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单老师提供解析几何母题


一、直线过定点问题 1:方法: 直线系理论:设 y ? kx ? m ,通过已知条件找到 k, m 的关系即可证明直线过定点

2:结论: (1) P 为圆锥曲线上一定点, PM 、 PN 为两个动弦,且 k PM ? k PN ? m ,则 MN 过定点(或定向). 特例: m ? ?1 时,
2 2 2 2 2 2 ①若 P( x0 , y0 )

为椭圆 x ? y ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上一点,则 MN 过定点 ( a ? b x0 , ? a ? b y0 ) ,用左 2 2 2 2 2 2

a

b

a ?b

a ?b

顶点体会一下。

2 2 2 2 2 2 ②若 P( x0 , y0 ) 为双曲线 x ? y ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上一点,则 MN 过定点 ( a ? b x0 , ? a ? b y0 ) ,用左 2 2 2 2 2 2

a

b

a ?b

a ?b

顶点体会一下。

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③若 P( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? ax 上一点,则 MN 过 ( x0 ? a, ? y0 ) .证明一下:体会方法。

(2) P 为圆锥曲线上一定点, PM 、 PN 为两个动弦,且 kPM ? kPN ? m ,则 MN 过定点(或定向). 依抛物线为例证明,体会方法。

PN (3) P 为圆锥曲线上一定点, PM 、 为两个动弦, 倾斜角分别为 ?1 、 2 且 ?1 ? ? 2 为定值, MN 则 ?
过定点(或定向).

3、例题
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x2 y2 例 1、已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1,F2,点 M(0,2)是椭圆的一个顶 a b
点。 ? F1MF2 是等腰直角三角形。 (I)求椭圆的方程; (II)过点 M 分别作直线 MA、MB 交椭圆于 A、B 两点,设两直线的斜率分别是 k1,k2,且 k1+k2=8,

证明:直线 AB 过定点。

1 x2 y2 例 2:椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 左右焦点分别为 F1,F2,左顶点为 A,若 F1F2=2,e= 。 2 a b
(I)求椭圆的标准方程; (II)若 P 是椭圆上任意一点,求 PF1 ? PA 的取值范围; (III)直线 l : y ? kx ? m 与椭圆交于不同的两点 M,N(均不是长轴顶点) AH ? MN ,垂足为 。 H 且 AH 2 ? MH ? HN ,证明直线 l 过定点。

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3 x2 y2 例 3、椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其右焦点为(1,0),点 p(1, )在 E 上。 2 a b
(1)求椭圆的方程。 (2)过椭圆的左顶点 A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆交与 M,N 两点。试判断直线 MN 与 X 轴的交点是否为定点,若是,求出定点的坐标,若不是,请说明理由。

二、三角形面积问题 1、常用面积公式:

1 | AB | ?h 2 1 ③利用 S ? ? | x A ? x B | ?m 2
① S? ? 什么时候使用比较方便?

② S? ? ;利用 S ? ?

1 ab sin C 2

1 | y A ? y B | ?n 2

④ S? ?

2 2 1 a b ? (a ? b) 2 (两个向量是三角形共点两条边所在向量) 2

利用 S ? ?

1 | x1 y2 ? x2 y1 | (向量坐标) 2

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2、例题

x2 y2 例 1:椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 左右焦点分别为 F1,F2,下顶点为 A,线段 OA 的中点为 B a b
(O 为坐标原点) ,如图。若抛物线 C2:y ? x 2 ? 1与y轴的交点为 , 且经过 F1,F2,点。 B (I)求椭圆的方程; (II)设 M( 0,? ) ,N 为抛物线上的一个动点,过点 N 作抛物线的切线交椭圆于 P、Q 两点,求

4 5

? MPQ 面积的最大值。

例 2、椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左右焦点分别为 F1,F2,P 为椭圆上任意一点, ? F1PF2 的 a2 b2

重心为 G,内心为 I,且有 IG ? ? F1 F2 ( ? ? R) (I)求椭圆的离心率; (II)过焦点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于点 M,N,若 ? F1MN 面积的最大值为 3,求椭圆的方程。

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例 3、已知圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 ,过点 M(2,4)作圆 C 的两条切线,切点为 A,B,直线 AB 恰好经过 T:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点和上顶点。 a2 b2

(I)求椭圆 T 的方程; (II) 已知直线 l 与椭圆 T 相交与 P、 两个不同点, Q 直线 l: y=kx+ 3 (k>0),O 为坐标原点, ? OPQ 求 面积的最大值。

y 练习题 1 如图,已知椭圆 C :

x 个焦点是(1,0) ,两个焦点与短轴的一个端点 B 构成等边三角形. A (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 Q (4,0)且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点,设点 A 关于 x 轴的对 称点为 A1 . (ⅰ)求证:直线 A 1 B 过 x 轴上一定点,并求出此定点坐标; (ⅱ)求△ OA 1B 面积的取值范围.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一 a 2 b2

Q O

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练习题 2、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 两焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆在第一象限弧上一点,并满足 2 4
y A F1 B O F2 x P

PF1 ? PF2 ? 1 ,过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆
于 A、B 两点. (1)求 P 点坐标; (2)求证直线 AB 的斜率为定值; (3)求△PAB 面积的最大值。

练习题 3、已知点 B ? ?1,0? , C ?1,0? , P 是平面上一动点,且满足 | PC | ? | BC |? PB ? CB (1)求点 P 的轨迹 C 对应的方程; (2)已知点 A(m, 2) 在曲线 C 上,过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD 和 AE ,且 AD ? AE ,判断: 直线 DE 是否过定点?试证明你的结论.

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