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高二数学(3.2.2函数模型的应用实例(第一课时))


新人教A 新人教A版 数学必修1 第三章 函数的应用 数学必修1

函数模型的应用实例(一)

3.2.2 函数模型的应用实例 (第一课时) 第一课时)

复习引入

1、请同学们说说我们已经学过哪些函 、 数模型? 数模型? 一次函数、二次函数、指数函数、 一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数以及幂函数等等. 对数函数以及幂函数等等. 2、交流作业成果:请举出生活中函数 、交流作业成果: 模型的应用实例. 模型的应用实例

实例分析
【例1】一辆汽车在某段 路程中的行驶速率与时间 的关系如图所示: 的关系如图所示: (1)求图中阴影部分的面积, (1)求图中阴影部分的面积 求图中阴影部分的面积, 并说明所求面积的实际 含义; 含义;
90 80 75 65 50

v/km·h-1

10

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路 (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路 程前的读数为2010 km, 程前的读数为2010 km,试建立行驶这段路 程时汽车里程表读数s km与时间 与时间t 程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解 析式,并作出相应的图象. 析式,并作出相应的图象.

0

1

2

3

4

5 t/h

实例分析 【例1】 (1)求图中阴影部分 ) 的面积,并说明所求面 的面积 并说明所求面 积的实际含义; 积的实际含义

v/km·h-1 90 80 75 65 50

速 程 率 矩形面积=长 矩形面积 长×宽 解: 10 时 速率×时间=路程 速率×时间 路程 (1)阴影部分的面积为 阴影部分的面积为 间0



1

2

3

4

5 t/h

50×1+ 80×1+ 90×1+ 75×1+ 65×1 = 360

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行 阴影部分的面积表示汽车在这 小时内行 驶的路程为360km. 驶的路程为 .

实例分析 【例1】
(2)假设这辆汽车的里程表 (2)假设这辆汽车的里程表 在汽车行驶这段路程前 的读数为2010 km, 的读数为2010 km,试 建立行驶这段路程时汽 车里程表读数s km与时 车里程表读数s km与时 间t h的函数解析式,并 的函数解析式, 作出相应的图象. 作出相应的图象.
10

v/km·h-1 90 80 75 65 50

0

1

2

3

4

5 t/h

实例分析 【例1】 S=2010+vt
90 80 75 65 50

v/km·h-1

vt—图形的面积 当0 ≤t <1时 ,
S=2010+50t;

10

当1 ≤t <2时 , 即S=2060+80(t-1) ;

0

1

2

3

4

5 t/h

S=2010+50×1+80(t-1) ;

t-1

实例分析 【例1】
根据图形可得: 解:(2)根据图形可得: 根据图形可得
90 80 75 65 50

v/km·h-1

? ? 80(t ?1) + 2060 , 1≤t < 2, ? ? S = ? 90(t ? 2) + 2140 , 2 ≤t < 3, ? 75(t ? 3) + 2230 , 3 ≤t < 4, ? ? ? 65(t ? 4) + 2305 , 4 ≤t ≤ 5.

50 t + 2010 , 0 ≤t <1,

10

0

1

2

3

4

5 t/h

t-1

实例分析 化简可得: 解:(2)化简可得: 化简可得

? ?80 t +1980 , 1≤t < 2, ? ? 90 t +1960, 2 ≤t < 3, S =? ? 75 t + 2005, 3 ≤t < 4, ? ? 65 t + 2045, 4 ≤t ≤ 5. ?

50 t + 2010 , 0 ≤t <1,

s
2400 2300

2200

2100 2000

O

1

2

3

4

5

这个函数的图象如图所示. 这个函数的图象如图所示

实例分析
某桶装水经营部每天的房租、 【例2 】某桶装水经营部每天的房租、人员工资 等固定成本为200元,每桶水的进价是5元, 元 每桶水的进价是 元 等固定成本为 销售单价与日均销售量的关系如下表所示: 销售单价与日均销售量的关系如下表所示:
销售单价/ 销售单价/ 元 日均销售量/ 日均销售量/桶

6

7

8

9

10 320

11

12

480 440 400 360

280 240

请根据以上数据作出分析, 请根据以上数据作出分析,这个经营部 怎样定价才能获得最大利润? 怎样定价才能获得最大利润?

分析: 实例分析 【例2 】分析: 条件:固定成本为200元 进价是5 条件:固定成本为200元,进价是5元/桶,
销售单价/ 销售单价/ 元 日均销售量/ 日均销售量/桶

7 8 9 10 11 12 480 440 400 360 320 280 240

6

任务:怎样定价才能获得最大利润? 任务:怎样定价才能获得最大利润? 问题探究:①利润与哪些量有关?试用等式表 问题探究: 利润与哪些量有关? ①利润=日销售量×(售价-进价)-固定成本 示出来. 示出来. ②销售单价每增加1元,日销售量就减少40桶 ②分析表格数据,日均销售量随销售单价的 变化规律是什么? ③当销售单价为x元/桶时,销售量为多少? ③当销售单价为x元/桶时,日销售量为: 480-40(x-6)=720-40x(桶) ④ x >5且720-40x >0. ④销售单价x受哪些条件的制约?

实例分析
元时, 【例2】解:设每桶水定价为x元时, 日均销 设每桶水定价为 元时 售利润为y元 因为销售单价每增加1 售利润为 元. 因为销售单价每增加1元,日 均销售量就减少40 40桶 则日均销售量为: 均销售量就减少40桶,则日均销售量为: 480-40( - 720-40x( 480-40(x-6)=720-40 (桶). 由于x> 720-40x> 由于 >5且720-40 >0, 即5<x<18, 所以 < y=(720-40 )( -5)-200 )(x- = 720-40x)( =-40 40x 920x- =-40 2+920 -3800 (5<x<18) <18) 40(x =-40( - 11.5)2+1490. 所以, =11.5 =11.5时 有最大值 有最大值. 所以,当x=11.5时,y有最大值. 故将销售单价 定为11.5 11.5元 就可获得最大的利润. 定为11.5元,就可获得最大的利润.

实例分析
【例2】(解法二) 解法二) 设在进价基础上增加x元后 日均销售利润为y元 元后, 设在进价基础上增加 元后,日均销售利润为 元. 因为销售单价每增加1 日均销售量就减少40 因为销售单价每增加1元,日均销售量就减少40 日均销售量为: 桶,则日均销售量为: 480-40( - 520-40x( 40x 480-40(x-1)=520-40 (桶). 由于x> 520-40x> 由于 >0且520-40 >0,即0<x<13,所以 <13, y=(520-40 )x-200 = 520-40x) - =-40 40x 520x-200( =-40 2+520 -200(0<x<13) <13) =-40 40( =-40(x - 6.5 )2+1490 所以, =6.5时 有最大值 有最大值. 所以,当x=6.5时,y有最大值. 故将销售单价 定为11.5 11.5元 就可获得最大的利润. 定为11.5元,就可获得最大的利润.

反思归纳
建立(确定性)函数模型, 建立(确定性)函数模型,解决实际问题的 一般程序是什么? 一般程序是什么? ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数 审题:弄清题意,分清条件和结论, 量关系; 量关系; ②建模:将文字语言、图表语言化为数学语言, 建模:将文字语言、图表语言化为数学语言, 利用数学知识,建立相应的数学模型; 利用数学知识,建立相应的数学模型; ③解模:求解数学模型,得出数学结论; 解模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将用数学知识和方法得出的结论,还 还原:将用数学知识和方法得出的结论, 原为实际问题的意义. 原为实际问题的意义.

反馈练习
某支上市股票在30天内每股的日交易均价P(元)与 时间t (天)组成有序数对(t,P), 且点(t,P)落在图 中的两条线段上. 该股票在 30天内(含30天)的日 的部分数据如下表所示: 交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:
P (元) 元
6 5

第 t天 Q万股

4 36

10 30

16 24

22 18

2

O

10

20

(1)写出这支股票每股的日交易 写出这支股票每股的日交易 均价P 元 与时间 天 所满足 与时间t 均价P(元)与时间t (天)所满足 的函数关系式; 天 的函数关系式; 30 t (天)

解:(1) 当 0 ≤ t < 20, 且t ∈ N时,设 P = k1t + b , 1
1 ? ?b1= 2 , 解得 ?k1 = 5 由图象得 ? ? 20k1 + b = 6 1 ? ?b1 = 2 ? 1 即 P = t + 2; 5

同样的方法可求得当 20 ≤ t ≤ 30, 且t ∈ N时, 1 P = ? t + 8. ?1 10 0 ≤ t < 20 ?5 t + 2, ? (t ∈ N). 综上可得, P = ?
?? 1 t + 8, 20 ≤ t ≤ 30 ? 10 ?

反馈练习
某支上市股票在30天内每股的日交易均价P(元)与 时间t (天)组成有序数对(t,P), 且点(t,P)落在图 中的两条线段上. 该股票在 30天内(含30天)的日 的部分数据如下表所示: 交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:
P (元) 元
6 5

第 t天 Q万股

4 36

10 30

16 24

22 18

2

O

10

20

(2)根据表中数据确定日交易 ) 万股)与时间 量Q(万股 与时间t (天)的一次 万股 与时间t 天 的一次 天 函数关系式; 30 t (天) 函数关系式;

反馈练习 解:(2)设 Q(t) = kt + b ,由题意知:

?Q(4) = 36 , ? ?Q(10) = 30

?k = ?1 ?4k + b = 36 ,解得 ? 即 ? . 10 ? k + b = 30 ?b = 40
所以: (t) = ?t + 40 (0 ≤ t ≤ 30, t ∈ N) Q

反馈练习
某支上市股票在30天内每股的日交易均价P(元)与 时间t (天)组成有序数对(t,P), 且点(t,P)落在图 中的两条线段上. 该股票在 30天内(含30天)的日 的部分数据如下表所示: 交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示:
P (元) 元
6 5

第 t天 Q万股

4 36

10 30

16 24

22 18

(3)求这 天中第几天的 )求这30天中第几天的
2

日交易额最大, 日交易额最大,最大值为
10 20 30

O

t (天) 天

多少万元? 多少万元?

解:(3)设第t天的日交易额为f(t)万元,则 (3)设第t天的日交易额为f(t)万元, 设第 f(t)万元
f (t) = P? Q ?1 0 ≤ t < 20, ?(5 t + 2)(?t + 40), ? =? (t ∈ N) ?(? 1 t +8)(?t + 40), 20 ≤ t ≤ 30, ? 10 ? 即 ? 1 2 ? t + 6t +80, 0 ≤ t < 20, ? 5 ? f (t) = ? (t ∈ N) 1 2 ? t ?12t + 320, 20 ≤ t ≤ 30, ?10 ?

解:(3)设第 天的日交易额为 (t)万元,则 (3)设第t 天的日交易额为f( )万元, 设第

? 1 2 ? (t ?15) +125, 0 ≤ t < 20, ? 5 ? f (t) = ? (t ∈ N) ? 1 (t ? 60)2 ? 40, 20 ≤ t ≤ 30, ?10 ? 当 ≤ t < 20, 且 ∈N时 f (t)max = f (15) = 125; 0 t ,

当 ≤ t ≤ 30, 且 ∈N时 f (t)max = f (20) = 120; 20 t ,
所以这30天中第15天的日交易额最大, 所以这30天中第15天的日交易额最大, 30天中第15天的日交易额最大 最大日交易额为125万元. 125万元 最大日交易额为125万元.

课堂小结
建立(确定)函数模型, 1、建立(确定)函数模型,解决实际问题的基本 程序是什么? 程序是什么?
抽象概括 实际问题 数学模型 推理 演算 实际问题 的解 还原说明 数学模型 的解

课堂小结
在本节课的学习过程中, 2、在本节课的学习过程中,运用到了哪些 数学思想方法? 数学思想方法? 数形结合、分类与整合、 数形结合、分类与整合、化归与转化. 待定系数法、 待定系数法、配方法.

作业布置 必做题:教材P106练习第1题, 必做题:教材P 练习第1 P107习题3.2A组第3,4题. 习题3.2A组第3 选做题: P108习题3.2B组第2题. 习题3.2B组第2 选做题:

祝各位同学 学习进步! 生活快乐! 学习进步! 生活快乐!

再见 !


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