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华英学校八年级数学培优班

暑期讲义
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义

第十一章
【知识精读】

全等三角形及其应用

1. 全等三角形的定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形;两个全 等三角形中,互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边,互相重合 的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法:若△ABC 和△A′B′C′是全等的三角形,记作 “△ABC ≌△A′B′C′其中, “≌”读作“全等于” 。记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。

3.

全等三角形的的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等;

4. 寻找对应元素的方法 (1)根据对应顶点找 如果两个三角形全等,那么,以对应顶点为顶点的角是对应角;以对应顶点 为端点的边是对应边。通常情况下,两个三角形全等时,对应顶点的字母都写在 对应的位置上,因此,由全等三角形的记法便可写出对应的元素。 (2)根据已知的对应元素寻找 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (3)通过观察,想象图形的运动变化状况,确定对应关系。 通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析, 可以看出其中一个 是由另一个经过下列各种运动而形成的。 ?翻折 如图 (1) ?BOC≌?EOD, , ?BOC 可以看成是由?EOD 沿直线 AO 翻折 180? 得到的;

?旋转 如图(2) ,?COD≌?BOA,?COD 可以看成是由?BOA 绕着点 O 旋转 180? 得到的;

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?平移 如图(3) ,?DEF≌?ACB,?DEF 可以看成是由?ACB 沿 CB 方向平行移动 而得到的。

5. 判定三角形全等的方法: (1)边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理 (2) 推论:角角边定理 6. 注意问题: (1)在判定两个三角形全等时,至少有一边对应相等; (2)不能证明两个三角形全等的是,a: 三个角对应相等,即 AAA;b :有两 边和其中一角对应相等,即 SSA。 全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具, 同时也是移动图形位置的 工具。在平面几何知识应用中,若证明线段相等或角相等,或需要移动图形或移 动图形元素的位置,常常需要借助全等三角形的知识。 【分类解析】全等三角形知识的应用 (1) 证明线段(或角)相等 【例 1】如图,已知 AD=AE,AB=AC.求证:BF=FC 分析:由已知条件可证出Δ ACD≌Δ ABE,而 BF 和 FC 分别位于Δ DBF 和 Δ EFC 中,因此先证明Δ ACD≌Δ ABE,再证明Δ DBF≌Δ ECF,既可以得到 BF=FC.

证明:在Δ ACD 和Δ ABE 中,

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AE=AD ∠ A=∠ A AB=AC.

∴ Δ ACD≌Δ ABE (SAS) ∴ ∠B=∠C(全等三角形对应角相等) 又 ∵ AD=AE,AB=AC. ∴ AB-AD=AC-AE 即 BD=CE 在Δ DBF 和Δ ECF 中
∠ B=∠ C ∠ B FD = ∠ C FE ( 对 顶 角 相 等 ) BD=CE

∴ Δ DBF≌Δ ECF (AAS) ∴ BF=FC (全等三角形对应边相等) (2)证明线段平行 【例 2】 已知: 如图, DE⊥AC, BF⊥AC, 垂足分别为 E、 DE=BF, F, AF=CE. 求证:AB∥CD
D C

E A

F

B

分析:要证 AB∥CD,需证∠C=∠A,而要证∠C=∠A,又需证Δ ABF≌ Δ CDE.由已知 BF⊥AC,DE⊥AC,知∠DEC=∠BFA=90°,且已知 DE=BF, AF=CE.显然证明Δ ABF≌Δ CDE 条件已具备,故可先证两个三角形全等,再证 ∠C=∠A,进一步证明 AB∥CD. 证明:∵ DE⊥AC,BF⊥AC (已知) ∴ ∠DEC=∠BFA=90° (垂直的定义) 在Δ ABF 与Δ CDE 中,
A F= C E (已知) (已证) ∠ D E C = ∠ B FA DE=BF ( 已 知 )

∴ Δ ABF≌Δ CDE(SAS) ∴ ∠C=∠A (全等三角形对应角相等) ∴ AB∥CD (内错角相等,两直线平行) (3)证明线段的倍半关系,可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段 相等 【例 3】如图,在△ ABC 中,AB=AC,延长 AB 到 D,使 BD=AB,取 AB 的中点 E,连接 CD 和 CE. 求证:CD=2CE

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分析: (ⅰ)折半法:取 CD 中点 F,连接 BF,再证Δ CEB≌Δ CFB.这里注意利用 BF 是Δ ACD 中位线这个条件。 证明:取 CD 中点 F,连接 BF 1 ∴ BF=2 AC,且 BF∥AC (三角形中位线定理) ∴ ∠ACB=∠2 (两直线平行内错角相等) 又∵ AB=AC ∴ ∠ACB=∠3 (等边对等角) ∴ ∠3=∠2 在Δ CEB 与Δ CFB 中,
B F= B E ∠ 3= ∠ 2 CB=CB

∴ Δ CEB≌Δ CFB (SAS) 1 ∴ CE=CF=2 CD (全等三角形对应边相等) 即 CD=2CE (ⅱ)加倍法 证明:延长 CE 到 F,使 EF=CE,连 BF.
C

4

1

A

E

2

3

B

D

F

在Δ AEC 与Δ BEF 中,
AE=BE ∠ 1= ∠ 2 ( 对 顶 角 相 等 ) C E = FE

∴Δ AEC≌Δ BEF (SAS) ∴ AC=BF, ∠4=∠3 (全等三角形对应边、对应角相等) ∴ BF∥AC (内错角相等两直线平行) ∵ ∠ACB+∠CBF=180o, ∠ABC+∠CBD=180o,
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 又 AB=AC ∴∠ACB=∠ABC ∴∠CBF=∠CBD (等角的补角相等) 在Δ CFB 与Δ CDB 中,
CB=CB ∠ C B F= ∠ C B D B F= B D

∴ Δ CFB≌Δ CDB (SAS) ∴ CF=CD 即 CD=2CE 说明: 关于折半法有时不在原线段上截取一半,而利用三角形中位线得到原 线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理,取 AC 中点 F,连 BF(如图) (B 为 AD 中点是利用这个办法的重要前提) ,然后证 CE=BF. (4)证明线段相互垂直 【例 4】已知:如图,A、D、B 三点在同一条直线上,Δ ADC、Δ BDO 为 等腰三角形,AO、BC 的大小关系和位置关系分别如何?证明你的结论。
C O E

A

D

B

分析: 本题没有直接给出待证的结论,而是让同学们先根据已知条件推断出 结论,然后再证明所得出的结论正确。通过观察,可以猜测:AO=BC,AO⊥BC. 证明:延长 AO 交 BC 于 E,在Δ ADO 和Δ CDB 中
AD=DC ∠ A D O =∠ C D B =90 OD=DB
o

∴ Δ ADO≌Δ CDB (SAS) ∴ AO=BC, ∠OAD=∠BCD(全等三角形对应边、对应角相等) ∵ ∠AOD=∠COE (对顶角相等) ∴ ∠COE+∠OCE=90o ∴ AO⊥BC 5、中考点拨: 【例 1】如图,在△ABC 中,AB=AC,E 是 AB 的中点,以点 E 为圆心,EB 为 半径画弧,交 BC 于点 D,连结 ED,并延长 ED 到点 F,使 DF=DE,连结 FC. 求证:∠F=∠A.

分析:证明两个角相等,常证明这两个角所在的两个三角形全等,在已知图
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 形中∠A、∠F 不在全等的两个三角形中,但由已知可证得 EF∥AC,因此把∠A 通过同位角转到△BDE 中的∠BED,只要证△EBD≌△FCD 即可. 证明:∵AB=AC, ∴∠ACB=∠B, ∵EB=ED, ∴∠ACB=∠EDB. ∴ED∥AC. ∴∠BED=∠A. ∵BE=EA. ∴BD=CD. 又 DE=DF,∠BDE=∠CDF ∴△BDE≌△CDF, ∴∠BED=∠F. ∴∠F=∠A. 说明:证明角(或线段)相等可以从证明角(或线段)所在的三角形全等入 手,在寻求全等条件时,要注意结合图形,挖掘图中存在的对项角、公共角、公 共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。 【例 2】如图,已知△ ABC 为等边三角形,延长 BC 到 D,延长 BA 到 E,并 且使 AE=BD,连接 CE、DE.求证:EC=ED
E

F

A

B

C

D

分析:把已知条件标注在图上,需构造和△AEC 全等的三角形,因此过 D 点 作 DF∥AC 交 BE 于 F 点,证明△AEC≌△FED 即可。 证明:过 D 点作 DF∥AC 交 BE 于 F 点 ∵ △ ABC 为等边三角形 ∴ △BFD 为等边三角形 ∴ BF=BD=FD ∵ AE=BD ∴ AE=BF=FD ∴ AE-AF=BF-AF 即 EF=AB ∴ EF=AC 在△ ACE 和△DFE 中,
E F= A C ( 已 证 ) ∠ E A C = ∠ E D F (两 直 线 平 行 , 同 位 角 相 等 ) A E = FD (已 证 )

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 ∴ △AEC≌△FED(SAS) ∴ EC=ED(全等三角形对应边相等) 题型展示: 【例 1】如图,△ABC 中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD.

分析:在 AB 上截取 AE=AC,构造全等三角形,△AED≌△ACD,得 DE =DC,只需证 DE=BE 问题便可以解决. 证明:在 AB 上截取 AE=AC,连结 DE. ∵ AE=AC,∠1=∠2,AD=AD, ∴ △AED≌△ACD, ∴ DE=DC,∠AED=∠C. ∵ ∠AED=∠B+∠EDB,∠C=2∠B, ∴ 2∠B=∠B+∠EDB. 即 ∠B=∠EDB. ∴ EB=ED,即 ED=DC, ∴ AB=AC+DC. 剖析: 证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种,一种是截长 法 (即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条,再证余下的部分等于另一条 短线段) ;如作 AE=AC 是利用了角平分线是角的对称轴的特性,构造全等三角 形,另一种方法是补短法(即延长一条短线段等于长线段,再证明延长的部分与 另一条短线段相等) ,其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题, 实际上仍是构造全等三角形,这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内 容. 【实战模拟】 1. 下列判断正确的是( )

(A)有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 (B)有两边对应相等,且有一角为 30°的两个等腰三角形全等 (C)有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 (D)有两角和一边对应相等的两个三角形全等
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 2. 已知:如图,CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC 于点 E,BE、CD 交于点 O,且 AO 平分∠BAC.求证:OB=OC.

3. 如图,已知 C 为线段 AB 上的一点,?ACM 和?CBN 都是等边三角形,AN 和 CM 相交于 F 点,BM 和 CN 交于 E 点。 求证:?CEF 是等边三角形。
M F A
4.如图,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线。 1 求证:AD< (AB+AC) 2
1

N

E C

2

B

5. 如图,在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°,D 是斜边上 AB 上任一点,AE⊥ CD 于 E,BF⊥CD 交 CD 的延长线于 F,CH⊥AB 于 H 点,交 AE 于 G. 求证:BD=CG.

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 【试题答案】 1. D 2.证明: ∵ AO 平分∠ODB,CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC 于点 E,BE、CE 交于点 O, ∴ OD=OE,∠ODB=∠OEC=90°, ∠BOD=∠COE。 ∴ △BOD≌△COE(ASA) . ∴ OB=OC

3. 分析 由?ACM=?BCN=60?,知?ECF=60?,欲证?CEF 是等边三角形,只 要证明?CEF 是等腰三角形。 先证?CAN≌?MCB, 得?1=?2.再证?CFN≌?CEB, 即可推得?CEF 是等边三角形的结论。 证明:在?CAN 和?MCB, ∵AC=MC,CN=CB, ?CAN=?MCB=120?, ∴?ACN≌?MCB 中, ∴ ?FCB 和?CEB 中, ∵?FCN=?ECB=60?,?1=?2,CN=CB, ∴?CFN≌?CEB,∴CF=CE, 又∵?ECF=60?, ∴?CEF 是等边三角形. 4. 分析: 关于线段不等的问题, 一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论, 由于 AB、AC、AD 不在同一个三角形,应设法将这三条线段转化在同一个三角 形中,也就是将线段相等地转化,而转化的通常方法利用三角形全等来完成,注 意 AD 是 BC 边上的中线, 延长 AD 至 E, DE=AD, 使 即可得到△ ACD≌△EBD.
证明:延长 AD 到 E,使 DE=AD,连结 BE 在?ACD 与?EBD 中

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∴ ?ACD≌?EBD(SAS) ∴ AC=EB(全等三角形对应边相等) 在?ABE 中,AB+EB>AE(三角形两边之和大于第三边) ∴ AB+AC>2AD(等量代换)

说明:一般在有中点的条件时,考虑延长中线来构造全等三角形。 5.分析:由于 BD 与 CG 分别在两个三角形中,欲证 BD 与 CG 相等,设法证△CGE≌△ BDF。由于全等条件不充分,可先证△AEC≌△CFB 证明:在 Rt△AEC 与 Rt△CFB 中,

∵AC=CB,AE⊥CD 于 E,BF⊥C 交 CD 的延长线于 F ∴∠AEC=∠CFB=90° 又∠ACB=90° ∴ ∠CAE=90°-∠ACE=∠BCF ∴ Rt△AEC≌Rt△CFB ∴CE=BF 在 Rt△BFD 与 Rt△CEG 中,∠F=∠GEC=90°,CE=BF, 由∠FBD=90°-∠FDB=90°-∠CDH=∠ECG, ∴ Rt△BFD≌Rt△CEG ∴ BD=CG

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第十二章

轴对称

1.如果一个图形沿着某一条直线对折,对折的两部分能完全重合,那 么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴。这时,我 们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称。 2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够和另一个图形完全重合, 那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之 后互相重合的点叫做对应点,也叫做对称点。 注意: 1、一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条; 2、两个图形成轴对称和轴对称图形的概念,前提不一样,前者是两个图形,后 者是一个图形。 3、成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。 题型一:轴对称图形的判断 【例 1】如图,我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案, 下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )

① A.①②③ B.②③④





④ D.④①②

C.③④①

分析:图形沿一条直线折叠-----相互重合-----轴对称图形------判断 举一反三: 1、下列图形中,不是轴对称图形的是( A.角 B.等边三角形 2、下列图形中,不是轴对称图形的是( A. 两条相交直线 C.有公共端点的两条相等线段 3、下列英文字母属于轴对称图形的是( A、N B、S 4、下列说法中,正确的是( )
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) C.线段 D.不等边三角形 ) B. 线段 D.有公共端点的两条不相等线段 ) C、L D、E

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 A.两个全等三角形组成一个轴对称图形 B.直角三角形一定是轴对称图形 C.轴对称图形是由两个图形组成的 D.等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形 题型二:找轴对称图形的对称轴 【例 2】等腰三角形的对称轴_______条. 举一反三: 1、下列说法中,正确的个数是( ) (1)轴对称图形只有一条对称轴, (2)轴对称图形的对称轴是一条线段, (3) 两个图形成轴对称, 这两个图形是全等图形, 全等的两个图形一定成轴对称, (4) (5)轴对称图形是指一个图形,而轴对称是指两个图形而言。 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 2、轴对称图形的对称轴的条数( ) (A)只有一条 (B)2 条 (C)3 条 (D)至少一条 3、正五角星的对称轴的条数是( ) A.1 条 B.2 条 C.5 条 D.10 条 4、下列图形中有 4 条对称轴的是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 常见图形及其对称轴: 名称 线段 角 长方形 正方形 圆 平行四边形 小结: 区 别 联 系 轴对称 轴对称图形 ①指两个图形而言; ①对一个图形而言; ②指两个图形的一种形状与位置关系。 ②指一个图形的特殊形状。 ①都有一条直线,都要沿这条直线折叠重合; ②把两个成轴对称的图形看成一个整体,就是一个轴对称图形;反过来,把 轴对称图形沿对称轴分成两部分,这两部分关于这条直线成轴对称。 是否是轴对称图形 是 是 是 是 是 不是 对称轴有几条 2条 1条 2条 4条 无数条 0条 对称轴的位置 垂直平分线或线段所在的直线 角平分线所在的直线 对边中线所在的直线 对边中线所在的直线和对角线 所在的直线 直径所在的直线

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1、线段垂直平分线的概念: (1)垂直于一条线段,并平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线; (2)线段的垂直平分线可以看做和线段两个端点距离相等的所有点的集合。 2、线段垂直平分线的性质定理: 线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。 3、线段垂直平分线的性质定理的逆定理: 到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 注意: (1) “线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等”的作用是:证明两 条线段相等; (2“到段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。 ”的作用是:判 定一点在线段的垂直平分线上; (3) “如果到两点到一条线段的两个端点的距离相等,那么,这两点所在直线是 该线段的垂直平分线。 ”的作用是:垂直平分线的判定。 题型一:线段垂直平分线的性质 【例 3】 如图 1,在△ABC 中,已知 AC=27,AB 的垂直平分线交 AB 于点 D, A 交 AC 于点 E,△BCE 的周长等于 50,求 BC 的长.

D

E

B

C

图-1 点评:此题是△ABC 中一边 AB 的垂直平分线 AC 相交;那么当 AB 的垂直平分 线与 BC 相交时,(如图 2),对应的是△ACE 的周长,它的周长也等于 AC+BC.图 形变化,但结论不变.
A

D

B

E

C

图-2 举一反三: 1、 如图 1,在△ABC 中, AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交 AC 于点 E,若∠BEC=70°, 则∠A=? 点评:此题变式求角的计算方法,应用了两个定理.按照同样的方法,图 2 中也能 得出相应的结论:∠AEC=2∠B.
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 【例 4】如图 3,在△ABC 中,AB=AC, BC=12,∠BAC =120°,AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E, AC 的垂直平分线交 BC 边于点 N. A (1) 求△AEN 的周长. (2) 求∠EAN 的度数. M D (3) 判断△AEN 的形状.
B E N C

图-3 举一反三: 1.如图 4,在△ABC 中,AB=AC, BC=12,∠BAC =130°,AB 的垂直平分线交 BC 边 A 于点 E, AC 的垂直平分线交 BC 边于点 N. (1) 求△AEN 的周长. D M (2) 求∠EAN 的度数. (3) 判断△AEN 的形状.
B E N C

图-4

2.如图, 己知 AB=AC, 垂直平分 AB 交 AC、 于 D、 两点, AB=12cm, DE AB E 若 BC=10cm, A ∠A=49?,求△BCE 的周长和∠EBC 的度数.
D E

B

C

【例 5】如图,D 是线段 AB、BC 的垂直平分线的交点,若∠ABC=50° 求∠ADC

A

D

C

举一反三:

B

1.如图,△ABC 中,DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E,∠A=30°,∠ACB=80°,求∠CBE
C D A B

E A

2.如图,△ABC 内有一点 D,且 D 为直线 AB、AC 垂直平分线的交点, 若∠DAB=20°,∠DAC=30°,则∠BDC 的大小是( A.100° B.80° C.70° D.50° )
B D

C

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 题型二:线段垂直平分线的判定 【例 6】如图所示,Rt△ABC 中,D 是 AB 上一点,BD=BC,过 D 作 AB 的垂线交 AC 于点 E,CD 交 BE 于点 F。求证:BE 垂直平分 CD。(用定义法和判定定理法两种 C 方法)
E F

A

D

B

【经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗? 【例 7】 如图,在△ABC 中,D 为 BC 边上的一点,AD 平分∠BAC,且 DE⊥AB 于 点 E,DF⊥AC 于点 F,连接 EF 交 AD 于点 G,求证:AD 垂直平分 EF。 A

举一反三: 如图所示,AB>AC,? A E, D F ? A C 于 F

E B

G

F C

D

的平分线与 BC 的垂直平分线相交于 D,自 D

作 DE?AB
A



,求证:BF=CG。
F B E D C G

1、轴对称的性质: (1)关于某条直线对称的图形是全等形; (2) 如果两个图形关于某条直线对称, 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; (3)两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点 在对称轴上; (4)如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么,这两个图形关于 这条直线对称。 2、轴对称作(画)图: (1)画图形的对称轴 (2) 如果一个图形关于某直线对称,那么对称点之间的线段的垂直平分线就是 该图形的对称轴。 (3)画某点关于某直线的对称点的方法 (4)画已知图形关于某直线的对称图形 注意:
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 (1)全等的图形不一定是轴对称的,轴对称的图形一定是全等的。 (2)性质(4)的作用是判定两个图形是否关于某直线对称,它是作对对称图 形的主要依据。 【例 8】如图,ΔABC 和ΔA’B’C’关于直线对称,下列结论中:
①ΔABC≌ΔA’B’C’; ②∠BAC’≌∠B’AC; ③l 垂直平分 CC’; ) D.1 个

④直线 BC 和 B’C’的交点不一定在 l 上,正确的有( A.4 个 B.3 个 C.2 个

举一反三: 1、如图,ΔABC 与ΔA/B/C/关于直线 l 对称,则∠B 的度数为( A.50°
l A
50?

) D.90°

B.30° F A

C.100° E

A'

B

B'
30?

B
C'

D C

C

2、如图六边形 ABCDEF 是轴对称图形,CF 所在的直线是它的对称轴,若∠AFC+ ∠BCF=150°,则∠AFE+∠BCD 的大小是( A.150° B.300° C.210° ) . D.330°.

【例 9】如图,点 P 在∠AOB 内,点 M、N 分别是点 P 关于 AO 的对称点、BO M 的对称点,若△PEF 的周长为 15,求 MN 的长
A E P O F B N

等腰三角形专题讲解
【知识精读】 (-)等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理:等腰三角形有两边相等;

定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”。 )
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 推论 1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论 2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60°。等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形; 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系, 由两边 相等推出两角相等, 是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的 中线、 底边上的高、 顶角的平分线 “三线合一” 的性质是今后证明两条线段相等, 两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 (二)等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写 成“等角对等边”) 。 推论 1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论 2:有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形。 推论 3:在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°,那么它所对的直角边等 于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系, 它是证明线段相 等的重要定理,也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据, 是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰 三角形问题的辅助线, 由于这条线可以把顶角和底边折半,所以常通过它来证明 线段或角的倍分问题,在等腰三角形中,虽然顶角的平分线、底边上的高、底边 上的中线互相重合,添加辅助线时,有时作哪条线都可以,有时需要作顶角的平 分线,有时则需要作高或中线,这要视具体情况来定。

【分类解析】

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 【例 1】如图,已知在等边三角形 ABC 中,D 是 AC 的中点,E 为 BC 延长线上 一点,且 CE=CD,DM⊥BC,垂足为 M。求证:M 是 BE 的中点。
A

D

1 B M C E

分析:欲证 M 是 BE 的中点,已知 DM⊥BC,所以想到连结 BD,证 BD= ED。因为△ABC 是等边三角形,∠DBE=
1 1 2

∠ABC,而由 CE=CD,又可证∠

E= ∠ACB,所以∠1=∠E,从而问题得证。
2

证明:因为三角形 ABC 是等边三角形,D 是 AC 的中点 所以∠1=
1 2

∠ABC

又因为 CE=CD,所以∠CDE=∠E 所以∠ACB=2∠E 即∠1=∠E 所以 BD=BE,又 DM⊥BC,垂足为 M 所以 M 是 BE 的中点 (等腰三角形三线合一定理)

【 例 2 】 如 图 , 已 知 : ? A B C 中 , AB ? AC , D 是 BC 上 一 点 , 且
AD ? DB , DC ? CA

,求 ? BAC 的度数。
A

B D

C

分析:题中所要求的 ? BAC 在 ? ABC 中,但仅靠 AB ? AC 是无法求出来的。 因此需要考虑 AD ? DB 和 DC ? CA 在题目中的作用。此时图形中三个等腰三角 形, 构成了内外角的关系。 因此可利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系 定理来求。 解:因为 AB ? AC ,所以 ? B ? ? C 因为 AD ? DB ,所以 ? B ? ? DAB ? ? C ;
19

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 因为 CA ? CD ,所以 ? CAD ? ? CDA (等边对等角) 而 ? ADC ? ? B ? ? DAB 所以 ? ADC ? 2 ? B , ? DAC ? 2 ? B 所以 ? BAC ? 3 ? B 又因为 ? B ? ? C ? ? BAC ? 180 即 ? B ? ? C ? 3 ? B ? 180 即求得 ? BAC ? 108
? ? ?

所以 ? B ? 36 ?

说明 1. 等腰三角形的性质是沟通本题中角之间关系的重要桥梁。把边的关 系转化成角的关系是此等腰三角形性质的本质所在。 本条性质在解题中发挥着重 要的作用,这一点在后边的解题中将进一步体现。 2. 注意“等边对等角”是对同一个三角形而言的。 3. 此题是利用方程思想解几何计算题,而边证边算又是解决这类题目的常用 方法。 【 例 3 】 已 知 : 如 图 , ? ABC 中 , AB ? AC , CD ? AB 于 D 。 求 证 :
? BAC ? 2 ? DCB


A

1 2

D 3 E

B

C

分析:欲证角之间的倍半关系,结合题意,观察图形,? BAC 是等腰三角形 的顶角,于是想到构造它的一半,再证与 ? DCB 的关系。 证明:过点 A 作 AE ? BC 于 E,? AB ? AC 所以 ? 1 ? ? 2 ?
1 2 ? BAC

(等腰三角形的三线合一性质)

因为 ?1 ? ? B ? 90 ? 又 CD ? AB ,所以 ? CDB ? 90 ? 所以 ? 3 ? ? B ? 90 ? (直角三角形两锐角互余)

20

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 所以 ? 1 ? ? 3 (同角的余角相等) 即 ? BAC ? 2 ? DCB 说明: 1. 作等腰三角形底边高线的目的是利用等腰三角形的三线合一性质,构造角 的倍半关系。因此添加底边的高是一条常用的辅助线; 2. 对线段之间的倍半关系,常采用“截长补短”或“倍长中线”等辅助线的 添加方法,对角间的倍半关系也同理,或构造“半” ,或构造“倍” 。因此,本题 还可以有其它的证法,如构造出 ? DCB 的等角等。

4、中考题型: 1.如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线,且相交于点 F,则图中的等腰三角形有( A. 6 个 B. 7 个 C. 8 个
A 36°



D. 9 个

E F B

D

C

分析: 由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰 三角形有 8 个,故选择 C。 2.)已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是 BC 的中点,DE⊥AB,DF⊥ AC,E、F 分别是垂足。求证:AE=AF。
A

E

F

B

D

C

证明:因为 AB ? AC ,所以 ? B ? ? C 又因为 DE ? AB , DF ? AC

21

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 所以 ? BED ? ? CFD ? 90 ? 又 D 是 BC 的中点,所以 DB ? DC 所以 ? DEB ? ? CFD ( AAS ) 所以 BE ? CF ,所以 AE ? AF 说明:证法二:连结 AD,通过 ? AED ? ? AFD 证明即可

5、题形展示: 【例 1】如图, ? ABC 中, AB ? AC , ? A ? 100 ? ,BD 平分 ? ABC 。 求证: AD ? BD ? BC 。
A D 1 B 2 E F C

分析一: 从要证明的结论出发, BC 上截取 BF ? BD , 在 只需证明 CF ? AD , 考虑到 ?1 ? ? 2 ,想到在 BC 上截取 BE ? BA ,连结 DE,易得,则有 AD ? FD , 只需证明 DE ? CF ,这就要从条件出发,通过角度计算可以得出 CF ? DF ? DE 。 证明一:在 BC 上截取 BE ? BA , BF ? BD ,连结 DE、DF 在 ? ABD 和 ? EBD 中, BA ? BE , ?1 ? ? 2, BD ? BD
? ? ABD ? ? EBD ( SAS ) ? AD ? DE , ? BED ? ? A ? 100
?

? ? DEF ? 80

?

又? AB ? AC , ? A ? 100
? ? ABC ? ? C ? ? ?1 ? ? 2 ? 1 2 1 2 ? 40
?

?

(180

?

? 100 ) ? 40
?

?

?

? 20

而 BD ? BF
? ? BFD ? ? BDF ? 1 2 (180
?

? ? 2) ?

1 2

(180

?

? 20 ) ? 80

?

?

22

华英学校八年级数学培优班暑期讲义
? ? DEF ? ? DFE ? 80
? ? ? ? ?

? DE ? DF

? ? DFE ? 80 , ? C ? 40

? ? FDC ? ? DFE ? ? C ? 80 ? 40 ? ? FDC ? ? C ? DF ? FC ? BC ? BF ? FC ? BD ? AD

? 40

?

? AD ? DE ? DF ? FC

即 AD ? BD ? BC 分 析 二 : 如 图 , 可 以 考 虑 延 长 BD 到 E , 使 DE = AD , 这 样 BD + AD=BD+DE=BE, 只需证明 BE=BC, 由于 ? 2 ? 20 ? , 只需证明 ? E ? ? BCE ? 80 ?
A 3 1 B 2 F C 4 D 6 5 E

易证 ? EDC ? ? ADB ? 180 ? ? 100 ? ? 20 ? ? 60 ? ,? BDC ? 120 ? , 故作 ? BDC 的 角平分线, 则有 ? ABD ? ? FBD , 进而证明 ? DEC ? ? DFC , 从而可证出 ? E ? 80 ? 。 证明二:延长 BD 到 E,使 DE=AD,连结 CE,作 DF 平分 ? BDC 交 BC 于 F。 由证明一知: ?1 ? ? 2 ? 20 ? , ? A ? 100 则
? 3 ? 180
?

?


? 100
?

? 20

?

? 60 , ? 6 ? ? 3 ? 60 , ? BDC ? 180

?

?

?

? 60

?

?1

?

? DF

平分 ? BDC

? ? 4 ? ? 5 ? 60
?

?

? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? 60

,在 ? ABD 和 ? FBD 中

? ?1 ? ? 2, BD ? BD , ? 3 ? ? 4

? ? A B D ? ? F B D A S A) (

? AD ? FD , ? BFD ? ? A ? 100

?

? ,而 AD ? DE , DF ? DE

在 ? DEC 和 ? DFC 中, DE ? DF , ? 5 ? ? 6, DC ? DC
? ?D E C ? ?D F C S A S ( ) ? ? E ? ? DFC ? 180
?

? ? BFD ? 180

?

? 100

?

? 80

?

23

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 在 ? BCE 中, ? 2 ? 20 ? , ? 3 ? 80 ?
? ? B C E ? 80 , ? E ? ? B C E ?
? BC ? BE , AD ? BD ? BC ?
?

说明: “一题多证”在几何证明中经常遇到,它是培养思维能力提高解题水 平的有效途径,读者在以后的几何学习中要善于从不同角度去思考、去体会,进 一步提高自身的解题能力。

【实战模拟】 1. 选择题:等腰三角形底边长为 5cm,一腰上的中线把其周长分为两部分的 差为 3cm,则腰长为( A. 2cm B. 8cm ) C. 2cm 或 8cm D. 以上都不对

2. 如图, ? ABC 是等边三角形, ? CBD ? 90 ? , BD ? BC ,则 ? 1 的度数是 ________。
C

A 2 1 3 B

D

3. 求证:等腰三角形两腰中线的交点在底边的垂直平分线上.

4. ? ABC 中, AB ? AC , ? A ? 120 ? ,AB 的中垂线交 AB 于 D,交 CA 延长线 于 E,求证: DE ?
1 2 BC



A

E O B
24

D

1

2

C

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 【试题答案】 1. B 2. 分析:结合三角形内角和定理,计算图形中角的度数是等边三角形性质的 重要应用。 解:因为 ? ABC 是等边三角形
? 所以 AB ? BC , ABC ? 60 ?

因为 BD ? BC ,所以 AB ? BD 所以 ? 3 ? ? 2 在 ? ABD 中,因为 ? CBD ? 90 ? , ? ABC ? 60 ? 所以 ? ABD ? 150 ? ,所以 ? 2 ? 15 ? 所以 ?1 ? ? 2 ? ? ABC ? 75 ? 3. 分析:首先将文字语言翻译成数学的符号语言和图形语言。 已知:如图,在 ? ABC 中, AB ? AC ,D、E 分别为 AC、AB 边中点,BD、 CE 交于 O 点。求证:点 O 在 BC 的垂直平分线上。

分析:欲证本题结论,实际上就是证明 OB ? OC 。而 OB、OC 在 ? ABC 中, 于是想到利用等腰三角形的判定角等,那么问题就转化为证含有 ?1、 ? 2 的两个 三角形全等。 证明:因为在 ? ABC 中, AB ? AC 所以 ? ABC ? ? ACB (等边对等角) 又因为 D、E 分别为 AC、AB 的中点,所以 DC ? EB (中线定义) 在 ? BCD 和 ? CBE 中,
? DC ? EB (已证 ) ? ? ? DCB ? ? EBC (已证 ) ? ? BC ? CB ( 公共边 )

25

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 所以 ? BCD ? ? CBE ( SAS ) 所以 ?1 ? ? 2 (全等三角形对应角相等) 。 所以 OB ? OC (等角对等边) 。 即点 O 在 BC 的垂直平分线上。 说明: (1)正确地理解题意,并正确地翻译成几何符号语言是非常重要的一步。 特别是把“在 底边的垂直平分线上”正确地理解成“OB=OC”是关键的一点。 (2)实际上,本题也可改成开放题: “△ABC 中,AB=AC,D、E 分别为 AC、AB 上的中点,BD、CE 交于 O。连结 AO 后,试判断 AO 与 BC 的关系, 并证明你的结论”其解决方法是和此题解法差不多的。 4. 分析:此题没有给出图形,那么依题意,应先画出图形。题目中是求线段 的倍半关系,观察图形,考虑取 BC 的中点。 证明:过点 A 作 BC 边的垂线 AF,垂足为 F。
E

A 3 1 D B F
?

2

C

在 ? ABC 中, AB ? AC , ? BAC ? 120 所以 ? B ? ? C ? 30 ? 所以 ? 1 ? ? 2 ? 60 ? , BF ?
1 2 BC

3

1

(等腰三角形三线合一性质) 。

所以 ? 3 ? 60 ? (邻补角定义) 。 所以 ? 1 ? ? 3 又因为 ED 垂直平分 AB,所以 ? E ? 30 ? (直角三角形两锐角互余) 。
AD ? 1 2 AB

(线段垂直平分线定义) 。
1 2 AB

又因为 AF ?

(直角三角形中

角所对的边等于斜边的一半) 。

26

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 所以 AD ? AF 在 Rt ? ABF 和 Rt ? AED 中,
? ? 1 ? ? 3 (已证 ) ? ? AF ? AD (已证 ) ? ? ? AFB ? ? ADE ? 90

?

所以 Rt ? ABF ? Rt ? AED ( ASA ) 所以 ED ? BF 即 ED ? 说明: (1)根据题意,先准确地画出图形,是解几何题的一项基本功; (2)直角三角形中 30 ? 角的特殊关系,沟通了边之间的数量关系,为顺利证 明打通了思路。
1 2 BC



27

华英学校八年级数学培优班暑期讲义

第十三章 【知识要点】
一、实数:有理数和无理数统称为实数。 1、实数有以下两种分类方法: (1)按定义分类
? ? ? 有理数 ? 实数 ? ? ? 无理数 ? ? ? 正有理数 ? ?0 ? 负有理数 ? ? 正无理数 ? ? 负无理数

实数

(2)按大小分类
? ? ? 有限小数或无限循环小 ? ? ? ? 无限不循环小数 ?
? 正实数 ? 实数 ? 0 ? 负实数 ?



2、 实数中的倒数、 相反数、 绝对值概念和有理数一样, 例如 ? 3 的相反数为 3 , 倒数为 ?
1 3 ? ? 3 3

, ? 3 的绝对值为 ? 3 ?

3



3、实数与数轴上点的关系: 实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来 表示,反过来,数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。 4、实数的运算: (1)关于有理数的运算律和运算性质,在实数范围内仍适用。 (2)涉及无理数的计算,可根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行 计算。 二、二次根式:一般地,式子 a ? a ? 0 ? 叫做二次根式,其中 a 叫做被开方数。 1、二次根式的性质: (1) ( a ) 2 ? a ( a ? 0 ) ; (2) a
2

?a ? ? a ? ?0 ?? a ?

(a ? 0) (a ? 0) (a ? 0)



2、最简二次根式: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式。即被开方数不含有分母。 (2)被开方数中不含有能开尽方的因数或因式。即被开方数中每个因数或 因式的指数都小于根指数 2。 3、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后,如果被开方数相同, 那么这几个二次根式叫同类二次根式。 4、二次根式的运算: (1) .二次根式的运算法则:
a c ? b c ? (a ? b ) c (c ? 0) ; a ? b ? ab ( a ? 0 , b ? 0 ) ;

28

华英学校八年级数学培优班暑期讲义
a b ? a b (a ? 0, b ? 0) ;
n

( a)

?

a (a ? 0) ;
n

(2) .分母有理化 (3) .二次根式的混合运算 三、非负性及应用: 1、非负数包括正数和零 2、常见的非负数有实数的绝对值,实数的偶次方,非负实数的算术平方根等, 用符号表示如下: ①若 a 是实数,则 a ? 0 ; ②若 a 是实数,则 a 2 n ? 0 (n 为正整数) ,当 n=1 时,a2≥0; ③ 2 n a (n 为正整数)在实数范围内有意义,则 a ? 0 ,此时 a ? 0 ; 3、非负数有如下性质: ①有限个非负数之和是非负数; ②有限个非负数之和是零,则每一个非负数是零。

【典例解析】
1、无理数的识别与估算方法 例1 、 (1)在实数 3.14,
2 5

, 3 .3 3 3 3? , 3 , 0 .4 1 2 ,0.10110111011110…,

? ?

π, ? 2 5 6 中,哪些是有理数,哪些是无理数? (2)估算 24 ? 3 的值( A.在 5 和 6 之间 之间 2、实数的大小比较方法 例 2、 (1)比较大小:7__________ 50 (填“ ? ” ? ”或“ ? ” ) “ (2)已知 a ? 3 5 , b ? 2 11 ,则 a 、 b 的大小关系为_________ (3)比较大小:当实数 a ? 0 时,1 ? a _______ 1 ? a .(填“ ? ”或“ ? ” ) 3、实数有数轴的关系 例 3、如右图:数轴上点 A 表示的数为 x,则 x2-13 的立方根是( A. -2
5

) C.在 7 和 8 之间 D.在 8 和 9

B.在 6 和 7 之间



-13

B.-

5

-13

C.2

D.

29

华英学校八年级数学培优班暑期讲义

4、实数的运算 例 4、 (1) 2 ? 3 ?
3 ?2 ? 2? 5 ? 1?
0

2



(2) 2 ? 6 ? 6 ? 6 ? 1 ? ? ? 2001 ? ? 36 ; (3) ? 2 2 ? ? ? 2 . 5 ? ? 3 64 ? (4) 4 3 ? 2
1 3 ? 1 3 75

?

3

?3

?3

? ?? 3 ?

2

??

9

?1





5、实数性质的使用 例 5、 (1)化简: m ? m 2
(m ? 0)



(2) 实数 a, 在数轴上所对应的点的位置如图所示, 2a___________0; b 则

a+b__________0;
-|b-a|________0;|2a|-|a+b|=________。

例 6、 (1)已知 y ?

x?2 ?

2? x

( x ? 2 ) ? 2005

?5

,求 y x 的值。

(2)已知 7 ? 5 的整数部分为 a ,小数部分为 b ,则 a ? b =________

【课堂检测】
1、 ? 2 . 7 1, 16 , ? 2 . 5 , 0 , ? , 3 , ? 中, 在 属于有理数的是
8
? ?

5

_____属于无理数的



___
1

2、 (1) 1 ? 27 ?
3

;3 ?
27 ? 18 ?

1 3

?

3 ?

。 。

(2) ? 1

17 64

?

12 ?

(3)若 a ? b ? 0 则 a ? b ? a 2 = (4)计算 2 ? 3 ? 2 ? 3、比较大小(1)
3 2 3

。 。
12

(2) 3 ? 5

2?

6



4、下列语句中不正确的是(



A.无理数是带根号的数,其根号下的数字开方开不尽; B.8 的立方根是±2;
30

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 C.绝对值等于 6 的实数是 6 D.每一个实数都有数轴上的一个点与它对应。 5、与 ?2 ? 3 ? 相乘,结果为 1 的数是( A. 3 B. 2 ? 3 ) B
2

) D. ? 2 ? 3

C. 2 ? 3

6、下列计算正确的是( A
2 3 ?3 2 ? 5 3

8 ?

2 ? 2

C. 5 ? 5 2 ? 6 2 D. ? ? 6 ? ? ? 6 7、数轴上表示实数 x 的点在表示 ? 1 的点的左边,则式子 ? x ? 2 ? ? 2 ? x ? 1 ? 的
2 2

值是(

) A.正数 B.-1
3 5 ? 2

C.小于-1

D.大于-1

8 、 化 简
3 5 ? 2 ?

, 甲 、 乙 两 同 学 的 解 法 如 下 : 甲 :
2

?

3 5 ?
3

?

5 ? 2

??

?
2

5 ?

?

?

5 ?
5 ? 2

2



乙: ( 正确 )

5 ?

? 2

?

5 ?

2

??

2

5 ?

??

5 ?

2

,对于他们的解法,正确的是

A.甲、乙的解法都正确 C.甲、乙的解都错误 确 9、计算或化简: (1) 3 2 ? ? ? 3 ? ?
2

B.甲正确、乙不 D.正确、甲不正

1 6

? ?? 6 ? ?

64



(2) 1 ? x ? ? x ? 2 ? ?1 ? x ?
2

2

?;

(3)

4 3

?

3 2

?

9 8
2 ?


3 ? 3 ? 2

(4) 1 ? 2 ? (5)已知 a ?


2

1 3? 2

,求

1? ? ?a ? ? ? 4 ? a? ?

1? ? ?a ? ? ? 4 a? ?

2

(6)已知 x ?

1 2

?

3 2

,y ?

1 2

?

3 2

,求 x ? y
2

2

的值。
y

10、已知 y= x ? 8 ? 8 ? x +18,求代数式 x ?
31

的值。

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 11、细心观察右图和认真分析下列各式,然后解答问题:
( 1) ? 1 ? 2
2



s1 ?

1 2 2 2 3 2



( 2) ? 1 ? 3,
2

s2 ?



( 3) ? 1 ? 4
2



s3 ?

;……

(1)请用含 n 的( n 为正整数)的等式表示上述变化的规律; (2)推算出 OA 5 ?
s9 ?
2

, OA 10 ?

; s4 ?




2 2

(3)求出 s 1 ? s 2 ? ? ? s 10 的值。

32

华英学校八年级数学培优班暑期讲义

第十四章
变化的世界 函数

一次函数

一次函数 性 质 图 像

一 函数

一元一次方程 一元一次不等 式 二元方程 组

在某变化过程中,存在 个变量 x、y,y 随 x 的变化而发生变化,对于 x 在其取值范围内,每一个确定的值,y 都有 的值与之对应,我们称 y 是 x 的函数。 练习:函数 y= x ? 1 中自变量的取值范围是__,y=
1 x ?1

中 x 的取值范围是

二 一次函数和正比例函数 1.概念: 若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0) 的形式,则称 y 是 x 的 (x 为自变量) ,特别地,当 b=0 时,称 y 是 x 的 . (1)一次函数的自变量的取值范围是一切实数,但在实际问题中要根据函数的 来确定. (2)一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)中的“一次”和一元一次方程、一 元一次不等式中的“一次”意义相同,即自变量 x 的次数为 1,一次项系数 k 必 须是不为零的常数,b 可为任意常数. 练习:已知函数 y ? ( m ? 2 ) x
m ?3

?n? 2;

(1)若是一次函数,应满足什么条件? (2)若是正比例函数,应满足什么条件? 2、一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的图象是一条直线,所以一次 函数 y=kx+b 的图象也称为直线 y=kx+b.此直线与 y 轴的交点( ) ,与 x 轴的交点 ( ) .画正比例函数 y=kx 的图象时, 只要描出点 (0, ) , (1, ) 即可. 3、一次函数性质 (1)性质 函数 k b 位置 Y随x的变化 草图

33

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 (2)点 P(x0,y0)与直线 y=kx+b 的图象的关系 A.如果点 P x0,0) ( y 在直线 y=kx+b 的图象上, 那么 x0,y0 的值必满足解析式 y=kx+b; B.如果 x0,y0 是满足函数解析式的一对对应值,那么以 x0,y0 为坐标的点必在函 数的图象上. (3)确定正比例函数及一次函数表达式的条件 A.由于正比例函数 y=kx(k≠0)中只有一个待定系数 k,故只需一个条件(如一 对 x,y 的值或一个点)就可求得 k 的值. B.由于一次函数 y=kx+b(k≠0)中有两个待定系数 k,b,需要两个独立的条件 确定两个关于 k,b 的方程,求得 k,b 的值,这两个条件通常是两个点或两对 x, y 的值. 4.一次函数与方程(不等式) (1). 一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系 一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系, 解决 此类问题关键是找到函数 y=kx+b(k≠0,k,b 为常数)与 x 轴的交点( ?直线 y=kx+b 在 x 轴的上方, 也就是函数的值大于零, 的值是不等式 x 的解;在 x 轴的下方也就是函数的值小于零,x 的值是不等式 的解;在 x 轴上也就是函数值等于零,x 的值是方程 (2) 一次函数与二元一次方程组的关系 两个函数的交点就是对应的二元一次方程组的解, 此时两个函数的值 图像在上方的函数的值较 。 ) D ) E y=a+3F ; 的解。 ) , (k≠0) (k≠0)

热身训练 1.下列各式 y 是 x 一次函数的为( A B y=x 2 +2x+5 C y=2x

2.如图的四个图象中,不表示某一函数图象的是(

3. 函数 y=-x 的图象是一条过原点及 (2, ___ ) 的直线, 这条直线经过第_____ 象限,当 x 增大时,y 随之________ 4. 函数 y=2x-4,与 x 轴的交点是 ,当 x____,y<0;.当 x_______,y>0。 5.函数 y=-3x+5 上取 x1=1,x2=2,比较大小:y1_______y2; 函数 y=(m2+1)x+2 (m 为常数)有 x1=—1,x2=2,比较大小 y1_______y2; 6.某一次函数图像过一、三、四象限,则:k___0,b___0

34

华英学校八年级数学培优班暑期讲义

7.如右图,判断那些点属于该直线 A.(1,3)B.(-1,1)C.(2,-2)D.( -1)



基本训练 一、 填空题 1. 小华用 500 元去购买单价为 3 元的一种商品,剩余的钱 y(元)与购买这种 商品的件数 x(件)之间的函数关系是______________, x 的取值范围是 __________ 2. 函数 y=-2x+4 的图象经过_________象限,它与两坐标轴围成的三角形 面积为_________ 3. 一次函数 y=kx+b 的图象经过点(1,5),交 y 轴的点的纵坐标是 3,则 k=____,b=____ 4.若点(m,m+3)在函数 y=- x+2 的图象上,则 m=____ 5、直线 y=3-9x 与 x 轴的交点坐标为__________,与 y 轴的交点坐标为 ________. 6、 若直线 y=kx+b 平行直线 y=3x+4, 且过点 (1, , k= -2) 则 ; b= . 二、选择题 1.一次函数 y=x-1 的图像不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知正比例函数 y=kx(k≠0)的图像过第二、四象限,则( ) A.y 随 x 的增大而减小 B.y 随 x 的增大而增大 C.当 x<0 时,y 随 x 的增大而增大;当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小 D.不论 x 如何变化,y 不变 3.结合正比例函数 y=4x 的图像回答:当 x>1 时,y 的取值范围是 ( ) A.y=1 B.1≤y<4 C.y=4 D.y>4 4.如右图,判断直线 k,b 值范围 A. k>0,b<0 B. k<0,b<0 C. k>0,b>0 D. k<0,b>0 三、 解答题 1.已知 y 与 x-2 成正比例关系,且当 x=3 时,y=6,求函数的表达式 2、已知一次函数的图象经过点 A(-1,3)和点(2,-3),(1)求一次函数 的解析式;(2)判断点 C(-2,5)是否在该函数图象上。

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义

3.若函数 y=4x+b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为 8,求解析式

4、已知一次函数 y =(m + 4)x + m + 2(m 为整数)的图象不经过第二象限, 求 m 的范围 ;

5、一次函数 y = kx + b 的图象经过点 A(0,2) ,B(-1,0)若将该图象沿着 y 轴 向上平移 2 个单位,则新图象所对应的函数解析式是什么?

6.已知 2y-3 与 3x+1 成正比例,且 x=2 时,y=5,(1)求 y 与 x 之间的函数 关系式,并指出它是什么函数; (2)若点(a ,2)在这个函数的图象上,求 a .

7、一个一次函数的图象, 与直线 y=2x+1 的交点 M 的横坐标为 2,与直线 y=-x +2 的交点 N 的纵坐标为 1,求这个一次函数的解析式

8、某单位为减少用车开支准备和一个体车主或一家出租 车公司签订租车合同. 设汽车每月行驶 xKm, 个体车主 的月费用是 y1 元,出租车公司的月费用是 y2 元,y1、 y2 分别与 x 之间的函数关系图像,如图,观察图像并 回答下列问题; (1)每月行驶的路程在什么范围内时,租用公司的车更省钱 (2)每月行驶的路程在什么范围内时,租两家的车的费用相同?

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 (3)如果这个单位估计每月行驶的路程在 2300Km,那么这个单位租哪家的 车比较合算?

综合训练 1、如图,已知直线 l1 经过点 A(-1,0)与点 B (2,3) ,另一条直线 l2 经过点 B,且与 x 轴交于点 P (m,0) . (1)求直线 l1 的解析式; (2)若△ APB 的面积为 3,求 m 的值.

2、为了鼓励市民节约用水,自来水公司特制定了 新的用水收费标准,每月用水量,x(吨)与应付水费(元) 的函数关系如图 2. (1)求出当月用水量不超过 5 吨时,y 与 x 之间的 函数关系式; (2)某居民某月用水量为 8 吨,求应付的水费是多 少? 图2

3、近两年某地外向型经济发展迅速,一些著名跨国公司纷纷落户该地新区,对 各类人才需求不断增加,现一公司面向社会招聘人员,其信息如下: [信息一]招聘对象:机械制造类和规划设计类人员共 150 名. [信息二] 工资待遇: 机械类人员工资为 600 元/月, 规划设计类人员为 1000 元/月. 设该公司招聘机械制造类和规划设计类人员分别为 x 人、y 人. (1)用含 x 的代数式表示 y; (2)若公司每月付给所招聘人员的工资为 p 元,要使本次招聘规划设计人员不 少于机械制造人员的 2 倍,求 p 的取值范围.
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4、 我市某乡 A、 两村盛产柑桔, 村有柑桔 200 吨, 村有柑桔 300 吨. B A B 现 将这些柑桔运到 C、D 两个冷藏仓库,已知 C 仓库可储存 240 吨,D 仓库可储存 260 吨; A 村运往 C、 两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元, B 村运往 C、 从 D 从 D 两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元.设从 A 村运往 C 仓库的柑桔重量为 x 吨,A,B 两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为 yA 元和 yB 元. (1)请填写下表,并求出 yA、yB 与 x 之间的函数关系式; 收 运 地 A x吨 200 吨 B 300 吨 总计 240 吨 260 吨 500 吨 (2)试讨论 A,B 两村中,哪个村的运费较少; (3)考虑到 B 村的经济承受能力,B 村的柑桔运费不得超过 4830 元.在这 种情况下,请问怎样调运,才能使两村运费之和最小?求出这个最小值. 地 C D 总计

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第 15 章 整式的乘除与因式分解
一、基础知识
1.同底数幂的乘法: a m ?a n ? a m ? n , (m,n 都是正整数) ,即同底数幂相乘,底数不 变,指数相加。 2.幂的乘方: ( a m ) n ? a m n , (m,n 都是正整数) ,即幂的乘方,底数不变,指数相 乘。 3.积的乘方: ( a b ) n ? a n b n , 为正整数) (n ,即积的乘方,等于把积的每一个因式 分别乘方,再把所得的幂相乘。 4.整式的乘法: (1)单项式的乘法法则:一般地,单项式相乘,把它们的系数、相同字母的 幂分别相乘, 对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个 因式. (2)单项式乘多项式法则:单项式与多项式相乘,就是根据乘法分配律,用 单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加. 可用下式表示:m(a+b+c)=ma+mb+mc(a、b、c 都表示单项式) (3)多项式的乘法法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另 一个多项式的每一项,再把所得的积相加. 5.乘法公式: (1)平方差公式:平方差公式可以用语言叙述为“两个数的和与这两个的差积 等于这两个数的平方差” ,即用字母表示为:(a+b)(a-b)=a2-b2;其结构特征是: 公式的左边是两个一次二项式的乘积,并且这两个二项式中有一项是完全相同 的,另一项则是互为相反数,右边是乘式中两项的平方差. (2)完全平方公式:完全平方公式可以用语言叙述为“两个数和(或差)的 平方,等于第一数的平方加上(或减去)第一数与第二数乘积的 2 倍,加上第二 数的平方” ,即用字母表示为:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;其结构特 征是:左边是“两个数的和或差”的平方,右边是三项,首末两项是平方项,且 符号相同,中间项是 2ab,且符号由左边的“和”或“差”来确定. 在完全平方 公式中,字母 a、b 都具有广泛意义,它们既可以分别取具体的数,也可以取一 个单项式、一个多项式或代数式.如(3x+y-2)2 =(3x+y)2 -2?(3x+y)?2+22 = 9x2+6xy- 12x+y2 - 4y+4 , 或 者 (3x+y- 2)2 = (3x)2+2 ? 3x (y- 2)+ (y- 2)2 = 9x2+6xy-12x+y2-4y+4.前者是把 3x+y 看成是完全平方公式中的 a, 看成是 b; 2 后者是把 3x 看成是完全平方公式中的 a,y-2 看成是 b.
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 (3)添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号 前面是负号,括到括号里的各项都变号。 乘法公式的几种常见的恒等变形有: (1).a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab. (2). ab= [(a+b) - +b ) = [(a+b) -(a-b) ] (a ] =
2 4 1
2 2 2

1

2

2

?a?b? ?a?b? ? ? ?? ? ? 2 ? ? 2 ?

2

2

.

(3).(a+b)2+(a-b)2=2a2+2b2. (4).(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca. 利用上述的恒等变形, 我们可以迅速地解决有关看似与乘法公式无关的问题,并 且还会收到事半功倍的效果. 6.整式的除法: a m ? a n ? a m ? n , a ? 0 ,m,n 都是正整数,并且 m ? n ) ( ,即同 底数幂相除,底数不变,指数相减。 (1) a 0 ? 1( a ? 0 ) ,任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. (2)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式 里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。 (3)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得 的商相加。 7.因式分解概念:把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,这就叫做把这个多 项式因式分解,也可称为将这个多项式分解因式,它与整式乘法互为逆运算。 8.常用的因式分解方法: (1)提公因式法:把 m a ? m b ? m c ,分解成两个因式乘积的形式,其中一个因 式是各项的公因式 m,另一个因式 ( a ? b ? c ) 是 m a ? m b ? m c 除以 m 所得的商, 像这种分解因式的方法叫做提公因式法。 i 多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式。 ii 公因式的构成:①系数:各项系数的最大公约数; ②字母:各项都含有的相同字母; ③指数:相同字母的最低次幂。 (2)公式法: (1)常用公式 平 方 差: a 2 ? b 2 ? ( a ? b )( a ? b ) 完全平方: a 2 ? 2ab ? b 2 ? ( a ? b ) 2 (2)常见的两个二项式幂的变号规律: ① ( a ? b ) 2 n ? ( b ? a ) 2 n ;② ( a ? b ) 2 n ?1 ? ? ( b ? a ) 2 n ?1 . n 为正整数) ( (3)十字相乘法

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2 ⅰ 二次项系数为 1 的二次三项式 x ? px ? q 中,如果能把常数项 q 分解成

两个因式 a , b 的积,并且 a ? b 等于一次项系数中 p ,那么它就可以分解成
x ? px ? q ? x ? ? a ? b ? x ? ab ? ? x ? a ?? x ? b ?
2 2
2 ⅱ 二次项系数不为 1 的二次三项式 ax ? bx ? c 中,如果能把二次项系数 a

分 解 成 两 个 因 数 a1 , a 2 的 积 , 把 常 数 项 c 分 解 成 两 个 因 数 c1 , c 2 的 积 , 并 且
a 1 c 2 ? a 2 c1
ax
2

等 于 一 次 项 系 数 b , 那 么 它 就 可 以 分 解 成 :
2

? bx ? c ? a 1 a 2 x ? ? a 1 c 2 ? a 2 c 1 ? x ? c 1 c 2 ? ? a 1 x ? a ?? a 2 x ? c 2 ?



(4)分组分解法
2 2 ⅰ 定义:分组分解法,适用于四项以上的多项式,例如 a ? b ? a ? b 没有

公因式,又不能直接利用分式法分解,但是如果将前两项和后两项分别结合,把 原多项式分成两组。再提公因式,即可达到分解因式的目的。例如:
a ?b ?a?b
2 2

2 2 = ( a ? b ) ? ( a ? b ) ? ( a ? b )( a ? b ) ? ( a ? b ) ? ( a ? b )( a ? b ? 1) ,

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。 ⅱ 原则:分组后可直接提取公因式或可直接运用公式,但必须使各组之间 能继续分解。 ⅲ 有些多项式在用分组分解法时,分解方法并不唯一,无论怎样分组,只 要能将多项式正确分解即可。

二、经典例题 第一部分
【例 1】例题下列运算正确的是( A. a5+a5=a10 B. a5 ?a5 = a10

整式的乘除
) C.a4?a5=a20 D. 4)5=a9 (a

【思路点拨】选支A是整式的加法运算,合并得2a5;选支B正确;选支C为同底 数幂运算应指数相加,而不是相乘,故为a4?a5=a9 ;选支D为幂的乘方运算, 应底数不变,指数相乘,为(a4)5=a20. 【解析】本题应选B. 【规律总结】同底数幂的乘法是学习整式乘法的基础,一定要学好,学习它时注 意体会从特殊到一般、从具体到抽象,有层次的进行概括抽象,归纳原理. 【例 2】下列运算正确的是( )

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 A.(-x)2x3 =x6 C. 4 x 2 ? ( 2 x ) 2 ? 2 x 2 B. ( ? x ) 3 ? ( ? x ) 2 ? x 5 D. ( 2 x 2 ) 3 ? 8 x 6

【思路点拨】选支A错在把指数相乘,实际应相加(-x)2?x3=x2?x3=x5;选支B错 在符号不对,负的偶次幂为正,负的奇次幂为负,( ? x ) 3 ? ( ? x ) 2 = ? x 3 ? x 2 = ? x 5 ;选 支C中积的乘方运算出现漏乘项错误, 4 x 2 ? ( 2 x ) 2 = 4 x 2 ? 2 2 x 2 = 4 x 2 ? 4 x 2 ? 0 ;选 支D运算正确. 【解析】本题应选D. 【规律总结】幂的乘方与积的乘方,是学习整式乘法的基础.导出幂的乘方的根 据是乘方的意义和同底数幂的乘法的性质.同学们要真正理解幂的乘方法的性 质,这样才不致混淆性质而运算出错. 【例 3】下列运算在正确的是( A. x 5 ? x 5 ? 2 x 10 B. ? ( ? x ) 3 ? ( ? x ) 5 ? ? x 8 C. ( ? 2 x 2 y ) ? 4 x ? 3 ? ? 24 x 3 y 3 D. ( x ? 3 y ) ? ( ?
2 1 1 2 x ? 3 y) ? 1 4 x ?9y
2 2



[答案] B [错因透视] 对整式运算法则理解不深入才会出现错误,
x ? x ? 2x
5 5 5

, (?2)3 ? ?8 , ( x ? 3 y ) ? (?
2
2 2

1

1 2

x ? 3 y) ? ?(

1 2

x ? 3 y)

2

【例 4】计算: (-2x y) ?(-3xy) 【思路点拨】灵活运用幂的运算性质、乘法交换律等进行运算. 【解析】原式=4x4y2?(-3xy) (据积的乘方)

=[4?(-3)](x4?x)(y2?y) (据乘法交换律、结合律) =-12x5y3(据有理数的乘法、同底数幂的乘法) 【规律总结】 因为单项式是数字与字母的积, 所以, 幂的运算性质, 乘法交换律、 结合律, 可作为单项式乘法的依据.单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘 同样适用,如: 2a2b?(- 3ab2)?5abc
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 =[2?(-3)?5]?(a2?a?a)?(b?b2?b)?c=-30a4b4c 【例 5】 (1)2xy(5xy2+3xy-1) (2)(a2-2bc)?(-2ab)2

【思路点拨】 (1)小题单项式为2xy,多项式里含三项为:5xy2、3xy、-1,乘积 仍为三项;(2)小题应先算(-3ab)2,再用乘法交换律后的计算方法是相同的. 【解析】 (1)原式=2xy?5xy2+2xy?3xy+2xy?(-1) =10x2y3+6x2y2-2xy (2)原式=(a2-2bc)?4a2b2 =4a2b2?a2+4a2b2?(-2bc) =4a4b2-8a2b3c 【规律总结】在解答单项式与多项式相乘问题时,易犯如下错误:①出现漏乘, 而导致缺项;②出现符号错误;③运算顺序出错,造成计算有错. 【例 6】计算:(1)(3x-2y)(2a+3b) (2)(x-y)(x2+xy+y2)

【思路点拨】第(1)题,先用x分别与2a、3b相乘,再用-2y分别与2a、3b相乘, 然后把所得的积相加;第(2)题,可先用二项式(x-y)中的x分别与三项式中 的各项相乘,再用-y分别与三项式中的各项相乘,然后把所得的积相加. 【解析】(1)原式=3x?2a+3x?3b+(-2y)?2a+(-2y)?3b =6ax+9bx-4ay-6by (2)原式=x?x2+x?xy+x?y2+(-y)? x2+(-y)?xy+(-y)?y2 =x3+x2y+xy2-x2y-xy2-y3 =x3-y3 【规律总结】 (1)利用多项式乘法法则时,既不要漏乘,又要注意确定各项的符 号. (2)乘积中有同类项,要合并同类项. 【例7】计算(1)(3x2+2y2)(-3x2+2y3) 【思路点拨】仔细观察题目特点,凡两因式中相同项当作公式中的a,另一项(必 须是互为相反数)当作公式中的b方可应用平方差公式,而有的,必须经过变形才 能运用平方差公式. 【解析】原式=(2y3)2-(3x2)2 =4y6-9x4

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 【规律总结】公式中的字母可表示具体的数,也可表示单项式或多项式,只要符 合平方差公式的结构特征,就可运用. 【例8】化简: (1)(2a+3b)2 (2)(-x+2y)2 (3)(-m-2n)2

【思路点拨】此题可利用完全平方公式计算,第(1)题是两数和的平方,应选 用“和”的完全平方公式,其中2a是公式中的a,3b是公式中的b;第(2)题 (-x+2y)2=(2y-x)2=(x-2y)2 所 以 应 选 用 “ 差 ” 的 完 全 平 方 公 式 简 捷 ; 第 (3) 题 (-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2应选用“和”的完全平方公式简捷. 【解析】(1)(2a+3b)2=(2a)2+2.2a.3b+(3b)2 =4a2+12ab+9b2 (2)(-x+2y)2=(2y-x)2=(2y)2-2?2y?x+x2 =4y2-4xy+x2 (3)(-m-2n)2=[-(m+2n)]2=(m+2n)2=m2+4mn+4n2 【规律总结】 (1)这三题其实都可以用“和”的完全平方公式(或“差”的完全 平方公式) 计算, 只不过根据题目特点灵活采用变形可简化计算过程, 其中(-x+2y)
2

转化为(2y-x)2 或(x-2y)2 是一个常用技巧. (2)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2 ,展开式可记成“首(a)平方、尾(b)

平方,首(a)尾(b)乘积的 2 倍加减在中央” . 【例 9】计算:(1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3

【思路点拨】 先观察题目, 确定运算顺序及可运用的公式, 再进行计算. (2) 题目 中被除数与除数的底数相同, 故可先进行同底数幂的除法,再运用积的乘方的公 式将计算进行到最后. 【解析】(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3 (2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2 【规律总结】像(2)这种题目,一定要计算到最后一步. 【例 10】计算:(1)xn+2÷xn-2 5.2?10-3 【思路点拨】 (1)在运用“同底数幂的除法”公式时,指数若是多项式,指数相 减一定要打括号.(2)中先乘方运算再做乘除法; (3)先将负指数的幂化为小数, 再进行乘法运算,得到最后结果. (2) (x4)3?x4÷x16 (3)用小数或分数表示:

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 【解析】(1)xn+2÷xn-2=x(n+2)-(n-2)=x4 (2) (x4)3?x4÷x16 =x12?x4÷x16=x12+4-16 =x0=1 (3)5.2?10-3=5.2?
1 10
3

=5.2?0.001=0.0052

【规律总结】这里要特别注意“am÷an=am-n (a≠0, m, n 均为正整数,并且 m>n)”括号内的条件. 【例 11】计算:(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2);(2)(3xy2)2?(2xy)÷(6x3y3) 【思路点拨】 (1)中被除式的系数是1,可按照单项式相除法则计算;(2) 是混 合运算,先弄清运算顺序,再根据相应的法则进行计算.本题先进行乘方,再自 左至右进行乘除法. 【解析】解:(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2) =(1÷2)?(a2n+2÷an)?(b3÷b2)?c = an+2bc
2 1

(2)(3xy2)2?(2xy)÷(6x3y3) =(9x2y4)?(2xy)÷(6x3y3) =(18x3y5)÷(6x3y3) =3y2 【规律总结】 单项式相除, 首先分清两工的系数、 相同字母、 被除式独有的字母, 再进行运算,结合演算重述法则,使法则熟悉,并会用它们熟练进行计算. 【例12】计算:(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3);(2)[(x+y)2-(x-y)2]÷(xy) 【思路点拨】对于混合运算,先算乘方,再算乘除,最后算加减.有括号的,先 算括号里的. 【解析】(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3) =(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3) =3x2yz-2xz+1 这一项易漏!

(2)[(x+y)2-(x-y)2]÷(xy) =[x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)]÷(xy)
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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 =[4xy]÷(xy) =4 【规律总结】把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式,在这个转化过 程中,要注意符号问题.

第二部分:因式分解
【例 1】将下列各式分解因式: (1) 2 a 3 ? 6 a 3 ? 36 a ? _______; (2) a 4 ? 1 ? _ _ _ _ _ _ _ ; (3) a 2 ? b 2 ? a ? b ? _______; (4) 4 a 2 ? b 2 ? 2 b ? 1 ? _______。 [答案] (1) 2 a ( a ? 6)( a ? 3) (2) ( a 2 ? 1)( a ? 1)( a ? 1) (3) ( a ? b )( a ? b ? 1) (4) (2 a ? b ? 1)(2 a ? b ? 1) [错因透视] 因式分解是中考中的热点内容,有关因式分解的问题应防止出现一下常见错误: ①公因式没有全部提出,如 2 a 3 ? 6 a 3 ? 36 a ? a (2 a 2 ? 6 a ? 3 6 ) ? a ( a ? 6 )(2 a ? 6 ) ; ② 因 式 分 解 不 彻 底 , 如 a 4 ? 1 ? ( a 2 ? 1 )a 2( ?; 1 ) 丢 项 , 如 ③
a ? b ? a ? b ? (a ?
2 2 2 2

b ) ?a (
2

b ;) ④ 分 组 不 合 理 , 导 致 分 解 错 误 , 如
2

4 a ? b ? 2 b ? 1 ? (4 a ? 1) ? ( b ? 2 b ) ? (2 a ? 1)(2 a ? 1) ? b ( b ? 2) ,无法再分解下去。

【例 2】连一连: a2-1 a2+6a+9 a2-4a+4 (a+1)(a-1) (3a+1)(3a-1) a(a-b)

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华英学校八年级数学培优班暑期讲义 9a2-1 a2-ab (a+3)2 (a-2)2

【思路点拨】 由于因式分解是整式乘法的逆运算,我们可以先运用整式乘法法则 计算出第二列中各整式相乘的结果,看跟第一列中的哪个多项式相等,然后用线 连接起来. 【解析】(a+1)(a-1)=a2-1,(3a+1)(3a-1)=9a2-1,a(a-b)=a2-ab,(a+3)2 =a2+6a+9,(a-2)2=a2-4a+4. 【规律总结】整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形,根据题目的需要,有时多 项式要通过因式分解才能转化为几个整式积的形式, 有时几个多项式的积要通过 整式乘法化成多项式的形式. 【例 3】分解因式: (1)5x-5y+5z (2)3 a 2 ? 9 a b (3)2 a ( x ? y ) 2 ? 4 b ( y ? x ) 【思路点拨】 观察上面的各个多项式,我们可以发现每个多项式的各项都含有公 因式,我们可以运用提公因式的方法来做这道题目. 第(3)小题分解因式的关 键是寻找公因式,本题的公因式可以看作 2 a ( x ? y ) ,也可以看作 2 a ( y ? x ) 【解析】 (1)原式=5(x-y+z) (2)原式= 3 a ( a ? 3 b ) (3)方法一:原式= 2 a ( x ? y ) 2 ? 4 b ( x ? y ) = 2 a ( x ? y )[ a ( x ? y ) ? 2 b ] = 2 a ( x ? y )( ax ? ay ? 2 b ) 方法二:原式= 2 a ( y ? x ) 2 ? 4 b ( y ? x ) = 2 a ( y ? x )[ a ( y ? x ) ? 2 b ] = 2 a ( y ? x )( ay ? ax ? 2 b ) 【规律总结】运用提公因式分解因式时,找对公因式是关键,提公因式后的各项 中不能再含有其它公因式.有些表面没有公因式的多项式,利用其互为相反数的 条件,转化为含有公因式的式子来完成因式分解.其一般原则: (1)首项一般不 化成含负号的形式; (2)对同时含有奇次项和偶次项的多项式,一般将偶次项的 底数化成它的相反数的形式,这样可使各项符号不变. 【例4】把下列各式因式分解: (1) ? 4 m 2 ? 25 n 2
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(2) 169 ( a ? b ) 2 ? 121 ( a ? b ) 2

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 【思路点拨】 此题中两项都可以表示成平方的形式,多项式是二项式且前面的符 号相反,应考虑用平方差公式来分解 【解析】 (1) ? 4 m 2 ? 25 n 2
[ = ?( 2 m ) 2 ? ( 5 n ) 2 ]

= ? 2 m ? 5 n )( 2 m ? 5 n ) ( (2) 169 ( a ? b ) 2 ? 121 ( a ? b ) 2
( = [13 a ? b )] 2 ? [11 ( a ? b )] 2
( ( = [13 a ? b ) ? 11 ( a ? b )] [13 a ? b ) ? 11 ( a ? b )]

=(24a + 2b)(2a + 24b) =4(12a + b)(a + 12b) 【规律总结】第(2)小题中的(24a + 2b)(2a + 24b),将括号内提取公因式“2” 后,应把两个 2 相乘,而不要当成提公因式,误写成 2(12a + b)(a + 12b). 【例 5】把下列各式分解因式: (1) 4 a 2 ? 12 ab ? 9 b 2
( (2) 16 2 m ? n ) 2 ? 8 n ( 2 m ? n ) ? n 2

【思路点拨】 此题中多项式的各项没有公因式且都是三项式,应考虑用完全平方 公式. 【解析】 (1) 4 a 2 ? 12 ab ? 9 b 2
2 2 ( = ( 2 a ) ? 2 ? 2 a ? 3b ? 3b )

2 = ( 2 a ? 3b )

( (2) 16 2 m ? n ) 2 ? 8 n ( 2 m ? n ) ? n 2 4 = [ ( 2 m ? n )] 2 ? 2 ? n ? 4 ( 2 m ? n ) ? n 2 4 = [ ( 2 m ? n )] ? n ] 2

= (8m + 3n)2 【规律总结】第(2)小题中的 2m+n 应看作一个整体,而不要利用整式乘法进 行计算,否则分解比较困难,多项式各项没有公因式且是三项式,应考虑用完全

48

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 平方公式. 【例 6】因式分解: (1) ( x 2 ? 4 y 2 ) 2 ? 16 x 2 y 2 (2) ( a 2 ? 1) 2 ? 4 ( a 2 ? 1) ? 4

【思路点拨】只要(1)把 x 2 ? 4 y 2 和 4 xy , (2) ( a 2 ? 1) 把看作整体就不难套用 平方差公式和完全平方公式来分解这个多项式的第一步, 但本题中的两小题都能 继续因式分解,因此要特别注意分解要彻底. 【解析】 (1) ( x 2 ? 4 y 2 ) 2 ? 16 x 2 y 2 = ( x 2 ? 4 y 2 ) 2 ? ( 4 xy ) 2 = ( x 2 ? 4 y 2 ) 2 ? ( 4 xy ) 2 = ( x 2 ? 4 y 2 ? 4 xy )( x 2 ? 4 y 2 ? 4 xy ) =(x ? 2 y)2 (x ? 2 y)2 (2) ( a 2 ? 1) 2 ? 4 ( a 2 ? 1) ? 4 = (a 2 ? 1 ? 2) 2 = ( a 2 ? 1) 2 == ( a ? 1) 2 ( a ? 1) 2 【规律总结】 因式分解是否分解结束的标志是看分解后的各因式时候还含有可继 续因式分解的多项式。

复习题
1.计算 ( a b ) 6 ? ( a b ) 2 的最终结果为( A. a 3 b 3 B. a 4 b 4 C. a 3 b 4 ). C. x 为任意数 ). D.20 ).
49

). D. a 4 b 3

2.已知 ( x ? 2 ) 0 ? 1 ,则( A. x ? 3 B. x ? 1

D. x ≠ 2

3.若 3 m ? 5 , 3 n ? 4 ,则 3 2 m ? n 等于( A.
25 4

B.6

C.21

4.计算 ?a 6 b 3 ? ? ?2 a 3 b 2 ? 的结果是 (

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 A. 2 a 3 b B. a 2 b
2 1

C. a 3 b
2

1

D. a 3
2

1

5. (7 2 x 3 y 4 ? 3 6 x 2 y 3 ? 9 xy 2 ) ? ( ? 9 xy 2 ) 等于 (

). D. ? 8 x 2 y 2 ? 4 xy

A. ? 8 x 2 y 2 ? 4 xy ? 1 B. ? 8 x 2 y 2 ? 4 xy ? 1 C. ? 8 x 2 y 2 ? 4 xy ? 1 6.下列算式中,正确的是( A. a 2 ? a ?
1 a ? a
2



B. 2 a 2 ? 3 a 3 ? ? a D. ? ? ? a 3 ? ? a 6
2

C. ( a 3 b ) 2 ? a 6 b 2

7.下列各式中计算结果等于 2 x 6 的是( A. x 3 ? x 3 B. ( 2 x 3 ) 2 )
1 2x
2

) D. 2 x 7 ? x

C. 2 x 3 ?x 2

8.下列运算正确的是( A. 3 x ? 2 x ? 1

B. ? 2 x ? 2 ? ? )

C. ( ? a ) 2· a 3 ? a 6

D. ( ? a 2 ) 3 ? ? a 6

9.下列计算正确的是( A. a ? a ? a 2

B. ( 2 a ) 3 ? 6 a 3 )

C. ( a ? 1) 2 ? a 2 ? 1

D. a 3 ? a ? a 2

10.下列运算正确的是( A. 2 a ? 3b ? 5 ab 11.当 a ? A.6.25
3 4

B. a 6 ? a 2 ? a 3

C. ( a ? b ) 2 ? a 2 ? b 2

· D. a 3 a 2 ? a 5

时,代数式 ?28 a 3 ? 28 a 2 ? 7 a ? ? 7 a 的值是 B.0.25 C.-2.25 D.-4 )

(

).

12.下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( A. n ( x ? y ) ? nx ? ny C. 7 ab ( ? 2 a 2 c ) ? ? 14 a 3 bc

B. x 2 ? 3 x ? 4 ? x ( x ? 3) ? 4 D. a 2 ? 2 a ? 1 ? ( a ? 1) 2

13. 观 察 下 列 各 式 : ① abx ? adx ; ② 2 x 2 y ? 6 xy 2 ; ③ 8 m 3 ? 4 m 2 ? 2 m ? 1 ; ④
a ? a b? a b ? b
3 2 2 3


x?



(p ?

2

q)

? x

2

5y

?( x

? ; p )

2

? 6 q ⑥

(

p

)

q

a ( ? x
2

)

y ( ?

) y 4? b( y ) x .其中可以用提公因式法分解因式的有(



A.①②⑤

B.②④⑤

C.②④⑥

D.①②⑤⑥ )

14.多项式 ? 6 m 3 n ? 3 m 2 n 2 ? 12 m 2 n 3 分解因式时应提取的公因式为(
50

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 A.3mn B. ? 3m 2 n C. 3m n 2 D. ? 3m 2 n 2

15.下列因式分解中,正确的有 ①4a-a3b2=a(4-a2b2) ;②x2y-2xy+xy=xy(x-2) ;③-a+ab-ac=-a(a -b-c) ;④9abc-6a2b=3abc(3-2a) ;⑤ A.0 个 B.1 个
2 3

x2y+

2 3

xy2=

2 3

xy(x+y) D.5 个

C.2 个 )

16.若 ( x ? y ) 3 ? xy ( x ? y ) ? ( x ? y ) ?A ,则 A 为( A. x 2 ? y 2 B. x 2 ? xy ? y 2

C. x 2 ? 3 xy ? y 2

D. x 2 ? xy ? y 2 ) D. a n ? 2 ( a 5 ? 1)

17.把多项式 a n ? 3 ? a n ? 2 (n 为大于 2 的正整数)分解因式为( A. a n ( a 3 ? a ? 2 ) B. a 2 ( a n ? 1 ? a n ? 4 ) C. a n ? 2 ( a n ? 1 ? 1) )

18.把多项式 p 2 ? a ? 1 ? ? p ?1 ? a ? 分解因式的结果是( A. ? a ? 1 ?? p 2 ? p ? B. ? a ? 1 ?? p 2 ? p ?

C. p ? a ? 1 ?? p ? 1 ? )

D. p ? a ? 1 ?? p ? 1 ?

19.已知 a ? b ? 2 ,则 a 2 ? b 2 ? 4 b 的值是( A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
? y
2

20.已知 x+y = –5,xy = 6,则 x 2 A.
1

的值是( C.
17

) D.
25

B.

13

21.计算: (1 0 3 ) 2 ? 22.计算 [( ? x ) 3 ] 2 ? 23.计算: ( ? 3 x 2 y ) ?? xy 2 ? ?
?3 ? ?1 ?

. . . .

24.分解因式: xy 3 ? 4 xy ?

25.一个长方形的面积是 ( x 2 ? 9) 平方米,其长为 ( x ? 3) 米,用含有 x 的整式表示 它的宽为________米. 26.要使 16 x 2 +1 成为完全平方式,应加上的式子是___________________; 27.一个正方形的边长增加了 2cm,面积相应增加了 32cm2,则这个正方形的边

51

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 长为_______. 28.计算: ? x ? 1 ?? x 2 ? 1 ?? x ? 1 ? ? __________ ____ ; 29.已知: a ? b ? 3 , ab =2,则 a 2 ? b 2 ? _______ . 30. 3 x ? 5 x ? 6 y ? ? 31. ? 2 a 2 ? 3 a b 2 ? 5 a b 3 ? 1 ? ? 32. x ? x ? x ? 1 ? ? 1 ? ? ? ? 33. 为 已知实数 a 、 b 满足 ( a ? b ) 2 ? 1 , ( a ? b ) 2 ? 25 ,则代数式 a 2 ? b 2 ? ab 的值 .
? 8m ? 4 ?

34.在实数范围内分解因式: 4 m 2
2



35. 计算: ?a 2 b ? ? a 4 ? ________

. ;

36.若 x m ? n ? x n ? x 3 ,则 m ? _________
0

37.若 ? a ? b ? 无意义,则 a , b 的关系是___________________; 38.已知 x 2 ? 4 ? 0 ,求代数式 x ( x ? 1) 2 ? x ( x 2 ? x ) ? x ? 7 的值.

39.已知 a 2 ? b 2 ? 2 a ? 4 b ? 5 ? 0 ,求 2 a 2 ? 4 b ? 3 的值。 40.解方程: ?3 x ? 1 ? ? ? 2 x ? 1 ? ? ? x ? 1 ??5 x ? 2 ? ? 24
2 2

41.⑴计算下列各组算式,并观察它们的共同特点:
? 7 ? 9 ? _____ ? ? 8 ? 8 ? _____

,?

?10 ? 12 ? ______, ?11 ? 11 ? ______;

? 80 ? 82 ? _____, ? ? 81 ? 81 ? _____ .

⑵从以上的过程中,你发现了什么规律?请用字母表示这一规律. 42. 计算:(1)y10÷y3÷y4 43. 计算:(1)xn+2÷xn-2 ?10-3 44.计算:(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2);(2)(3xy2)2?(2xy)÷(6x3y3) 45. 计算:(1)(6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3);(2)[(x+y)2-(x-y)2]÷(xy) (2)(-ab)5÷(-ab)3 (2) (x4)3?x4÷x16 (3)用小数或分数表示:5.2

52

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 46. (1) ( 2 a ) 3 (2) ( ? 5 b ) 3 (3) ( xy 2 ) 2 (4) ( ? 2 x 3 ) 4 47 . 李 华 老 师 给 学 生 出 了 一 道 题 : 当 x ? 2009, y ? 2008 时 , 求

?2 x (

2

y ? xy ) ? xy(2 xy ? x ) ? ( x y)
2 2 2

?

的值.题目出完后,小明说: “老师给的条件,

y ? 2008 是多余的. ”王辉说: “不给这个条件,就不能求出结果,所以不是多余

的. ”你认为他们谁说得有道理?为什么? 48.给出三个多项式:
1 2 x ? x ? 1,
2

1 2

x ? 3 x ? 1,
2

1 2

x ? x,
2

请你选择其中两个进行加

法运算,并把结果因式分解. 49.下面的图(1)是由边长为 a 的正方形剪去一个边长为 b 的小正方形后余下的 图形.把图(1)剪开后,再拼成一个四边形,可以用来验证公式
a ?b
2 2

? ( a ? b )( a ? b )



(1)请你通过对图(1)的剪拼,画出三种不同拼法的示意图.要求: ①拼成的图形是四边形; ②在图(1)上画剪切线(用虚线表示) ; ③在拼出的图形上标出已知的边长. (2)选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程.
a

a b b

50. 已知△ABC 三边长分别为 a、 c, a、 c 满足等式 3 2+b2+c2)(a+b+c) b、 且 b、 (a =
2

,试判断△ABC 的形状.

参考答案 1.B 2.D 3.A 4.C 5.A 6.C 7.D 8.D 9.D 10.D 11.选 B,提示: ?28 a 3 ? 28 a 2 ? 7 a ? ? 7 a ? 4 a 2 ? 4 a ? 1

53

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 12.D(点拨:判断是不是因式分解必须满足两点,一是等式左边是多项式,二是 等式的整式积的形式) 13.D(点拨:看能否使用提公因式法因式分解的关键是多项式中各项是否有公因 式的存在) 14.B(点拨:公因式的系数取各系数的最大公约数,相同字母取最低指数幂,保 证提取后的多项式第一项符号为正) 15.B(点拨:①正确;②提取公因式后漏项了;③最后一项提取公因式后应该+ c;④公因式应该是 3ab;⑤⑥) 16.D(点拨:可用 ( x ? y ) 3 ? xy ( x ? y ) 除以 ( x ? y ) ) 17.D(点拨:公因式是相同字母的最低次幂,然后用 a n ? 3 ? a n ? 2 除以公因式即可) 18.C(点拨:本题的公因式为 p ? a ? 1 ? ,提公因式一定要提尽)
?3? 时,原式=4? ? ? ?4?
2

-4?

3 4

+1=

9 4

-3+1=0.25

19.C 20. B 21. 10 6 22. x 6 23. ? x 3 y 3 24. xy ( y ? 2)( y ? 2) 25. x ? 3 26.-1 或±8 x 或-16 x 2 或 64 x 4 ; 27.设正方形的边长为 acm ,则 ? a ? 2 ? ? a 2 =32,则 4 a +4=32,所以 a =7,
2

即这个正方形的边长为 7cm. 28. ? x ? 1 ?? x 2 ? 1 ?? x ? 1 ? ? ? x ? 1 ?? x ? 1 ?? x 2 ? 1 ? ? ? x 2 ? 1 ?? x 2 ? 1 ? ? x 4 ? 1 ; 29. a 2 ? b 2 ? ? a ? b ? ? 2 ab ? 3 2 -2?3=3.
2

30. 15 x 2 ? 18 xy

31. ? 6 a 3 b 2 ? 10 a 3 b 3 ? 2 a 2
54

32. x 3 ? x 2 ? x

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 33.将所给的两个等式拆开后运用等式的性质相加可得
( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 1 ? 25 ? 26
2 2

,所以 a 2 ? b 2 ? 13 ;

再将两个等式相减可得,
( a ? b ) ? ( a ? b ) ? 1 ? 2 5 ? ? 2 4 ,所以 ab ? ? 6 .
2 2

故 a 2 ? b 2 ? ab =13+(-6)=7. 34.
4 m ? 8 m ? 4 ? 8( m ? 2 m ? 1)
2 2

=8 [( m 2 ? 2 m ? 1) ? 2 ]

=8 [( m ? 1) 2 ? ( 2 ) 2 ] =8 ( m ? 1 ? 2 )( m ? 1 ? 2 ) 35. ?a 2 b ? ? a 4 ? a 4 b 2 ? a 4 ? b 2 ;
2

36.因为 x m ? n ? x n ? x 3 ,∴ x m ? n ? n ? x 3 ,则 m ? 3 . 37. a ? ? b ; 38.解: x ( x ? 1) 2 ? x ( x 2 ? x ) ? x ? 7
? x ? 2x ? x ? x ? x ? x ? 7
3 2 3 2

? x ?7
2



当 x 2 ? 4 时,原式 ? ? 3 . 39.因为 a 2 ? b 2 ? 2 a ? 4 b ? 5 ? 0 ,? ( a 2 ? 2 a ? 1) ? ( b 2 ? 4 b ? 4) ? 0 , 即 ( a ? 1) 2 ? ( b ? 2 ) 2 ? 0 ,
? a ? 1 ? 0 且 b ? 2 ? 0 ,? a ? ? 1 且 b ? 2



? 原式 ? 2 ? ( ? 1) ? 4 ? 2 ? 3 ? 7 .
2

40. ?3 x ? 1 ? ? ? 2 x ? 1 ? ? ? x ? 1 ??5 x ? 2 ? ? 24 ,∴9 x 2 +6 x +1-(4 x 2 -4 x +1)
2 2

=5 x 2 -3 x -2-24,∴5 x 2 +10 x =5 x 2 -3 x -26,∴13 x =-26,∴ x =-2. 41.⑴63,64;120,121;6560,6561;⑵ n 2 ? 1 ? ? n ? 1 ?? n ? 1 ? ; 42. (1) y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3 (2) (-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2 43. (1) xn+2÷xn-2=x(n+2)-(n-2)=x4
55

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 (2) (x4)3?x4÷x16 =x12?x4÷x16=x12+4-16 =x0=1 (3) 5.2?10-3=5.2?
1 10
3

=5.2?0.001=0.0052

44. 解:(1)(a2n+2b3c)÷(2anb2) =(1÷2)?(a2n+2÷an)?(b3÷b2)?c = an+2bc
2 1

(2) (3xy ) ?(2xy)÷(6x3y3) =(9x2y4)?(2xy)÷(6x3y3) =(18x3y5)÷(6x3y3) =3y2 45. (1) (6x3y4z-4x2y3z+2xy3)÷(2xy3) =(6x3y4z)÷(2xy3)-(4x2y3z)÷(2xy3)+(2xy3)÷(2xy3) =3x2yz-2xz+1 这一项易漏!

2 2

(2)[(x+y)2-(x-y)2]÷(xy) =[x2+2xy+y2-(x2-2xy+y2)]÷(xy) =[4xy]÷(xy) =4 46. (1) ( 2 a ) 3 ? 2 3 ?a 3 ? 8 a 3 . (2) ( ? 5 b ) 3 ? ( ? 5) 3 ?b 3 ? ? 125 b 3 . (3) ( xy 2 ) 2 ? x 2 ?( y 2 ) 2 ? x 2 y 4 . (4) ( ? 2 x 3 ) 4 ? ( ? 2) 4 ?( x 3 ) 4 ? 16 x 12 . 47.

?2 x ( x

2

y ? xy ) ? xy(2 xy ? x ) ? ( x y)
2 2 2
2 2

?

? 2x y ? 2x y
3

?

? 2x y
2

2

? x y ? (x y)
3 2

?

? (x y) ? (x y)
3

?

? x

56

华英学校八年级数学培优班暑期讲义 显然,因为化简最后的结果不含有 y,所以最后的结果与 y 的值无关,所以 y=2008 是多余的,从而小明说得有道理. 48.
( 1 x ? x ? 1) ? (
2

1

x ? 3 x ? 1) = x ? 4 x
2

2

= x( x ? 4)

(
(

2 1

x ? x ? 1) ? (
2
2

2 1

x ? x)
2
2

= x 2 ? 1 = ( x ? 1)( x ? 1) = x 2 ? 2 x ? 1 = ( x ? 1) 2

2 1
2

2
x ? 3 x ? 1) ? ( 1 2 x ? x)

49. 如图可以拼成一个两边长分别为(a+b)和(a-b)的矩形.
a

a

b b a-b b

原来图形的面积 a 2 ? b 2 ,拼成的四边形的面积为(a+b) (a-b) ,根据剪拼前后 的图形的面积相等,可知 a 2 ? b 2 =(a+b) (a-b). 50 解:因 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2 展开后可变为:2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ac) , 即 2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ac)=0,所以该式进一步可变为: (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,由此可得:a=b=c,所以该三角形为等边三 角形.

57


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