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高三数学第一学期期末练习-含答案


北京陈经纶中学高三数学练习(理十六)

2012.12

高三数学练习(十六)
一、选择题

1 1. 设全集 R,M= x x ? 1 ? 2 , x ? R ,N= ? ,2,3,4?,则 ? CR M ? ? N 等于 (
A. ? ,2,3,4? 1 【解析】 :C B. ?2,3,4? C.

?3,4? D. ?4?

?

?

) .

∵ x x ? 1 ? 2 , x ? R ,∴ ?C R M ? ? N = ?3,4?,选C. M=

?

?

2.

“ cos ? ?

3 7 ”是 “ cos 2? ? ? ”的( 5 25

) .A

A.充分而不必要条件;B.必要而不充分条件; C.充要条件; D.既不充分也不必要条件

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 3. 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 , 则 z = x 2 + y 2 的 最 大 值 和 最 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
小值分别是( A. 13, 1 ) B.13, 2 C.13,

4 5

D . 13 ,

2 5 5

【解析】C 如 图 ,作 出 可 行 域 , x 2 + y 2 是 点 ( x , y) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 故 最 大 值 为 点 A( 2,3) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 |A O | 2 = 1 3 , 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2 x + y- 2 = 0 的 距 离 的 平 方 , 即 为

y A

4 , 选 C. 5

O x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0

x 2x + y - 2= 0

?ax 2 ? 1? x ? 0 ? ? 4. 已知函数 f ? x ? ? ? 为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是 (a ? 2)e x ? x ? 0 ? ? ?
( ) A. (2,3] B. (2, ??) C. (??,3]
-1-

D. (2, 3)

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?a ? 0 ? 【解析】 A 若 f ( x ) 在 R 上单调递增,则有 ? a ? 2 ? 0 ,解得 2 ? a ? 3 ;若 f ( x ) 在 R ?a ? 2 ? 1 ? ?a ? 0 ? 上单调递减,则有 ? a ? 2 ? 0 , a 无解,综上实数 a 的取值范围是 (2,3] . ?a ? 2 ? 1 ?
5. 若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示,则该几何体的表面积是( A.4 B. 4 ? 4 10 C.8 D. 4 ? 4 11 【答案】B )

6.在区间 ?1,5? 和 ? 2, 4 ? 分别取一个数,记为 a,b , 则方程 ? ? ? ?

x2 y2 ? 2 ? 1 表示焦点在 x a2 b

轴上且离心率小于

3 的椭圆的概率为 2
B.

B

A.

1 2

15 32

C.

17 32

D.

31 32

-2-

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分析:方程

表示焦点在

轴且离心率小于

的椭圆时,有

,即

,化简得

,又





画出满足不等式组的平面区域,如右图阴影部分所 示,求得阴影部分的面积为 ,故

7. 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F, 2 ,过 F2 作双曲线 C 的一 1 F a 2 b2

条渐近 线的垂线,垂足为 H ,若 F2 H 的中点 M 在双曲线 C 上,则双 曲线 C 的离心率 为( A. 2 ) B.
2

( A)

3

C.2

D.3

8.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? log a

1 ? a ?1 16 1 (C) 0 ? a ? 4
(A)

a 3 在 (1, ) 内恒小于零,则实数 a 的取值范围是 x ?1 2 1 (B) 0 ? a ? 16 1 (D) a ? ( A) 16

二、填空题 9. 设 a ? (2, 4), b ? (1,1) ,若 b ? (a ? mb ) ,则实数 m ? ________。

?

?

?

?

?

(-3) 。1

10. 数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?1 ? an ? an?2 (n ? N ? ) ,则 a7 ?

11. 某校对高一男女学生共 1000 名进行健康调查,选用分层抽样法抽取一个容量为 200
-3-

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的样本.已知女生比男生少抽了 10 人,则该校的女生人数应是 【解析】475

人.

男生 x, 女生 y, 则x ? y ? 1000 , x ?

200 200 ? y? ? 10, y ? 475 . 1000 1000

12. 若点 P 在直线 l1 : x ? my ? 3 ? 0 上,过点 P 的直线 l2 与圆 C : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 16 只有 一个公共点 M,且 PM 的最小值为 4,则 m= 。

?1

13. 阅读如图程序框图. 若输入 n ? 5 ,则输出 k 的值为________.

k k k k 【解析】 n ? 5 , ? 1 ? n ? 16 , ? 1 ? n ? 49, ? 2 ? n ? 148 , ? 3 .答案:3.
14.“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、 有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中 阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公 式:_____________________________.

图甲

第 14 题图

图乙

答案: sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

第 13 题图

-4-

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三、解答题 (15)已知函数 f(x)= cos ( 2x+

? )+sin2x. 3

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (Ⅱ)在△ ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 a 、 b 、 c , 满 足 2 AC ·CB = 2ab, c ? 2 2, f ( A) ? 解: (Ⅰ)因为 f ? x ? ? cos( 2 x ?

??? ??? ? ?

1 3 , 求△ ABC 的面积 S. ? 2 4

?
3

) ? sin 2 x ? cos 2 x cos

?
3

? sin 2 x sin

?
3

?

1 ? cos 2 x 2

?

1 3 ? sin 2 x . 2 2
?1 3 1 3? , ? ?. 2 2 2 ?
…………………(6 分)

所以,最小正周期 T ? ? ,值域为 ? ?

?2

(Ⅱ)? 2 AC ? CB ?

??? ??? ? ?

2ab ,? 2ba cos ?? ? C ? ? 2ab , cos C ? ?

2 . 2

?C ?

3? . 4

又, f ? A? ? 而0 ? A ?

1 1 3 1 3 1 3 ,? ? ,? sin 2 A ? . ? sin 2 A ? ? 2 2 4 2 2 2 4
,? A ?

?
4

?
12

,B ?

?
6

.

由正弦定理,有

a sin

?
12

?

b sin

?
6

?

c a b 2 2 ,即 . ? ? 3? 6? 2 1 2 sin 2 4 4 2

?a ? 6 ? 2, b ? 2 .
?S ? 1 1 2 absin C ? ? ( 6 ? 2 ) ? 2 ? ? 3 ? 1. 2 2 2
………………(13 分)

16. 今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者,学
-5-

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生的名额分配如下: 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

(I) 若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传, 求他们中恰好有 1 人是高一年级学生 的概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师 的选择是相互独立的) ,记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和 数学期望. 解: (I)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则

P? A? ?

1 2 C10 C10 15 ? 3 38 C20

答:若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有 1 人是高一年级 学生的概率为

15 . 38

?????????4 分

(II)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的 概率均为

1 .所以 3
0 4 0 4

?????????6 分

16 ?1? ? 2? P?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? ; 81 ? 3? ? 3?
2 2 2 4

32 ?1? ? 2? P?? ? 1? ? C ? ? ? ? ? ; 81 ? 3? ? 3?
1 4 3 1

1

3

24 8 8 ?1? ? 2? 3? 1? ? 2 ? P?? ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ; P?? ? 3? ? C4 ? ? ? ? ? ; 81 27 ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 81 1 ?1? ? 2? P?? ? 4? ? C ? ? ? ? ? . 81 ? 3? ? 3?
4 4 4 0

?????????11 分

随机变量 ? 的分布列为:

?

0

1

2

3

4

-6-

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P

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

???????12 分 所以 E? ? 0 ?

16 32 24 8 1 4 ? 1? ? 2? ? 3 ? ? 4 ? ? ??????13 分 81 81 81 81 81 3

解法 2:由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为

1 . ?????5 分 3 1 1 则随机变量 ? 服从参数为 4, 的二项分布,即 ? ~ B(4, ) .???7 分 3 3

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81 1 4 所以 E? ? np ? 4 ? ? 3 3

32 81

8 27

8 81

1 81
?????13 分

17. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90° ,平面 PAD⊥底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的 点,PA=PD=2,BC=

1 AD=1,CD= 3 . 2

P

(I)求证:平面 PQB⊥平面 PAD; (II)若二面角 M-BQ-C 为 30° ,设 PM=tMC,试确定 t 的值 M 解: (I)∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2

D

∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∴CD // BQ . Q z ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. P A 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平 面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD. ∵BQ ? 平 面 PQB , ∴ 平 面 PQB⊥ 平 面 PAD. ……………5 分 Q
-7-

C B M D C N B y

A x

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(II)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD. 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) ; Q(0,0,0) , P(0,0, 3) ,

?

B(0, 3,0) , C(?1, 3,0) .
设 M ( x, y, z ) ,则 PM ? ( x, y, z ? 3) , MC ? (?1 ? x, 3 ? y, ? z) , ∵ PM ? tMC ,

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

…………7 分

t ? ?x ? ? 1? t ? x ? t (?1 ? x) ? ? 3t ? ∴ ? y ? t ( 3 ? y) , ∴ ? y ? 1? t ? ? z ? 3 ? t (? z) ? ? 3 ?z ? ? 1? t
在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3,0) , QM ? (? ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3,0, t ) . ∵二面角 M-BQ-C 为 30° , ∴ t ?3. 19. 已知函数: f ( x) ? x ? (a ? 1) ln x ?

……………………10 分

??? ?

???? ?

t 3t 3 , , ), 1? t 1? t 1? t

??

? ?? n?m t 3 , c o s 3 0 ? ?? ? ? ? 2 n m 3 ? 0 ? t2
?

……………………14 分

a 1 (a ? R) , g ( x) ? x 2 ? e x ? xe x x 2

(1) 当 x ? ?1, e? 时,求 f (x) 的最小值;
2 (2)当 a ? 1 时,若存在 x1 ? e,e ,使得对任意的 x2 ? ?? 2,0?, f ?x1 ? ? g ?x2 ? 恒成立,

? ?

求 a 的取值范围. 解 : (本小题满分 13 分)
-8-

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(1) f (x) 的定义域为 (0,??) ,

f ' ( x) ?

( x ? 1)( x ? a ) (a ? R) x2

' 1 当 a ? 1 时, x ? ? , e?, f ?x ? ? 0. f ?x ? 为增函数,

f ?x?min ? f ?1? ? 1 ? a
' ' 1 当 1 ? a ? e 时, x ? ? , a?, f ?x? ? 0. f ?x? 为减函数, x ? ?a, e?, f ?x? ? 0. f ?x? 为

增函数,

f ? x ?min ? f ?a ? ? a ? ?a ? 1? lna ? 1
' 1 当 a ? e 时, x ? ? , e?, f ?x ? ? 0. f ?x ? 为减函数,

f ? x ?min ? f ?e ? ? e ? ?a ? 1? ?

a e

? 综上

当 a ? 1 时, f ?x?min ? 1 ? a 当 1 ? a ? e 时 , f ?x?min ? a ? ?a ? 1?ln a ? 1 当 a ? e 时, f ? x ?min ? e ? ?a ? 1? ?

a e

………………6 分

(2) 若存在 x1 ? e,e ,使得对任意的 x2 ? ?? 2,0?, f ?x1 ? ? g ?x2 ? 恒成立,
2

? ?

即 f ( x1 ) min ? g ( x2 ) min
2 当 a ? 1 时,由(1)可知, x1 ? e,e , f ?x ? 为增函数,

? ?

? f ? x1 ?min

? f ?e ? ? e ? ?a ? 1? ?

a , e

g ' ( x) ? x ? e x ? xe x ? e x ? x 1 ? e x , 当 x2 ? ?? 2,0? 时 g ' ( x) ? 0, g ?x? 为 减函
-9-

?

?

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数, g ( x2 ) min ? g ?0? ? 1,

? e ? (a ? 1) ? a ? 1,
e

a?

e 2 ? 2e e ?1

e 2 ? 2e ? a?( ,1) e ?1 ……………………13 分
19.设点 P 是圆 x2 +y2 = 4 上任意一点,由点 P 向 x 轴作垂线 PP0,垂足为 Po,且

????? ? 3 ???? MPO ? PPO . 2
(Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l :y = kx + m (m ≠ 0) 与(Ⅰ)中的轨迹 C 交于不同的两点 A、B. (1)若直线 OA,AB,OB 的斜率成等比数列,求实数 m 的取值范围; (2)若以 AB 为直径的圆过曲线 C 与 x 轴正半轴的交点 Q,求证:直线 l 过定 点(Q 点除外),并求出该定点的坐标. 解: (Ⅰ)设点 M ? x, y ? , P ? x0 , y0 ? ,则由题意知 P0 ( x0 ,0) . 由 MP0 ? ( x0 ? x,? y) , PP ? (0,? y 0 ) ,且 MP ? 0 0

???? ?

3 ???? PP0 , 2

得 ( x0 ? x,? y ) ?

3 (0,? y0 ) . 2

? x0 ? x ? 0, ? x 0 ? x, ? ? 所以 ? 于是 ? 2 3 y0 , ?? y ? ? ? y 0 ? 3 y. 2 ? ?
2 2 又 x0 ? y0 ? 4 ,所以 x ?
2

4 2 y ? 4. 3

所以,点 M 的轨迹 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .………………………………(3 分) 4 3

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

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? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y2 ? 1, ? ? 3 ?4
得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx? 4(m 2 ? 3) ? 0 . 所以, ? ? (8mk) 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 ,即 3 ? 4k ? m ? 0 .
2 2



8m k ? ? x1 ? x 2 ? ? 3 ? 4k 2 , ? 且? 2 ? x ? x ? 4(m ? 3) . ? 1 2 3 ? 4k 2 ?
(i)依题意, k ?
2

………………………………………………(5 分)

y1 y2 kx ? m kx2 ? m 2 ,即 k ? 1 . ? x1 x2 x1 x2

? x1x2k 2 ? k 2 x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m2 .
8mk ) ? m2 ? 0 . 2 3 ? 4k 8k 3 ? m ? 0 ,? k (? ) ? 1 ? 0 ,解得 k 2 ? . 2 4 3 ? 4k 3 2 2 将 k ? 代入①,得 m ? 6 . 4

? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 ,即 km (?

所以, m 的取值范围是 (? 6 ,0) ? (0, 6 ) .

……………………………(8 分)

(ii)曲线

x2 y2 ? ? 1 与 x 轴正半轴的交点为 Q(2,0) . 4 3

依题意, AQ ? BQ , 即 AQ ? BQ ? 0 . 于是 (2 ? x1 ,? y1 ) ? (2 ? x2 ,? y 2 ) ? 0 .

? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? y1 y2 ? 0 ,
即 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,

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? (k 2 ? 1) ?

4(m 2 ? 3) 8m k ? (km ? 2) ? (? ) ? 4 ? m2 ? 0 . 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
2 2

化简,得 7m ? 16mk ? 4k ? 0 . 解得, m ? ?2k 或 m ? ?

2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 ( 2,0) (舍去);

2 2k 2 时,直线 l 的方程为 y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( ,0) . 7 7 7 2 所以,直线过定点 ( ,0) . …………………………………………………(13 分) 7
当m ? ? 20.已知函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,若 y ?

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数,则称 x

f ( x ) 为“一阶比增函数”; y ? 若

f ( x) 在 (0, ??) 上为增函数, 则称 f ( x ) 为“二阶比增函数”. x2

我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为 ?1 ,所有“二阶比增函数”组成的集合记为

?2 .
(Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? 2hx ? hx , f ( x ??1 且 f ( x) ??2 , 若 求实数 h 的取值范围; ) ,
3 2

(Ⅱ)已知 0 ? a ? b ? c , f ( x) ??1 且 f ( x ) 的部分函数值由下表给出,

x
f ( x)

a
d

b
d

c

a?b?c
4

t

求证: d (2d ? t ? 4) ? 0 ; (Ⅲ)定义集合:

? ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k, 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k?,
请问:是否存在常数 M ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立? 若存在,求出 M 的最小值;若不存在,说明理由.

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解: (I)因为 f ( x) ??1 , 且 f ( x) ??2 , 即 g ( x) ?

f ( x) ? x 2 ? 2hx ? h 在 (0, ??) 是增函数,所以 h ? 0 x

……1 分

而 h( x ) ?

f ( x) h h ? x ? ? 2h 在 (0, ??) 不是增函数,而 h '( x ) ? 1 ? 2 2 x x x

当 h( x ) 是增函数时,有 h ? 0 ,所以当 h( x ) 不是增函数时, h ? 0 综上,得 h ? 0 ………………4 分

(Ⅱ) 因为 f ( x) ??1 ,且 0 ? a ? b ? c ? a ? b ? c 所以

f (a ) f (a ? b ? c ) 4 4a ? = ,所以 f ( a ) ? d ? , a a?b?c a?b?c a?b?c 4b 4c , f (c) ? t ? a?b?c a?b?c 4(a ? b ? c ) ? 4, a?b?c

同理可证 f (b) ? d ?

三式相加得 f (a ) ? f (b) ? f (c ) ? 2d ? t ? 所以 2d ? t ? 4 ? 0 因为

d d b?a ? , 所以 d ( ) ? 0, a b ab


而 0 ? a ? b , 所以 d ? 0 所

d(

?

2 ……………8 分d

?

(Ⅲ) 因为集合:

? ? ? f ( x) | f ( x) ??2 , 且存在常数k, 使得任取x ? (0, ??),f ( x) ? k?,
所以 ?f ( x) ? ? ,存在常数 k ,使得 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立 我们先证明 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立
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假设 ?x0 ? (0, ??), 使得 f ( x0 ) ? 0 , 记
f ( x0 ) ?m?0 x0 2

f ( x) 因为 f ( x ) 是二阶比增函数,即 2 是增函数. x
0 所以当 x ? x0 时, x 2 ? x 2 ? m ,所以 f ( x) ? mx 2 0

f ( x)

f (x )

所以一定可以找到一个 x1 ? x0 ,使得 f ( x1 ) ? mx12 ? k 这与 f ( x ) ? k 对 x ? (0, ??) 成立矛盾
f ( x ) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立

………………11 分

所以 ?f ( x) ? ? , f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 下面我们证明 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上无解 假设存在 x2 ? 0 ,使得 f ( x2 ) ? 0 ,
f ( x) 则因为 f ( x ) 是二阶增函数,即 2 是增函数 x f ( x3 ) f ( x2 ) 一定存在 x3 ? x2 ? 0 , x 2 ? x 2 ? 0 ,这与上面证明的结果矛盾 3 2

所以 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 上无解 综上,我们得到 ?f ( x) ? ? , f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立 所以存在常数 M ? 0 ,使得 ?f ( x) ? ? , ?x ? (0, ??) ,有 f ( x ) ? M 成立
1 x f ( x) ?1 又有 2 ? 3 在 (0, ??) 上是增函数 ,所以 f ( x ) ? ? , x x

又令 f ( x) ? ? ( x ? 0) ,则 f ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立,

而任取常数 k ? 0 ,总可以找到一个 x0 ? 0 ,使得 x ? x0 时,有 f ( x ) ? k 所以 M 的最小值 为 0

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