导数在实际问题中的应用,结合给出的 实际问题(如使利润最大、效率最高、用料最省 等问题),体会导数在解决实际问题中的作用. ? (10)通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例, 了解定积分的实际背景;借助几何直观体会定 积分的基本思想,了解定积分的概念.

? (11)通过实例了解微积分基本定理. ? (12)应用定积分解决一些简单的几何、物理 问题.

? ●重点难点 ? 本章学习重点: ? 1.理解导数的概念及符号记法,体会导 数的思想及其内涵; ? 2.能够利用公式求简单函数的导数及简 单复合函数的导数; ? 3.能利用导数研究函数的单调性,求函 数的极值和最值; ? 4.利用导数知识解决一些最优化问题; ? 5.了解定积分的概念,了解微积分基本 定理的含义.

? 本章学习难点: ? 1.导数概念的理解; ? 2.用导数研究函数的单调性,求函数的 极值和最值; ? 3.利用导数知识解决一些最优化问题; ? 4.定积分概念的理解.

? ●学法探究 ? 导数是微积分的初步知识,是研究函数、 解决实际问题的有力工具.学习本章要认 真理解平均变化率、瞬时速度的概念,进 一步理解导数的概念和导函数的定义,掌 握导数的几何意义,掌握基本初等函数的 导数公式和导数的四则运算法则,通过具 体实例,认识导数的工具性及其与实际问 题的联系,感受导数在解题中的作用,充 分体会数形结合思想、分类讨论思想、等 价转化思想及理论联系实际的思想方法.

? 认真领会掌握依据定义求导数的方法、求定积 分的方法.深刻体会“以直代曲”、“以不变 代变”和“无限逼近”的微积分的基本思想方 法. ? 导数概念的核心是变化率,学习导数应从物理 和几何两方面去理解导数的意义,对很多运动 变化问题的研究最后都会归结为研究各式各样 的函数,导数是研究函数的有力工具.由f′(x)的 符号可知函数f(x)是增还是减,由f′(x)绝对值的大 小可知函数变化得急剧还是平缓.导数也是解 决函数极值问题从而是解决优化问题的一种通 法,利用导数,我们可以将求函数极值的问题 转化为求方程f′(x)=0的解及研究在解的两侧导 函数的符号问题.

? 1.1 变化率与导数 ? 1.1.1 变化率问题

? 1.通过实例了解平均变化率的概念. ? 2.会求一些简单函数的平均变化率.

? 本节重点:函数的平均变化率的概念. ? 本节难点:函数平均变化率的求法. ? 1.Δx是自变量x在x0处的改变量,它可以为正, 也可以为负,但不能等于零,而Δy是相应函数 值的改变量,它可以为正,可以为负,也可以 等于零,特别是当函数为常数函数时,Δy=0.
Δy f(x2)-f(x1) f(x1+Δx)-f(x1) 2.在式子Δx= = 中,当 x1 Δx x2-x1 取定值, 取不同的数值时, Δx 函数的平均变化率是不同的; 当 Δx 取定值,x1 取不同的数值时,函数的平均变化率也 是不同的.

3.函数平均变化率的几何意义和物理意义 平均变化率的几何意义是表示函数 y=f(x)图象上割 线 P1P2 的斜率(其中 P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))),即 kP1P2 f(x2)-f(x1) f(x1+Δx)-f(x1) = = ;物理意义是把位移 s 看成 Δx x2-x1 时间 t 的函数 s=s(t)在时间段[t1,2]上的平均速度, -= t 即v s(t2)-s(t1) . t2-t1

? 2.求函数平均变化率的步骤 ? 求函数y=f(x)在点x0附近的平均变化率: ? (1)确定函数自变量的改变量Δx=x1-x0;

? [例1] 求y=2x2+1在x0到x0+Δx之间的平均变化率. ? [分析] 依据函数平均变化率的定义求解. [解析] 当自变量从 x0 变到 x0+Δx 时,函数的平均
2 f(x0+Δx)-f(x0) [2(x0+Δx)2+1]-(2x0+1) 变化率为 = Δx Δx

=4x0+2Δx.
? [点评] 式. 这类题目的关键是熟记平均变化率公式的形

? 已知函数f(x)=x2+2x,求f(x)从a到b的平均变化 率. ? (1)a=1,b=2;(2)a=3,b=3.1; ? (3)a=-2,b=1.5. ? [解析] (1)a=1,b=2时,f(1)=12+2×1=3, ? f(2)=22+2×2=8, ? ∴f(x)从1到2的平均变化率为
f(2)-f(1) 8-3 = 1 =5. 2-1

? (2)a=3,b=3.1时,f(3)=32+2×3=15, ? f(3.1)=3.12+2×3.1=15.81, ? ∴f(x)从3到3.1的平均变化率为
f(3.1)-f(3) 15.81-15 = =8.1. 0.1 3.1-3 (3)a=-2, b=1.5 时, f(-2)=(-2)2+2×(-2)=0, f(1.5)=1.52+2×1.5=5.25, ∴f(x)从-2 到 1.5 的平均变化率为 f(1.5)-f(-2) 5.25-0 3 = 3.5 =2. 1.5-(-2)

[例 2]

求函数 y=x3 在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化

1 率,并计算当 x0=1,Δx= 时平均变化率的值. 2

? [分析] 本题直接利用概念求平均变化 率.先求出表达式,再直接代入数据可以 求得相应的平均变化率的值.

[解析]

当自变量从 x0 变化到 x0+Δx 时,函数的平均

3 f(x0+Δx)-f(x0) (x0+Δx)3-x0 变化率为 = = 3x 2 + 3x0Δx + 0 Δx Δx

(Δx)2 1 当 x0=1,Δx= 时平均变化率的值为 2 1 ?1?2 19 3×1 +3×1× +?2? = . 2 ? ? 4
2

? [点评] 此类题易错之处容易将平均变化 率与平均数相混淆,关键是理解平均变化 率的概念.

[分析]

y2-y1 直线的斜率公式为 k= . x2-x1

? 过曲线f(x)=x3上两点P(1,1)和Q(1+Δx,1+ Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.1时割线的 斜率.

? [解析] ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3-1 ? =(Δx)3+3(Δx)2+3Δx,

Δy ∴割线 PQ 的斜率 k= Δx (Δx)3+3(Δx)2+3Δx = =(Δx)2+3Δx+3. Δx 设 Δx=0.1 时割线的斜率为 k1,则 k1=0.12+3×0.1+ 3=3.31.

[点评]

一般地,设曲线 C 是函数 y=f(x)的图象,点

P(x0,y0)是曲线上的定点,点 Q(x0+Δx,y0+Δy)是曲线 上与点 P 邻近的点,则有 y0=f(x0),y0+Δy=f(x0+Δx), Δy f(x0+Δx)-f(x0) 割线 PQ 的斜率 k=Δx= . Δx

[例 3]

π 试比较正弦函数 y=sinx 在 x=0 和 x=2附近

的平均变化率哪一个大?

? [分析] 先将正弦函数在每个自变量的附 近的平均变化率求出,然后进行大小的比 较.

[解析]

当自变量 x 从 0 变到 Δx 时,函数的平均变化率

sinΔx-sin0 sinΔx 为 k1= = Δx . Δx π π 当自变量 x 从 变到 +Δx 时,函数的平均变化率为 2 2
?π ? π sin?2+Δx?-sin2 ? ?

k2=

Δx

cosΔx-1 = Δx .

π 由于是在 x=0 和 x=2的附近的平均变化率,可知 Δx 较 小,但 Δx 既可为正,又可为负. 当 Δx>0 时,k1>0,k2<0,此时有 k1>k2;

sinΔx cosΔx-1 当 Δx<0 时,k1-k2= - Δx Δx sinΔx-cosΔx+1 = = Δx
? π? 2sin?Δx-4?+1 ? ?

Δx

.

π π ∵Δx<0,∴Δx-4<-4,
? π? ∴sin?Δx-4?<- ? ?

2 . 2

从而有

? π? 2sin?Δx-4?<-1, ? ?



? π? 2sin?Δx-4?+1<0, ? ?

又∵Δx<0,∴k1-k2>0,即 k1>k2.

? [点评] 本题的关系是将平均变化率的式 子进行变形,以便于判断k1与k2的大小.

已知函数 y=f(x)=3x2+2, 求函数在 x0=1,2,3 附近 Δx 1 取 时的平均变化率 k1,k2,k3,并比较其大小. 2 [解析] 函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0, 0+Δx]上的 x

平均变化率为
2 f(x0+Δx)-f(x0) [3(x0+Δx)2+2]-(3x0+2) = Δx (x0+Δx)-x0

6x0·Δx+3(Δx)2 = =6x0+3Δx. Δx 函数在[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 6x0+3Δx.

1 当 x0=1,Δx=2时,函数在[1,1.5]上的平均变化率为 k1 =6×1+3×0.5=7.5; 1 当 x0=2,Δx=2时,函数在[2,2.5]上的平均变化率 k2 =6×2+3×0.5=13.5; 1 当 x0=3,Δx=2时,函数在[3,3.5]上的平均变化率为 k3 =6×3+3×0.5=19.5, 所以 k1<k2<k3.

? 一、选择题 ? 1.质点运动规律为s(t)=t2+3,则从3到3 +Δt的平均速度为 9 ( ) A.6+Δt B.6+Δt+
Δt C.3+Δt D.9+Δt

? [答案] A

[解析]

s(3+Δt)-s(3) 平均速度 v = 3+Δt-3

(3+Δt)2+3-32-3 6Δt+(Δt)2 = = =6+Δt. Δt Δt 故应选 A.

? 2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上两点A, B,且xA=1,xB=1.1,则平均变化率为 ( ) ? A.4 B.4x ? C.4.2 D.4.02 ? [答案] C
[解析] f(1.1)-f(1) (2×1.12-4)-(2×12-4) = = 0.1 1.1-1

0.42 0.1 =4.2,故应选 C.

? 3.已知函数f(x),当自变量由x0 变化到x1 时函数值的增量与相应的自变量的增量比 是函数 ( ) ? A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 ? B.在x0处的变化率 ? C.在x1处的变化率 ? D.以上结论都不对 ? [答案] A ? [解析] 符合平均变化率的概念,故应选 A.

? 二、填空题 ? 4.已知函数f(x)=x3 -2,则f(x)从2到2.1的 平均变化率为________. f(2.1)-f(2) ? [答案] 析 12.61平 均 变 化 率 为 [ 解 ] =
2.1-2 (2.13-2)-(23-2) 2.1-2 9.261-8 = 0.1 =12.61.

1 2 5.已知函数 y= (x +1),则函数从 x0 到 x0+Δx 的 2 平均变化率是________.

1 [答案] x0+2Δx 1 1 2 2 [(x +Δx) +1]- (x0+1) 2 Δy 2 0 [解析] = Δx Δx
1 =x0+ Δx. 2

? 三、解答题 ? 6.已知函数f(x)=x2 ,分别计算函数f(x)在 区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平 均变化率. ? [解析] 函数f(x)在[1,3]上的平均变化率为:
f(3)-f(1) 32-12 = 2 =4. 3-1 函数 f(x)在[1,2]上的平均变化率为: f(2)-f(1) 22-12 = 1 =3. 2-1

函数 f(x)在[1,1.1]上的平均变化率为: f(1.1)-f(1) 1.12-12 = =2.1. 0.1 1.1-1 函数 f(x)在[1,1.001]上的平均变化率为: f(1.001)-f(1) 1.0012-12 = =2.001. 0.001 1.001-1


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