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数学建模选修2-1


例 13 A 、 B 、C 是我方三个炮兵阵地, A 在 B 正东 6 千米,C 在 B 正北偏西 30°, 相距 4 千米, P 为敌炮阵地,某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于 B 、 C 两地比 A 距 P 地远,因此 4 s 后, B 、 C 才同时发现这一信号,此信号的传播速度为 1 km
s

,A 若

炮击 P 地,求炮击的方位角. 分 析 : 点 P 到 B 、 C 距 离 相 等 , 因 此 点 P 在 线 段 BC 的 垂 直 平 分 线 上 . 又
PB ? PA ? 4 ,因此 P 在以 B 、 A 为焦点的双曲线的右支上.由交轨法可求 P 的坐标,

进而求炮击的方位角.

解:如图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴建立坐标系,则
B ( ? 3 , 0 ) 、 A (3 , 0 ) 、 C ( ? 5 , 2
3).

因为 PB ? PC ,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上. 因为 k BC ? ? 3 , BC 中点 D ( ? 4 ,
D: y ? 3 ? ? 1 3 (x ? 4) .
3 ) ,所以直线



又 PB ? PA ? 4 ,故 P 在以 A 、 B 为焦点的双曲线右支上.
x
2

设 P ( x , y ) ,则双曲线方程为

?

y

2

? 1 ( x ? 0) .



4

5

联立①、②式,得 x ? 8 , y ? 5 3 所以 P ( 8 , 5 3 ) .因此
5 3

k PA ?

8?3

?

3 .

故炮击的方位角为北偏东 30 ? . 说明:空间物体的定位,一般先利用声音传播的时间差建立双曲线方程,然后借助曲线 的交轨来确定.这是解析几何的一个重要应用.注意方位角的概念,

例 3、双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为 12m,上口半径为 13m,下口半径为 20m,高 55m.选择适当的坐标系, 求出此 双 曲线的方程(精确到 1m).

数学建模考题/ ]+ Z6 e0 X! v! c' m4 U3 c& s1 Q2 ] 某工厂有一批圆型钢板,工人想在圆型钢板上切割几个完全相同的椭圆。 圆型钢板上切割 1 个椭圆时,椭圆的最大面积为多少? 圆型钢板上切割 2 个等面积椭圆时,椭圆的最大面积为多少? 圆型钢板上切割 3 个等面积椭圆时,椭圆的最大面积为多少? 圆型钢板上切割 4 个等面积椭圆时,椭圆德最大面积为多少?

例 2 已知 A(-7,0) ,B(7,0) ,C(2,-12)三点,若椭圆的一个焦点为 C,且过 A,B 两点,则此 椭圆另一焦点的轨迹为() 。


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