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保定蠡县第二中学2014-2015学年高二上学期中考试数学试题(文科)含答案


2014-2015 学年第一学期蠡县第二中学期中考试 高二数学试题(文科) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中有 且只有一项是符合题目要求的.) 1.椭圆 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 的焦距是 A.2 B. 2( 3 ? 2 ) C. 2 5 ( )

D. 2( 3 ? 2 ) ( )

2. 下列说法中正确的是 A. 一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B. “ a ? b ”与“ a ? c ? b ? c ”不等价
2 2

C. “ a ? b ? 0 ,则 a , b 全为 0 ” 的逆否命题是“若 a , b 全不为 0 , 则 a ? b ? 0 ”
2 2

D. 一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 3.把十进制数 15 化为二进制数为 A.1 011(2) B.1 001(2) C.1 111(2) D.1 101(2)

(

)

4.红、黑、蓝、白 4 张牌随机地分发给甲、乙、丙、丁 4 个人,每人分得 1 张,事件“甲 分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A.对立事件 C.互斥事件但不是对立事件 B.不可能事件 D.以上答案都不对 ( )

5、过椭圆 4 x 2 ? 2 y 2 ? 1的一个焦点 F1 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,则 A 、 B 与椭圆的另一焦点 F2 构成 ?ABF2 ,那么 ?ABF2 的周长是 A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 1 6.给出下列四个命题: ①有理数是实数; ②有些平行四边形不是菱形; 2 ③?x∈R,x -2x>0; ④?x∈R,2x+1 为奇数; 以上命题的否 定为真命题的序号依次是 A.①④ B.①②④ 7.对“小康县”的经济评价标准: C.①②③④ D.③ ( )





①年人均收入不小于 7000 元;②年人均食品支出不大于收入的 35%. 某县有 40 万人,调查数据如下:
1

年人均收入/元 人数/万人

0 6

2000 3

4000 5

6000 5

8000 6

10 000 7

12 000 5

16 000 3

则该县 A.是小康县

(

)

B.达到标准①,未达到标准②,不是小康县 C.达到标准②,未达到标准①,不是小康县 D.两个标准都未达到,不是小康县 x2 y2 8. 设 P 是椭圆 + =1 上一点, P 到两焦点 F1、 F2 的距离之差为 2, 则△PF1F2 是( 16 12 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
2

)

9. 已知条件 p : x ? 1 ? 2 ,条件 q : 5x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 10. 如图 1 是某高三学生 进 入 高中 两年 来 的数 学考试成绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试 成 绩 依 次 记 为 A1 , A2,?,A14.如图 2 是 统 计 茎叶 图中 成 绩在 一 定 范围 内考 试 次数 的一个算法流程图.那 么 算 法流 程图 输 出的 结果是 A.7 B.8 C.9 ( B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件





)

D.10

7 11.在△ABC 中,AB=BC,cosB=- ,若以 A,B 为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆 18 的离心率 e= 3 A. 4 3 B. 7
2

( 3 C. 8 D. 3 18

)

12.为了调查某厂 2 000 名工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该 产品的数量,产品数量的分组区间为[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35],频率分 布直方图如图所示.工厂规定从生产低于 20 件产 品的工人中随机地选取 2 位工人进行培训,则这 2 位工人不在同一组的概率是 ( )

A.

1 10

7 B. 15 13 D. 15

8 C. 15

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分.) 13.已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β,命题 p:a 与 b 无公共点;命 题 q:α∥β,则 p 是 q 的__________条件. 1 1 14.已知函数 f(x)=log2x,x∈[2,2],若在区间[2,2]上随机取一点,则使得 f(x0)≥0 的 概率为________. 15.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件 A={抽到一等品},事件 B={抽到二等品}, 事件 C={抽到三等品},且已知 P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到 的是二等品或三等品”的概率为________.
2 16. 已知点 A 0, 3 和圆 O1 : x ? y ?

?

?

?

3

?

2

? 16 ,点 M 在圆 O1 上运动,点 P 在半


径 O1 M 上,且 PM ? PA ,则动点 P 的轨迹方程为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分) 已知椭圆的中心在原点,且经过点 P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程. 18.(本小题满分 12 分)已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根; q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根.若“p 或 q”为真, “p 且 q”为假,求 m 的取 值范围.
3

19. (本小题满分 12 分)某市为了考核甲、 乙两部门的工作情况, 随机询问了 50 位市民. 根 据这 50 位市民 甲部门 3 4 97 97665332110 98877766555554443332100 6655200 632220 4 5 6 7 8 9 10 (1)分别估 计该市的市民对甲、乙部门评分的中位数; (2)分别估计该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的可能性有多少? (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价. 乙部门 59 0448 122456677789 011234688 00113449 123345 011456 000

20.(本小题满分 12 分)将一枚骰子先后抛掷两次,观察向上的点数, (1)求点数之和是 5 的概率; (2)设 a、 b 分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数, 求等式 2a b=1 成立的概率.


21.(本小题满分 12 分)

2 设命题 p:f(x)= 在区间(1,+∞)上是减函数; x-m

命题 q:x1,x2 是方程 x2-ax-2=0 的两个实根,且不等式 m2+5m-3≥|x1-x2|对任 意的实数 a∈[-1,1]恒成立,若(? p)∧q 为真,试求实数 m 的取值范围.

x2 y2 2 22.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 , a b 2 过点 B(0,-2)及左焦点 F1 的直线交椭圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积.

4

文科数学参考答案 一、 1-5 CDCCA 二、必要不充分 6-10 DBBAD 11-12 CC

2 3

0.3

y2 ? x2 ? 1 4

x2 y2 三、 17、 [解析] 当焦点在 x 轴上时, 设其方程为 2+ 2=1(a>b>0). 由椭圆过点 P(3,0), a b 9 0 x2 知 2+ 2=1,又 a=3b,解得 b2=1,a2=9,故椭圆的方程为 +y2=1. a b 9 y2 x2 当焦点在 y 轴上时,设其方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 0 9 由椭圆过点 P(3,0),知 2+ 2=1,又 a=3b,联立解得 a2=81,b2=9,故椭圆的方 a b y2 x2 程为 + =1. 81 9 y2 x2 x2 故椭圆的标准方程为 + =1 或 +y2=1. 81 9 9

?? ? m 2 ? 4 ? 0 18.若方程 x2+mx+1=0 有两不等的负根,则 ? 解得 m>2 ?m ? 0
即 p:m>2 若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根 则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0 解得:1<m<3.即 q:1<m<3. 因“p 或 q”为真,所以 p、q 至少有一为真,又“p 且 q”为假,所以 p、q 至少有一为假, 因此,p、q 两命题应一真一假 ,即 p 为真,q 为假或 p 为假,q 为真.

?m ? 2 ?m ? 2 ∴? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3
解得: m≥3 或 1<m≤2. 19. [解析] (1)两组数字是有序排列的, 50 个数的中位数为第 25,26 两个数. 由给出的数 据可知道,市民对甲部门评分的中位数为(75+75)/2=75,对乙部门评分的中位数为(66 +68)/2=67,所以,市民对甲、乙两部门评分的中位数分别为 75,67. (2)甲部门评分数高于 90 共有 5 个、乙部门评分数高于 90 共有 8 个,因此,估计市 5 8 民对甲、乙部门的评分大于 90 的概率分别为 p 甲= =0.1,p 乙= =0.16,所以,市民 50 50
5

对甲、乙部门的评分大于 90 的可能性分别为 0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知,市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门评分的中位数.而且由 茎叶图可以大致看出对甲部门的评分标准差要小于对乙部门评分的标准差,说明该市民 对甲部门的评分较高、评价较为一致,对乙部门的评价较低,评价差异较大 20. [解析] (1)该试验所有可能的结果为: (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3), (4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6),基本事件总数为 36,记事件 A=“点数之和是 5” ,则事件 A,所含的基本事件为: 4 1 (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),基本事件总数为 4,所以 P(A)= = . 36 9 (2)要使等式 2a b=1 成立,则须 a-b=0,即先后抛掷两次向上的点数相等,记事件


B=“向上的点数相等” ,则事件 B 所含的基本事件为:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5), 6 1 (6,6),基本事件总数为 6,所以 P(B)= = . 36 6

21、[解析] 对命题 p:x-m≠0,又 x∈(1,+∞),故 m≤1, 对命题 q:|x1-x2|= ?x1+x2?2-4x1x2= a2+8对 a∈[-1,1]有 a2+8≤3, ∴m2+5m-3≥3?m≥1 或 m≤-6. 若(? p)∧q 为真,则 p 假 q 真,
?m>1, ? ∴? ?m≥1或m≤-6, ?

∴m>1.

c 2 22.解 (1)由题意知 b=1,e= = , a 2 又∵a2=b2+c2,∴a2=2. x2 2 ∴椭圆方程为 +y =1. 2 (2)∵F1(-1,0), ∴直线 BF1 的方程为 y=-2x-2, y=-2x-2 ? ?2 由?x ,得 9x2+16x+6=0. 2 ? 2 +y =1 ? ∵Δ=162-4×9×6=40>0, ∴直线与椭圆有两个公共点, 设为 C(x1,y1),D(x2,y2),

6



?x +x =- 9 ? 2 ?x x =3
1 2 1 2

16 ,

∴|CD|= 1+?-2?2|x1-x2| = 5· ?x1+x2?2-4x1x2 16?2 2 10 = 5· ? ?- 9 ? -4×3= 9 2, 4 5 又点 F2 到直线 BF1 的距离 d= , 5 1 4 故 S△CDF2= |CD|· d= 10. 2 9

7


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