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2017苏教版高一数学函数的单调性.doc


“函数的单调性”的教学设计
无锡市辅仁高中 一、教材分析
地位与作用: “函数的单调性”既是一个重要的数学概念,又是函数的一个重要性质.在中学数学 内容里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特点, 在利用函数观点 解决问题中起着十分重要的作用. 重点与难点:重点是函数的单调性定义理解(从形到数,从文字语言到符号语言) .难点是利用函 数的单调性定义判断、证明函数的单调性.

沈刚

二、教学目标
知识目标: (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性. 能力目标:通过概念的教学,培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽象、概括的逻辑思维 能力,使其能体验和感悟数学的一般思维方法. 德育目标:通过形式化与符号化对函数单调性的描述,促使学生养成用运动、发展、变化的观点 认识世界的思维习惯.

三、学情研究
在讲授函数的单调性之前,学生已经学过一次函数,二次函数,反比例函数等简单函数,函数的 概念及函数的表示, 接下来的任务是对函数应该继续研究什么 .从各种函数关系中研究它们的共同 属性,应该是顺理成章的,有必要的和有意义的 .而且,函数的单调性是学生从已经学习的函数中 比较容易发现的一个性质,学生也容易产生共鸣.

四、教具选择
多媒体课件及实物展台,通过对图形的直观体验理解概念,化解难点.

五、过程设计
问题情境:观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

用多媒体技术展示函数动态的变化态势,让学生对图像的各种变化以及相关联的方面 得到充分感知.从而获得丰富的表象信息,产生众多的联想. 学生活动:学生通过充分观察提出自己意见:①随 x 的增大,y 的值有一定变化;②有的函数有 最大值或最小值; ③有的函数图象有上升或下降的情形或具有某种对称性??

师:图 1:函数图像在整个定义域上都是下降的 . 图 3:函数图像在整个定义域上都是上升的.

图 2:函数图像在 ? ?? ,0? 上下降,在 ? 0,? ?? 上上升. 图 4:函数图像在部分区域上上升,在部分区域上下降. 共同特点:图像在定义域的某些部分上升或下降.

师:引导学生讨论一个实际问题:校门口与地下车库之间的路是上坡还是下坡? 生:有的说上坡,有的说下坡. 师:为何说法不一? 生:讨论之后形成共识:究竟上升还是下降要看方向.不然,容易产生歧义. 师:就函数图像的上升、下降而言,以什么为参照或方向比较好? 生:以 x 轴的方向为参照较好. 师: 图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质 .数学上把函数的这种性质 称之为“单调性”.把上升称为“单调增” ,把下降称为“单调减”. 意义建构:建构主义的学习理论认为,学习不是一个被动的吸收过程,而是一个以已有的知识和 经验为基础的主动的建构过程,因此,从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的 认知规律.对函数的单调性的建构有两个重要的过程: 一是建构函数单调性的意义, 二 是通过思维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述. 师: “上升、下降”是一种日常语言,这样来描述函数的性质是不够准确的 .能否用数 学的语言来描述函数的这一特点呢? 生:讨论之后提出一种表示: 上升:函数 y ? f ? x ? 随 x 的增大而增大 下降:函数 y ? f ? x ? 随 x 的增大而减小 师:能否用数字化的符号给出一种定量的描述? 生:x 的增大 ? x1< x2, y ? f ? x ? 的增大 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 故猜想上升即 x1< x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 同理:下降即 x1< x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 师:按刚才所说:对于函数 y ? x 2 而言,因为 ? 1 ? 3 时, f ? ?1? ? f ? 3? ,所以函数 y ? x 2 是增函数.对不对? 生:联系图像,发现问题,改进猜想 . 师:总结之后给出定义. 数学理论:函数单调性定义 一般地,设函数 y ? f ? x ? 的定义域为 A,如果对于定义域 A 内的某个区间 I 内的任意 .. 两个自变量 x1,x2,当 x1< x2 时,都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,那么就说 y ? f ? x ? 在区间 I 上是 增函数(increasing function) .I 称为 y=f(x)的单调增区间(increasing interval). 注意:
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 I 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1< x2 时,总有 f ? x ? ? f ? x ? . ○ 1 2 ..

思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.

数学运用:例 1. (教材 P34 例 1)根据函数图象,写出函数的单调区间: ⑴ y ? ? x2 ? 2 ; ⑵ y?

1 ( x ? 0) x

解: (略) 巩固练习:课本 P37 练习第 1、2 题 点评:对于某些函数,如果能画出其图像,那么寻找函数的单调区间就十分容易了, 因此,图像法是求函数单调区间的一种重要方法. 例 1 引申:函数 y ?

1 在整个定义域上是否为单调函数? x

函数在某个区间上是单调函数,并不能说明函数在整个定义域上也是单调的. 例 2. (教材 P35 例 2)根据函数单调性定义证明函数的单调性.

1 求证:函数 y ? ? ? 1 在区间 ? ?? , 0 ? 上是单调增函数. x
解: (略) 巩固练习:
1 课本 P37 练习第 5 题; ○ 2 证明函数 y ? x ? ○

1 在(1,+∞)上为增函数. x

例 3.借助计算机作出函数 y ? ? x2 ? x ? 3 的图象并指出它的单调区间. 解: (略) 小结:判断函数单调性的方法步骤: 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 I 上的单调性的一般步骤:
1 任取 x1,x2∈I,且 x1< x2; ○ 2 作差 f ? x ? ? f ? x ? ; ○ 1 2 3 变形(通常是因式分解,配方或有理化) ○ ; 4 定号(即判断差 f ? x ? ? f ? x ? 的正负) ○ ; 1 2 5 ○ 下结论(即指出函数 y ? f ? x ? 在给定的区间 I 上的单调性) .

回顾反思:函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象可以借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论

六、教后反思
⑴ 要实现数学新知的建构学习, 教师创设适当的情境是一个十分重要的方面. 当然, 情境应符合 实际.这里的实际包括数学教学内容的实际,学生知识状况的实际,学生思维发展的实际等等. ⑵ 函数的单调性与很多已有的知识、经验、方法有联系, 这些对函数单调性的学习有着积极的 意义,同时对函数单调性的理解也使得这些知识的意义得到了扩展. ⑶ 概念和意义的综合贯通,不是一次课堂教学所能解决,因此需要在后续教学中多次反思,不断 运用.


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