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等差数列与等比数列复习题


等差数列与等比数列复习题 1 1.已知 {an } 是等差数列, a6 ? a7 ? 20 , a7 ? a8 ? 28 ,那么该数列的前 13 项和 S13 等于 ( ) A.156 B.132 C.110 D.100

2.已知数列 {an } 是等差数列,若 a9 ? 3a11 ? 0 ,a10 ? a11 ? 0 ,且数列 {an } 的前 n 项和 Sn 有 最大值,那么 Sn 取得最小正值时 n 等于( ) A.20 B.17 C.19 D.21

2 3.设各项均为正数的等差数列 {an }的前n 项和为 Sn , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ?0

S2m?1 ? 38, 则m 等于 (
A. 38 B. 20

) C. 10 D. 9

4.等差数列 ?a n ?与 ?bn ?的前 n 项和分别是 S n 和 T n ,已知

a Sn 7n ? ,则 5 等于( ) b5 Tn n ? 3

A.7

B.

2 3

C.

70 13

D.

21 4


5.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,若 S10 : S 5 ? 1 : 2 ,则 S15 : S5 ? ( A、3:4 B、2:3 C、1:2 D、1:3 6.设等比数列 ?an ?中,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =8, S6 =7,则 a7 ? a8 ? a9 等于( A.



1 8

B.-

1 8

C.

57 8

D.

55 8

7.设等比数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? 0, q ? 1 ,且 a3 ? a5 ? 20 , a2 ? a6 ? 64 , 则 S5 ? ( A. 31 ) B. 36 C. 42 D. 48

8.等比数列 ?an ? 中, S5 ? 4, S10 ? 12, 则S15 ? __________ __ 9.数列 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 4) ? ... ? (1 ? 2 ? ... ? 2n?1 ) 的前 n 项和为_____________. 10.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , a4 ? ?4 ,则 | a1 | ? | a2 | ?...? | an | =____________.

?

?

2

11.等差数列 {an } 的前 m 项和为 30,前 2 m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 12.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 1(n ? N * ) ,其前 n 项和为 S n ,则数列 {



Sn } 的前 n

10 项的和为 13 . 设 Sn 为 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 , 且 对 任 意 n ? N ? 时 , 点 (an ,Sn ) 都 在 函 数

1 1 f ( x) ? ? x ? 的图象上。 2 2
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

3 log 3 (1 ? 2 Sn ) ?10 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的最大值。 2

14.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a4 ? a5 ? a6 ? 45 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an an ?1 ?

15.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 3 ? 22n ?1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn

16.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N * . (Ⅰ)证明:数列 ?
n

? an ? ? 是等差数列; ?n?

(Ⅱ)设 bn ? 3 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .

17.已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 根.
2

(Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和 n ? ?2 ?

18.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? (1)求数列 ?a n ?的通项公式;

n2 ? n ,n ? N ? . 2

(2)设 bn ? 2 n ? ??1? an ,求数列 ?bn ?的前 2n 项和.
a n

19.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ?1 , a1 ? 3 . (1)求证:数列 {an ?1} 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式和前 n 项和 Sn .

20.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? 2a n (n ? N *) . (1)证明:数列 {a n ? 1} 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; ( 2 ) 数 列 {an } 满 足 bn ? a n ? log 2 (a n ? 1)(n ? N *) , 其 前

n 项 和 为 Tn , 试 求 满 足

Tn ?

n2 ? n ? 2015 的最小正整数 n . 2

等差数列与等比数列复习题 1 1.已知 {an } 是等差数列, a6 ? a7 ? 20 , a7 ? a8 ? 28 ,那么该数列的前 13 项和 S13 等于 ( ) A.156 B.132 C.110 D.100

【 答 案 】 A 【 解 析 】 因 为 {an } 是 等 差 数 列 , a6 ? a7 ? 20 , a7 ? a8 ? 28 , 所 以 ,得 a7 ? 12 a6 ? a7 ? a7 ? a8 ? 20 ? 28 ? 4a7 ? 4 8 因为 S13 ?

13 ? (a1 ? a13 ) ? 13a7 所以 S13 ? 13?12 ? 156 故选 A 2

考点:等差数列的性质;等差数列的求和. 2.已知数列 {an } 是等差数列,若 a9 ? 3a11 ? 0 ,a10 ? a11 ? 0 ,且数列 {an } 的前 n 项和 Sn 有 最大值,那么 Sn 取得最小正值时 n 等于( ) A.20 B.17 C.19 D.21

【答案】C【解析】因为 a9 ? a11 ? 2a10 ,由 a9 ? 3a 1 1 ? 0 可知 a10 ? a11 ? 0 ,又 a1 0 ?a 1 1 ? 0, 所以 a10 , a11 中一正一负,因为数列 {an } 的前 n 项和 Sn 有最大值,所以 a10 ? 0, a11 ? 0 ,又

S19 ?

19(a1 ? a19 ) ? 19 a10 ? 0 , 2 20(a1 ? a20 ) S 20 ? ? 10(a10 ? a11 ) ? 0 ,所以答案选 C. 2

考点:等差数列的性质
2 3.设各项均为正数的等差数列 {an }的前n 项和为 Sn , 若m ? 1, 且am?1 ? am?1 ? am ?0

S2m?1 ? 38, 则m 等于 (
A. 38 B. 20

) C. 10 D. 9
2

【答案】C【解析】由 {a n } 为等差数列,?am?1 ? am?1 ? 2am ,则由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 即
2 am ? 2am ,? am ? 2 S2m?1 ? a1 ? a2 ? ??? ? a2m?1 ? (2m ? 1)am ? 4m ? 2 ? 38 ? m ? 10 .

故选 C. 考点:等差数列的性质. 4.等差数列 ?a n ?与 ?bn ?的前 n 项和分别是 S n 和 T n ,已知

a Sn 7n ? ,则 5 等于( ) b5 Tn n ? 3

A.7

B.

2 3

C.

70 13

D.

21 4

【答案】D【解析】注意到

a5 2a5 a1 ? a9 ,而 ? ? b5 2b5 b1 ? b9

9?a1 ? a9 ? S9 a ? a9 7 ? 9 21 a 2a5 a1 ? a9 21 2 ,所以 5 ? ? ? ; ? ? 1 ? ? 9?b1 ? b9 ? b1 ? b9 9 ? 3 4 b5 2b5 b1 ? b9 4 T9 2 考点:等差数列的前 n 项和及性质;
5.设等比数列 ?an ? 的前 n 项和记为 S n ,若 S10 : S 5 ? 1 : 2 ,则 S15 : S5 ? ( A、3:4 B、2:3 C、1:2 D、1:3 )

【 答 案 】 A 【 解 析 】 设 S10 ? k , 则 S5 ? 2k , 令 x1 ? S5 ? 2k , 则 x2 ? S10 ? S5 ? ?k ,

x3 ? S15 ? S10 ? S15 ? k , 由 题 意 知 x1 , x2 , x3 成 等 比 数 列 , 因 此 x2 ? x1 ? x3 , 代 入 得
3k S15 3 3k ? 2 ? . S15 ? ,因此 S5 2 4 2
考点:等比数列前 n 项和的性质. 6.设等比数列 ?an ?中,前 n 项和为 Sn ,已知 S3 =8, S6 =7,则 a7 ? a8 ? a9 等于( A. )

2

1 8

B.-

1 8

C.

57 8

D.

55 8

【答案】A.【解析】利用等比数列的性质:若{an}为等比数列,则 Sn , Sn?1 , Sn?2 , 也成等比 数列.?(S6 ? S3 )2 ? S3 ? (S9 ? S6 ), 解得 S9 ? S6 ?

1 1 ? a7 ? a8 ? a9 ? S9 ? S6 ? , 8. 8

考点:等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 7.设等比数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,满足 an ? 0, q ? 1 ,且 a3 ? a5 ? 20 , a2 ? a6 ? 64 , 则 S5 ? ( A. 31 ) B. 36 C. 42 D. 48

【答案】A【解析】由已知得,a2 ? a6 ? a3 ? a5 ? 64 ,又 a3 ? a5 ? 20 ,∵ q ? 1 ,∴ a3 ? a5 ,
2 ∴ a3 ? 4, a5 ? 16 ,故 q ? 4 , q ? 2 , a1 ? 1 ,所以 S5 ?

1 ? 25 ? 31 . 1? 2

【命题意图】本题考查等比数列通项公式、等比数列前 n 项和等基础知识,意在考查学生推 理和基本的运算能力. 8.等比数列 ?an ? 中, S5 ? 4, S10 ? 12, 则S15 ? __________ __

【 答 案 】 28 【 解 析 】 由 等 比 数 列 的 性 质 知 : S5 , S10 ? S5 , S15 ? S10 成 等 比 数 列 , 所 以

S5 ? 4, S10 ? S5 ? 8, S15 ? S10 ? 16 ,解得 S15 ? 28.
考点:等比数列的性质. 9.数列 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 4) ? ... ? (1 ? 2 ? ... ? 2n?1 ) 的前 n 项和为_____________.
n?2

?

?

【答案】 2

?

n 2 5n ? ? 4. 2 2
n

n 2 ?1 ? n ? 2n ?1 ? n ? 2 , 【解析】∵ 1 ? 2 ? ... ? 2n?1 ? 2 ? 1 ? 2n ? 1,∴其前 n 项和 Sn ? 2 ? 2 ?1 2 ?1

∴题中数列的前 n 项和为 4 ?

2n ? 1 n(n ? 1) n2 5n ? ? 2n ? 2 n ? 2 ? ? ? 4 . 2 ?1 2 2 2

考点:分组求数列的前 n 项和. 10.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , a4 ? ?4 ,则 | a1 | ? | a2 | ?...? | an | =____________.

2

【答案】 2

n ?1

?

1 . 2
2

【解析】∵等比数列 {an } , a1 ? 1 , a4 ? ?4 ,∴ q3 ? ∴ an ?

a4 ? ?8 ? q ? ?2 , a1

1 ? (?2) n ?1 ? ?(?2) n ? 2 , 2

n ∴ | an |? 2n?2 ,∴ | a1 | ? | a2 | ? ??? ? | an |? 2?1 ? 20 ? ??? ? 2n?2 ? 2?1 ? 2 ? 1 ? 2n?1 ? 1 . 2 ?1 2

考点:等比数列的通项公式与前 n 项和. 11.等差数列 {an } 的前 m 项和为 30,前 2 m 项和为 100,则它的前 3m 项和为 【答案】210. 【解析】直接由等差数列的前 n 项和性质: S m , S 2m ? S m , S3m ? S 2m 也成等差数列,即 .

30,100? 30, S3m ? 100 成 等 差 数 列 , 所 以 2(100? 30) ? 30 ? (S3m ? 100) , 解 之 得 S 3m ? 210.即为所求.
考点:等差数列的前 n 项和性质. 12.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ? 1(n ? N * ) ,其前 n 项和为 S n ,则数列 { 10 项的和为 【答案】 75

Sn } 的前 n

【解析】由 an ? 2n ? 1(n ? N * ) 可知;数列 ?an ? 是首项为 3,公差为 2 的等差数列.所以其前

n 项和 Sn = 3n +

n ( n +1) S S n 2 + 2n ? 2 n 2 + 2n ,令 Tn = n = = n + 2 ,所以数列 { n } 是首 2 n n n
10? 9 ? 1 75 . 2

项为 3,公差为 1 的等差数列.故 T10 = 10 ? 3

考点:等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和公式. 13 . 设 Sn 为 数 列 ?an ? 的 前

n 项 和 , 且 对 任 意 n ? N ? 时 , 点 (an ,Sn ) 都 在 函 数

1 1 f ( x) ? ? x ? 的图象上。 2 2
(1)求数列 {an } 的通项公式;

3 log 3 (1 ? 2 Sn ) ?10 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的最大值。 2 1 n 57 【答案】 (1) an ? ( ) ; (2)数列 ?bn ? 的前 n 项和的最大值为 T6 ? . 3 2
(2)设 bn ?
1 1 Sn ? ? an ? 1 1 2 2 , 1分 【解析】 (1)因为点 (an , Sn ) 都在函数 f ( x) ? ? x ? 的图象上.所以 2 2
1 1 1 ? S1 ? a1 ? a1 ? S1 ? a1 ? 3, 2分 2 2, 当 n ? 1 时, 1 1 Sn ?1 ? ? an ?1 ? n ≥ 2 2 2, 3分 当 时, 1 1 1 1 1 1 1 ? an ? an ?1 an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? ? an ?1 ? ? ? an ? an ?1 3 2 2 2 2 2 2 所以 , 4分
n ??an ? 是公比为 ,首项为 的等比数列,? an ? ( ) 5 分

1 3

1 3

1 3

1 1 (1 ? n ) 1 1 3 3 Sn ? ? (1 ? n ) 1 2 3 1? 1 1 3 (2)因为 ?an ? 是公比为 ,首项为 的等比数列,所以 , 7分

3

3

3 3 3 bn ? log3 (1 ? 2Sn ) ? 10 ? ? n ? 10 bn ?1 ? bn ? ? 2 2 2, ∴ , 8 分∵

∴数列 ?bn ? 是以

17 3 为首项,公差为 - 的等差数列,且单调递减 9 分 2 2

? 3 ? n ? 10 ≥ 0 ? ? 2 ? ?bn ≥ 0 1 2 ?? 3 (n ? 1) ? 10 ? 0 ? 5 ?n?6 bn ?1 < 0 ? ? 3 3 , 10 分 ? 2 由 ,所以 ,即

∴ n ? 6 , 11 分

1 17 57 T6 ? ( ? 1) ? 6 ? 2 2 2 . 12 分 数列 ?bn ? 的前 n 项和的最大值为

考点:1、等差数列与等比数列;2、最值问题. 14.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, a4 ? a5 ? a6 ? 45 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Tn . ? an an ?1 ?
n . 9(n ? 1)

【答案】 (1) an ? 3n ; (2) Tn ?

【解析】 (1)由等差数列的性质得, a4 ? a5 ? a6 ? 3a5 ? 45 ,? a5 ? 15,? d ? 3 ,由等 差数列的通项公式得 an ? a1 ? ?n ?1?d ? 3 ? 3?n ?1? ? 3n (2) an ? an?1 ? 3n ? ?3n ? 3? ? 9n?n ? 1? ,?

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ?, an ? an?1 9n?n ? 1? 9 ? n n ? 1 ?

数列 ?

? 1 ? ? 前 n 项和 a a ? n n ?1 ?
1 1 1 1 ? ? ? ?? ? a1 ? a2 a2 ? a3 a3 ? a4 an ? an?1

Tn ?

1? 1? 1? 1 1? 1?1 1? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 9 ? 2? 9 ? 2 3? 9 ? 3 4?
1?1 1 ? 1? 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? n . ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?1 ? ?? 9 ? n n ?1? 9 ? 2 2 3 3 4 n n ? 1 ? 9 ? n ? 1 ? 9?n ? 1?
考点:1、求等差数列的通项公式;2、裂项法求数列的和. 15.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? 3 ? 22n ?1 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 【答案】 (1) an ? 22n?1 ; (2) S n ?

1 [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9

【解析】 (1)由已知 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3? 22n?1 得,

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?(a2 ? a1 ) ? a1 ? 3(22n?3 ? 22n?5 ? ? ? 2) ? 2

2分 4分

? 3?

2 ? 2 2 n ?3 ? 4 ? 2 ? 22 n ?1 1? 4

6分

(2)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1 .① 从而 22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ?? n ? 22n?1 .② ① -②得

(1 ? 2 ) Sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 5

2 n ?1

? n?2

2 n ?1

2 ? 22 n ?1 ? 4 = ? n ? 22 n ?1 . 1? 4

10 分

即 Sn ?

1 [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] . 9

12 分

考点:1、累加法求通项公式;2、错位相减法求和. 16.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 1)an ? n(n ? 1), n ? N * . (Ⅰ)证明:数列 ?
n

? an ? ? 是等差数列; ?n?

(Ⅱ)设 bn ? 3 ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 【解析】 (Ⅰ)由已知可得 1 为公差的等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)得

an ?1 an a a a ?a ? ? ? 1 ,即 n ?1 ? n ? 1 .所以 ? n ? 是以 1 ? 1 为首项, n ?1 n n ?1 n 1 ?n?

an ? 1 ? ( n ? 1) ?1 ? n ,所以 an ? n2 ,从而 bn ? n ? 3n . n

所以 Sn ? 1? 31 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? ?? n ? 3n ,①

3Sn ? 1? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? ?? n ? 3n?1 ,②
①-②得
1 2 ?2Sn ? 3 ? 3 ? ? ? n3? n ? n ? 3 1?

3? ( 1 ? n3 ) ? n? 1? 3

n?

1 3?

? ( 1n ? 2 n ?)1 ? 3 2

3

所以 S n ?

(2n ? 1) ? 3n ?1 ? 3 4
2

17.已知 ?an ? 是递增的等差数列, a2 , a4 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 根. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和 n ? ?2 ?

【答案】 (Ⅰ)数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

1 n ?1 2

(Ⅱ)数列 ?

n?4 ? an ? 的前 n 项和 S n ? 2 ? n ?1 . n ? 2 ?2 ?
2

【解析】 (Ⅰ)方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两个根为 2, 3 ,由题意得 a2 ? 2, a4 ? 3 . 设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 a4 ? a2 ? 2d ,故 d ?

1 3 ,从而 a1 ? . 2 2

所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

1 n ?1 . 2

(Ⅱ)设 ?

a n?2 ? an ? ? n ?1 ,则 的前 n 项和为 Sn ,由(Ⅰ)知 n n n ? 2 2 ?2 ?

Sn ?

3 4 n ?1 n ? 2 1 3 4 n ?1 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 , Sn ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 n?2 3 1 1 n?2 Sn ? ? ( 3 ? ? ? n ?1 ) ? n ? 2 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ? 2 2 4 2 2 2 4 4 2 2 n?4 . 2n ?1

两式相减得

所以 S n ? 2 ?

n2 ? n ,n ? N ? . 18.已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 2
(1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)设 bn ? 2 n ? ??1? an ,求数列 ?bn ?的前 2n 项和.
a n

【答案】 (1) an ? n ;(2) T2n ? 22n?1 ? 2 ? n 【解析】试题解析:(1) 解:当 n=1 时, a1 ? S1 =1; 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? n ; 故数列的通项公式为 an ? n 。 2分 4分 6分

(2) 由(1)得,则 b n ? 2 n ? (?1) n ? n , 记数列 ?b n ?的前 2n 项和为 T2 n ,则

8分

T2 n = (21 ? 2 2 ? ... ? 2 n ) + (?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 2n)
=2
2 n ?1

10 分 14 分

? 2+n

考点: (1)求数列通项公式; (2)求数列和 19.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ?1 , a1 ? 3 . (1)求证:数列 {an ?1} 是等比数列; (2)求数列 {an } 的通项公式和前 n 项和 Sn . 【解析】 (1)依题意有 an?1 ?1 ? 2an ? 2 且 a1 ? 1 ? 2 , 所以 所以数列 {an ?1} 是等比数列 (2)由(1)知 an ?1 ? (a1 ?1)2n?1 . 即 an ?1 ? 2n , 所以 an ? 2n ? 1 而 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? (2 ? 1) ? (2 ? 1) ? (2 ? 1) ? ? ? (2 ? 1)
2 2 n

an?1 ? 1 ?2 an ? 1
6分

10 分

? (2 ? 22 ? 22 ? ?2n ) ? n ?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n?1 ? 2 ? n 1? 2

14 分

考点:等比数列定义及前 n 项公式. 20.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? n ? 2a n (n ? N *) . (1)证明:数列 {a n ? 1} 为等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; ( 2 ) 数 列 {an } 满 足 bn ? a n ? log 2 (a n ? 1)(n ? N *) , 其 前

n 项 和 为 Tn , 试 求 满 足

Tn ?

n2 ? n ? 2015 的最小正整数 n . 2

【答案】 (1) an ? 2n ? 1 ; (2) n ? 8 . 【解析】 (1)当 n ? 1 时, a1 ? 1 ? 2a1 ? a1 ? 1;

当 n ? 2 时,

Sn ? n ? 2an

? ? ? an ? 1 ? 2an ? 2an?1 ? an ? 2an ?1 ? 1 ; Sn?1 ? (n ? 1) ? 2an?1 ?

即 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ( n ? 2 ) ,且 a1 ? 1 ? 2 ,故 ?an ?1 ? 为等比数列
* an ? 1 ? 2n ? an ? 2n ?1 ( n ? N ).

(2) bn ? (2n ?1) ? n ? n ? 2n ? n 设 Kn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? …? n ? 2n ① ②

2Kn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? …? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1
① ? ②: ? K n ? 2 ? 2 ? 2 ? … ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 ? (1 ? n) ? 2n ?1 ? 2 1? 2
n(n ? 1) , 2

∴ Kn ? (n ?1) ? 2n?1 ? 2 ,

n ?1 ∴ Tn ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 ?

n2 ? n Tn ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 ? 2015 ? n ? 8 ,∴满足条件的最小正整数 n ? 8 . 2


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