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湖南省衡阳市2014届高三第二次联考试卷


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衡阳市 2014 届高三第二次联考试题 理科数学答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. 【答案】C 【解析】若复数为纯虚数,则有 a-1=0,a-2≠0,解得 a=1。所以 a ? 1 是 z 为纯虚数的充要条件, 选 C. 2. 【答案】C 【解析】

40 ? 20 ? 4 , 200

∴ 按笔试成绩择优录取 40 名参加面试,由此可预测参加面试的分数线为 80 分。 3. 【答案】C 4. 【答案】B 【解析】 输出结果为 8x+7, 输出的 8x+7 不小于 55,所以 x ? 6 , 所以不小于 55 的概率为 5. 【答案】A 【解析】集合 A 的好子集为:{2},{1,4},{2,3},{1,3,4} 6. 【答案】B 【 解 析 】 由 题 意 得 ,

9?6 3 ? 9 ?1 8

F1F2 ? 10, PF1 ? PF2 ? 2, PF1 ? PF2 ? 14 , 所 以

PF1 ? 8, PF2 ? 6, ?PF 1F 2 的面积等于 24。
7. 【答案】B 【 解 析 】

A ?

c

,C AC ? BA ? ? AC ? BAo cos(? ? A) ?B ?4 ? AC? ? BA cos s A?4
2

C

?1

∵ BC cos C ? BA cos A ? AC ∴ AC ? 16 ? AC ? 4 8. 【答案】C

?x ? y ? 0 ? 【解析】不等式 ? x ? y ? 0 ? a为常数 ? 表示的平面区域的面积为 4 ? ?x ? a
所以 a=2

Z?
如图

x? y?2 y ?1 ? 1? x?3 x ? (?3)
x? y?2 2 取得最小值 。 x?3 5

由图可知,当 x=2,y=-2 时,

9. 【答案】C 【解析】 5 名志愿者到 3 个不同的地方参加义务植树, 则有, 1,1,3 或 1,2,2 两种分法。 若为 1,1,3

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3 3 时,有 C5 A3 ? 60 .若为 1,2,2 时,有

1 1 2 2 3 C5C4 C2 A3 ? 90 .所以共有 150 种。 2

10. 【答案】B 【解析】[f(a1)-2]+[f(a2)-2] + …+ [f(a7)-2] =0

1 1 f ( x) ? 2 ? 8( x ? ) ? 2 sin ? ( x ? ) 4 4
考查函数 g (t ) ? 8t ? 2 sin ? t ∴ g (a1 ? ) ? g (a2 ? ) ?

g '(t ) ? 8 ? 2? cos ? t ? 0 ,g (?t ) ? ? g (t )

1 4

1 4

1 ? g (a7 ? ) ? 0 4 1 1 ? a2 ? ? 4 4 ? a7 ? 1 4

∵数列{an}是公差不为 0 的等差数列 ∴不妨设 a1 ? a2 ?

? a7 则 a1 ?
1 4

假设 (a1 ? ) ? (a7 ? ) ? 0 ,

1 4

1 1 1 1 1 1 (a1 ? ) ? ?(a7 ? ) ? g (a1 ? ) ? ? g ( a7 ? ) ? g ( a1 ? ) ? g ( a7 ? ) ? 0 4 4 4 4 4 4 1 1 1 所以 g (a1 ? ) ? g (a2 ? ) ? ? g (a7 ? ) ? 0 。 4 4 4 1 1 1 1 1 假设 (a1 ? ) ? (a7 ? ) ? 0 , 同理可得:g (a1 ? ) ? g (a2 ? ) ? ? g (a7 ? ) ? 0 4 4 4 4 4 1 1 1 1 综上: (a1 ? ) ? (a7 ? ) ? 0 ? a1 ? a7 ? ? a4 ? 。 4 4 2 4
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上。 (一)选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分) 11. 【答案】 3 2 ? 1 【解析】直线的直角坐标方程为 x ? y ? 6 ? 0 ,曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 ,为圆; d 的最
2 2

大值为圆心到直线的距离加半径,即为 d max ? 12. 【答案】4 【解析】

0?0?6 2

?1 ? 3 2 ?1

1 1 m 1 1 ? ? ?m?( ? )(a ? c) a ?b b?c a ?c a ?b b ?c 1 1 1 1 ( ? )(a ? c) ? ( ? )[(a ? b) ? (b ? c)] ? 4 a ?b b?c a ?b b ?c m? 4。

13. 【答案】 3 3 【解析】连接 BC ,设 ?PCB ? ? ,则 ?CAP ? ? ,三角形 CAP 中,

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? ? (? ? 90?) ? 30? ? 180? , 所 以 ? ? 30? , 所 以 BP ? CB ?
CP 2 ? BP AP ? 3 ? 9 ? 27 ,故 CP ? 3 3
(二)必做题(12-16 题) 14. 【答案】 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? 15. 【答案】 [? , ??) , S3 ? S1 ? S2 【解析】⑴ ? ( x) ? m x3 ? 1 x 2 ? x ? e x ? ? (0) ? 1 3 2 ? '( x) ? mx2 ? x ? 1 ? e x ,∴ ? '(0) ? 0 当 [? '( x)]' ? 0 时, ? ( x) ? 0, ? '( x) ? 0,[? '( x)]' ? 0 。
[? '( x)]' ? 2mx ? 1 ? e x ∴ [? '(0)]' ? 0

1 AB ? 3 , 而 2

1 2

记 ? ( x) ? 2mx ? 1 ? e x , x ? (0, ??)

? '( x) ? 2m ? e x , ? (0) ? 0
∴当 ? '( x) ? 2 m ? e x ? 0 ? 2 m ? ?e x ? m ? ? 1 时 2 [? '( x)]' ? 0 在 (0, ??) 上成立。 所以 m ? ? 1 2 b g (a) ? g (b) ⑵ S1 ? ? g ( x)dx、 S2 ? (b - a)、S3 ? g (a)(b ? a) a 2 x ?x g ( x1 ) ? g ( x2 ) g ''( x) ? 0 ? g ( 1 2 ) ? 2 2 如图所示 S1、S2、S3 分别为曲边梯形 ABED、梯形 ABED、矩形 ABCD 的面积。 所以 S3 ? S1 ? S2

( ,) 16. 【答案】⑴ ,⑵ xn ? 2n
【解析】 :⑴∵数列 {1, x, y, 2} 是调和数列,∴数列 {1, ,

6 3 5 2

1 1 1 , } 是等差数列 x y 2

1 ?2 6 ? x? ? x ? 1? y ? ? ? 5 ∴? ?? ?2 ? 1 ? 1 ?y ? 3 ? ? 2 ?y x 2 ?
n?1 n?2 ⑵ 因 为 xn n ? xn? 1 ? xn?2

a

a

a

, 且 数 列 {xn } 中 各 项 都 是 正 数 , 所 以

an lg xn ? an?1 lg xn?1 ? an?2 lg xn?2 .
设 an lg xn ? an?1 lg xn?1 ? an?2 lg xn?2 ? p , ①

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因为数列 {an } 是调和数列, 故 an ? 0 ,

2 1 1 2p p p . 所以, . ? ? ? ? an ?1 an an ? 2 an ?1 an an ? 2



由①得

p p p ? lg xn , ? lg xn?1 , ? lg xn? 2 ,代入②式得, an an?1 an? 2

2 所以 2lg xn?1 ? lg xn ? lg xn?2 ,即 lg xn ?1 ? lg( xn xn?2 ) . 2 故 xn ?1 ? xn xn?2 ,所以数列 {xn } 是等比数列.

设 {xn } 的公比为 q ,则 x1 ? 2, x1 ? x2 ? x3 ? 14,即 q2 ? q ? 6 ? 0 .由于 xn ? 0 ,故

q ? 2.
于是 xn ? 2n . 三、解答题: (前三题各 12 分,后三道题各 13 分,满分 75 分。解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤)

1 1 17. 【解析】 : (Ⅰ ) a ? 6, b ? 3, x ? , y ? , 5 10
(Ⅱ )由题意,该市 6 月份空气质量为优或良的概率为 P=

………………………….3 分

7 1 2 ? ? ,………..4 分 15 5 3

1 0 ?1? P( X ? 0) ? C4 ?? ? ? , ? 3 ? 81 8 ? 2? ?1? P( X ? 1) ? C ? ? ? ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 81
1 4 3 3 4 3

4

8 ? 2? ?1? 2 P( X ? 2) ? C4 ?? ? ?? ? ? , 3 3 27 ? ? ? ?
4

2

2

16 32 ?2? 1 4 ? 2? P( X ? 3) ? C ? ? ? ? ? , P( X ? 4) ? C4 ? ? ? ? .………..8 分 81 ? 3? 3 ? 3 ? 81
? X 的分布列为:
X P 0 1 2 3 4

1 81

8 81

8 27

32 81

16 81

………………………….10 分

2 2 8 ? X~B(4, ), ? EX ? 4 ? ? . 3 3 3
18.【解析】(1)角

………………………….12 分

的终边经过点 P( 3, ?1) , tan ? ? ?

3 , 3

…………………………. 2 分

,?? ? ?

?
6

.

………………………….3 分

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由 得 ,即

时, ,

的最小值为



………………………….5 分 ………………………….6 分

∴ f ( x) ? 2sin(3 x ?

?
6

)

(2) 方法 1:当 x ? [0,

?
3

] 时, ?1 ? f ( x) ? 2 ,

………………………….8 分

①当 m>0 时, mf ( x) ? 4m ? f ( x) ? m ?

f ( x) 4 ? 1? f ( x) ? 4 f ( x) ? 4

由 ?1 ? f ( x) ? 2 , 得 1 ?

4 1 1 的最大值为 ,∴ m ? 。 f ( x) ? 4 3 3
f ( x) 4 ? 1? f ( x) ? 4 f ( x) ? 4

②当 m<0 时, mf ( x) ? 4m ? f ( x) ? m ?

由 ?1 ? f ( x) ? 2 , 得 1 ?

4 的最小值为-1,∴ m ? ?1 。………………………….11 分 f ( x) ? 4
1 3
………………………….12 分 ………………………….8 分

所以,实数

的取值范围是 (??, ?1] [ , ??) 。

方法 2:当 x ? [0,

?
3

] 时, ?1 ? f ( x) ? 2 ,

mf ( x) ? 4 m ? f ( x) ? (m ?1) f ( x) ? 4 m ? 0
令 t ? f ( x) ,则 (m ?1) f ( x) ? 4 m ? 0 ? (m ?1)t ? 4 m ? 0 ∴?

??(m ? 1) ? 4 m ? 0 1 ? ? m ? ?1或m ? ………………………….11 分 3 ? ?2(m ? 1) ? 4 m ? 0
的取值范围是 (??, ?1] [ , ??) 。

所以,实数

1 3

………………………….12 分

注:用别的方法求得 (??, ?1] [ , ??) ,只要正确就给 6 分。 19. 【解析】 : (1)∵侧面 A1 ACC1 ? 底面 ABC ,作 A1O ? AC 于点 O ,∴ A1O ? 平面 ABC . 又 ?ABC ? ?A1 AC ? 60? , 且 各 棱 长 都 相 等 , ∴ AO ? 1 , OA1 ? OB ? 3 ,

1 3

BO ? AC . ???????????????2 故以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标

z

分 系

O ? xyz ,则

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O

y

x

A(0,?1,0) , B( 3,0,0) , A1 (0,0, 3) , C (0,1,0) ,
∴ AA , 3) , AB1 ? ( 3,2, 3) , 1 ? (0,1

AC ? (0,2,0) .??4 分
设平面 AB1C 的法向量为 n ? ( x, y,1) , 则?

?

? ?n ? AB1 ? 3x ? 2 y ? 3 ? 0 ? ?n ? AC ? 2 y ? 0
?

解得 n ? (?1,0,1) .由 cos ? AA1 , n ??

AA1 ? n AA1 ? n

?

3 6. ? 4 2 2

而侧棱 AA 1C 所成角,即是向量 AA 1C 的法向量所成锐角的余角, 1 与平面 AB 1 与平面 AB ∴侧棱 AA 1C 所成角的正弦值的大小为 1 与平面 AB

6 4

???????6 分

(2)∵ BD ? BA ? BC ,而 BA ? ? 3, ?1, 0 , BC ? ? 3,1, 0 . 又∵ B( 3,0,0) ,∴点 D 的坐标为 D(? 3,0,0) .

?

?

?

?

∴ BD ? (?2 3,0,0)

假设存在点 P 符合题意,则点 P 的坐标可设为 P(0, y, z ) ,∴ DP ? ( 3, y, z) . ∵ DP // 平面AB1C , n ? (?1,0,1) 为平面 AB1C 的法向量, ∴由 AP ? ? AA 1 ,得 ?

?

?y ?1 ? ? ? 3?? 3

,? y ? 0 .

?????10 分

又 DP ? 平面 AB1C ,故存在点 P ,使 DP // 平面AB1C ,其坐标为 (0,0, 3 ) ,即恰好为 A1 点. ?????????12 分

0? x?3 ? ? 3? x ?6 ? ? 20. 【解析】⑴由题意知 ? ??2 分 x 6 1 或? x 1 2 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 6 x?3 3 ? 6 3 解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时. ??3 分 ⑵由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 ??4 分 当 4? x?6 时 , 第 一 次 投 放 1 单 位 固 体 碱 还 有 残 留 , 故 ? 11 x 6 6 ? x ? ? ( x ? 4) = ? ? ; ??5 g ? x ? = ?1 ? ? + ?2 ? ? ? 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ? 1 ? 6 ? ?
分 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故
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当 6 ? x ? 7 时, g ( x) ? 2 ? 分 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) ? 1 ?

( x ? 4) 6 8 x 6 = ? ? ; ? 6 ( x ? 4) ? 3 3 6 x ? 1
x?4 5 x ? ? ; 6 3 6

??6

??7 分

6 ?11 x ? 3 ? 3 ? x ?1 4 ? x ? 6 ? 6 ?8 x 6? x?7 所以 g ( x) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 ? ?5 x 7 ? x ? 10 ?3 ? 6 ? 4? x?6 当

??8 分





6 10 x ? 1 6 10 11 x 6 10 x ? 1 ? ? ?2 2 ; ?( ? ) ? ?2 ? = = 3 3 x ?1 3 3 x ?1 3 3 x ?1 3 x ?1 6 ? 当且仅当 时取“=”,即 x ? 1 ? 3 2 ?[4,6] (函数值与自变量值各 1 分)??10 3 x ?1
g ( x) ?
分 当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,

6 1 ( x ? 5)(7 ? x) ? ? ? 0 ,所以 g ( x) 为增函数; 2 ( x ? 1) 6 6( x ? 1) 2 1 当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 g ( x)max = g (7) ? , ??11 分 2 10 1 17 ? 12 2 289 ? 288 又 ( ? 2 2) ? ? 水中碱浓度 = ? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2 时, 3 2 6 6 10 ?2 2 . 的最大值为 ?? 3
当 6 ? x ? 7 时, g ?( x) ? 12 分 答:第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第一次投放

1 ? 3 2 小时后, 水中碱浓度的达到最大值为

10 ?2 2 . 3

??13 分

21【解析】 ⑴由 C2 : x2 ? 4 y 知 F1 (0,1), c ? 1
2 设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,因 M 在抛物线 C2 上,故 x0 ? 4 y0 ……①

又 MF1 ?

5 5 ,则 y0 ? 1 ? ……② 3 3

由①②得 x0 ? ?

2 6 2 , y0 ? 。 3 3

而点 M 在椭圆上,∴ 2a ? MF 1 ? MF 2 ?4
2 2 2 ∴ a ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 3 .故椭圆 C1 的方程为

y 2 x2 ? ? 1 。 ?????????5 分 4 3

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⑵因为直线 l:y=k(x+t)与圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 1 相切, 所以

kt ? 1 1? k 2

?1? k ?

2t (t ? 0) 。 ?????????6 分 1? t2

把 y=k(x+t)代入

x2 y 2 ? ? 1 并整理得: 3 4

(4 ? 3k 2 ) x2 ? 6k 2tx ? 3k 2t 2 ?12 ? 0 。 ?????????7 分
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 则有

x1 ? x2 ? ?

8kt 6k 2 t , y1 ? y2 ? kx1 ? kt ? kx2 ? kt ? 。 2 4 ? 3k 2 4 ? 3k

因为 ?OP ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,

?6k 2t 8kt 所以 P ? ( , ) 。 ?????????10 分 2 (4 ? 3k )? (4 ? 3k 2 )?
又因为点 P 在椭圆上, 所以

4k 2t 2 4 12k 4t 2 16k 2t 2 2 ? ? ? ? , (t ? 0) 。 , ? ? 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 4 ? 3k 2 (4 ? 3k ) ? (4 ? 3k ) ? ( 2 ) ? ( 2 ) ?1 t t
2

因为 t ? 0 所以 (

1 2 1 ) ? ( 2 ) ? 1 ? 1 ,所以 0 ? ? 2 ? 4 , ?????????12 分 2 t t

所以 ? 的取值范围为 (?2, 0)

(0, 2) 。 ?????????13 分

22. 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ,有 f ?( x) ? ? ln(x ? 1) , 当 ? 1 ? x ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 时, f ( x) 单调递增; 当 x ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 时, f ( x) 单调递减; 所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( ?1, 0] ,单调递减区间为 [0, ??) . 3分 (Ⅱ)设 g ( x ) ? 4分

??1 分

??

ln(1 ? x ) x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ( x ? 0) ,则 g ?( x) ? , x x 2 (1 ? x)

??

由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln(x ? 1) 在 (0,??) 单调递减,且 f (0) ? 0 ,
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∴ g ?( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立,故 g ( x) 在 (0,??) 单调递减, 又 n ? m ? 0 ,∴ g (n) ? g (m) ,得

ln(1 ? n) ln(1 ? m) ? , n m
??????

1 ? n) ? n ln(1 ? m) ,即:(1 ? n) m ? (1 ? m) n . ∴ m ln(
7分 (Ⅲ)由 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 1 ,及柯西不等式:
? x12 x2 x2 ? 2 ? 3 ? ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 ? xn 2 ? ? (1 ? n) 1 ? xn ?

? x2 x32 x2 2 1 ?? ? 1 ? x1 ? ? 1 ? x2 ? ? 1 ? x3 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 ?

xn 2 ? ? 1 ? xn 1 ? xn

? ? ? ?

2

? ( x1 ? x2 ? x3 ?

? xn )2 ? 1 ,
? xn 2 ? 1 , ?? 1 ? xn ? 1 ? n
1 1

? x2 x2 x2 所以 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
? x2 x2 x2 所以 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3

x 2 ?n ? 1 ?n ? n ? ?? ? . 1 ? xn ? ?1? n ?
2013

??????

10 分 又 n ? 2013 ,由(Ⅱ )可知 ?1 ? n? 即 ?1 ? n ? ? ?1 ? 2013?
1 n 1 2013

? ?1 ? 2013? ,
n
1 1

? 1 ? n ? 1 ? 2013 ,即 ? ? ?? ? . ? 1 ? n ? ? 2014 ?
x 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ? 2013 ? n ? ?? ? ?? ? . 1 ? xn ? ?1? n ? ? 2014 ? x 2 ? n ? 1 ? 2013 ? n ? ?? . ? 1 ? xn ? ? 2014 ?
1 1 1 1 1

? x2 x2 x2 则? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 ? x2 x2 x2 故? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3

??????

13 分

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