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2017高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词习题 理


第三节
[基础达标]

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(

q);
)

④(


p)∨q 中,真命题是
B.①④ C.②③ D.②④

(

A.①③

1.C 【解析】由不等式的性质可知命题 p 是真命题,命题 q 为假命题,故①p∧q 为假命题,

②p∨q 为真命题,③
命题.

q 为真命题,则 p∧(

q)为真命题,④

p 为假命题,则(

p)∨q 为假

2. (2015·泉州五校联考) 下列有关命题的说法正确的是 A.命题“? x∈R, 均有 x2-x+1>0”的否定是:“? x0∈R, 使得 B.“x=3”是“2x -7x+3=0”成立的充分不必要条件 C.线性回归方程 中的一个点 D.若“p∧(
2

(

)

-x0+1<0”

x+

对应的直线一定经过其样本数据点(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)

q)”为真命题,则“p∧q”也为真命题

2.B 【解析】A 中“大于”的否定应该为“不大于”,故错误.B 中把 x=3 代入方程成立,但 方程还有另一解 x= ,所以为充分不必要条件.C 中回归直线一定经过的点为样本中心点,而 不是数据点,故错误.D 中 p∧q 应为假命题. 3.当 a>0 时,设命题 p:函数 f(x)=x+ 在区间(1,2)内单调递增,命题 q:不等式 x2+ax+1>0 对 任意 x∈R 都成立,若“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值范围为 A.(0,1] C.[0,2] B.[1,2) D.(0,1)∪[2,+∞) ( )

1

3.A 【解析】f(x)=x+

(a>0)在区间(1,2)内单调递增,所以 f'(x)≥0 在区间(1,2)内恒成

立,即 12

≥0 在区间(1,2)内恒成立,即 a≤x2 在区间(1,2)内恒成立,所以 0<a≤1
2

①,又

不等式 x +ax+1>0 对任意 x∈R 都成立,所以 a -4<0,即-2<a<2 ②,若“p 且 q”是真命题,则

p,q 都为真命题,所以由①②取交集得 0<a≤1,所以选项 A 正确.
4. (2015·蚌埠五中、十二中联考) 下列判断正确的是 A.若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“p∧q”为真命题 B.命题“若 xy=0,则 x=0”的否命题为“若 xy=0,则 x≠0” C.“sin α = ”是“α = ”的充分不必要条件 ( )

D.命题“? x∈R,2x>0”的否定是“? x0∈R,

≤0”

4.D 【解析】 A 错,p∧q 中是有一假时必为假;B 错,否命题是条件与结论都要否定;C 错,sin α = 时,未必 α = ,如 α = 也可以;D 正确.

5.命题 p:? α ∈R,sin(π -α )=cos α ;命题 q:? m>0,双曲线 则下列结论正确的是 A.p 是假命题 C.p∧q 是假命题 B.

=1 的离心率为
(

, )

p 是真命题

D.p∨q 是真命题

5.D 【解析】当 α = 时,sin(π -α )=cos α ,所以 p 为真命

题.a=b=|m|=m,c=

|m|=

m, 所以 e=

,即命题 q 为真命题,则

p,

q 为假命题,所以选项 D 正确.

二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 6. (2015·山东高考) 若“? x∈ 为 ,tan x≤m”是真命题,则实数 m 的最小值

.
2

6.1 【解析】由题意可得 m≥tan x,x∈ 的最小值为 1.

恒成立,则 m≥(tan x)max=1,x∈

,故 m

7. (2015·成都七中期中考试) 己知命题 p:函数 f(x)=x2+ax-2 在[-1,1]上有且仅有一个零 点,命题 q:x2+3(a+1)x+2≤0 在区间 取值范围是 7. 上恒成立,若命题“p 且 q”是假命题,则实数 a 的

.
【解析】p 真时,当 a=0 时不符合,当 时,解

得 a≤-1 或 a≥1.q 真时,不等式可化为 3(a+1)≤-

上恒成立,而

,故只需 3(a+1)≤- ,则 a≤- .因为“p 且 q”是假命题,所以有 p 真 q 假,q

真 p 假,p 假 q 假,共 3 种情况.若 p 真 q 假,可得- <a≤-1 或 a≥1;若 q 真 p 假,可得 a∈? ;

若 p 假 q 假,可得-1<a<1.综上可得 a>- .

[高考冲关] 1.(5 分) (2015·浙江高考) 命题“? n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的否定形式是 A.? n∈N ,f(n)?N 且 f(n)>n B.? n∈N ,f(n)?N 或 f(n)>n C.? n0∈N ,f(n0)?N 且 f(n0)>n0 D.? n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0 1.D 【解析】根据全称命题的否定为特称命题,则命题“? n∈N ,f(n)∈N 且 f(n)≤n”的 否定形式是:? n0∈N ,f(n0)?N 或 f(n0)>n0. 2.(5 分) (2014·新课标全国卷Ⅰ) 不等式组 的解集记为 D,有下面四个命题:
* * * * * * * * * * * * * *

(

)

p1:? (x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2,
3

p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3, p4:? (x,y)∈D,x+2y≤-1,
其中的真命题是 A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3 ( )

2.C 【解析】画出不等式组表示的可行域,可知直线 x+2y=0 经过 x+y=1 与 x-2y=4 的交点 (2,-1),在可行域内平移直线 t=x+2y,可知其最小值为 0,故 p1 与 p2 正确. 3.(5 分)已知函数 f(x)=x2,g(x)=

-m.若 x∈[-1,3],则函数 f(x)的值域为 .

;若

? x∈[0,2],g(x)≥1 成立,则实数 m 的范围为 3.[0,9]

【解析】 当 x∈[-1,3]时,f(x)=x2∈[0,9],所以函数 f(x)的值域为[0,9];

若? x∈[0,2],g(x)≥1 成立等价于 g(x)在[0,2]的最小值不小于 1,而 g(x)单调递减,所以

-m≥1,即 m≤- .
4.(10 分)已知命题 p:关于 x 的不等式 x -2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立;命题 q:函数
2

y=log(4-2a)x 在(0,+∞)上递减,若(
2

p)∨q 为真, p∧(

q)为假,求实数 a 的取值范围.

4.【解析】命题 p 真,即有 4a -16<0,解得-2<a<2; 命题 q 真,即有 0<4-2a<1,解得 <a<2.

由于(

p)∨q 为真, p∧(

q)为假,可知 p,q 满足:p 真、q 真;p 假、q 真;p 假、q 假;

①p 真,q 真时,有

解得 <a<2;

②p 假,q 真时,有

解得 a∈? ;

③p 假,q 假,有

解得 a≤-2 或 2≤a,

综合得 a∈(-∞,-2]∪

.

4


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