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2009年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(陕西卷)


2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修Ⅰ)(陕西卷)
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第Ⅰ卷
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一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共
12 小题,每小题 5 分,共 60 分)高.考.资.源.网 1.设不等式 x ? x ? 0 的解集为 M,函数 f ( x) ? ln(1? | x |) 的定义域为 N,则 M ? N 为(A)
2

(A)[0,1) (B) (0,1) (C)[0,1] (D) (-1,0] 2.若 tan ? ? 2 ,则 (A)0 3.函数 f ( x) ? (A) f
?1

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2sin ? ? cos ? 的值为 sin ? ? 2 cos ? 3 (B) (C)1 4

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(B) (D)

5 4

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2 x ? 4( x ? 4) 的反函数为

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(D)

1 2 x ? 4( x ? 0) 2 1 2 ?1 (C) f ( x) ? x ? 2( x ? 0) 2 ( x) ?
2


1 2 x ? 4( x ? 2) 2 1 2 ?1 (D) f ( x) ? x ? 2( x ? 2) 2
(B) f
?1

( x) ?

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学科

4.过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为
2

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

(D)

(A) 3
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(B)2

(C) 6

(D)2 3

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5.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本中的老年职工人数为 ( B) (A)9 (B)18 (C)27 (D) 36 6.若 (1 ? 2 x) (A)2
2009

? a0 ? a1 x ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R) ,则
(B)0
2 2

(C) ?1

a a1 a2 的值为 ? 2 ? ? ? 2009 2 2 22009 (D) ?2
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高.

(C)

7.” m ? n ? 0 ”是”方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

(C)

(B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

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8.在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点, AM=1,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2 PM ,则 AP ? ( PB ? PC ) 等
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uu u r

uuur

uu u r uur

uuu r



(A )

-1-

(A)

4 9

(B)

4 3

(C) ?

4 3

(D) ?

4 9

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9.从 1,2,3,4,5,6,7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四 位数,其中奇数的个数为 (C) (A)432 (B)288 (C) 216 (D)108
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10. 定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足: 对任意的 x1 , x2 ? [0, ??)( x1 ? x2 ) , 有 则 (A) (B) f (1) ? f (?2) ? f (3) (D) f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0. x2 ? x1

(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) (C) f (?2) ? f (1) ? f (3)

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

11.若正方体的棱长为 2 ,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为

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(B)

(A)

2 6
n ?1

(B)

2 3

(C)

3 3

(D)

2 3

12.设曲线 y ? x 的值为 (A)

(n ? N * ) 在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 K xn

(B) (B)

1 n

1 n ?1

(C)

n n ?1

(D) 1

2009 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学(必修 ? 选修Ⅰ)(陕西卷)
第Ⅱ卷
二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分).

13. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,若 a6 ? s3 ? 12 ,则数列的通项公式 an ?
?x ? y ? 1 ? 14.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ?
是 11 15.如图球 O 的半径为 2,圆 O1 是一小圆, O1O ?

2n

.

1

,最大值

2 ,A、B

O1
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

A

B O

? 是圆 O1 上两点,若 ?AO1 B = ,则 A,B 两点间的球面距离为 2
-2-

2? 3

.

16.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26,15,13,同时参加数学和物理小组的有 6 人,同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有 8 人 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), x ? R (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 象上一个最低点为 M (

?
2

)的周期为 ? ,且图

2? , ?2) . 3

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? [0, 解: (1)由最低点为 M ( 由 T ? ? 得? ? 由点 M (

?
12

] ,求 f ( x) 的最值.

2? 4? 4? , ?2) 在图像上得 2sin( ? ? ) ? ?2 即 sin( ? ? ) ? ?1 3 3 3 4? ? 11? ? ? ? ? 2k? ? 即? ? 2k? ? ,k ? Z , 3 2 6

2? 2? ? ?2 T ?

2? , ?2)得A ? 2 3

又 ? ? (0,

?

2

) ,?? ?

?

(Ⅱ) Q x ? [0,

?
12

6

],? 2 x ?

?

? f ( x) ? 2 s i n x (? 2 6

?

)

?当2x+ 当2x+

?
6 ?

?

?
6

?[ , ] 6 6 3

? ?

,即x ? 0时,f ( x)取得最小值1;

?
6

?
3

,即x ?

?
12

时,f ( x)取得最大值 3

18. (本小题满分 12 分) 椐统计,某食品企业一个月内被消费者投诉的次数为 0,1,2 的概率分别为 0.4,0.5,0.1 (Ⅰ) 求该企业在一个月内被消费者投诉不超过 1 次的概率; (Ⅱ) 假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费 者投诉 2 次的概率。 解答一(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为 0”事件 B 表示“一个月内被投诉 的次数为 1”
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.9
Ⅱ设事件 Ai 表示“第 i 个月被投诉的次数为 0”事件 Bi 表示“第 i 个月被投诉的次数为 1” 事件 Ci 表示“第 i 个月被投诉的次数为 2”事件 D 表示“两个月内被投诉 2 次”

? P( Ai ) ? 0.4, P( Bi ) ? 0.5, P(Ci ) ? 0.1(i ? 1, 2)
-3-

Q 两个月中,一个月被投诉 2 次,另一个月被投诉 0 次的概率为 P( A1C2 ? A2C1 )
一、二月份均被投诉 1 次的概率为 P ( B1 B2 )

? P( D) ? P( A1C2 ? A2C1 ) ? P( B1B2 ) ? P( A1C2 ) ? P( A2C1 ) ? P( B1B2 )
由事件的独立性的

p( D) ? 0.4 ? 0.1 ? 0.1? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.33
解答二(Ⅰ)设事件 A 表示“一个月内被投诉 2 次” 设事件 B 表示“一个月内被投诉 的次数不超过 1 次”

Q p( A) ? 0.1,? P( B) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.1 ? 0.9
(Ⅱ)同解答一。 19.(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB=1, AC ? AA1 ? 3 ,∠ABC=60 0 . (Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 A1
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C1

(Ⅱ)求二面角 A— AC 1 —B 的大小。 解 答 一 ( Ⅰ ) 证

B1

证 Q 三棱柱ABC ? A1 B1C1为直三棱柱, ? AB ? AA1 , 在?ABC中,AB ? 1, AC ? 3, ?ABC ? 60 由正弦定理得?ACB ? 300 ??BAC ? 90 ,即AB ? AC
0 0

A

C

B

? AB ? 平面ACC1 A, 又AC1 ? 平面ACC1 A, ? AB ? A1C
(Ⅱ)

解,作AD ? A1C交A1C于D点,连结BD, 由三垂线定理知BD ? A1C ??ABD为二面角A ? A1C ? B的平面角 在Rt ?AA1C中,AD ? A1 AgAC 3g 3 6 ? ? A1C 2 6 AB 6 ? AD 3

在Rt ?BAD中,tanABD ? ??ADB ? arctan 6 3

-4-

cos ? m, n ??

mgn 3 ? 1 ? 1? 0 ? 1? 0 15 ? ? 2 2 2 2 2 2 m gn ( 3) ? 1 ? 1 g 1 ? 0 ? 0 5

? 二面角A-A1C-B的大小为arccos
20. (本小题满分 12 分)

15 5

已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 1, a ? 0
3

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=m 与 y ?
的取值范围。
' 2
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

求m f ( x) 的图象有三个不同的交点,

解: (1) f ( x) ? 3x ? 3a ? 3( x ? a),
2

当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ( x) ? 0,
'

?当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??, ??)
' 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? a ; ' 由 f ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a,

? 当 a ? 0 时 , f ( x) 的 单 调 增 区 间 为 (??, ? a ), ( a , ??) ; f ( x) 的 单 调 减 区 间 为
(? a , a ) 。
(2)? f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,

-5-

? f ' (?1) ? 3 ? (?1)2 ? 3a ? 0,? a ? 1. ? f ( x) ? x3 ? 3x ? 1, f ' ( x) ? 3x 2 ? 3,
由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
'

由(1)中 f ( x) 的单调性可知, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。

? 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 有 三 个 不 同 的 交 点 , 又 f (?3) ? ?19 ? ?3 ,
f (3) ? 17 ? 1 ,
结合 f ( x) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。 21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ? an } 满足, a1= 1’ a2 ? 2, an+2=

an ? an?1 , n ? N* . 2

? ? ? 令 bn ? an?1 ? an ,证明: {bn } 是等比数列;
(Ⅱ)求 ? an } 的通项公式。 (1)证 b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ?

an?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 ??bn ? 是以 1 为首项, ? 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 (2)解由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2
当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 )

1 1 ? 1 ? 1 ? (? ) ? ? ? (? ) n ? 2 2 2 1 1 ? (? ) n ?1 2 ? 1? 1 1 ? (? ) 2 2 1 ? 1 ? [1 ? (? ) n?2 ] 3 2 5 2 1 n?1 ? ? (? ) , 3 3 2

-6-

当 n ? 1 时,

5 2 1 1?1 ? (? ) ? 1 ? a1 。 3 3 2 5 2 1 ? an ? ? (? )n?1 (n ? N * ) 。 3 3 2
y 2 x2 5 ,顶点到渐近线的距离为 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? 2 2 a b

22. (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 的方程为

2 5 。 5
(I) 求双曲线 C 的方程; (II)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二 象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面积的取值范围。

??? ?

??? ?

1 3

解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点( 0 , a )到渐近线

ax ? by ? 0的距离为
ab a 2 ? b2

2 5 , 5

?

?

2 5 ab 2 5 即 ? 5 c 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ? ? 5 ?c 由? ? 得 ?b ? 1 2 ?a ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ?c ? 5 ? ? ?
? 双曲线C的方程为 y2 ? x2 ? 1 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ?2 x 设 A(m, 2m), B (? n, 2n), m ? 0, n ? 0 由 AP ? ? PB得P点的坐标为(

uu u r

uur

m-?n 2(m+?n) , ), 1+? 1+?

y2 (1 ? ? ) 2 2 ? x ? 1, 化简得mn= 将 P 点的坐标代入 4 4?

-7-

? 1 4 设?AOB ? 2? , Q tan( ? ? ) ? 2,? tan ? ? ,sin 2? ? 2 2 5
又 OA ? 5m, OB ? 5n

1 1 1 OA ? OB ? sin 2? ? 2mn ? (? ? ) ? 1 2 2 ? 1 1 1 记 S (? ) ? (? ? ) ? 1, ? ? [ , 2] 2 ? 3 1 1 则 S ?(? ) ? (1 ? 2 ) 2 ? ? S?AOB ?
由 S ?(? ) ? 0得? ? 1 又 S(1)=2, S ( ) ?

1 3

8 9 , S (2) ? 3 4

?当? ? 1时,?AOB的面积取得最小值2, 1 8 当? ? 时,?AOB的面积取得最大值 3 3

8 ??AOB面积的取值范围是[2, ] 3
解答二(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到渐近线 ax ? by ? 0的距离为

2 5 , 5

?

ab a ?b
2 2

?

2 5 ab 2 5 即 ? 5 c 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ? ? c 5 ? 由? ? 得 ?b ? 1 2 ?a ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ?c ? 5 ? ? ?
? 双曲线C的方程为 y2 ? x2 ? 1 4

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 k ? 2, m ? 0

由?

? y ? kx ? m m 2m 得A点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? 2x

-8-

由?

? y ? kx ? m ? m 2m 得B点的坐标为( , ), 2?k 2?k ? y ? ?2 x

uu u r uur m 1 ? 2m 1 ? AP ? ? PB, 得P点的坐标为( ( ? ), ( ? ) 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k
将 P 点的坐标代入

y2 4m 2 (1 ? ? ) 2 ? x2 ? 1 得 ? 4 4 ? k2 ?

设 Q 为直线 AB 与 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m)

S ?AOB = S?AOQ ? S?BOQ

1 1 1 OQ g x A ? OQ g xB ? m( x A ? xB ) 2 2 2 1 m m 1 4m 2 ? m( ? )? g 2 2?k 2?k 2 4 ? k2 1 1 ? (? ? ) ? 1 2 ? ?
以下同解答一

-9-


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