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黑龙江省哈三中09-10学年高一下学期期末考试(数学)


哈三中 2009—2010 学年度下学期 高一学年第二学段(模块)数学试卷
参考公式:

4 V球 ? ?r 3 3

V棱台 ?

1 s ? s ' ? ss ' h 3

?

?

一.选择题(每小题 5 分 共 60 分) 1

.已知正方体的棱长为 2,则其外接球的半径为 A. 2 B. 2 3 C. 2 2 D. 3

2.在空间中,垂直于同一直线的两条直线的位置关系是 A.垂直 B.平行 C.异面 D.以上都有可能 3.棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, BC1 ? B1 D1 ? A. 2 2 B. 4 C. ? 2 2 D. ? 4

4.如图,是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图, A 、 B 、 C 是展 开图上的三点, 则正方体盒子中 ?ABC 的值为 A. 180
?

B. 120

?

C. 60

?

D. 45

?

5.四棱台 ABCD? A1 B1C1 D1 的 12 条棱中,与棱 AA1 异面的棱共 有

A.3 条

B.4 条

C.6 条

D.7 条

6.正四面体 ABCD 中, AB 与平面 BCD 所成角的正弦值为 A.

6 3

B.

3 6

C.

2 4

D.

3 3
D1

7.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E,F 分别 是 AB1 , BC1 的中点,则以下结论中不成立的是 ... A. EF 与 BB1 垂直 C. EF 与 A1C1 异面 B. EF 与 BD 垂直 D. EF 与 CD 异面 A 8.已知直线 m 、 n ,平面 ? 、 ? ,给出下列命题: ①若 m ? ? , n ? ? , m ? n , ? ? ? 且 则 ③若 m ? ? , n // ? , m ? n , ? ? ? 且 则

B1 A1

C1

E D
B

F C

②若 m // ? , n // ? , m // n , ? // ? 且 则 ④若 m ? ? , n // ? , m // n , ? ? ? 且 则

其中正确的命题是

A.②③

B.①③

C.①④

D.③④
A

9. 把 10 个相同的小正方体,按如图所示的位置堆放,它的外表含有若干 小正方形. 如果将图中标有 A 的一个小正方体搬去, 这时外表含有的小 正方形个数与搬去前相比 A.不增不减 B.减少 1 个 C.减少 2 个 D.减少 3 个
1

10.一个几何体的三视图如右图所示, 则此几何体的表面积是
A. 24 ? 2 5 C. 28 ? 2 5 B. 22 ? 5 D. 26 ? 5

2

2 正视图

侧视图

2

俯视图

11. 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 内的射影为

△ABC 的中心,则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于
A.
1 3

B.

2 3

C.

3 3

D.

2 3

12.在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, ?BAC ?

?
2

, AB ? AC ? AA1 ? 1 ,已知 G 与 E

分别为 A1 B1 和 CC1 的中点, D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点(不包括端点). 若 GD ? EF ,则线段 DF 的长度的取值范围为 A. ? ,2 ?

?1 ?5

? ?

B. ?

? 1 ? ,1? ? 5 ?

C. ?1,2 ?

D. ?

? 1 ? , 2? ? 5 ?

二.填空题(每小题 5 分 共 20 分) 13.若 a ? (1,0,2) , b ? (0,1,2) ,则 a ? 2b =

14.长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, AB ? 3 , BC ? 4 , AA1 ? 5 , P 是棱 BC 上一动点, 则 AP ? PC1 的最小值为 15. Rt?ABC 中, A ? 30 , BC ? 2 ,将 Rt?ABC 沿斜边 AC 所在直线旋转一周,
?

那么所得几何体的体积为

16.将边长为 2,一个内角为 60? 的菱形 ABCD 沿较短对角线 BD 折成四面体 ABCD ,点

E, F 分别为 AC, BD 的中点,则下列命题中正确的是
① EF ∥ AB ;② EF ? BD ;③ EF 有最大值,无最小值; ④当四面体 ABCD 的体积最大时, AC ? 三.解答与证明(共 70 分) 17. (本小题 10 分) ①已知 ? ? ? , a ? ? , a ? ? ;求证: a // ? . ②已知 a ? ? , a // ? ;求证: ? ? ? .

6 ; ⑤ AC 垂直于截面 BDE .

β α

a

18. (本小题 12 分) 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,所有棱长均相等, E, F 分别是棱 A1 B1 , A1C 1 的中点, 截面 EBCF 将三棱柱截成几何体Ⅰ和几何体Ⅱ两个几何体. ①求几何体Ⅰ和几何体Ⅱ的表面积之比; ②求几何体Ⅰ和几何体Ⅱ的体积之比.

A B

C

Ⅰ Ⅱ
C1 B1

F A1 E

19. (本小题 10 分) 棱长为2的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, A1C1 ? B1 D1 ? O . ①求异面直线 OA 与 BD1 所成角的余弦值; ②求 OA 与平面 BB1 D1 D 所成角的余弦值.

D1 O A1 B1

C1

D A B

C

20. (本小题 12 分) 已知斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是正三角形,侧面 ABB1 A1 是边长为 2 的菱形, 且 ?A1 AB ? 60 , M 是 A1 B1 的中点, MB ? AC .
?

C1 M

①求证: BM ? 平面 ABC ; ②求点 M 到平面 BB1C1C 的距离.

A1

B1

C

A

B

21. (本小题 12 分) 四棱锥 O ? ABCD 中,OB ? 底面 ABCD , OB ? 6 , 且 底面 ABCD 是菱形; B 在 点 平面 OAD 内的射影 G 恰为 ?OAD 的重心. ①求 OA 的长; ②求二面角 B ? OC ? D 的平面角的余弦值.

O

B A C D

22. (本小题 12 分) 四面体 ABCD 中, AB ? BC , E , F , G 分别是 AB, BC, CD 的中点,且 ?EFG 为正三 角形, AG ? 平面 BCD . ①求 AB 与平面 BCD 所成角的大小; ②求二面角 E ? FG ? C 的平面角的余弦值.
A

E

B F C G

D

哈三中 2009—2010 学年度下学期 高一学年第二学段数学(理科)试卷答案
一、选择题(每小题 5 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

D

D

B

C

B

A

C

C

A

A

B

B

二、填空题(每小题 5 分) 13. 3 三、解答题 17. 略 18.⑴ 14. 4 5 15. 4? 16.②④⑤

5 3 ? 24 ? 3 19 3 3 ? 24 ? 3 19

; (2)

7 5

19.解: (Ⅰ)

2 6 (Ⅱ) , 3 3

20.①略②

15 5
(2)

21.(I)

10
?

6 6

22. .① 45

② ?

3 3


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