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《等比数列的前n项和公式》教学设计说明


《等比数列的前 n 项和公式》教学设计说明
河南省开封市第二十五中学 姜黎黎

《等比数列前 n 项和》 是人教版必修 5 第二章数列中第五节第一课时的内容。 下面, 我从教材分析,情境创设、公式推导,公式应用,教学反思等几个方面, 谈谈自己的管窥之见,与各位老师探讨。

教材分析

等比数列的前 n 项和是“

等差数列的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续、 是进一步学习数列知识和解决一类求和问题的重要基础和有力工具。它不仅在现 实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推 导过程中所蕴涵的类比、分类讨论、方程等思想方法,都是学生今后学习和工作 中必备的数学素养。

学情分析

就学生而言,等差、等比数列的定义和通项公式,等差数列的前n项和的公 式是学生在学习之前已经具备的知识基础。学生具体研究学习了等差数列前 n 项和公式的推导方法,具备了一定的探究能力。基于此,学生会产生思考,等比 数列前 n 项和公式应该如何推导, 公式是从什么新的角度建构?其重要性和普遍 性体现在哪里?应该说学生从内心来讲, 有想探究等比数列前 n 项和公式的欲望 和驱动力。

教学目标

在知识方面:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法,掌握等比数列的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

在能力方面:提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一般的思 维方法,渗透方程思想、分类讨论思想,优化思维品质。

在情感方面: 培养学生将数学学习放眼生活, 用生活眼光看数学的思维品质。

重点难点

重点:使学生掌握等比数列的前 项和公式,用等比数列的前 n 项和公 式解决实际问题。

难点:由研究等比数列的结构特点推导等比数列的前n项和公式。

情境创设

《数学课程标准》中明确指出:教材应注意创设情境,从具体实例出发,展现 数学知识的发生、 发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发 现和创造过程,了解知识的来龙去脉.是对课堂教学实践的要求.

我选择的问题情景是国王赏麦的故事. 国际象棋起源于古代印度,关于国 际象棋有这样一个传说: 相传古印度宰相达依尔,发明了国际象棋。当时的国王 大为赞赏,就问他想要什么。达依尔说:“请在棋盘的 64 个方格上,第一格放 1 颗麦粒,第二格放 2 颗麦粒,第三格放 4 颗麦粒,依次类推,每一格放的麦粒 数都是前一格的两倍,直到第 64 格,请您给我足够的麦粒以实现上述要求。” 选择这个故事作为问题情景首先是因为经典永远是经典,这正是基于数学教师对 数学史知识的广泛认同.通过数学史料,可以扩展学生的数学视野,提高学生对数

学的科学价值、 应用价值、 文化价值的认识.其次,将学生的角色设计成国王的谋 士,更加激发了学生的探究热忱,同时也让学生明白数学和生活息息相关,把学 以致用的思想渗透到课堂中。最后,通过让学生大胆预测麦粒的重量产生悬念, 在公式推导后让学生运用公式解决问题,收尾呼应.在教师的引导下, 学生根据自 己掌握的知识和经验,很快建立起等比数列的数学模型。数列是以 1 为首项,2 为公比的等比数列。当学生跃跃欲试要求这个数列的前 64 项和时,课题的引入 水到渠成。

公式推导

丰富学生的学习方式,改进学生的学习方法是高中数学新课程的基本理念. 《数学课程标准》明确指出:教学中,应鼓励学生积极参与教学活动,包括思维的 参与和行为的参与.既要有教师的讲授和指导,也有学生的自主探索与合作交流. 鼓励学生发现数学的规律和问题解决的途径,使他们经历知识形成的过程.

公式推导是这节课的重难点突破的地方,是整节课的核心。我进行了深入的 思考,以教学实践与经验为基础,设计的教学方案是通过复习类比等差数列求和 方法寻求等比数列求和的突破, 重点主要是为什么要在等比数列前 n 项和这一等 式两边同乘以公比 q。 首先推导等差数列前 n 项和公式, 形式上采用倒序相加法, 本质上是根据等差数列的定义 发,抓住倒序后两式中上下对应项的和均为 ,从公差为 这一特性出

这个特点,构造相同项,进

而化繁为简, 推得公式。 由此学生自然会联想等比数列是不是也可以用倒序相加 法求和?学生进行尝试发现时行不通的.在此情景下引领学生透过现象看本质, 如 何在等比数列前 n 项和中构造相同项,从而化繁为简是解决问题的关键。引导学 生抓住等差数列求和是根据定义,由公差 据定义,由公比 来探究。 切入。自然,等比数列求和也应根

关注等比数列的定义: 即等比数列中的每一项乘以

, 如果对其稍加变形, 就会发现

=

都等于其后项,由于这是每一项共有的特点,所 。这样一来,等式两边为何乘 ,迎

以将这一特点应用在前 n 项和上,即

刃而解。通过如上分析,学生也体会到:这两种数列求和公式的推导方法,从数 学思想上来讲是一致的,将不同项转化为相同项,从而将不易求转化为易求,只 是具体的处理形式略有差异。正是由于这些异同,学生数学思维深刻性、广阔性 等品质就得到了提高,思维能力得到了锻炼。

下面如何对 这一等式进一步的 化简整理, 由学生分析思考, 合作完成。 在整合的过程中, 学生会出现两个问题。

第一: 由此,学生会发现② 式中的前(n-1)项与①式中的后(n-1)项对应相同,这样一来就构造出了相同 项。但是,在表征形式上的处理有差异。有些学生注意到如果将等式右边各项均 往后错一位, 那么两式中相同项的对应就更加清晰, 在此基础上, 用①式减②式, 这些相同的(n-1)项立即抵消为 0,得到 ,从而完美的达 到了化繁为简的目的。 因此, 对于学生深入细致的思考应给予高度的肯定和赞赏。 同时,强调指出,这样的处理方法被形象的喻为:错位相减法。

第二:进一步化简,有些学生容易忽视:等式两边同时除以(1— 数要求不为 0,因此要特别强调对 1— 数列为常数列, ,当 1— 做分类讨论,当 1— ≠0 即 =0 即

)时除 =1 时,

≠1 时,

,从而通过错位相减法推出公式。在此基础上, ≠1 时,

引领学生由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式:

在探究的过程中,学生还有其他的推导公式的想法,我们都给予了学生高 度的肯定,并且让学生在课下整合自己的探究过程,在班级的学习园地中展示, 同学们共享研究成果。 同时, 错位相减法是解决一类求和问题的重要基础和有力 工具。要引起学生的高度重视。

数学探究是高中数学课程中引入的一种新的学习方式,它有利于学生形成功 能良好的认知结构.在问题探究过程中,学生通过思考、操作、内化等学习过程, 深化知识和方法的建构,同时也不断地促进学生主动参与学习,使课堂教学真正 做到让学生“动起来”,让课堂“活起来”.

公式应用

公式推出后,又通过对公式特征的分析帮助学生弄清公式形式和本质,明确 其内涵和外延,为灵活运用公式打下基础。

首先回到国王赏麦的故事中,我给学生提供了相应的数据,让学生运用公式 解决问题,从数据出发,用事实说话。同时再次使学生明确学习的意义在于学以 致用。退去故事的外衣,就是等比数列求和的问题,所以在此基础上的变式练习 就是公式的直接应用, 目的是加强对公式的认识和记忆, 帮助学生明确解题步骤, 规范解题格式,提高运算能力。例 2 是关于“知三求二”的应用问题,目的是深 化公式本质,渗透方程思想。

教学反思

结果因过程而精彩,现象因方法而生动.无论是情境创设,还是探究设计,都 必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线,设法从庞杂的知识中引导学生去

寻找关系,挖掘书本背后的数学思想,建构基于学生发展的知识体系,教学生学会 思考,让教学真正成为发展学生能力的课堂活动。因此,本课例在公式的推导及 证明中舍得花大量时间, 便是为了培养学生学会探究与创新,它就像一缕温暖的 阳光,不一定能唤醒万物,却能催开人世间最绚丽的花朵。

整节课采取了“情境——问题”的教学模式,以实际问题作为背景创设教学 情境。在具体问题上,抽象出解决一般问题的方法,由“特殊到一般,再由一般 到特殊”,让学生亲历提出问题,解决问题,反思总结的全过程。在已有知识和 经验的基础上主动建构新知识。同时,运用了学案,成果展示等新的教学理念。 既保留了传统教学的优势,又增添了新式教学的辅助。新老结合,效果显著。

从学生的课堂积极性和学习成果来看,学生较好的完成了等比数列前 n 项和 的学习,在获得知识的基础上提高了分析问题解决问题的能力。当然,一节课的 知识与能力的提高时有限的,特别是数学思想的渗透。但是,我们能够从一节课 中吸取精华,让一节又一节的课堂活动连贯起来,促进学生学习能力的提高,数 学素养的提升。

在整个过程当中,从开始准备到此刻,我深刻的体会到了钻研教材的艰辛与 快乐, 解惑授业时的责任与幸福。 学无止境, 路漫漫其修远兮, 吾将上下而求索。

本文转自“第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动”


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