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江西省红色七校2016届高三第二次联考文数


2016 届江西省红色七校联考 文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | y ? 2x ? x 2 }, 集合 B ? { y | y

? 2x , x ? R} , 则 (C R A ) ?B? ( A. {x | x ? 2} 2.已知复数 z ? A. i B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} D. {x | x ? 0} )

1? i (i 为虚数单位 ) ,则 z 的共轭复数是 1? i
B. 1 ? i C. ? i D. 1 ? i )

3.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, 3a1 , A.27 B.3

1 a ?a a3 ,2a2 成等差数列,则 11 13 =( 2 a8 ? a10
D.1 或 27 )

C.-1 或 3

? ? ? ? 4.已知平面向量 a ? (0,?1) , b ? (2,2) , ?a ? b ? 2 ,则 ? 的值为(
A. B. C.2 D.1

5.已知 x, y 的取值如下表:若 y 与 x 线性相关,且 y ? 0.5 x ? a ,则 a =(
x y 0 2.2 1 3.3 3 4.8 4 5.7



A.2.2

B.2.6

C.2.8

D.3.0

x x 6.已知命题 p : ?x ? R, 使 2 ? 3 ;命题 q : ?x ? (0,

?
2

), tan x ? sin x ,下列是真命题的是 (
D. p ? (?q)

)

A. (?p) ? q

B. (?p) ? (?q)

C. p ? (?q) ) C.

7.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是( A. 2016 B. 2

1 2

D. ? 1 )

8.如图, 一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个 四棱锥的体积为( A 1 B 2 C 3 D 4

13

1

1

正(主)视 图

侧(左)视 图

2

俯视图

第 7 题图 9.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ?

第 8 题图

?
2

) 的最小正周期为 ? , 若将其图像向右平移
)

? 个单 3

位后得到的图像关于原点对称,则函数 f ( x) 的图像( A.关于直线 x ? C.关于点 (

?
12

对称 B.关于直线 x ? D.关于点 (

?
12

,0) 对称

5? ,0) 对称 12

5? 对称 12

?y ? x ? 10.已知变量 x, y 满足以下条件 ? x ? y ? 1, ( x, y ? R ) , z ? ax ? y ,若 的最大值为 3, ? y ? ?1 ?
则实数 a 的值为( A.2 或 5 ) C.2 D.5

B.-4 或 2

11.定义在 R 上的函数 f ( x)满足 f ( x) ? f ?( x) ? 2, ef (1) ? 2e ? 4, 则不等式 f ( x) ? (其中 e 为自然对数的底数)的解集为( A. (1,??) B. (??,0) ? (1,??) ) C. (??,0) ? (0,??) D. (??,1)

4 ?2 ex

12.已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个不 B 同的 a2 b2


点 P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是(

A. ? , ?

?1 2? ?3 3?

1? B. ? ,

?1 ? ?2 ?

1? C. ? ,

?2 ? ?3 ?

1? D. ? , ? ? ? ,

?1 1? ?3 2?

?1 ? ?2 ?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13.点 P( x, y)是圆x 2 ? ( y ?1) 2 ? 1 内部的点,则 y ? x 的概率___________. 14.设数列 ?an ? 满足 a2 ? a4 ? 10 ,点 Pn (n, a n ) 对任意的 n ? N ? ,都有向量 P nP n?1 ? (1,2) ,则数 列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? .

?????? ?

15.在半径为 10 的球面上有 A, B, C 三点, 如果 AB ? 8 3 ,?ACB ? 600 , 则球心 O 到平面 ABC 的距离为___________. 16.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c 有两个极值点 x1 , x2 ,若 f ( x1 ) ? x1 ? x2 , 则关于 x 的方程 ( f ( x)) ?
2

2 b af ( x) ? ? 0 的不同实根个数为 3 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,函数 f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在

x?

11? 处取得最小值. 12

(1)求角 A 的大小. (2)若 a ? 7 且 sin B ? sin C ? 13 3 ,求 ?ABC 的面积.
14

18.某校在一次英语竞赛初赛考试成绩中随机抽取了 40 名学生的笔试成绩,按成绩共分成五组:第 1

组 [75,80) ,第 2 组 [80,85) ,第 3 组 [85,90) 第 4 组 [90,95) 第 5 组 [95,100) ,得到频率分布直方图如 图所示,同时规定成绩在 85 分以上(含 85 分)的学生为“优秀”,成绩小于 85 分的学生为“良好”. 且只有成绩为“优秀”的学生才能获得复试资格。 (1)求出第 4 组的频率;根据样本频率分布直方图估计样本的中位数; (2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那 么至少有一人是“优秀”的概率是多少?

19.如图在直角梯形 ABCD 中, AB // CD, AB ? AD , ,且 2 AB ? 2 AD ? CD ? 4 ,现以 AD 为 一边向梯形外作矩形 ADEF , 然后沿边 AD 将矩形 ADEF 翻折, 使平面 ADEF 与平面 ABCD 垂 直。

(1)求证: BC ? 平面BDE ; (2)若点 D 到平面 BEC 的距离为 2 ,求三棱锥 F ? BDE 的体积。

1 x2 y2 20.如图,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到椭圆上点的最远距离为 3, 2 a b

点 P(2,1) 为椭圆外一点,不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分 (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)求 ?ABP面积最大值时的直线 l 的方程。

21.已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (1)当 0 ? a ?

1? a ? 1(a ? R) x

1 时,讨论 f ( x) 的单调性 2 1 2 (2)设 g ( x) ? x ? 2bx ? 4 .当 a ? 时,若对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 4

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 取值范围.

四、选做题:请在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑. 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?? 切 ? ? 于点 ? ,直线 AO 交 ? ? 于 D , ? 两点, ?C ? D? ,垂足为 C . (1)证明: ?C?D ? ?D?? ; (2)若 ?D ? 3DC , ?C ? 2 ,求 ? ? 的直径.

23. ( 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在平面直角坐标系 x?y 中, 直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) . 在以原点 ? 为极点, 2 ?y ? 5 ? t ? ? 2

x 轴正半轴为极轴的极坐标中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? .
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 ? 坐标为 3, 5 ,圆 C 与直线 l 交于 ? , ? 两点,求 ?? ? ?? 的值.

?

?

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 x 2 ? x ? 4 . (1)求实数 a , b 的值; (2)求 at ? 12 ? bt 的最大值.

?

?

2016 届江西省红色六校联考

文科数学参考答案
一、选择题

A A A C

D D B B

B B A D

二、填空题

13.

3 1 ? , 4 2?

14.

n2

15. 6

16. 3

17.解:f(x) ? 2cosx(sinx cosA - cosxsinA)+ sinA = 2sinxcosxc osA - 2cos2 xsinA+ sinA = sin2xcosA- cos2xsinA= sin(2x- A)
? f ( x)在x ?

11? 3? ? 11? ? A ? 2 k? ? , 其中k ? Z , 即A ? ? 2k? , k ? Z 处取得最小值 ? 2 ? 12 2 3 12

? A? (0,?),? A ?

? -----------------6 分
3

(2)由正弦定理 a ? b ? c 得 sin B ? sin C ? b ? c sin A ???.8 分 sin A sin B sin C a 即 13 3 ? b ? c ? 3 ,? b ? c ? 13 由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A得
14 7 2

a ? (b ? c) ? 2bc ? 2bc cos A,即49=169-3bc, ?bc=40
2 2

1 1 3 ? S? ABC ? bc sin A ? ? 40 ? ? 10 3 --------------------------12 分 2 2 2

18. (1)因为其它组的频率为 (0.01? 0.07 ? 0.06 ? 0.02) ? 5 ? 0.8 , 所以第 4 组的频率为 0.2,??..3 分 设样本的中位数为 x ,则 5 ? 0.01 ? 5 ? 0.07 ? ( x ? 85) ? 0.06 ? 0.5 , 解得 x ?

260 260 ,所以样本中位数的估计值为 。?? 6 分 3 3

(2)依题意良好的人数为 40 ? 0.4 ? 16 人,优秀的人数为 40 ? 0.6 ? 24 人 优秀与良好的人数比为 3:2,所以采用分层抽样的方法抽取的 5 人中有优秀 3 人,良 好2人 ??????8 分

记从这 5 人中选 2 人至少有 1 人是优秀为事件 M 将考试成绩优秀的三名学生记为 A,B,C, 考试成绩良好的两名学生记为 a,b 从这 5 人中任选 2 人的所有基本事件包括:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab

共 10 个基本事件 事件 M 含的情况是:AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,共 9 个 所以 P ( M ) ?

??10 分

9 10

-------------12 分

19、 (1) 在正方形 ADEF 中, ED⊥AD. 又因为平面 ADEF⊥平面 ABCD, 且平面 ADEF∩平面 ABCD=AD, 所 以 ED⊥平面 ABCD. 所以 ED⊥BC.在直角梯形 ABCD 中,AB=AD=2,CD=4,可得 BD ? 2 2 . 在 △BCD 中, BC ? BD ? 2 2 , CD ? 4 以 BC⊥平面 BDE. (6 分 (2)? BC ? 平面BDE,? BC ? BE,? BE ? 所以 BD ? BC ? CD . 所以 BC⊥BD.DE∩BD=D 所
2 2 2

DE 2 ? BD2

1 1 1 1 1 设DE ? x,VD ? BEC ? S ?BEC ? 2 ? ? ? 2 2 ? 8 ? x 2 2 ? VE ? BDC ,VE ? BDC ? ? ? 2 2 ? 2 2 x 3 3 2 3 2 8 1 1 8 4 6 x ? ,VF ? BED ? VB ? FED ? ? ? 2 ? ? 2 ? - - - - - - - - - - - - - 12分 3 2 9 3 3
c 1 ? ; a 2

20.解: (Ⅰ)由题: e ?

左焦点(-c,0)到椭圆上点的最远距离为 3,即使 a+c=3,可解得: a ? 2, c ? 1 ∴所求椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1 。-------------------4 分 4 3

(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y=

1 x, 2

设 A(xA,yA) ,B(xB,yB) ,R(x0,y0) 其中 y0=

1 x0 ∵A,B 在椭圆上, 2

? xA2 y A2 ? ?1 ? y A ? yB 3 x A ? xB 3 ? 4 3 ∴? ------------------6 分 ? k ? ? ? ? ? AB 2 2 x ? x 4 y ? y 2 x y A B A B ? B ? B ?1 ? 3 ? 4
设直线 AB 的方程为 l:y= ?

3 x ? m (m≠0) , 2

? x2 y2 ? ?1 ? ?4 3 ? 3x 2 ? 3m x ? m 2 ? 3 ? 0 代入椭圆: ? ?y ? ? 3 x ? m ? 2 ?

由? ? 0可得 - 2 3 ? m ? 2 3且m ? 0
由上又有: x A ? xB ? m, x A xB ?

m2 ? 3 -----------------8 分 3
2

∴|AB|= 1 ? k AB x A ? xB ? 1 ? k AB

2

( x A ? xB ) 2 ? 4 x A xB ? 1 ? k AB

2

4?

m2 3

∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为: d ?

? 3 ? m ?1 1 ? k AB
2

?

m?4 1 ? k AB
2

∴S△ABP=

1 1 m2 d|AB|= |m-4| 4 ? ,------------------10 分 2 2 3

当 m ? 1 ? 7时,S?ABP取最大值。 此时直线 l 的方程 y=- ?

3 x ? 1 ? 7 -------------------12 分 2

21.解:(I)因为 f ( x) ? ln x ? ax ? 所以 f ?( x) ?

1? a ?1 x

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a ?a? 2 ? ? , , x ? (0,??) x x x2
1 a

, ? 1 -------------------2 分 令 f ' ( x) ? 0, 可得两根分别为 1
1. 1 时, ? 1 ? 1 ? 0 , x ? (0,1) 时,此时 f ??x ? ? 0 ,函数 f ( x) 2 a 1 单调递减; x ? (1, ? 1) 时,此时 f ??x ? ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; a 1 x ? ( ? 1,?? ) 时,此时 f ? ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减:-------------------5 分 a 1 1 1 (II)因为 a ? ? (0, ) ,由(I)知,, ? 1 ? 3 ? (0,2) ,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0, 函数 f ( x) 单调 4 2 a
当0 ? a ? 递减;当 x ? ?1,2? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增,

所以 f ( x) 在(0,2)上的最小值为 f (1) ? ?

1 2

由于“对任意 x1 ? (0,2) ,存在 x2 ? [1,2] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 等价于 g ?x ? 在[1,2]上的最小值不大 于 f ( x) 在(0,2)上的最小值 ?

1 ”(*) 2

-------------------8 分

又 g ( x) ? ( x ? b) 2 ? 4 ? b2 , x ?[1,2] ,所以 ①当 b ? 1 时,因为 [ g ( x)]min ? g (1) ? 5 ? 2b ? 0 此时与(*)矛盾 ②当 1 ? b ? 2 时,因为 [ g ( x)]min ? 4 ? b 2 ? 0 同样与(*)矛盾 ③当 b ? 2 时, 因为 [ g ( x)]min ? g (2) ? 8 ? 4b , 且当 b ? 2 时,8 ? 4b ? 0 ,解不等式 8 ? 4b ? ? 可得 b ?

1 , 2

17 -------------------12 分 8
是 ? ? 的直径, 又 ,所以 所以 ------5 分

22、(I)因为 则 又

切 ? ? 于点

, 得

(II)由(I)知 又

平分 ,从而

, 则 , 所以

, 所以 ,

由切割线定理得



, 故



即 ? ? 的直径为 3.-------------------10 分

2 ? ? x ? 3? 2 t 2 23.解:(1)由 ? ? ? y? 5? 2 t

得直线 l 的普通方程为 x ? y ? 3 ? 5 ? 0

又由 ? ? 2 5 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0



x2 ? y ? 5

?

?

2

?5

.

...............5 分

(2) 把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,

? 2 ? ? 2 ? t? ?? t? ? 5 ,即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 得 ?3? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?
由于 ? ? 3 2

2

2

?

?

2

? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1, t2 是上述方程的两实数根,

t1 ?t2 ?3 2 所以 t1t2 ? 4 又直线 l 过点 P

?

?3, 5 ? ,A、B 两点对应的参数分别为 t , t
1

2

所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2 .

...................10 分

24.解
由 x ? a ? b, 得 ? b ? a ? x ? b ? a. ?? b ? a ? 2, 则? 解得a ? ?3, b ? 1. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 ?b ? a ? 4, (2) ? 3t ? 12 ? t ? 3 4 ? t ? t ? [( 3 ) 2 ? 12 ][( 4 ? t ) 2 ? ( t ) 2 ] ? 2 4 ? t ? t ? 4, 当且仅当 4?t t ? ,即t ? 1时等号成立。 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 10分 1 3

故( ? 3t ? 12 ? t) max ? 4


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