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数列大题练习


数列大题练习
1. (本小题满分 12 分) 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为等比数列

? b n ? 中的 b 3

、b 4 、b 5 。

(I) 求数列 ? b n ? 的通项公式; (II) 数列 ? b n ? 的前 n 项和为 S n ,求证:数列 ? S n ?

? ?

5 4

? ? 是等比数列。 ?

2. (本小题满分 12 分)

1 1 ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) Sn 为 {an} 的前 n 项和,证明: S n ? 2
已知等比数列 {an} 中, a1 ? (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

? log3 an ,求数列 {bn} 的通项公式.

3. (本题满分 14 分) 已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首项 a1 为 ( a a?R ) ,设数列的前 n 项和为 Sn , 且

1 , a1

1 1 , 成等比数列 a2 a4
(1)求数列 {an } 的通项公式及 Sn (2)记 An ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? , Bn ? ? ? ,当 n ? 2 时,试比 ? ... ? S1 S2 S3 Sn a1 a2 a22 a2n

较 An 与 Bn 的大小.

4. (本题满分 13 分) 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M, M 的价值在使用过程中逐年减少, 从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的 价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式;

(II)设 An ?

a1 ? a2 ? n

? an

, 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对

M 更新,证明:须在第 9 年初对 M 更新.

5 .已知

f ( x) , 3 ( x ? 0) 成等差数列.又数列 {an }(an ? 0)中, a1 ? 3, 此数列的前 n 2 项的和 Sn( n ? N ? )对所有大于 1 的正整数 n 都有 S n ? f (S n?1 ) . x,
(1)求数列 {an } 的第 n+1 项; (2)若 bn 是

1 a n ?1

,

1 的等比中项,且 Tn 为{bn}的前 n 项和,求 Tn. an

6. 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn ,且 bn

? 2 ? 2Sn ;数列 {an } 为等差数列,且 a5 ? 14, a7 ? 20
7 ? 2

? (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)若 cn ? an ? bn (n ? 1, 2,3…), Tn 为数列 {cn } 的前 n 项和,求证 Tn ?

7. a 2 ,

a5 是方程 x 2 ? 12 x ? 27 ? 0 的两根, 数列 ?an ?是公差为正的等差数列,数列 ?bn ? 的
1 bn n ? N ? 2

前 n 项和为 Tn ,且 Tn ? 1 ?

?

?

(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

8 . 已知在等差数列 ?an ? 中 ,

a3 ? 4, 前 7 项和等于 35, 数列 ?bn ? 中 , 点 ?bn , Sn ? 在直线

x ? 2 y ? 2 ? 0 上,其中 Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和 ? n ? N * ? ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证数列 ?bn ? 是等比数列;

(3)设 cn ? an ? bn , Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求 Tn 并证明;

4 5 ? Tn ? ? 3 2

9.设数列

?an ?的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, Sn+1 = 3Sn + 2 ? n= 1, 2, 3 ?.

(Ⅰ)求证数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ)求通项公式 an ; (Ⅲ)设 bn ?

{

}

an ,求证 b1 ? b2 ? ... ? bn ? 1 . 2 Sn

10 . 设 数 列 {an } 的 首 项

a1 ? 1 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 点 (Sn?1 ,Sn ) n ( ? N? n , ? 2在 ) 直线

( 2t ? 3) x? 3 t y? 3 t ? (0 t 为与 n 无关的正实数)上.
(Ⅰ) 求证数列 {an } 是等比数列; (Ⅱ) 记数列 {an } 的公比为 f (t ) ,数列 {bn } 满足 b1 ? 1, bn ? f ( 设 cn ? b2n?1b2n ? b2nb2n?1 ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设 d n ? (1 ?

1 ) (n ? N? , n ? 2) . bn?1

1 n ) (n ? N* ) ,证明 dn ? dn?1 . 3bn ? 1

11.已知递增的等比数列

?an ?满足 a2 ? a3 ? a4 ? 28,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项.

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? log2 an?1 , S n 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,求使 Sn ? 42 ? 4n 成立的 n 的最小值.

12.已知数列 {an } 中, a1 ?

1 1 1 ,且当 x ? 时,函数 f ( x) ? an x 2 ? an?1 x 取得极值? 2 2 2

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项; (Ⅱ)在数列 ?bn ?中, b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? log 2 a 2n?1 ,求 b21 的值

13.已知数列{ an }的前 n 项的和为 Sn ,对一切正整数 n 都有 2Sn

? n2 ? an .

(Ⅰ )求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ )当 n ? N ,证明
?

1 1 ? an ? 2 ?1 2 ? 2
an

?

1 2
an ?1

?

7 . 12

14.数列 {an } 中, a1

? 8, a4 ? 2, 且 an?2 ? 2an?1 ? an (n ? N*).

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 Sn ?| a1 | ? | a2 | ? (3)设 bn ?

? | an |, 求 S10 ;

1 , Tn ? b1 ? b2 ? n(12 ? an )

? bn ,是否存在最大整数 m,使得对 ?n ? N * 有

Tn ?

m 成立?若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由? 32

15. (本小题满分 14 分) 已 知 数 列

{an }与{bn }
( ?
*





bn?1

?

? (? ?an

n

? 1

bn 2 ?

3 ? ? n?1 a )n 2

1 且1 ?

, bn

)
1

,n

(Ⅰ)求 a2 , a3 的值; (Ⅱ)设 cn ? a2n?1 ? a2n?1 , n ? N ,证明 {cn } 是等比数列;
*

(Ⅲ)设 Sn 为 {an } 的前 n 项和,证明

S1 S2 ? ? a1 a2

?

S2 n?1 S2 n 1 ? ? n ? (n ? N * ). a2 n?1 a2 n 3

16.设数列 ?an ? 满足 a0

? a, an?1 ? can ?1 ? c, c ? N * , 其中 a , c 为实数,且 c ? 0

(Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式 (Ⅱ )设 a ?

1 1 , c ? , bn ? n(1 ? an ), n ? N * ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ; 2 2
*

(Ⅲ )若 0 ? an ? 1 对任意 n ? N 成立,证明 0 ? c ? 1

17.已知函数 f ( x) ? 4 x ? 1, g ( x) ? 2 x, x ? R,数列 {an } , {bn } , {cn } 满足条件 a1 ? 1,

an ? f (bn ) ? g (bn?1 ) ( n ?N*), cn ?

1 . 1 1 [ f (n) ? ][g (n) ? 3] 2 2

(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,并求使得 Tn ? (Ⅲ )求证

m 对任意 n ?N*都成立的最大正整数 m ; 150

a a1 a2 n 1 ? ? ??? ? n ? ? . a2 a3 an?1 2 3

(18) (本小题共 13 分) 在等差数列 ?an ? 中, 其前 n 项和为 S n , 等比数列 ? bn ? 的各项均为正数, a1 ? 3 , b1 ? 1 , 公比为 q ,且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (Ⅰ)求 an 与 bn ; (Ⅱ)证明:

S2 . b2

1 1 1 1 2 ? ??? ? . ≤ 3 S1 S 2 Sn 3


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