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广东省佛山一中2015届高三上学期期中数学(文)试题


佛山一中 2015 届高三上学期期中 数学(文)试题
参考公式: V锥 ?

1 S底h . 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题的 4 个选项中,只有 1 项是正确的。请把答案填涂在答题卡上). 1. 设集合 A={ x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0 },则满足 A ? B={0,

1,2}的集合 B 的个数是( A .1 2.已知复数 A. 3 ? 4i B. 3 C. 4 ) D. ? 3 ? 4i D. 6 )

z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 z ? (
B. 3 ? 4i C.

? 3 ? 4i

? 3.函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0,
图所示,则 ?,? 的值分别是(
A. 2, ?

? ? ? ? ? ) 的部分图象如 2 2

1 ? , ? 2 3 1 ? , 2 6

? 3

B. 2, ?

? 6

C.

D.

4. 设 x, y ? R , 向量 a ? ( x,1), b ? (1, y ), c ? (2,?4) 且 a ? c, b // c , 则x? B.1 C.2 D.-2 4 5. 已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? ? ( ) 5 12 9 9 12 A. ? B. ? C. D. 25 25 25 25 x 6. 若 a ? 2 , b ? log 1 x ,则“ a ? b ”是“ x ? 1 ”的( )
2

y?





A .0

开始

k ?0
? ? 45?
sin ? ? cos ? ?

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 )



7.如图所示的程序框图,它的输出结果是( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6



否 输出 k 结束

? ? ? ? 45?

8. 在区间 ? 0,10? 内随机取出两个数,则这两个数的平方和 也在区间 ? 0,10? 内的概率是(
k ? k ?1


·1·

B. 10 C. ? D. ? 40 4 10 x 2 1 9.设函数 f(x)= x- , ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,则函数 y ? ? f ( x ) ? 的值域是 1+2 2 A. 1 10 ( ) A.{0,1} B.{0,-1}
x

C.{-1,1}

D.{1,1}

10.已知函数 f ( x) ? 2 ? 1 , a 一定成立的是 A. a C. 2 ( )

? b ? c ,且 f (a) ? f (c) ? f (b) ,则下列结论中,
B. a ? 0, b ? 0, c ? 0 D.

? 0, b ? 0, c ? 0
?a

? 2c

2 a ? 2c ? 2

二、填空题(本大题共 5 小题,其中 11、12、13 为必做题,14、15 为选做题,二选一。 每小题 5 分,共 20 分。请把正确答案填写在答题卷相应的横线上). 11. 若 f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

lg a 是奇函数,则实数 a =_________.
1 x?2 , 则 2

12. 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 在 点 M (1, f (1)) 处 的 切 线 方 程 为 y ?

f (1) ? f ?(1) ?

.

13.当 k>0 时,两直线 kx-y=0,2x+ky-2=0 与 x 轴围成的三角形面积的最大值 为
.

14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 A 的极坐标为 ?2,0 ? ,直线 l 的极坐 标方程为 ? (cos ? ? sin ? ) ? 2 ? 0 ,则点 A 到直线 l 的距离为________.
A

15.(几何证明选讲选做题)如图所示,过⊙O 外一点 A 作一条 直线与⊙O 交于 C,D 两点,AB 切⊙O 于 B,弦 MN 过 CD 的中点 P.已知 AC=4,AB=6,则 MP·NP= .
D N

M C B P O B

·2·

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 边 a ,

b,

c

分别是角

A



B



C 的对边,且满足:

b cos C ? (3a ? c ) cos B .[来源:学(1)求 cos B ;
(2)若 BC ? BA

? 4 , b ? 4 2 ,求边 a , c 的值.

17. (本小题满分 12 分)年龄在 60 岁(含 60 岁)以上的人称为老龄人,某小区的老龄 人有 350 人,他们的健康状况如下表:

健康指数 60 岁至 79 岁的人数 80 岁及以上的人数

2 120 9

1 133 18

0 32 14

﹣1 15 9

其中健康指数的含义是:2 代表“健康”,1 代表“基本健康”,0 代表“不健康,但生 活能够 自理”,﹣1 代表“生活不能自理”. (Ⅰ) 随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人, 该老龄人生活能够自理的概率是多少? (Ⅱ)按健康指数大于 0 和不大于 0 进行分层抽样,从该小区的老龄人中抽取 5 位,并 随机地访 问其中的 3 位.求被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的 概率.

·3·

18. (本小题满分 14 分) 设 a ∈R, 解关于 x 的不等式 x ? 间 表示) . 19.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 底面 ABC, ?BCA ? 90 0 ,AP=AC, 点 D , E 分别 在棱 PB, PC 上,且 BC//平面 ADE. (Ⅰ)求证:DE⊥平面 PAC ; (Ⅱ)若 PC⊥AD,且三棱锥 P ? ABC 的体积为 8,求多面体 ABCED 的体积.

1 ≥ a ( x ? 1) . (要求:对结果作综述 ,解集用区 .. . x

20 .(本小题满分 14 分) 已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 an ? an ? 2 S n .
2

(1)求 a1 ; (2) 求数列 {an } 的通项公式; (3) 若 bn ?

1 an

2

(n ? N ? ) , Tn ? b1 ? b2 ? ........ ? bn ,求证: Tn < 5 .
3

·4·

21.(本小题满分 14 分) 已 知 函 数

f ( x) ? ( x 2 ? 3 x ? 3) ? e x 的 定 义 域 为

?? 2, t ?

, 设

f (?2) ? m, f (t ) ? n .
(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x) 在 (2)求证:

?? 2, t ? 上为单调函数;
f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 ; x0 3 e

m?n;
f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 在 ( ?2, t ) 上有唯一解,请确定 t 的取值范围。 x0 3 e

(3)求证:对于任意的 t ? ?2, 总存在 x0 ? (?2, t ), 满足

2, 总存在x0 ? (?2又若方程 , t ), 满足

·5·

2014-2015 学年度第一学期期中考试

高三数学(文)参考答案及评分标准

(2)∵

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BC ? BA ? 4 ,∴ BC ? BA cos B ? 4

?????????7 分 ??????????8 分 ??????????????9 分 ??????????????10 分 ??????????12 分

??? ? ??? ? BC ? BA ? 12 , 即 ac ? 12 , ∴

a 2 ? c2 ? b2 1 cos B ? ? 又∵ 2ac 3


a 2 ? c 2 ? 40 ,

?a ? 6 ?a ? 2 ? a 2 ? c 2 ? 40 ? 由 ?ac ? 12 ,得 c ? 2 ,或 ? c ? 6 ? ? ?

17.解: (Ⅰ)解:该社区 80 岁以下的老龄人共有 120+133+32+15=300 人,???1 分 其中生活能够自理的人有 120+133+32=285 人, ??????2 分

记“随机访问该小区一位 80 岁以下的老龄人,该老人生活能够自理”为事件 A, 则 P(A )=
285 19 。 ? 300 20
·6·

???????????????4

分 (Ⅱ )根据表中数据可知,社区健康指数大于 0 的老龄人共有 280 人, 不大于 0 的老龄人共有 70 人, 分 所以,按照分层抽样, ,被抽取的 5 位老龄人中,有 ???????????????????5

280 ? 5 ? 4 位为健康指数大于 0 的, 350
??????????7

依次记为:a,b,c,d,有一位健康指数不大于 0 的,记为 e。 分

从这 5 人中抽取 3 人的基本事件有: (a,b,c)(a,b,d)(a,b,e)(a,c,d)(a,c,e)(a,d,e) (b,c,d)(b,c,e)(b,d,e)(c,d,e)共 10 种, 分 其中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0 的事件有: (a,b,e) (a,c,e) (a,d,e) (b,c,e)(b,d,e)(c,d,e)共 6 种, 分 记“被访问的 3 位老龄人中恰有 1 位老龄人的健康指数不大于 0”为事件 B, 则P (B) = 分 18.解:原不等式可化为 分 (1)当 a =1 时, (*)式为 分 ??????????????10 ?????????????????9

6 3 ? 10 5

??????????????????????12

( x ? 1)[(1 ? a ) x ? 1] ≥0(*) x

??????2

x ?1 ≥0,解得 x <0 或 x ≥1 x
(1 ? a )( x ? 1)( x ? 1 ) 1? a

.??????4

(2)当 a ≠1 时, (*)式可化为
·7·

x

≥0

??????

6分 ①若 a <1,则 a -1<0, 8分 ②若 1< a ≤2,则 1- a <0, 10 分 ③若 a >2,则 a -1>1, 0< 分 综上,当 a =1 时,不等式解集为 ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ? ; 当 a <1 时,不等式解集为 ?

1 1 <0,解得 ≤ x <0,或 x ≥1; a ?1 a ?1

????

1 1 ≥1,解得 x <0,或 1≤ x ≤ ; ?? a ?1 a ?1

1 1 <1, 1- a <0, 解得 x <0, 或 ≤ x ≤1. 12 a ?1 a ?1

? 1 ? , 0 ? ? ?1, ?? ? ; ? a ?1 ? ? 1 ? ; ? a ? 1? ?
?????????????

当 1< a ≤2 时,不等式解集为 ? ??, 0 ? ? ?1, 当 a >2 时,不等式解集为 ? ??, 0 ? ? ? 14 分

? 1 ? ,1 ? a ?1 ? ?

19.解: (Ⅰ)? BC//平面 ADE, BC ? 平面 PBC, 平面 PBC ? 平面 ADE=DE
? BC//ED

?????????? ??????????

2分 ∵PA⊥底面 ABC,BC ? 底面 ABC ∴PA⊥BC. 3分 又 ?BCA ? 90 ,∴AC⊥BC. ∵PA ? AC=A, ∴BC⊥平面 PAC. 分 ∴DE⊥平面 PAC . 7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, DE⊥平面 PAC,
·8·
?

?????????????6

?????????????

∵PC ? 平面 PAC,∴DE⊥PC, 分

?????????????8 ??????9

又∵PC⊥AD,AD∩DE=D,∴ PC⊥平面 ADE,∴ AE⊥PC, 分 ∵AP=AC, ∴E 是 PC 的中点,ED 是 ? PBC 的中位线。 10 分

????????

?

VP ? ABC S ? PBC 4 ? ? VP ? ADE S ?PED 1

????????????

12 分 ∴

1 1 VP ? ADE ? VP ? ABC ? ? 8 ? 2 4 4


????????????13 分

VABCED ? VP ? ABC ? VP ? ADE ? 8 ? 2 ? 6

????????????14 分

? a1 ? 0 ? a1 ? 1 20. 解: (1) 令 n ? 1, 得 a12 ? a1 ? 2S1 ? 2a1 ,

2 (2)又 a n ? a n ? 2S n

???????2

???①
2 an ?1 ? a n ?1 ? 2 S n ?1

有 ② ②-①

????

?????????????3 分 得 ???????????????4 分

a n ?1 ? S n ?1 ? S n (a n ?1 ? a n )(a n ?1 ? a n ? 1) ? 0 ? a n ? 0 ? a n ?1 ? a n ? 0 an ?1 ? an ? 1




?????????????6 分

a n ? 1 ? 1 ? (n ? 1) ? n
(3) 合 n=1 时

?????????????????8 分
5 3 ???????????????????9 分

b1

=1





·9·

n?2
1 ? n2 1 1 n ? 4
2


? 1 ? , ? 1 ? 2? ? ? 4n ? 1 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 4
2



因 ……………………………11 分






n

?k
k ?1

1
2

1 1 ? 2 5 ?1 1 ? 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 3 3 ?3 5

………………….

13 分 ∴

Tn ? b1 ? b2 ? ........ ? bn
???????????????14 分



5 3

21. 解: (I) 因为 f ?( x) ? ( x 2 ? 3 x ? 3) ? e x ? (2 x ? 3) ? e x ? x( x ? 1) ? e x 1分

?????????

由f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? 0;由f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1,
?2 分

?????????????

所以f ( x)在(??, 0), (1, ??)上递增, 在(0,1)上递减
?3 分

???? 3分 ???????????????

欲f ( x)在[?2, t ]上为单调函数, 则 ? 2 ? t ? 0 ????? 4分
∴ 4分 (II)证:因为 f ( x)在(??,0), (1,??)上递增, 在(0,1)上递减, 所以f ( x)在x ? 1 处取得极小 值 e,
又f (?2) ? 13 ? e, 所以f ( x)在[?2, ??]上的最小值为f ( ?2) e2

t 的取值范围为 ?? 2,0? 。

???????????????????

??????????

??6 分 从 而 当

t ? ?2





f (?2) ? f (t )





m?n

----------------------------------------7 分

·10·

(III)证:因为

f ?( x0 ) f ?( x ) 2 2 2 2 ? x0 ? x0 , 所以 x0 0 ? (t ? 1) 2 , 即为x0 ? x0 ? (t ? 1) 2 , x0 3 3 e e

2 2 令g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 , 从而问题转化为证明方程g ( x) ? x 2 ? x ? (t ? 1) 2 ? 0 3 3



( - 2, t )

























--------------9 分
2 2 2 1 因为g (?2) ? 6 ? (t ? 1) 2 ? ? (t ? 2)(t ? 4), g (t ) ? t (t ? 1) ? (t ? 1) 2 ? (t ? 2)(t ? 1), 所以 3 3 3 3

① 当 t ? 4或 ? 2 ? t ? 1时, g (?2) ? g (t ) ? 0, 所以g ( x) ? 0在(?2, t ) 上 有 解 , 且 只 有 一 解 ??10 分
2 ②当 1 ? t ? 4时, g (?2) ? 0且g (t ) ? 0, 但由于g (0) ? ? (t ? 1) 2 ? 0 , 3

所 解



g ( x) ? 0在(?2, t )















??????????????11 分

2 ③ 当 t ? 1时, g ( x) ? x ? x ? 0 ? x ? 0或x ? 1, 所以g ( x) ? 0在(?2, t ) 上 有 且 只 有 一

解;

当t ? 4时, g ( x) ? x 2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? ?2或x ? 3,
所 解。 以
g ( x) ? 0



(?2,4)











??????????????12 分

综上所述, 对于任意的t ? ?2, 总存在x0 ? (?2, t ), 满足
f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 x0 3 e


f ?( x0 ) 2 ? (t ? 1) 2 , x0 e 3

总存在x0 ? (?2 , t ), 满足 当 方 程

(?2, t )

上 有 唯 一 解 ,

t

的 取 值 范 围 为

? ?2,1? ? ? 4, ?? ? 。???14 分

·11·


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