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2012年立体几何理科高考题


1. (安徽 6)设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内, 且b ? m 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( )

( A) 充分不必要条件 (C ) 充要条件
【解析】选 A ① ? ? ? ,b ? m ? b ? ? ? b ? a

( B ) 必要不充分条件

( D) 即不充分不必要条件

②如果 a / / m ; a ? b 与 则

b ? m 条件相同
2. (安徽 12)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是 _____ 【解析】表面积是 _____ 92 该几何体是底面是直角梯形,高为 4 的直四棱柱 几 何 体 的 表 面





1 S ? 2 ? ? (2 ? 5) ? 4 ? (2 ? 5 ? 4 ? 42 ? (5 ? 2) 2 ) ? 4 ? 92 2
3. (安徽 18) (本小题满分 12 分) 平 面 图 形 ABB1 AC1C 如 图 4 所 示 , 其 中 BB1C1C 是 矩 形 , BC ? 2, BB1 ? 4 , 1

AB ? AC ? 2 ,

A1B1 ? AC1 ? 5 。现将该平面图形分别沿 BC 和 B1C1 折叠,使 ?ABC 与 ?A1B1C1 所在平 1
面都 与平面 BB1C1C 垂直,再分别连接 AA , BA , CA ,得到如图 2 所示的空间图形,对此空间图 1 1 1 形解答 下列问题。

。 (Ⅰ)证明: AA1 ? BC ; (Ⅱ)求 AA 的长; 1

(Ⅲ)求二面角 A ? BC ? A1 的余弦值。 【解析】 (I)取 BC , B1C1 的中点为点 O, O1 ,连接 AO, OO1 , AO, AO1 1 1 则 AB ? AC ? AO ? BC ,面 ABC ? 面 BB1C1C ? AO ? 面 BB1C1C 同理: A1O1 ? 面 BB1C1C 得: AO / / AO1 ? A, O, A1 , O1 共面 1 又 OO1 ? BC, OO1 ? AO ? O ? BC ? 面 AOO1 A ? AA ? BC 1 1 (Ⅱ)延长 AO1 到 D ,使 O1D ? OA 1 得: O1D/ /OA ? AD/ /OO1

,面 A B1C1 ? 面 BB1C1C ? OO1 ? 面 A B1C1 ? AD ? 面 A1 B1C1 OO ? BC 1 1 1

AA? 1

2 A D ? D2A ? 4

2

? 2 ?1 )2 ? 5 (

(Ⅲ) AO ? BC, AO ? BC ? ?AOA 是二面角 A ? BC ? A1 的平面角 1 1 在 Rt ?OO1 A1 中, A 1 O ? OO1 ? A1O1 ?
2 2

42 ? 22 ? 2 5

在 Rt ?OAA 中, cos ?AOA1 ? 1

AO2 ? AO2 ? AA12 5 1 ?? 2 AO ? AO 5 1

得:二面角 A ? BC ? A1 的余弦值为 ?

5 。 5


4.北京 7.某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是(

A. 28+6 5

B. 30+6 5

C. 56+ 12 5

D. 60+12 5

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示,图中蓝色数字所表示的为 直接从题目所给三视图中读出的长度, 黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。 本题 所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:

S底 ? 10 , S后 ? 10 , S右 ? 10 , S左 ? 6 5 , 因 此 该 几 何 体 表 面 积

S ? S底 ? S后 ? S右 ? S左 ? 30? 6 5 ,故选 B。
【答案】B 5.北京 16. (本小题共 14 分) 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (I)求证:A1C⊥平面 BCDE; (II)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (III)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由

解: (1)? CD ? DE , A1 E ? DE

? DE ? 平面 A1CD ,
又? AC ? 平面 A1CD , 1

? AC ? DE 1
又 A1C ? CD ,

? AC ? 平面 BCDE 。 1
(2)如图建系 C ? xyz ,则 D ? ?2 , , ? , A 0 ,0 ,2 3 , B ? 0 , , ? , E ? ?2 , , ? 0 0 3 0 2 0

?

?

???? ? ???? ∴A1 B ? 0 ,3 ,? 2 3 , A1E ? ? ?2 , 1, ? ? 0

?

?

? 设平面 A1 BE 法向量为 n ? ? x ,y , ? z
???? ? ? A1 B ? n ? 0 ? 则 ????? ? ? ? A1 E ? n ? 0 ?
? ∴n ? ?1 ,2 , 3

?3 y ? 2 3z ? 0 ? ∴? ??2 x ? y ? 0 ?

? 3 y ?z ? ? 2 ∴? ?x ? ? y ? ? 2

z A1 (0,0,2 3) M E (-2,2,0) y B (0,3,0)

?

?

D (-2,0,0)

又∵M ?1 ,0 , 3

?

?
?

C (0,0,0) x

???? ? ∴CM ? ?1 ,0 , 3

?

???? ? ? CM ? n 1? 3 4 2 ? ? ? ∴cos ? ? ???? ? ? 2 | CM | ? | n | 1? 4 ? 3 ? 1? 3 2 ? 2 2 ,

∴CM 与平面 A1 BE 所成角的大小 45? 。 (3)设线段 BC 上存在点 P ,设 P 点坐标为 ? 0 , , ? ,则 a ? ? 0 , ? a 0 3

??? ? ???? 则 A1 P ? 0 ,a ,? 2 3 , DP ? ? 2 , , ? a 0

?

?

?? ? 设平面 A1 DP 法向量为 n1 ? ? x1 ,y1 ,z1 ?
?ay ? 2 3z1 ? 0 ? 则? 1 ?2 x1 ? ay1 ? 0 ?
?? ? ∴ n1 ? ?3a ,6 , 3a



? 3 ay1 ? z1 ? ? 6 ∴? ? x ? ? 1 ay 1 ? 1 ? 2

?

?。

假设平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直, ?? ? ? 则 n1 ? n ? 0 ,∴ 3a ? 12 ? 3a ? 0 , 6a ? ?12 , a ? ?2 , ∵ 0 ? a ? 3 ,∴不存在线段 BC 上存在点 P ,使平面 A1 DP 与平面 A1 BE 垂直。 6.福建 4 一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是( A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 考点:空间几何体的三视图。 难度:易。 分析:本题考查的知识点为空间几何体的三视图,直接画出即可。 )

解答:圆的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)和俯视图均为圆; 三棱锥的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)和俯视图可以为全等的三角形; 正方体的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)和俯视图均为正方形; 圆柱的正视图(主视图) 、侧视图(左视图)为矩形,俯视图为圆。 7.福建 18.(本小题满分 13 分) 如图,在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AA ? AD ? 1 , E 为 CD 中点。 1 (Ⅰ)求证: B1 E ? AD1 ; (Ⅱ)在棱 AA 上是否存在一点 P ,使得 DP // 平面 B1 AE ?若存在,求 AP 的长;若 1 不存在,说明理由。 (Ⅲ)若二面角 A ? B1 E ? A1 的大小为 30 ,求 AB 的长。
0

考点:立体几何。 难度:中。 分析: 解答: (Ⅰ)长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AA ? AD ? 1 1 得: AD1 ? A D, AD1 ? A B1 , A D ? A B1 ? A ? A D ? 面 A B1CD 1 1 1 1 1 1 1

B1E ? 面 A1B1CD ? B1E ? AD1
(Ⅱ)取 AA1 的中点为 P , AB1 中点为 Q ,连接 PQ 在 ?AA1 B1 中, PQ / / 面 B1 AE 此时 AP ?

1 1 A1 B1 , DE / / A1B1 ? PQ / /DE ? PD / /QE ? PD / / 2 2

1 1 AA1 ? 2 2

(Ⅲ)设 A D ? AD1 ? O ,连接 AO ,过点 O 作 OH ? B1E 于点 H ,连接 AH 1

AO ? 面 A1B1CD , O H ? B E A H ? B E ? 1 1 1
得: ?AHO 是二面角 A ? B1 E ? A1 的平面角 ? ?AHO ? 30 在 Rt ?AOH 中, ?AHO ? 30 , ?AOH ? 90 , AH ?
? ?
?

2 6 ? OH ? 2 2

在矩形 A B1CD 中, CD ? x, A D ? 2 1 1

1 x 1 2 1 2x S?B1OE ? 2 x ? ? 2 ? ? ? ?x? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2

3x 2 8

1 x2 6 ? ? 2? ? ?x?2 2 4 2
得: AB ? 2 8.广东 6. 某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为( )

( A) 12?

( B ) 45?

(C ) ???
1 3

( D) ???

【解析】选 C 几何体是圆柱与圆锥叠加而成 它的体积为 V ? ? ? 3 ? 5 ? ? ? 3 ? 5 ? 3 ? 57?
2 2

2

2

9.广东 18.(本小题满分 13 分) 如图所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 E 在线段 PC 上, PC ? 平面 BDE 。 (1) 证明: BD ? 平面 PAC ; (2) 若 PA ? 1, AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值; 【解析】 (1) PC ? 平面 BDE , BD ? 面 BDE ? BD ? PC PA ? 平面 ABCD , BD ? 面 ABCD ? BD ? PA 又 PA ? PC ? P ? BD ? 面 PAC ? ( 2 ) AC ? BD ? O 由 ( 1 ) 得 : B D PA ? 1, AD ? 2 ? AB ? 2 , 的平面角 在

A? C

? B A ,

A D

PC ? 平面 BDE ? BF ? PC OF? PC ?BFO 是二面角 B ? PC ? A ? ,

?PBC





PB ? 5, BC ? 2, PC ? 3 ? ?PBC ? 90? ? BE ?


Rt ?BOF

BP ? BC 2 5 ? PC 3
中 ,

BO ? 2, OE ? BF 2 ? BO 2 ?

2 BO ? tan ?BFO ? ?3 3 OF 得:二面角 B ? PC ? A 的正切值为 3
4 2 B. 3π 2 正 视 图 俯 视 图 2 侧 视 图

10.湖北 4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为

8π A. 3

第 4 题 图

C.

10π 3

D. 6π

考点分析:本题考察空间几何体的三视图. 难易度:★ 解析:显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分,并且有正视图知是一个 1/2 的圆柱体,底面圆的半径为 1,圆柱体的高为 6,则知所求几何体体积为原体积的一半为 3π .选 B. 11.湖北 10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之, 九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ,求 其直径 d 的一个近似公式 d ?
3

16 V . 人们还用过一些类似的近似公式. 根据 9
3

π = 3 . 1 4 1 ? 判断,下列近似公式中最精确的一个是 59

A. d ?

3

16 V 9

B. d ? 3 2V

C. d ?

300 V 157

D. d ?

3

21 V 11

考点分析:考察球的体积公式以及估算. 难易度:★★ 解析:

3 4 d 3 6V a 6b 6?9 由V ? ? ( ) ,得d ? , 设选项中常数为 , 则? = ;A中代入得? = =3.375, 3 2 ? b a 16 6 ?1 6 ?157 6 ?11 B中代入得? = =3,C中代入得? = =3.14, D中代入得? = =3.142857, 2 300 21 由于D中值最接近?的真实值,故选择D。
12.湖北 19. (本小题满分 12 分) 如图 1, ?ACB ? 45? , BC ? 3 ,过动点 A 作 AD ? BC ,垂足 D 在线段 BC 上且异于点 B,连接 AB,沿 AD 将△ ABD 折起,使 ?BDC ? 90? (如图 2 所示) . (Ⅰ )当 BD 的长为多少时,三棱锥 A ? BCD 的体积最大; (Ⅱ )当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时,设点 E , M 分别为棱 BC , AC 的中点,试在 棱 CD 上确定一点 N ,使得 EN ? BM ,并求 EN 与平面 BMN 所成角的大小. A A M

B

D 图1

C B 第 19 题图

D

. · E

C

图2

19.解: (Ⅰ)解法 1:在如图 1 所示的△ ABC 中,设 BD ? x (0 ? x ? 3) ,则 CD ? 3 ? x . 由 AD ? BC , ?ACB ? 45? 知,△ ADC 为等腰直角三角形,所以 AD ? CD ? 3 ? x .

C 由折起前 AD ? BC 知,折起后(如图 2) A D ,D ?

所以 AD ? 平面 BCD .又 ?BDC ? 90? ,所以 S?BCD

, AD ? BD ,且 BD ? DC ? D , 1 1 ? BD ? CD ? x(3 ? x) .于是 2 2

1 1 1 1 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ? 2x(3 ? x)(3 ? x) 3 3 2 12
1 ? 2 x ? (3 ? x) ? (3 ? x) ? 2 ? ? (lbylfx) ? ?3, 12 ? 3 ?
3

当且仅当 2 x ? 3 ? x ,即 x ? 1 时,等号成立, 故当 x ? 1 ,即 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大. 解法 2: 1 1 1 1 同解法 1,得 VA? BCD ? AD ? S?BCD ? (3 ? x) ? x(3 ? x) ? ( x3 ? 6x2 ? 9x) . 3 3 2 6 1 1 令 f ( x) ? ( x3 ? 6 x2 ? 9 x) ,由 f ?( x) ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,且 0 ? x ? 3 ,解得 x ? 1 . 6 2 当 x ? (0, 1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 所以当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值. 故当 BD ? 1 时, 三棱锥 A ? BCD 的体积最大. (Ⅱ )解法 1:以 D 为原点,建立如图 a 所示的空间直角坐标系 D ? xyz . 由(Ⅰ )知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 .

1 于是可得 D (0, 0, 0) , B(1, 0, 0) , C (0, 2 , 0) , A(0, 0, 2) , M (0, 1, 1) , E ( , 1, 0) , 2 ???? ? 且 BM ? (?1, 1, 1) . ???? ???? ? ???? 1 设 N (0, ? , 0) ,则 EN ? (? , ? ? 1,0) . 因为 EN ? BM 等价于 EN ? BM ? 0 ,即 2 1 1 1 1 (? , ? ?1, 0) ? (?1, 1, 1) ? ? ? ? 1 ? 0 ,故 ? ? , N (0, , 0) . 2 2 2 2 1 所以当 DN ? (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点)时, EN ? BM . 2 ???? ???? ?n ? BN , 1 ? 设平面 BMN 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,由 ? ???? 及 BN ? (?1, ,0) , ? 2 ?n ? BM , ?
? y ? 2 x, 得? 可取 n ? (1, 2, ? 1) . ? z ? ? x. ???? 1 1 设 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 ? ,则由 EN ? (? , ? , 0) , n ? (1, 2, ? 1) ,可得 2 2 1 ???? | ? ? 1| n ? EN 3 2 ,即 ? ? 60? . ???? ? sin ? ? cos(90? ? ? ) ? ? 2 | n | ? | EN | 2 6? 2 故 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60?.

z A M

A M

DN B x C E 图a y B

DN E 图b

F

C M

解法 2:由(Ⅰ )知,当三棱锥 A ? BCD 的体积最大时, BD ? 1 , AD ? CD ? 2 . 如图 b,取 CD 的中点 F ,连结 MF , BF , EF ,则 MF ∥AD . 由(Ⅰ )知 AD ? 平面 BCD ,所以 MF ? 平面 BCD . 如图 c,延长 FE 至 P 点使得 FP ? DB ,连 BP , DP ,则四边形 DBPF 为正方形, 所以 DP ? BF . 取 DF 的中点 N ,连结 EN ,又 E 为 FP 的中点,则 EN ∥DP , 所以 EN ? BF . 因为 MF ? 平面 BCD ,又 EN ? 面 BCD ,所以 MF ? EN . 又 MF ? BF ? F ,所以 EN ? 面 BMF . 又 BM ? 面 BMF ,所以 EN ? BM . 因为 EN ? BM 当且仅当 EN ? BF ,而点 F 是唯一的,所以点 N 是唯一的. 1 即当 DN ? (即 N 是 CD 的靠近点 D 的一个四等分点) EN ? BM . , 2
5 , 2 所以△ NMB 与△ EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形, 如图 d 所示,取 BM 的中点 G ,连接 EG , NG , 则 BM ? 平面 EGN .在平面 EGN 中,过点 E 作 EH ? GN 于 H , 则 EH ? 平面 BMN .故 ?ENH 是 EN 与平面 BMN 所成的角.

连接 MN , ME ,由计算得 NB ? NM ? EB ? EM ?

在△ EGN 中,易得 EG ? GN ? NE ?

2 ,所以△ EGN 是正三角形, 2

故 ?ENH ? 60? ,即 EN 与平面 BMN 所成角的大小为 60?. 13.湖南 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是

【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下

面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能 是该几何体的俯视图, D不可能是该几何体的俯视图, 因为它的正视图上面应为如图的矩形.

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型 14.湖南 18.(本小题满分 12 分) 如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ ABC=90°,E 是 CD 的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.
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【解析】
? 解法 1(Ⅰ如图(1),连接 AC,由 AB=4, BC ? 3 , ?ABC ? 90 ,得AC ? 5. )

又AD ? 5, E是CD的中点,所以 CD ? AE. ? PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD, 所以 PA ? CD.
而 PA, AE是平面PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (Ⅱ)过点B作 BG ? ?CD, 分别与AE, AD相交于F , G, 连接PF . 由(Ⅰ)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是 ? BPF 为直线PB与平面 PAE 所成的角,且 BG ? AE . 由 PA ? 平面ABCD 知, ?PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.

AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ?PBA ? ?BPF ,
因为 sin ?PBA ?

PA BF ,sin ?BPF ? , 所以 PA ? BF . PB PB

由 ?DAB ? ?ABC ? 90? 知,AD / / BC, 又BG / /CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边形, 故 GD ? BC ? 3. 于是 AG ? 2. 在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以

AB2 16 8 5 BG ? AB ? AG ? 2 5, BF ? ? ? . BG 2 5 5
2 2

于是 PA ? BF ?

8 5 . 5
1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? . 3 3 5 15

解法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x轴,y轴,z轴 建立 空间直角坐标系.设 PA ? h, 则相关的各点坐标为:

A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2, 4,0), P(0,0, h).
(Ⅰ)易知 CD ? (?4, 2,0), AE ? (2, 4,0), AP ? (0,0, h). 因为

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CD ? AE ? ?8 ? 8 ? 0 ? 0, CD ? AP ? 0, 所以 CD ? AE, CD ? AP. 而 AP, AE 是平面 PAE
内的两条相交直线,所以 CD ? 平面PAE.

(Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, CD, AP 分别是 平面PAE , 平面ABCD 的法向量,而 PB 与

??? ??? ? ?

平面PAE 所成的角和 PB 与 平面ABCD 所成的角相等,所以

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CD ? PB PA ? PB cos ? CD, PB ? ? cos ? PA, PB ? ,即 ??? ??? ? ??? ??? . ? ? ? ? CD ? PB PA ? PB
由(Ⅰ)知, CD ? (?4, 2,0), AP ? (0,0, ?h), 由 PB ? (4,0, ?h), 故

??? ?

??? ?

??? ?

?16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h
解得 h ?
2

?

0 ? 0 ? h2 h ? 16 ? h2

.

8 5 . 5
1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16 ,所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 1 8 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? 3 3 5

128 5 . 15
1 ? S ? PA 算得体 3

【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一 问只要证明 PA ? CD 即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由 V ? 积,或者建立空间直角坐标系,求得高几体积. 15.江苏 7. (2012 年江苏省 5 分)如图,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? AD ? 3cm ,

AA1 ? 2cm ,则四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ▲ cm3.

【答案】6。 【考点】正方形的性质,棱锥的体积。 【解析】 ∵长方体底面 ABCD 是正方形, ∴△ ABD 中 BD =3 2 cm,BD 边上的高是 (它也是 A ? BB1D1D 中 BB1D1D 上的高) 。

3 2 cm 2

∴四棱锥 A ? BB1D1D 的体积为 ? 3 2 ? 2 ?

1 3

3 2=6 。 2

E 16.江苏 16. (2012 年江苏省 14 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB1 ? AC1 , D , 1 1

F CC 分别是棱 BC , 1 上的点(点 D 不同于点 C ) ,且 AD ? DE , 为 B1C1 的中点.
求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1 F // 平面 ADE .

【答案】证明: (1)∵ ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,∴ CC1 ? 平面 ABC 。 又∵ AD? 平面 ABC ,∴ CC1 ? AD 。

CC 又∵ AD ? DE , 1,DE ? 平面 BCC1B1,CC1 ? DE ? E ,∴ AD ? 平
面 BCC1 B1 。 (lb ylfx) 又∵ AD? 平面 ADE ,∴平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 。 (2)∵ A1 B1 ? A1C1 , F 为 B1C1 的中点,∴ A1 F ? B1C1 。 又∵ CC1 ? 平面 A1 B1C1 ,且 A1 F ? 平面 A1 B1C1 ,∴ CC1 ? A1 F 。

B CC 又∵ CC1, 1C1 ? 平面 BCC1 B1 , 1 ? B1C1 ? C1 , A1 F ? 平面 A1 B1C1 。 ∴
由(1)知, AD ? 平面 BCC1 B1 ,∴ A1 F ∥ AD 。 又∵ AD? 平面 ADE, A1 F ? 平面 ADE ,∴直线 A1 F // 平面 ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。 【解析】 要证平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 , (1) 只要证平面 ADE 上的 AD ? 平面 BCC1 B1 即可。 它可由已知 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱和 AD ? DE 证得。 (2)要证直线 A1 F // 平面 ADE ,只要证 A1 F ∥平面 ADE 上的 AD 即可。 17 江西 10.如右图,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,

过点 E 垂直于 SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分,记 SE ? x(0 ? x ? 1), 截面下面部 分的体积为 V ( x ), 则函数 y ? V ( x) 的图像大致为

10.A【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式,线面垂直,同时考查了函数的思想,导数法 解决几何问题等重要的解题方法. (定性法)当 0 ? x ? 度越来越快;当

1 时,随着 x 的增大,观察图形可知, V ? x ? 单调递减,且递减的速 2

1 ? x ? 1 时,随着 x 的增大,观察图形可知,V ? x ? 单调递减,且递减的速 2

度越来越慢;再观察各选项中的图象,发现只有 A 图象符合.故选 A. 【点评】对于函数图象的识别问题,若函数 y ? f ? x ? 的图象对应的解析式不好求时,作为 选择题,没必要去求解具体的解析式,不但方法繁琐,而且计算复杂,很容易出现某一步的 计算错误而造成前功尽弃;再次,作为选择题也没有太多的时间去给学生解答;因此,使用 定性法,不但求解快速,而且准确节约时间. 18 江西 19.(本题满分 12 分) 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= 5 ,BC=4,在 A1 在底面 ABC 的投影是线段 BC 的中点 O。

(1)证明在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥ 平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (2)求平面 A B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值。 1 19. (本小题满分 12 分) 解: 证明: (1) 连接 AO, ? A A 1 中, OE ? AA1 于点 E, 在 O 作 因为 AA // BB1 , O ? B 得 E B 1 因为 AO ? 平面 ABC,所以 AO ? BC ,因为 AB ? AC, OB ? OC , 1 1 得 AO ? BC ,所以 BC ? 平面 AAO ,所以 BC ? OE , 1 所以 OE ? 平面 BB1C1C , 又 AO ? A1 1 B1 E
1,

z C1

AB 2 ? BO 2 ? 1, AA1 ? 5 ,
x

AO2 5 得 AE ? ? AA1 5
(2)如图所示,分别以 OA, OB, OA1 所在的直线

A y B

C O

为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0) 由(1)可知 AE ?

1 ???? 4 2 AA1 得点 E 的坐标为 ( , 0, ) ,由(1)可知平面 BB1C1C 的法向量是 5 5 5 ? 4 2 ( , 0, ) ,设平面 A1B1C 的法向量 n ? ( x, y, z) , 5 5 ? ??? ? ? ?n ? AB ? 0 ?? x ? 2 y ? 0 ? 由 ? ? ???? ,得 ? ,令 y ? 1 ,得 x ? 2, z ? ?1 ,即 n ? (2,1, ?1) ?y ? z ? 0 ?n ? A1C ? 0 ?

??? ?

??? ? ? ??? ? ? OE ? n 30 ? ?? ? ? 所以 cos ? OE, n ?? ???? | OE | ? | n | 10
即平面平面 A B1C 与平面 BB1C1C 夹角的余弦值是 1

30 。 10

19 辽宁 13. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积 为 . 【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积计算, 是简单题. 【命题意图】由三视图知,此几何体为一个长为 4,宽为 3,高为 1 的长方体中心,去除一个半径为 1 的圆柱,所以表面积为

2 ? ? 4 ? 3+4 ?1+3?1? +2? -2? =38

20 辽宁 16. 已知正三棱锥 P-ABC , PA, , 点 ,BC

都在半径为 3 的 .

球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球心到截面 ABC 的距离为 【命题意图】本题主要考查球与正三棱锥的切接问题,是难题. 【解析】如图所示, O 为球心, O' 为截面 ABC 所在圆的圆心, 设 PA=PB =PC =a , PA,PB,PC 两两相互垂直,

AB=BC =CA= 2a ,所以 CO'=
2 2

3 6 a, a , PO'= 3 3

? 3 ? ? 6 ? 3 2 3 , a- 3 ? + ? a ? =3 , 解 得 a =2 , 所 以 PO'= a= ? ? 3 ? ? 3 ? 3 3 ? ? ? ?

OO'=

3 3

21 辽宁 18. (本小题满分 12 分) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC -A'B'C' , ?BAC =90? , AB =AC =? AA' ,点 M ,N 分别为 A'B 和 B'C' 的中点 (1)证明: MN //平面A'ACC' ; (2)若二面角 A'-MN -C 为直二面角,求 ? 的值 【命题意图】 本题主要考查线面平行的判定、 二面角的计算, 考查空间想象能力、运算求解能力,是容易题. 【解析】 (1)连结 AB',AC' ,由已知 ?BAC =90?,AB=AC 三棱柱 ABC -A'B'C' 为直三棱柱, 所以 M 为 AB' 中点.又因为 N 为 B'C' 中点 所以 MN //AC' ,又 MN ? 平面 A'ACC' AC' ? 平面 A'ACC' ,因此 MN //平面A'ACC' ??6 分 (2) A 为坐标原点, 以 分别以直线 AB,AC,AA' 为 x 轴, y 轴,z 轴建立直角坐标系 O-xyz ,如图所示 设 AA'=1, 则 AB =AC =? , 于 是

A? 0

? ??

? ?

? ?

? ?

? ?

?, ,

B

?

所以 M ?

?? ?? 1? ?? ? ? ,0, ? ,N ? , ,1? ,设 m= ?x 1,y 1,z 1 ? 是平面 A'MN 的 ? 2 2? ? 2 2 ?

法向量,

1 ?? ?? ????? ?? ?m?A'M =0, ? 2 x1 - 2 z1 =0 ? ? 由 ? ?? ???? 得? ,可取 m= ?1,-1,? ? ? ?m?MN =0 ? ? y + 1 z =0 ? ?2 1 2 1 ? ? 设 n= ? x2 ,y2 ,z2 ? 是平面 MNC 的法向量,

? ? ? ? ???? ? ? n?NC =0, ?- 2 x2 + 2 y2 -z2 =0 ? ? 由 ? ? ???? ,可取 n= ? -3,-1,? ? ? 得? ? n?MN =0 ? ? y + 1 z =0 ? ?2 2 2 2 ? ?? ? 因为 A'-MN -C 为直二面角,所以 m? =0,即-3+ ? -1? ? ? -1? +? 2 =0 ,解得 ? = 2 ??12 分 n
22 全国卷大纲版 4.已知正四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中, AB ? 2, CC1 ? 2 2, E 为 CC1 的 1 中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A.2 B.

3

C. 2

D.1

答案 D 【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解。体现了 转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可。 【解析】因为底面的边长为 2,高为 2 2 ,且连接 AC , BD ,得到交点为 O ,连接 EO , 则点 C1 到平面 BDE 的距离等于 C 到平面 BDE 的距离, 过点 C 作 CH ? OE , EO / / AC1 , 则 CH 即为所求,在三角形 OCE 中,利用等面积法,可得 CH ? 1,故选答案 D。 23 全 国 卷 大 纲 版 16 . 三 棱 柱 A B C 1 1 C , 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 , ? A B 1中

?BAA1 ? ?CAA1 ? 60? ,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为
答案



6 6

【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。用空间向量进行求解即可。 【解析】设该三棱柱的边长为 1,依题意有 AB1 ? AB ? AA , BC1 ? AC ? AA ? AB ,则 1 1

???? ??? ???? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ?

???? ??? ???? ? ??? 2 ? ??? ???? ???? 2 ? | AB1 |2 ? ( AB ? AA1 ) 2 ? AB ? 2 AB ? AA1 ? AA1 ? 2 ? 2 cos 60? ? 3 ???? ? ???? ???? ??? ? ???? 2 ???? 2 ??? 2 ? ???? ???? ???? ??? ? ???? ??? ? | BC1 |2 ? ( AC ? AA1 ? AB) 2 ? AC ? AA1 ? AB ? 2 AC ? AA1 ? 2 AC ? AB ? 2 AA1 ? AB ? 2
而 AB1 ? BC1 ? ( AB ? AA ) ? ( AC ? AA ? AB) 1 1

???? ???? ?

??? ???? ?

??? ???? ??? ? ?

??? ???? ??? ???? ??? ??? ???? ???? ???? ???? ???? ??? ? ? ? ? ? ? AB ? AC ? AB ? AA1 ? AB ? AB ? AA1 ? AC ? AA1 ? AA1 ? AA1 ? AB 1 1 1 1 ? ?1? ?1? ? 1 2 2 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? AB1 ? BC1 1 6 ? ? cos ? AB1 , BC1 ?? ???? ???? ? ? 6 | AB1 || BC1 | 2? 3 ?
24 全国卷大纲版 18. (本小题满分 12 分) (注意:在试题 卷上作答无效) ... ......
[来源:学科网 ZXXK]

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面 ABCD , AC ? 2 2 ,

PA ? 2, E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC 。
(1)证明: PC ? 平面 BED ; (2)设二面角 A ? PB ? C 为 90? ,求 PD 与平面 PBC 所 成角的大小。 【命题意图】 本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证 明以及线面角的求解的运用。 从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂 直关系和长度,并加以证明和求解。 解:设 AC ? BD ? O ,以 O 为原点, OC 为 x 轴, OD 为 y 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 , 则

P

E B C

A D

A(? 2,0,0), C( 2,0,0), P(? 2,0,2), 设

B(0, ?a,0), D(0, a,0), E( x, y, z) 。
(Ⅰ)证明:由 PE ? 2 EC 得 E (

??? ? ??? ? 2 2 2 2 , 0, ) , 所以 PC ? (2 2,0, ?2) , BE ? ( , a, ) , 3 3 3 3

??? ? ??? ????? 2 2 BD ? (0,2a,0) ,所以 PC?BE ? (2 2, 0, ?2) ? ( , a, ) ? 0 , 3 3 ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 所以 PC ? BE , PC ? BD , 所以 PC ? 平面 BED ; PC ? BD ? (2 2,0, ?2) ? (0,2a,0) ? 0 。
( Ⅱ ) 设 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ? ( x, y, z) , 又 AP ? (0, 0, 2), ? ( 2 , a , , 由 AB ? 0)

?

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ??? ? ?? ? 2 n ? AP? 0, n? AB 0 得 n ? (1, ? , 0) , 设 平 面 PBC 的 法 向 量 为 m ? ( x, y, z) , 又 a ? ? ?? ? ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? 2 B C? ( 2 , a , 0 )C P ?( 2 2 ,,由2 ) ? BC ? 0,m ?CP ? 0 ,得 m ? (1, ? , 2) ,由 , ? 0, m a
于二面角 A ? PB ? C 为 90? ,所以 m ? n ? 0 ,解得 a ? 2 。 所以 PD ? ( 2, 2, ?2) , 平面 PBC 的法向量为 m ? (1, ?1, 2) , 所以 PD 与平面 PBC

?? ?

??? ?

??

???? ??? ? | PD ? m | 1 ? ? ? 所成角的正弦值为 ???? ??? ? ,所以 PD 与平面 PBC 所成角为 . 6 | PD | ?| m | 2
【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题和相似,底面也是特殊 的菱形,一个侧面垂直于底面的四棱锥问题,那么创新的地方就是点 E 的位置的选择是一 般的三等分点, 这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的, 因此最好使用空间直角坐标 系解决该问题为好。 25 山东(14)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点, 则三棱锥 D1-EDF 的 体积为____________。

解析: VD1 ? EDF ? VF ? D1DE ?

1 1 1 ? 1? ?1?1 ? . 3 2 6
E

26 山东(18) (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,

F

AB ? CD , ?DAB ? 60?, FC ? 平面 ABCD, AE ? BD ,
CB ? CD ? CF .
(Ⅰ)求证 BD ? 平面 AED ; (Ⅱ)求二面角 F ? BD ? C 的余弦值.

C
D A B

(18) (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 为等腰梯形, AB ? CD , ?DAB ? 60? , 所以 ?ADC ? ?BCD ? 120? . 又 CB ? CD , 所以 ?CDB ? 30? 因此 ?ADB ? 90? , AD ? BD , 又 AE ? BD ,且 AE ? AD ? A , AE , AD ? 平面 AED , 所以 BD ? 平面 AED . (Ⅱ)解法一: 由(I)知 AD ? BD ,所以 AC ? BC ,又 FC ? 平面 ABCD , 因此 CA , CB , CF 两两垂直.以 C 为坐标原点,分别以 CA , CB , CF 所在 的直 线为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系,不妨设 CB ? 1 ,则,

C( 0 , 0 , 0 ) , B( 0 ,1, 0 ) , D( 3 , ? 1 , 0 ) , F ( 0 , 0 ,1 ) , 2 2 ??? ? ??? ? 因此 BD ? ( 3 , ? 3 , 0 ) , BF ? ( 0 , ?1,1) . 2 2 设平面 BDF 的一个法向量为 m ? ( x , y , z ) , ??? ? ??? ? 则 m ? BD ? 0 , m ? BF ? 0 , 所以 x ? 3 y ? 3z ,取 z ? 1 ,
则 m ? ( 3 ,1,1) . 又平面 BDC 的法向量可以取为 n ? ( 0 , 0 ,1 ) ,

5, 所以 cos ? m , n ?? m ? n ? 1 ? | m || n | 5 5
所以二面角 F ? BD ? C 的余弦值为 5 .

5

解法二: 取 BD 的中点 G ,连结 CG, FG ,由于 CB ? CD , 所以 CG ? BD . 又 FC ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD , 所以 FC ? BD . 由于 FC ? CG ? C , FC , CG ? 平面 FCG , 所以 BD ? 平面 FCG ,故 BD ? FG . 所以 ?FGC 为二面角 F ? BD ? C 的平面角. 在等腰三角形 BCD 中,由于 ?BCD ? 120? , 因此 CG ? 1 CB ,又 CB ? CF ,

2 所以 CF ? CG2 ? CF 2 ? 5CG , 故 cos ?FGC ? 5 , 5
因此 二面角 F ? BD ? C 的余弦值为 5 .

5

27 陕西 5. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A B1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则 1 直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为( )

A.

5 5 2 5 5

B.

5 3
3 5

C.

D.

【解析】设 CB ? 1 ,则 AB1 ? ?? 2,2,1? , BC1 ? ?0,2,?1? ,

则 cos ? AB1 , BC1 ??

AB1 ? BC1 AB1 BC1

?

5 ,故选 A 5

28 陕西 18. (本小题满分 12 分) (1)如图,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ) , c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真. (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)

【解析】 (Ⅰ)证法一 如图,过直线 b 上一点作平面 ? 的垂线 n ,设直线 a , b , c , n 的 方向向量分别是 a , b , c , n ,则 b , c , n 共面.根据平面向量基本定理,存在实数 ? ,

? 使得 c ? ?b ? ?n ,则 a ? c ? a ? (?b ? ?n) ? ? (a ? b) ? ? (a ? n) ,因为

a ? b ,所以 a ? b ? 0 ,
又因为 a ? ? , n ? ? ,所以 a ? n ? 0 ,故 a ? c ? 0 ,从而 a ? c . 证法二 如图,记 c ? b ? A , P 为直线 b 上异于点 A 的任意一点,过 P 作 PO ? ? ,垂足

为 O , 则 O ? c . ? PO ? ? , a ? ? , ? 直 线 PO ? a , 又 a ? b , b ? 平 面

PAO , PO ? b ? P , ? a ? 平 面 PAO , 又 c ? 平 面 PAO , ?a ? c .
(Ⅱ)逆命题为: a 是平面 ? 内的一条直线, b 是平面 ? 外的一条直 线( b 不垂直于 ? ) c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c .逆命题为真命题 , 29 上海 8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为 .

【答案】

3? 3
1 2
2

【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 r ,母线长为 l ,根据条件得到 ?l ? 2? ,解得母 线 长

l?2



2?r ? ?l ? 2? , r ? 1 所 以 该 圆 锥 的 体 积 为 :

1 1 3 V圆锥 ? Sh ? ? 2 2 ? 12 ? ? ?. 3 3 3
【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意,所求的为体积,不 是其他的量,分清图形在展开前后的变化;其次,对空间几何体的体积公式要记准记牢 30 上海 14.如图, AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱, BC ? 2 ,若 AD ? 2c , 且 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a ,其中 a 、 c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最 大值是 【答案】 .

2 c a2 ? c2 ?1 3

【 解 析 】 据 题 AB ? BD ? AC ? CD ? 2a , 也 就 是 说 , 线 段

AB ? BD与线段AC ? CD 的长度是定值,因为棱 AD 与棱 BC 互
相垂直,当 BC ? 平面ABD 时,此时有最大值,此时最大值为:

2 c a2 ? c2 ?1 . 3
【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已 知条件构造体积表达式,这是解决问题的关键,本题综合性强,运算量较大.属于中高档试 题. 31 上海 19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA⊥底面 ABCD,E 是 PC 的中点.已知 AB=2, AD=2 2 ,PA=2.求: (1)三角形 PCD 的面积; 分) (6 (2)异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小.(6 分) [解](1)因为 PA⊥底面 ABCD,所以 PA⊥CD,又 AD⊥CD,所以 CD⊥平面 PAD, 从而 CD⊥PD. ……3 分 因为 PD= 2 ? (2 2 ) ? 2 3 ,CD=2,
2 2

所以三角形 PCD 的面积为 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 3 . 2 (2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系, 则 B(2, 0, 0),C(2, 2 2 ,0),E(1, 2 , 1),

z P E A

……6 分

AE ? (1, 2, 1) , BC ? (0, 2 2, 0) .
设 AE 与 BC 的夹角为?,则
AE cos? ? | AE||? BC | ? BC 4 2? 2 2

……8 分 B

D C ……12 分

y

x 由此可知,异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4 [解法二]取 PB 中点 F,连接 EF、AF,则 P EF∥BC,从而∠AEF(或其补角)是异面直线 BC 与 AE 所成的角 ……8 分 F 在 ?AEF 中,由 EF= 2 、AF= 2 、AE=2 A 知 ?AEF 是等腰直角三角形, 所以∠AEF= ? . B 4

?

2 2

,?= ? . 4

E D C

因此异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是 ? 4

……12 分

【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证 能力. 综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解, 同时考查空间几何体的体积公式的运 用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题,复习时应注重课本,容易出现找错角的情况, 要考虑全面,考查空间想象能力,属于中档题. 32 四川 6、下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 [答案]C [解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可 能相交,所以 A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个 平面平行,故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错; 故选项 C 正确. [点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基 础知识的定义、定理及公式. 33 四川 0、如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作平面 ? 的垂线交半 球面于点 A ,过圆 O 的直径 CD 作平面 ? 成 45 角的平面与半球面相交,所得交线上到平
?

面 ? 的距离最大的点为 B ,该交线上的一点 P 满足 ?BOP ? 60 ,则 A 、 P 两点间的球面
?

距离为(



A

A 、 R arccos

2 4
D、

B 、

?R
4
α

B D P O C

C



R arccos

3 3

?R
3

[答案]A [解析] 以 O 为原点,分别以 OB、OC、OA 所在直线为 x、y、z 轴, 则 A(

2 2 1 3 R,0, R), P( R, R,0) 2 2 2 2

? COS?AOP ?

AO ? PO 2 ? 2 R 4

? ?AOP ? arccos

2 4

? 2 ? AP ? R ? arccos 4
[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数 等基础知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学 基本功. 34 四川 14、如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中, M 、 N 分别是 CD 、 1

CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成角的大小是____________。
[答案]90? [解析]方法一:连接 D1M,易得 DN⊥ 1D1 ,DN⊥ 1M, A D 所以,DN⊥ 平面 A1MD1, 又 A1M ? 平面 A1MD1,所以,DN⊥ 1D1,故夹角为 90? A
A A1

D1 B1

C1 N

D M B

C

方法二:以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴,建立空间直 角坐标系 D—xyz.设正方体边长为 2,则 D(0,0,0) ,N(0,2,1) ,M(0,1,0)A1(2,0,2) 故, DN ? 0,2,1 MA ? 2, 1,2) ( ), 1 ( ?

MA 所以,cos< ? DN, 1 ? ?

DN ? MA1 = 0,故 DN⊥ 1M,所以夹角为 90? D | DN || MA 1 |

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中 借助三角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决. 35 四川 19、(本小题满分 12 分)
? 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? ABC 中 , ?APB ? 90 ,

P C

?PAB ? 60 ,AB ? BC ? CA , 平面 PAB ? 平面 ABC 。 (Ⅰ )求直线 PC 与平面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ )求二面角 B ? AP ? C 的大小。
?

A
[解析](1)连接 OC。由已知, ?OCP为直线PC与平面ABC 所成的角 设 AB 的中点为 D,连接 PD、CD. 因为 AB=BC=CA,所以 CD ? AB. 因为 ?APB ? 90?,?PAB ? 60?,所以?PAD为等边三角形, 不妨设 PA=2,则 OD=1,OP= 3 ,AB=4. 所以 CD=2 3 ,OC= OD2 ? CD 2 ? 1 ? 12 ? 13 . 在 Rt ?OCP中, ?OPC ? tan

B

OP 3 39 . ? ? OC 13 13
39 …………………6 分 13

故直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小为 arctan

(2)过 D 作 DE ? AP 于 E,连接 CE. 由已知可得,CD ? 平面 PAB. 根据三垂线定理可知,CE⊥ PA, 所以, ?CED为二面角B — AP — C的平面角. 由(1)知,DE= 3 在 Rt△CDE 中,tan ?CED ?

CD ?2 DE

故 二面角B — AP — C的大小为arctan2 ……………………………12 分 [点评]本小题主要考查线面关系、 直线与平面所成的角、 二面角等基础知识, 考查思维能力、 空间想象能力,并考查应用向量知识解决数学问题的能力. 36 天津(10)―个几何体的三视图如图所示(单位: m ),则该几何体的体积为

m3 .

10. 18+9? 【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能 力. 【解析】 由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体, 所以其体积 为: V =3 ? 6 ?1+2 ? ? ? (

4 3

3 3 ) = 18+9? m3 . 2
P

37 天津 (17) (本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD ,

AC 丄 AD , AB 丄 BC , ?BAC ? 45? , PA=AD =2 , AC =1 .
(Ⅰ)证明: PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 , 求 AE 的长. 【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】
A
0

B C

???? ??? ??? ? ? (1)以 AD, AC, AP 为 x, y, z 正半轴方向,建立空间直角左边系 A ? xyz
则 D(2, 0, 0), C (0,1, 0), B(?

D

1 1 , , 0), P(0, 0, 2) 2 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? PC ? (0,1, ?2), AD ? (2,0,0) ? PC?AD ? 0 ? PC ? AD

(2) PC ? (0,1, ?2), CD ? (2, ?1,0) ,设平面 PCD 的法向量 n ? ( x, y, z)

??? ?

??? ?

?

? ??? ? ? ?n?PC ? 0 ? y ? 2z ? 0 ? y ? 2z ? 则 ? ? ??? 取 z ? 1 ? n ? (1, 2,1) ?? ?? ? ?2 x ? y ? 0 ? x?z ? n? ? 0 ? CD ???? AD ? (2,0,0) 是平面 PAC 的法向量 ???? ? ???? ? ???? ? AD?n 6 30 cos ? AD, n ?? ???? ? ? ? sin ? AD, n ?? 6 6 AD n

30 6 ??? ? 1 1 ??? ? ??? ? (3)设 AE ? h ?[0, 2] ;则 AE ? (0,0, 2) , BE ? ( , ? , h), CD ? (2, ?1, 0) 2 2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? B E? C D 3 3 10 10 c o s B E ,C D ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?h ? 即 AE ? 10 2 10 BE CD 1 0? 2 h2 0
得:二面角 A ? PC ? D 的正弦值为 【点评】试题从命题的角度来看,整体上题目与我们平时练习的试题相似,但底面是非特殊 的四边形,一直线垂直于底面的四棱锥问题,那么创新 的地方就是第三问中点 E 的位置是不确定的,需要学生 根据已知条件进行确定,如此说来就有难度,因此最好 使用空间直角坐标系解决该问题为好. 38 新课标(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗 线画出的 是某几何体的三视图, 则此几何体的体积为 ( )

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

【解析】选 B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3

1 1 ? ? 6 ? 3? 3 ? 9 3 2 39 新课标(11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边长为1 的
此几何体的体积为 V ? 正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

【解析】选 A

?ABC 的外接圆的半径 r ?

6 3 2 2 ,点 O 到面 ABC 的距离 d ? R ? r ? 3 3 2 6 3

SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 ABC 的距离为 2d ?

此棱锥的体积为 V ?

1 1 3 2 6 2 S?ABC ? 2d ? ? ? ? 3 3 4 3 6

另: V ?

1 3 排除 B, C, D S?ABC ? 2 R ? 3 6
1 AA1 , 2

40 新课标(19) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ?

D 是棱 AA 的中点, DC1 ? BD 1
(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。 【解析】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45
?

同理: ?A DC1 ? 45? ? ?CDC1 ? 90? 1 得: DC1 ? DC , DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A ? BC ? AC 1 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1? B1 C1 ? C1 O ? O H ? B D 1C H ? ?

,面 A B A1B1C1 ? 面 A1BD ? C1O ? 面 A1BD 1 1

B得:点 H 与点 D 重合 D

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2
?

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30

41 浙江 10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线 进行翻着,在翻着过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直

D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”“AB 与 CD”“AD 与 BC”均不垂直 , , 【答案】B
[来源:学,科,网]

42 浙江 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 三 棱锥的体积等于___________cm3. 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于
1 1 ? 3 ?1? 2 ? ? 1 . 2 3

则该

【答案】1 43 浙江 20.(本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形, 且∠BAD=120° ,且 PA⊥平面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥ 平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值. 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接 BD.
[来源:Z+xx+k.Com]

∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥ BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系: A(0,0,0),P(0,0, 2 6 ),M( ? N( 3 ,0, 6 ),C( 3 ,3,0). 设 Q(x,y,z),则 CQ ? ( x ? 3,y ? 3,z), ? (? 3, 3, 6) . CP ? 2 ∵ CQ ? ? CP ? (? 3?, 3?, 6? ) ,∴ Q( 3 ? 3?, ? 3?, 6?) . ? 2 3 2
???? ??? ? 由 OQ ? CP ???? ??? ? 1 2 3 2 6 ? OQ ? CP ? 0 ,得: ? ? . 即: Q( ,2, ). 3 3 3 ? 对于平面 AMN:设其法向量为 n ? (a,b,c) .
??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

3 3 , , 6 ), 2 2

∵ AM ? (?

3 3 , , 6 ), AN ? ( 3,0, 6) . 2 2

则. ∴ n ? (- 2 ,? 6 ,1)

同理对于平面 MNQ 得其法向量为 v ? (1, 3 ,

5 2 ). 2

记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ? ,

3 2 2 则 cos? ? 2 ? . 3? 4 8
∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为

2 .. 8

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

2 .. 8

44 重庆 9、设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 (A) (0, 2) 【解析】选 A 取长 (B) (0, 3) (C) (1, 2) (D) (1, 3)

2 的 棱 的 中 点 与 长 为 a 的 端 点 B, C ; 则
2 ? a? B C2 ? 2

A B? A C ?

45 重庆 19、 (本小题满分 12 分(Ⅰ)小问 4 分(Ⅱ)小问 8 分) 如图,在直三棱柱 ABC? A1B1C1 中,AB=4,AC=BC=3,D 为 AB 的中点 (Ⅰ)求点 C 到平面 A ABB1 的距离; 1 (Ⅱ)若 AB1 ? AC ,求二面角 A1 ? CD ? C1 的平面角的余弦值。 1

C 19、 (1) A B 解: 由 C ?

, D 为 AB 的中点, CD ? AB , C ? 得 又 D A A

故 1,

CD ? 面A1 ABB1 ,

所以点 C 到平面 A ABB1 的距离为 CD ? 1

BC 2 ? BD2 ? 5

(2)如图,取 D1 为 A1B1 的中点,连结 DD1 ,则 DD1∥AA ∥CC1 ,又由 1 (1) CD ? 面A1 ABB1 , C ? 1 知 故 D AD

C ?D D D

所以 1,

?A1DD1

为所求的二面角 A1 ? CD ? C1 的平面角。

因 A1D 为 AC 在面 A ABB1 上的射影,又已知 AB1 ? AC ,由三垂线定理的逆定理得 1 1 1 都 , AB1 ? A1D , 从 而 ?A1 AB, ? A DA 与 ?B1 AB互 余 , 因 此 ?A1 AB ? ? A DA 所 以 1 1 1 1

Rt? A AD? Rt 1 1A ,因此, ? B A 1

AA1 A1B1 ,即 AA 2 ? AD?A B1 ? 8 ,得 AA ? 2 2 。 ? 1 1 1 AD AA1

从而 A1 D ?

AA12 ? AD 2 ? 2 3 ,所以,在 Rt? A1DD1 中,cos A1DD1 ?

DD1 AA1 6 ? ? A1D A1D 3


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