当前位置:首页 >> 数学 >>

指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固


指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固
撰稿:刘杨 审稿:严春梅 责编:丁会敏

一、知识框图

二、目标认知 学习目标
1.指数函数 (1)通过具体实例,了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出

具体指数函数的图象,探 索并理解指数函 数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。

2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数;通过阅 读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概 念,体会对数函 数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索 并了解对数函数 的单调性与特殊点;

3.反函数 知道指数函数 与对数函数 互为反函数(a>0,a≠1).

4.幂函数 (1)了解幂函数的概念;

(2)结合函数

的图象,了解它们的变化情况.

重点
指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对 常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

难点
指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质.

三、知识要点梳理 知识点一:指数及指数幂的运算
1.根式的概念 的 次方根的定义:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中

当 为奇数时,正数的 次方根为正数,负数的 次方根是负数,表示为 偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0. 式子 叫做根式, 叫做根指数, 叫做被开方数. .

;当 为

2.n 次方根的性质:

(1)当 为奇数时, (2)

;当 为偶数时,

3.分数指数幂的意义:

; 注意:0 的正分数指数幂等与 0,负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质:

(1)

(2)

(3)

知识点二:指数函数及其性质
1.指数函数概念 一般地,函数 为 . 叫做指数函数,其中 是自变量,函数的定义域

2.指数函数函数性质: 函数 名称 定义 函数 指数函数



叫做指数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 象的影响

在第一象限内,从逆时针方向看图象, 逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向 看图象, 逐渐减小.

知识点三:对数与对数运算
1.对数的定义 (1)若 叫做底数, 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化: . ,则 叫做以 为底 的对数,记作 ,其中

2.几个重要的对数恒等式 , , .

3.常用对数与自然对数 常用对数: ,即 ;自然对数: ,即 (其中 ?).

4.对数的运算性质 如果 ①加法: ,那么

②减法: ③数乘: ④



⑥换底公式:

知识点四:对数函数及其性质
1.对数函数定义 一般地,函数 域 . 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义

2.对数函数性质: 函数 名称 定义 函数 对数函数



叫做对数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 象的影响

在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向 看图象, 逐渐减小.

知识点五:反函数
1.反函数的概念 设函数 得式子 在 的定义域为 .如果对于 在 , 值域为 , 从式子 中解出 , ,

中的任何一个值, 通过式子 表示 是 的函数,函数 .

中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 的反函数,记作

叫做函数 2.反函数的性质 (1)原函数 (2)函数 (3)若

,习惯上改写成

与反函数

的图象关于直线

对称. 的值域、定义域.

的定义域、值域分别是其反函数 在原函数 的图象上,则

在反函数

的图象上.

(4)一般地,函数

要有反函数则它必须为单调函数.

3.反函数的求法 (1)确定反函数的定义域,即原函数的值域; (2)从原函数式 (3)将 改写成 中反解出 ; ,并注明反函数的定义域.

知识点六:幂函数
1.幂函数概念 形如 的函数,叫做幂函数,其中 为常数.

2.幂函数的性质 (1)图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限 无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象 关于 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图

象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象 限. (2)过定点:所有的幂函数在 点 . 都有定义,并且图象都通过

(3)单调性:如果

,则幂函数的图象过原点,并且在 ,则幂函数的图象在 轴.

上为增函数.如果

上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 轴与

(4)奇偶性: 当 (其中

为奇数时, 幂函数为奇函数, 当

为偶数时, 幂函数为偶函数.当

互质, 和 偶数时,则

), 若

为奇数 为奇数时, 则

是奇函数, 若

为奇数 为

是偶函数,若 (5)图象特征:幂函数 下方,若 ,其图象在直线 方,若 ,其图象在直线

为偶数 为奇数时,则 ,当

是非奇非偶函数. 时,若 ,其图象在直线

上方,当

时,若

,其图象在直线



下方.

四、规律方法指导 思维总结
1. (其中 )是同一数量关系的三种

不同表示形式, 因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化, 选择最好的形式进行 运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同底; 2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换 技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常 使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验; 3.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质, 更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识; 4.指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识, 要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析; 5.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类 方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类; 6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函 数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合 问题等等,因此要努力提高综合能力.

指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固
撰稿:刘杨 审稿:严春梅 责编:丁会敏

一、知识框图

二、目标认知 学习目标
1.指数函数 (1)通过具体实例,了解指数函数模型的实际背景; (2)理解有理指数幂的含义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. (3)理解指数函数的概念和意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探 索并理解指数函 数的单调性与特殊点; (4)在解决简单实际问题的过程中,体会指数函数是一类重要的函数模型。

2.对数函数 (1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常 用对数;通过阅 读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用; (2)通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概 念,体会对数函 数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索 并了解对数函数 的单调性与特殊点;

3.反函数 知道指数函数 与对数函数 互为反函数(a>0,a≠1).

4.幂函数 (1)了解幂函数的概念;

(2)结合函数

的图象,了解它们的变化情况.

重点
指数函数、对数函数、幂函数的性质,熟练掌握指数、对数运算法则,明确算理,能对 常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.

难点
指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质.

三、知识要点梳理 知识点一:指数及指数幂的运算
1.根式的概念 的 次方根的定义:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中

当 为奇数时,正数的 次方根为正数,负数的 次方根是负数,表示为 偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0. 式子 叫做根式, 叫做根指数, 叫做被开方数. .

;当 为

2.n 次方根的性质:

(1)当 为奇数时, (2)

;当 为偶数时,

3.分数指数幂的意义:

; 注意:0 的正分数指数幂等与 0,负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质:

(1)

(2)

(3)

知识点二:指数函数及其性质
1.指数函数概念 一般地,函数 为 . 叫做指数函数,其中 是自变量,函数的定义域

2.指数函数函数性质: 函数 名称 定义 函数 指数函数



叫做指数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 象的影响

在第一象限内,从逆时针方向看图象, 逐渐增大;在第二象限内,从逆时针方向 看图象, 逐渐减小.

知识点三:对数与对数运算
1.对数的定义 (1)若 叫做底数, 叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化: . ,则 叫做以 为底 的对数,记作 ,其中

2.几个重要的对数恒等式 , , .

3.常用对数与自然对数 常用对数: ,即 ;自然对数: ,即 (其中 ?).

4.对数的运算性质 如果 ①加法: ,那么

②减法: ③数乘: ④



⑥换底公式:

知识点四:对数函数及其性质
1.对数函数定义 一般地,函数 域 . 叫做对数函数,其中 是自变量,函数的定义

2.对数函数性质: 函数 名称 定义 函数 对数函数



叫做对数函数

图象

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 上是增函数 图象过定点 ,即当 非奇非偶 在 上是减函数 时, .

函数值的 变化情况

变化对图 象的影响

在第一象限内,从顺时针方向看图象, 逐渐增大;在第四象限内,从顺时针方向 看图象, 逐渐减小.

知识点五:反函数
1.反函数的概念 设函数 得式子 在 的定义域为 .如果对于 在 , 值域为 , 从式子 中解出 , ,

中的任何一个值, 通过式子 表示 是 的函数,函数 .

中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 的反函数,记作

叫做函数 2.反函数的性质 (1)原函数 (2)函数 (3)若

,习惯上改写成

与反函数

的图象关于直线

对称. 的值域、定义域.

的定义域、值域分别是其反函数 在原函数 的图象上,则

在反函数

的图象上.

(4)一般地,函数

要有反函数则它必须为单调函数.

3.反函数的求法 (1)确定反函数的定义域,即原函数的值域; (2)从原函数式 (3)将 改写成 中反解出 ; ,并注明反函数的定义域.

知识点六:幂函数
1.幂函数概念 形如 的函数,叫做幂函数,其中 为常数.

2.幂函数的性质 (1)图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限 无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象 关于 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图

象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象 限. (2)过定点:所有的幂函数在 点 . 都有定义,并且图象都通过

(3)单调性:如果

,则幂函数的图象过原点,并且在 ,则幂函数的图象在 轴.

上为增函数.如果

上为减函数,在第一象限内,图象无限接近 轴与

(4)奇偶性: 当 (其中

为奇数时, 幂函数为奇函数, 当

为偶数时, 幂函数为偶函数.当

互质, 和 偶数时,则

), 若

为奇数 为奇数时, 则

是奇函数, 若

为奇数 为

是偶函数,若 (5)图象特征:幂函数 下方,若 ,其图象在直线 方,若 ,其图象在直线

为偶数 为奇数时,则 ,当

是非奇非偶函数. 时,若 ,其图象在直线

上方,当

时,若

,其图象在直线



下方.

四、规律方法指导 思维总结
1. (其中 )是同一数量关系的三种

不同表示形式, 因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化, 选择最好的形式进行 运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同底; 2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换 技巧,如配方、因式分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常 使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验; 3.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质, 更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识; 4.指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识, 要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析; 5.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类 方案是以“底”大于 1 或小于 1 分类; 6.在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现,如与其它函 数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合 问题等等,因此要努力提高综合能力.

经典例题透析 类型一:指数、对数运算

1. (1)计算:



(2)化简:

.

思路点拨:运算时尽量把根式转化为分数指数幂,而小数也要化为分数为好.

解:(1)原式=



(2)原式=

. 总结升华: 根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式, 然后利用分数指数 幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂 运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺 序. 举一反三: 【变式一】化简下列各式:

(1)



(2)

.

解:(1)



(2)

.

2.已知

,求

的值.

思路点拨:先化简再求值是解决此类问题的一般方法. 解:∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ , , , , , , ,



.

总结升华:解题时观察已知与所求之间的关系,同时乘法公式要熟练,直接代入条件求 解繁琐,故应先化简变形,创造条件简化运算. 举一反三:

【变式一】已知:

,求:

的值.

解:

∴ 当

时,

.

3.计算 (1) ; (2) ;

(3) 解:(1)原式

.



(2)原式

; (3)分子= ;

分母=



原式=

.

总结升华:这是一组很基本的对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高, 但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学 习数式变换的各种技巧.

4.设 、 、 为正数,且满足

(1)求证:



(2)若 解析:



,求 、 、 的值.

(1)证明:左边



(2)解:由 ∴

得 ?????①



由 由① 由①得 ∵ , ∴ , ②得



???? ?????②

??????????????③ ,代入 得 ,

????????????④ ,从而 .

由③、④解得

总结升华:对于含对数因式的证明和求值问题,还是以对数运算法则为主,将代数式化 简到最简形式再来处理即可.

类型二:指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质

5.设 A.0 解:C; B.1 C.2 D.3 , .

()

总结升华:利用指数函数、对数函数的概念,求解函数的值. 举一反三:

【变式一】 (2011 陕西文 11)设

,则

______.

解:∵ .

,∴

,所以

,即

6. (2011 江西理)若

,则

的定义域为( ) .

A.

B.

C.

D.

答案:A 总结升华: 求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围, 在对数函数中只 有真数大于零时才有意义.对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系.

7.已知 解:令 所以 ,则 x= 即 ,t∈R.

,试求函数 f(x)的单调区间.

.

因为 f(-x)=f(x),所以 f(x)为偶函数,故只需讨论 f(x)在[0,+∞)上的单调性. 任取 , ,且使 ,则

(1) 当 a>1 时 , 由 , 即 f(x)在[0,+∞]上单调递增. (2) 当 0<a<1 时 , 由 ,

,有



,所以

,有



,所以

即 f(x)在[0,+∞]上单调递增. 综合所述,[0,+∞]是 f(x)的单调增区间,(-∞,0)是 f(x)的单调减区间. 总结升华:求解含指数式的函数的定义域、值域,甚至是证明函数的性质都需要借助指 数函数的性质来处理.特别是分 两种情况来处理.

8.已知定义域为 R 的函数 (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 ,不等式

是奇函数.

恒成立,求 k 的取值范围.

解析:(1)因为

是 R 上的奇函数,所以

从而有

又由

,解得

(2)解法一:由(1)知 由上式易知 式 等 价 于 在 R 上为减函数,又因 是奇函数,从而不等



是 R 上的减函数,由上式推得 即 对 一 切 从 而

解法二:由(1)知

又由题设条件得 即 整理得 ,因底数 2>1,故

上式对一切

均成立, 从而判别式

总结升华:对于含指数式、对数式等式的形式,解题思路是转化为不含指数、对数因式

的普通等式或方程的形式,再来求解. 举一反三:

【变式一】已知函数 (1)判断函数



).

的奇偶性,并说明理由;

(2)指出函数

在区间

上的单调性,并加以证明.

解:(1)因为 所以函数 是奇函数.



(2)设



,则



因为

,所以







所以 因为

,即 是减函数,所以

, ,



,所以





上是减函数.

9.若函数 A.m≤-1 B.-1≤m<0

的图象与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是( ) C.m≥1 D.0<m≤1

解: 画图象可知-1≤m<0.



答案为 B. 总 结 升华 : 本题考察 了复杂 形式的 指数函数 的图象 特征, 解题的出 发点仍 然是 两种情况下函数 的图象特征.

10.当 a>1 时,函数 y=logax 和 y=(1-a)x 的图象只可能是( )

解:当 a>1 时,函数 y=logax 的图象只能在 A 和 B 中选, 又 a>1 时,y=(1-a)x 为减函数. 答案:B 总结升华: 要正确识别函数图象, 一是熟悉各种基本函数的图象, 二是把握图象的性质, 根据图象的性质去判断,如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性.

11.函数 的值. 思路点拨:利用幂函数的定义及性质. 解:由幂函数定义得 再由减函数的条件要求指数 当 时,函数为

是幂函数,且在(O,+∞)上为减函数,求实数

,解得



. 不合题意, 舍去.

为负, 从而代入验证 符合题意,故 .

总结升华:此题关键是要记住幂函数的定义形式.

类型三:综合问题
12.设函数 的 x 的取值范围.

解:由于 (1)当

是增函数, 时,

等价于 , ①式恒成立;



(2)当 (3)当

时, 时,

,①式化为 ,①式无解;

,即



综上 的取值范围是

.

总结升华: 处理含有指数式的不等式问题, 借助指数函数的性质将含有指数式的不等式 转化为普通不等式问题(一元一次、一元二次不等式)来处理.

13.已知函数 (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若 a=2,试根据单调性定义确定函数 f(x)的单调性. (3)若函数 y=f(x)是增函数,求 a 的取值范围. 解:(1)由 ∵a>0,x≥0

为常数)

∴f(x)的定义域是 (2)若 a=2,则

.



, 则

故 f(x)为增函数.

(3)设



∵f(x)是增函数, ∴f(x1)>f(x2) 即 ②

联立①、②知 a>1, ∴a∈(1,+∞). 总结升华:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题,我们抓住对数函数的特点,结 合一般函数求定义域、单调性的解题思路,对“路”处理即可.

14.设 解:令 ∵ ,

, , ,∴

,且

,求

的最小值.

.





,∴



∴ ∴ ∵ ,∴当

,∵

,∴

,即 ,

,∴



时,

.

总结升华:对数函数结合二次函数知识处理最值问题,这是出题的一个亮点.同时考察 了学生的变形能力.

高考题萃
1.(北京文、理)函数 A. B. C. 的反函数的定义域为( ) D.

2.(全国 2 理)以下四个数中的最大者是( ) A.(ln2)2 B.ln(ln2) C.ln D.ln2

3.(2011 湖北理 2) 已知 =

,则

A.

B.

C.

D.

4.(江苏)设 A. B.

是奇函数,则使 C. D.

的 的取值范围是( )

5.(天津理)设 A.

均为正数,且 B. C. D.

则( )

6.(2011 北京文 3) 如果 A. B. C.

,那么 D.

7.(山东理)设 a {-1,1, ,3},则使函数 值为( ) A.1,3 B.-1,1 C.-1,3

的定义域为 R 且为奇函数的所有 D.-1,1,3

8.(江苏)设函数 = ,

定义在实数集上,它的图象关于直线 =1 对称,且当

时,

则有( )

A.

B.

C.

D.

9.(湖南文、理)函数 点个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1

的图象和函数

的图象的交

10.(四川文、理)函数 是( )

=



=

在同一直角坐标系下的图象大致

11.(全国Ⅰ文、理)设

,函数

=

在区间

上的最大值与最小值之差



,则 =( ) A. B.2 C.2 D.4

12.(山东临沂模拟理)若 关系是( ) A. B.

,且

,则 与

之间的大小

C.

D.无法确定

13.(全国 1 文、理 )函数 对称,则 ____________.

的图象与函数

的图象关于直线

14.(上海理)函数

的定义域为_________.

15.(江西理)设函数

,则其反函数的定义域为_________.

16.(上海理)方程

的解是_________.

17.(四川理)若函数 数,则 ________.

( 是自然对数的底数)的最大值是

, 且

是偶函

18.( 江 苏 南 通 模 拟 ) 设 ( ),则 ,

(



) , 若

的值等于________.

19.(江苏常州模拟)将函数

的图象向左平移一个单位,得到图象 C1,再将 C1

向上平移一个单 位得到图象 C2,则 C2 的解析式为________. 20.(江苏无锡模拟)给出下列四个命题: ①函数 ②函数 ( 和 且 )与函数 的值域相同; ( 且 )的定义域相同;

③函数 ④函数 与

与 在区间

都是奇函数; 上都是增函数.

其中正确命题的序号是:__________.(把你认为正确的命题序号都填上)

21.(江苏连云港模拟)直线

(

)与函数







的图像依 次交于 A、B、C、D 四点,则这四点从上到下的排列次序是________.

22.(海南大联考模拟文、理)已知 lgx+lgy=2lg(x-2y),求

的值.

23.( 宁夏大联考模拟理 ) 根据函数 无解?有一解?有两解?

的图象判断:当实数

为何值时,方程

24.(山东淄博模拟理)已知 的值.

是方程 xlgx=2008 的根, 是方程 x· 10x=2008 的根, 求

25.(江苏苏州模拟)已知

.

(1)求

的定义域;(2)判断

的奇偶性;(3)求使

的 的取值范围.

26.(广东广州模拟理)已知函数 (1)求 的定义域、值域;(2)判断 .

( 的单调性;

).

(3)解不等式

答案与解析
1.B 解析:函数 域为 . 的反函数的定义域为原函数的值域,原函数的值

考点透析: 根据指数函数在对应区间的值域问题, 结合原函数与反函数的定义域与值域 之间的关系处理对应反函数的定义域问题.

2.D 解析: ∵

,∴ln(ln2)<0,(ln2)2<ln2,而 ln

=

ln2<ln2,∴最大的

数是 ln2. 考点透析:根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关系,一般是通过介值(0, 1 等一些特殊值)结合对数函数的特殊值来加以判断.

3.A 解析:. ∵

,∴

;又∵

,∴

,∴

= 故选 A。 考点透析:从对数函数与幂函数的单调性入手,解答相关的不等式,再根据集合的运算 加以分析和判断,得出要求的集合.

4.A 解析:由



,得



.

考点透析:根据对数函数中的奇偶性问题,结合对数函数的性质,求解相关的不等式问 题,要注意首要条件是对数函数的真数必须大于零的前提条件.

5.A 解 析 : 由

可知

,由

可知 ,从而 .

,由

可知

考点透析: 根据指、 对数函数的性质及其相关的知识来处理一些数或式的大小关系是全 面考察多个基本初等函数比较常用的方法之一.关键是掌握对应函数的基本性质及其应用.

6. D 解析:因为 内是单调递减的,所以 ,故选 D。

,所以

。又函数

在定义域

7.A 解析:观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项. 考点透析:根据幂函数的性质加以比较,从而得以判断.熟练掌握一些常用函数的图象 与性质,可以比较快速地判断奇偶性问题.特别是指数函数、对数函数、幂函数及其一些简 单函数的基本性质.

8.B 解析:当 的,

时,

=

,其图象是函数

向下平移一个单位而得到

时图象部分,如图所示, 的图象关于直线 =1 对称,那么函数 在区间 上是单调减少函数, 的图象如下图中的实线部分,

又函数 即函数



=

, 而

, 则有

, 即

.

考点透析: 利用指数函数的图象结合题目中相应的条件加以分析, 通过图象可以非常直 观地判断对应的性质关系.

9.B 解析:函数

的图象和函数

的图象如下:

根据以上图形,可以判断两函数的图象之间有三个交点. 考点透析:作出分段函数与对数函数的相应图象,根据对应的交点情况加以判断.指数 函数与对数函数的图象既是函数性质的一个重要方面, 又能直观地反映函数的性质, 在解题 过程中,充分发挥图象的工具作用.特别注意指数函数与对数函数的图象关于直线 称.在求解过程中注意数形结合可以使解题过程更加简捷易懂. 对

10.C 解析: 函数 而得来的;又由于 =

= =

的图象是由函数 ,则函数 =

的图象向上平移 1 个单位 的图象是由函数 的图

象向右平移 1 个单位而得来的;故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是:C. 考点透析:根据函数表达式与基本初等函数之间的关系,结合函数图象的平移法则,得 出相应的正确判断.

11.D 解析:由于

,函数

=

在区间

上的最大值与最小值之差为



那么

=

,即

=

,解得 =

,即 =4. 在区间 的端点上取得最

考点透析:根据对数函数的单调性,函数 值,由 知函数在对应的区间上为增函数.

12.A 解析:通过整体性思想,设 与函数 在区间

,我们知道当 上都是减函数, 那么函数

时,函数

在区间

上也是减函数,那么问题就转化为 在区间 上也是减函数,那么就有 .

,由于函数

考点透析: 这个不等式两边都由底数为 的指数函数与对数函数组成, 且变量又不相同, 一直很难下手.通过整体思维,结合指数函数与对数函数的性质加以分析,可以巧妙地转化 角度,达到判断的目的.

13. 象关于直线 对称, 则

; 解析:函数 与函数

的图象与函数 互为反函数,

的图 .

考点透析:对数函数与指数函数互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称,在实际 应用中经常会碰到,要加以重视.

14.

; 解析:

?

.

考点透析: 考察对数函数中的定义域问题, 关键是结合对数函数中的真数大于零的条件, 结合其他相关条件来分析判断相关的定义域问题. 15.[5 , + ∞ ) ; 解析:反函数的定义即为原函数的值域,由 x ≥ 3 得 x-1 ≥ 2 ,所以 ,所以 y≥5,反函数的定义域为[5,+∞),填[5,+∞). 考点透析:根据互为反函数的两个函数之间的性质:反函数的定义即为原函数的值域, 结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函数的定义域问题.

16.

; 解析:

(舍去),

.

考点透析:求解对应的指数方程,要根据相应的题目条件,转化为对应的方程加以分析 求解,同时要注意题目中对应的指数式的值大于零的条件.

17.1; 解析:

,设

,此时

是减函数,则最大值是

,又

是偶函数,则

,∴

.

考点透析:根据函数的特征,结合指数函数的最值问题,函数的奇偶性问题来解决有关 的参数,进而解得对应的值.研究指数函数性质的方法,强调数形结合,强调函数图象研究 性质中的作用,注意从特殊到一般的思想方法的应用,渗透概括能力的培养. 18.3 ; 解 析 : 由 于 =

= =

=1, 而 =3 =3

=

考点透析: 根据对数函数的关系式, 以及对数函数的特征加以分析求解对应的对数式问 题,关键是加以合理地转化.

19. C1 所对应的解析式为 则 C2 的解析式为

; 解析:将函数

的图象向左平移一个单位,得到图象

; 要此基础上, 再将 C1 向上平移一个单位得到图象 C2, .

考点透析:根据函数图象平移变换的规律加以分析判断平移问题,一般可以结合“左加 右减,上减下加”的规律加以应用.

20.①、③; 解析:在①中,函数

(



)与函数 的值域为 R,

( 的值域为

且 ,

)的定义域都是 R, 则结论正确; 在②中, 函数

则结论错误;在③中,函数 ④中,函数 在

与 上是增函数,

都是奇函数,则结论正确;在 在 R 上是增函数,则结论错误.

考点透析:综合考察指数函数、对数函数、幂函数的定义、定义域、值域、函数性质等 相关内容. 21.D、C、B、A; 解析:结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排 列次序是 D、C、B、A. 考点透析: 结合指数函数的图象规律, 充分考察不同的底数情况下的指数函数的图象特 征问题,加以判断对应的交点的上下顺序问题. 22.思路点拨:考虑到对数式去掉对数符号后,要保证 x 0,y 0,x-2y 0 这些条件 成立.假如 x=y,则有 x-2y=-x 0,这与对数的定义不符,从而导致多解. 解析:因为 lgx+lgy=2lg(x-2y),所以 xy=(x-2y)2, 即 x2-5xy+4y2=0,所以(x-y)(x-4y)=0,解得 x=y 或 x=4y, 又因为 x 0,y 0,x-2y 0,所以 x=y 不符合条件,应舍去,

所以

=4,即

=

=4.

考点透析:在对数式 logaN 中,必须满足 a 0,a 1 且 N 0 这几个条件.在解决对数 问题时,要重视这几个隐含条件,以免造成遗漏或多解.

23.思路点拨:可以充分结合指数函数的图象加以判断.可以把这个问题加以转换,将求 方程 解析:函数 的解的个数转化为两个函数 的图象可由指数函数 与 的图象交点个数去理解.

的图象先向下平移一个单位,然后

再作 轴下方的部分关于 轴对称图形,如下图所示,

函数

的图象是与 轴平行的直线,

观察两图象的关系可知: 当 当 当 时,两函数图象没有公共点,所以方程 或 无解; 有一解; 有两解.

时,两函数图象只有一个公共点,所以方程 时,两函数图象有两个公共点,所以方程

考点透析: 由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点个数是相等的, 所以对于含字 母方程解的个数讨论, 往往用数形结合方法加以求解, 准确作出相应函数的图象是正确解题 的前提和关键.

24. 思路点拨:观察此题,易看到题中存在



,从而联想到函数



.而

可 以看 成



交 点 的 横坐 标 ,同 样

可看成



交点的横坐标,若利用函数



的对称性,此题便迎刃而解了.

解析:令



,设其交点坐标为



同样令

,它与

的交点的横坐标为



由于反比例函数关于直线 称,

对称,则有



关于直线





即点

应该在函数

上,所以有

=2008.

考点透析:中学数学未要求掌握超越方程的求解,故解题中方程是不可能的.而有效的 利用指数函数和对数函数的性质进行解题此题就不难了,否则此题是一个典型的难题.以上 求解过程不能算此题超纲. 25.思路点拨:根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结合指数函数的特 征,综合分析值域与单调性问题,综合反函数、不等式等相关内容,考察相关的不等式问题.

解析:(1) 所以

,即 的定义域是

,等价于 ;

,得



(2) 所以 ,即

= 为奇函数;

= ,

(3)由

,得





时,有

,解得



当 故当

时,有 时, ;当

,解得 时,

; .

考点透析:主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质,应 用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小,以及解指数不等式与对数不等式等. 26.思路点拨:根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结合指数函数的特 征,综合分析值域与单调性问题,综合反函数、不等式等相关内容,考察相关的不等式问题. 解析:(1)要使函数 即 又 ,又 ,解得 ( )有意义,则需要满足 的定义域为 ; ; ,

,所以所求函数 ,即

,所以所求函数

的值域为

(2)令 又 (3)设 所以函数 由于 由于 所以 而函数 ,则

,由于

,则



上是减函数, 在 上是减函数; ,即 , , ,

是增函数,所以函数 ,则 的反函数为 ,得 ,即 ,解得 的定义域为 , ,故原不等式的解集为 , ,所以

.

考点透析:主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、图象以及主要性质,应 用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大小,以及解指数不等式与对数不等式等


相关文章:
指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固
指数函数对数函数幂函数单元复习与巩固撰稿:刘杨 审稿:严春梅 责编:丁会敏 一、知识框图 二、目标认知 学习目标 1.指数函数 (1)通过具体实例,了解指数函数...
新指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固含答案
指数函数对数函数幂函数单元复习与巩固含答案_数学_高中教育_教育专区。肥城三中高一数学学案 必修一复习学案 时间:2016.1.13 制作人:李慧盈 审核人:高一...
巩固练习_《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固_提高
巩固练习_《指数函数对数函数幂函数》全章复习与巩固_提高_高一数学_数学_高中教育_教育专区。巩固练习_《指数函数对数函数幂函数》全章复习与巩固_提高 ...
指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固 (1)
“同增异减” 利用指数函数单调性比较大小的方法: 1.根式的概念 的 次方根的定义:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根,其中 当 为奇数时,正数的 次方根为...
知识讲解_《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固_基础
指数函数对数函数幂函数》全章复习与巩固编稿:孙永钊 【学习目标】 1.理解有理指数幂的意义,掌握有理指数幂的运算性质;掌握指数函数的概念、图象和性质;...
指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固
指数函数对数函数幂函数单元复习与巩固_高三数学_数学_高中教育_教育专区。指数函数对数函数幂函数单元复习与巩固指数函数对数函数指数函数对数函数、...
巩固练习_《指数函数、对数函数、幂函数》全章复习与巩固_基础
巩固练习_《指数函数对数函数幂函数》全章复习与巩固_基础_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 巩固练习_《指数函数对数函数、幂...
第二章基本初等函数(Ι)指数函数、对数函数、幂函数单元复习与巩固
第二章基本初等函数(Ι)指数函数对数函数幂函数单元复习与巩固_数学_高中教育_教育专区。第二章指数函数对数函数幂函数单元复习与巩固撰稿:刘杨 审稿:...
幂函数、指数函数和对数函数单元复习教案
幂函数指数函数和对数函数单元复习教案_数学_高中教育_教育专区。幂函数指数函数和对数函数单元复习教案 第4 章 幂函数指数函数和对数函数 单元复习教案课题...
高三数学专题复习之:指数函数、对数函数和幂函数
高三数学专题复习之:指数函数对数函数和幂函数考点一:指数与指数幂的运算一. 【基础知识回顾】 1.方根的定义:如果一个数的 n 次方等于 a ( n ? 1, 且n...
更多相关标签: