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2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)含答案


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {?1,0,1} , N ? {0,1, 2} ,则 M A. {?1, 0,1} B. {?1, 0,1, 2}

N?
D. {0,1}

C. {?1, 0, 2}

2.已知复数 Z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 Z= A. 3 ? 4i B. 3 ? 4i C. ?3 ? 4i D. ?3 ? 4i

? y?x ? 3.若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1且z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 m 和 n ,则 m ? n ? ? y ? ?1 ?
A.8 B.7 C.6 D.5

4.若实数 k 满足 0 ? k ? 9 ,则曲线 A.离心率相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1的 ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
C.实半轴长相等 D.焦距相等

B.虚半轴长相等

5.已知向量 a ? ?1,0, ?1? ,则下列向量中与 a 成 60 ? 夹角的是 A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)

6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本 容量和抽取的高中生近视人数分别是 近视率/% 小学生 3500 名 高中生 2000 名

50 30 10 O 小学 初中 高中 D.100,10 年级

初中生 4500 名

A.200,20

B.100,20

C.200,10

7.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2 ? l3 , l3 ? l4 ,则下面结论一定正确的是 A. l1 ? l4 8.设集合 A= A.60
1

B. l1 / / l4
2 3 4 5 i

C. l1 , l4 既不垂直也不平行

D. l1 , l4 的位置关系不确定

?? x , x , x , x , x ? x ?{?1, 0,1}, i ? 1, 2,3, 4,5? ,那么集合 A 中满足条件“1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5
B.90 C.120 D.130

? 3 ”的元素个数为

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) 9.不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 的解集为 10.曲线 y ? e
?5 x

。 。 。

? 2 在点 (0,3) 处的切线方程为

11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为 12.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,已知 b cos C ? c cos B ? 2b ,则 13.若等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a10 a11 ? a9 a12 ? 2e5 ,则 ln a1 ? ln a2 ? (二)选做题(14~15 题,考生从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin 半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为_________. 15. (几何证明选讲选做题)如图 3,在平行四边形 ABCD 中, 点 E 在 AB 上且 EB ? 2 AE , AC 与 DE 交于点 F ,则 C
2

a ? b

。 。

? ln a20 ?

? ? cos? 和 ? sin ? ? 1 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴正

?CDF的面积 ? ?AEF的面积

D

F A E B

1

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 3 ? , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) 。 4 2 2

17 .( 本 小 题 满 分 13 分 ) 随 机 观 测 生 产 某 种 零 件 的 某 工 厂 25 名 工 人 的 日 加 工 零 件 数 ( 单 位 : 件 ), 获 得 数 据 如 下 : 30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36,根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 [25,30 ] (30,35 ] (35,40 ] (40,45 ] (45,50 ] 频数 3 5 8 n1 n2 频率 0.12 0.20 0.32
f1 f2

(1)确定样本频率分布表中 n1 , n2 , f1 和 f 2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率。 A 18. (本小题满分 13 分)如图 4,四边形 ABCD 为正方形,PD ? 平面 ABCD ,?DPC ? 300 , AF ? PC 于点 F , B

FE / /CD ,交 PD 于点 E .
(1)证明: CF ? 平面ADF (2)求二面角 D ? AF ? E 的余弦值。 E
2 * 19. (本小题满分 14 分)设数列 ?an ? 的前 n 和为 Sn ,满足 Sn ? 2nan?1 ? 3n ? 4n, n ? N ,且 S3 ? 15 ,

D F P

C

(1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?an ? 的通项公式。

x2 y 2 5 20. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 , a b 3
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程。

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 ( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3

,其中 k ? ?2 ,

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D(用区间表示) ; (2)讨论函数 f ( x ) 在 D 上的单调性; (3)若 k ? ?6 ,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示) 。

2

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
1B 2 A 3 C 4D 5B 6A 7D 8D; 8 . 解 : A 中 元 素 为 有 序 数 组 ? x1, x2 , x3 , x4 , x5 ? , 题 中 要 求 有 序 数 组 的 5 个 数 中 仅 1 个 数 为 ?1 、 仅 2 个 数 为 ?1 或 仅 3 个 数 为 ?1 , 所 以 共 有
1 2 3 C5 ? 2 ? C5 ? 2 ? 2 ? C5 ? 2 ? 2 ? 2 ? 130 个不同数组;

9. (??, ?3)

(2, ??) ; 10. y ? ?5x ? 3 ; 11. 1 ; 12.2; 13.50; 14.(1,1); 15.9; 6
3 3 C6 ? C3 ? 1; 3 6 C10

11.解:6 之前 6 个数中取 3 个,6 之后 3 个数中取 3 个, P ? 16.解: (1) f ( 5? ) ? A sin( 5? ? ? ) ? 3 ,

12

12

4

2

? A ? 3 ? 3 , A ? 3 ; f (??) f (?) 2 2
(2) f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin(?? ? ? ) ? 3 ,

4

4

2

? 3[ 2 (sin ? ? cos ? ) ? 2 (? sin ? ? cos ? )] ? 3 , 2 2 2

? ? 6 cos ? ? 3 , cos ? ? 6 ,又 ? ? (0, ) , 4 2 2
? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 10 , 4
3 f ( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 30 . 4 4
17. 解: (1) n1 ? 7, n2 ? 2 , f1 ? 0.28, f 2 ? 0.08 ; (2)样本频率分布直方图为
频率 组距

0.064 0.056 0.04 0.024 0.016 0 25 30 35 40 45 50 日加工零件数

(3)根据样本频率分布直方图,每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率 0.2, 设所取的 4 人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为 ? ,则 ? ~ B(4, 0.2) ,

P(? ? 1) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? 0.2)4 ? 1 ? 0.4096 ? 0.5904 ,
所以 4 人中,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,50]的概率约为 0.5904.

18.(1)

PD ? 平面 ABCD ,

? PD ? AD ,又 CD ? AD , PD

CD ? D ,

? AD ? 平面 PCD ,

? AD ? PC ,又 AF ? PC ,

? PC ? 平面 ADF ,即 CF ? 平面ADF ;

3

(2)设 AB ? 1 ,则 Rt ?PDC 中, CD ? 1 ,又 ?DPC ? 300 ,

z A B

? PC ? 2 , PD ? 3 ,由(1)知 CF ? DF
? DF ? 3 , AF ? 2
AD 2 ? DF 2 ? 7 , 2

?CF ? AC 2 ? AF 2 ? 1 ,又 FE / /CD , 2 ? DE ? CF ? 1 ,? DE ? 3 ,同理 EF ? 3 CD ? 3 , 4 PD PC 4 4 4
E P

D F

C

y

如图所示,以 D 为原点,建立空间直角坐标系,则 A(0, 0,1) ,x

E ( 3 , 0, 0) , F ( 3 , 3 , 0) , P( 3,0,0) , C (0,1, 0) , 4 4 4

? 3 ?m ? AE ? AE ? ( 4 , 0, 0) 设 m ? ( x, y, z ) 是平面 AEF 的法向量,则 ? ,又 ? , ?m ? EF ? EF ? (0, 3 , 0) ? 4 ? ? m ? AE ? 所以 ? ? m ? EF ? ? 3 x?z ?0 4 ,令 x ? 4 ,得 z ? 3 , m ? (4,0, 3) , 3 y?0 4

由(1)知平面 ADF 的一个法向量 PC ? (? 3,1,0) , 设二面角 D ? AF ? E 的平面角为 ? ,可知 ? 为锐角,

cos ? ?| cos ? m, PC ?|?

| m ? PC | ? 4 3 ? 2 57 ,即所求. 19 | m | ?| PC | 19 ? 2

19.解: S2 ? 4a3 ? 20 , S3 ? S2 ? a3 ? 5a3 ? 20 ,又 S3 ? 15 ,

? a3 ? 7 , S2 ? 4a3 ? 20 ? 8 ,又 S2 ? S1 ? a2 ? (2a2 ? 7) ? a2 ? 3a2 ? 7 , ? a2 ? 5 , a1 ? S1 ? 2a2 ? 7 ? 3 ,
综上知 a1 ? 3 , a2 ? 5 , a3 ? 7 ; (2)由(1)猜想 an ? 2n ? 1,下面用数学归纳法证明. ①当 n ? 1 时,结论显然成立; ②假设当 n ? k ( k ? 1 )时, ak ? 2k ? 1 , 则 Sk ? 3 ? 5 ? 7 ? (2k ? 1) ?

3 ? (2k ? 1) 2 ? k ? k (k ? 2) ,又 Sk ? 2kak ?1 ? 3k ? 4k , 2

?k (k ? 2) ? 2kak ?1 ? 3k 2 ? 4k ,解得 2ak ?1 ? 4k ? 6 ,
? ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 1 ,即当 n ? k ? 1 时,结论成立;
由①②知, ?n ? N*, an ? 2n ? 1.

20.解: (1)可知 c ? 5 ,又 椭圆 C 的标准方程为

c ? 5 ,? a ? 3 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 4 , a 3

x2 y 2 ? ? 1; 9 4

(2)设两切线为 l1 , l2 , ①当 l1 ? x 轴或 l1 / / x 轴时,对应 l2 / / x 轴或 l2 ? x 轴,可知 P(?3, ?2) ;

4

②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时, x0 ? ?3 ,设 l1 的斜率为 k ,则 k ? 0 , l2 的斜率为 ? 1 ,

k

l1 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,联立

x2 y 2 ? ? 1, 9 4

得 (9k 2 ? 4) x2 ? 18( y0 ? kx0 )kx ? 9( y0 ? kx0 )2 ? 36 ? 0 , 因为直线与椭圆相切,所以 ? ? 0 ,得 9( y0 ? kx0 )2 k 2 ? (9k 2 ? 4)[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 ,

??36k 2 ? 4[( y0 ? kx0 )2 ? 4] ? 0 ,
?( x02 ? 9)k 2 ? 2x0 y0k ? y02 ? 4 ? 0
所以 k 是方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的一个根, 同理 ? 1 是方程 ( x02 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y02 ? 4 ? 0 的另一个根,

k

y 2 ?4 ,得 x02 ? y02 ? 13 ,其中 x0 ? ?3 , ? k ? (? 1 ) ? 0 2 k x0 ? 9
所以点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 ( x ? ?3 ) , 因为 P(?3, ?2) 满足上式,综上知:点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 13 .

21.解: (1)可知 ( x2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x2 ? 2 x ? k ) ? 3 ? 0 ,

?[( x2 ? 2x ? k ) ? 3] ?[( x2 ? 2x ? k ) ?1] ? 0 ,
? x2 ? 2 x ? k ? ?3 或 x 2 ? 2 x ? k ? 1 ,

?( x ? 1)2 ? ?2 ? k (?2 ? k ? 0) 或 ( x ? 1)2 ? 2 ? k (2 ? k ? 0) ,
? | x ? 1|? ?2 ? k 或 | x ?1|? 2 ? k ,

??1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k ,
所以函数 f ( x ) 的定义域 D 为

(??, ?1 ? 2 ? k )
(2) f '( x) ? ?

(?1 ? ?2 ? k , ?1 ? ?2 ? k )

(?1 ? 2 ? k , ? ?) ;
3

2( x 2 ? 2 x ? k )(2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2) 2 ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3

??

( x 2 ? 2 x ? k ? 1)(2 x ? 2) ( x 2 ? 2 x ? k )2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
3



由 f '( x) ? 0 得 ( x2 ? 2x ? k ? 1)(2x ? 2) ? 0 ,即 ( x ? 1 ? k )( x ? 1 ? k )( x ? 1) ? 0 ,

? x ? ?1 ? ?k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?k ,结合定义域知 x ? ?1 ? 2 ? k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?2 ? k ,
所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1 ? 2 ? k ) , (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , 同理递减区间为 (?1 ? ?2 ? k , ?1) , (?1 ? 2 ? k , ? ?) ; (3)由 f ( x) ? f (1) 得 ( x ? 2x ? k ) ? 2( x ? 2x ? k ) ? 3 ? (3 ? k ) ? 2(3 ? k ) ? 3 ,
2 2 2 2

?[( x2 ? 2x ? k )2 ? (3 ? k )2 ] ? 2[( x2 ? 2x ? k ) ? (3 ? k )] ? 0 , ?( x2 ? 2x ? 2k ? 5) ? ( x2 ? 2x ? 3) ? 0 ,
?( x ?1 ? ?2k ? 4)( x ?1 ? ?2k ? 4) ? ( x ? 3)( x ?1) ? 0 ,

? x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?3 或 x ? 1 ,
k ? ?6 ,?1? (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , ?3 ? (?1 ? ?2 ? k , ?1) ,

?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k ,
结合函数 f ( x ) 的单调性知 f ( x) ? f (1) 的解集为

(?1 ? ?2k ? 4, ?1 ? 2 ? k )

(?1 ? ?2 ? k , ? 3)

(1, ?1 ? ?2 ? k )

(?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4) .

5


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