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2011届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之13


2010-2011 年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十三
第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法 中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法。 2.乘法原理:做一件事,完成它需要

分 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步有 m2 种不同的方法,??,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×?× mn 种不同的方法。 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列,从 n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)元素的 所有排列个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素
m m 的排列数,用 An 表示, An =n(n-1)?(n-m+1)=

n! ,其中 m,n∈N,m≤n, (n ? m)!

0 n 注:一般地 An =1,0!=1, An =n!。

Ann 4.N 个不同元素的圆周排列数为 =(n-1)!。 n
5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合,即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原 集合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个
m 不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 C n 表示:

m Cn ?

n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! ? . m! m!(n ? m)!
n k
k ?1 k

m n ?m m m n?1 6.组合数的基本性质: (1)Cn ; (2)Cn (3) C n ?1 ? C n ; (4) ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ;
n

0 1 n k ?1 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? Cn ? 2 n ;( 5 ) Ckk ? Ckk?1 ? ? ? Ckk?m ? Ckk? m?1 ;( 6 ) k ?0

k m n?k Cn Ck ? Cn ?m 。

7.定理 1:不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解的个数为 Cr ?1 。 [证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A,不定方程 x1+x2+? +xn=r 的正整数解构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不 同的装法对应的解也不同,因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,?,xn),将 xi 作为第 i 个盒子中球的个数,i=1,2,?,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射, 将 r 个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个,将球分 n 份, 共有 Cr ?1 种。故定理得证。
用心 爱心 专心 -1n ?1

n ?1

r 推论 1 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的非负整数解的个数为 Cn ? r ?1 .

推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重
m 组合,其组合数为 Cn ? m?1 .

8


n















n



N+, r+1

则 项

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a+b) = Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ?Cn b . 其 中 第 r n ?r r r Tr+1= Cn 叫二项式系数。 a b , Cn

9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同 一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件 n

A 发生的概率,记作 p(A),0≤p(A)≤1. 10.等可能事件的概率, 如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果, 其中事件 A 包含的结 果有 m 种,那么事件 A 的概率为 p(A)=

m . n

11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事件 A1,A2,?,An 彼此互斥,那么 A1,A2,?,An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫对立事件,记 A 的对 立事件为 A 。由定义知 p(A)+p( A )=1. 13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样 的两个事件叫做相互独立事件。 14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发 生的概率的积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1,A2,?,An 相互独立,那么这 n 个事件同 时发生的概率为 p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结 果,则称这 n 次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复
k 试验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= C n ?p (1-p) .
k n-k

17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的 变量叫随机变量,例如一次射击命中的环数 ξ 就是一个随机变量, ξ 可以取的值有 0,1,2,?,10。 如果随机变量的可能取值可以一一列出, 这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地,设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的 概率 p(ξ =xi)=pi,则称表 ξ p x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ?

为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列,称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ 的数学期望 或平均值、均值、简称期望,称 Dξ =(x1-Eξ )2?p1+(x2-Eξ )2?p2+?+(xn-Eξ )2pn+?为ξ 的 均方差,简称方差。 D? 叫随机变量ξ 的标准差。

用心

爱心

专心

-2-

18.二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中,
k k n?k 这个事件恰好发生 k 次的概率为 p(ξ =k)= Cn p q , ξ 的分布列为

ξ p

0
0 0 n Cn p q

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

xi
k k n?k Cn p q

? ?

N
n n Cn p

此时称ξ 服从二项分布, 记作ξ ~B(n,p).若ξ ~B(n,p), 则 Eξ =np,Dξ =npq,以上 q=1-p. 19.几何分布: 在独立重复试验中, 某事件第一次发生时所做试验的次数ξ 也是一个随机变 k-1 量,若在一次试验中该事件发生的概率为 p,则 p(ξ =k)=q p(k=1,2,?),ξ 的分布服从 几何分布,Eξ =

1 q ,Dξ = 2 (q=1-p). p p

二、方法与例题 1.乘法原理。 例 1 有 2n 个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方 式? [解] 将整个结对过程分 n 步,第一步,考虑其中任意一个人的配对者,有 2n-1 种选则; 这一对结好后,再从余下的 2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者,有 2n-3 种 选择,??这样一直进行下去,经 n 步恰好结 n 对,由乘法原理,不同的结对方式有 (2n-1)×(2n-3)×?×3×1=

( 2n)! . 2 n ? (n!)

2.加法原理。 例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种? [解] 断路共分 4 类:1)一个电阻断路,有 1 种可能,只能是 R4;2)有 2 个电阻断路,
2 3 有 C4 -1=5 种可能;3)3 个电阻断路,有 C 4 =4 种;4)有 4 个电阻断路,有 1 种。从而一

共有 1+5+4+1=11 种可能。 3.插空法。 例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈,要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱,有多少 种不同的安排节目演出顺序的方式?
6 [解] 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 A6 种排法,再从演唱节目之间和前后一共 7 个 6 4 4 位置中选出 4 个安排舞蹈有 A7 种方法,故共有 A6 =604800 种方式。 ? A7

4.映射法。 例 4 如果从 1, 2, ?,14 中,按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3 使同时满足: a2-a1≥3,a3-a2 ≥3,那么所有符合要求的不同取法有多少种? [解] 设 S={1,2,?,14}, S ' ={1,2,?,10};T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ≥ 3}, T ' ={( a1 ) ∈ S '| a1 , a2 , a3 ? S ' , a1 ? a2 ? a3 }, 若 (a1 , a2 , a3 ) ? T ' , 令 , a2 , a3 ' ' ' a1 ? a1 , a2 ? a2 ? 2, a3 ? a3 ? 4 ,则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从 T ' 到 T 的映射,它显

用心

爱心

专心

-3-

' ' ' ' ' ' 然是单射, 其次若(a1,a2,a3)∈T,令 a1 ? a1 则 (a1 , a2 ? a2 ? 2, a3 ? a3 ? 4, , a2 , a3 ) ?T ' , 3 从而此映射也是满射, 因此是一一映射, 所以|T|= | T ' |? C10 =120, 所以不同取法有 120 种。

5.贡献法。 例 5 已知集合 A={1,2,3,?,10},求 A 的所有非空子集的元素个数之和。 9 [解] 设所求的和为 x,因为 A 的每个元素 a,含 a 的 A 的子集有 2 个,所以 a 对 x 的贡 9 9 献为 2 ,又|A|=10。所以 x=10×2 . [ 另解 ]
k A 的 k 元子集共有 C10 个, k=1,2, ? ,10 ,因此, A 的子集的元素个数之和为

1 2 10 0 1 9 C10 ? 2C10 ? ? ? 10C10 ? 10(C9 ? C9 ? ? ? C9 ) ? 10×29。

6.容斥原理。 例 6 由数字 1,2,3 组成 n 位数(n≥3),且在 n 位数中,1,2,3 每一个至少出现 1 次, 问:这样的 n 位数有多少个? n 1 2 3 [解] 用 I 表示由 1,2,3 组成的 n 位数集合,则|I|=3 ,用 A ,A ,A 分别表示不含 1, n 不 含 2 , 不 含 3 的 由 1 , 2 , 3 组 成 的 n 位 数 的 集 合 , 则 |A1|=|A2|=|A3|=2 , |A1 ? A2|=|A2 ? A3|=|A1 ? A3|=1。|A1 ? A2 ? A3|=0。 所以由容斥原理 |A1 ? A2 ? A3|=

?| A
i ?1

3

i

| ? ? | Ai ? A j |? | A1 ? A2 ? A3 | =3× 2n-3.所以
i? j
n n

满足条件的 n 位数有|I|-|A1 ? A2 ? A3|=3 -3×2 +3 个。 7.递推方法。 例 7 用 1,2,3 三个数字来构造 n 位数,但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中, 问:能构造出多少个这样的 n 位数? [解] 设能构造 an 个符合要求的 n 位数,则 a1=3,由乘法原理知 a2=3×3-1=8.当 n≥3 时: 1)如果 n 位数的第一个数字是 2 或 3,那么这样的 n 位数有 2an-1;2)如果 n 位数的第一 个数字是 1,那么第二位只能是 2 或 3,这样的 n 位数有 2an-2,所以 an=2(an-1+an-2)(n≥3). 这里数列{an}的特征方程为 x =2x+2,它的两根为 x1=1+ 3 ,x2=1- 3 ,故 an=c1(1+ 3 ) +
2 n

c2(1+

3
1 4 3

),

n



a1=3,a2=8



c1 ?

2? 3 2 3

, c2 ?

3?2 2 3







an ?

[(1 ? 3 ) n? 2 ? (1 ? 3 ) n? 2 ].

8.算两次。 例 8 m,n,r∈N+,证明: C n? m ? Cn Cm ? Cn Cm ? Cn Cm
r 0 r 1 2 r ?1 r ?2 r 0 ? ? ? Cn Cm .



r [证明] 从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 Cn 另一方面, 从这 n+m 人中选 ? m 种; k r ?k 出 k 位太太与 r-k 位先生的方法有 Cn Cm 种,k=0,1,?,r。所以从这 n+m 人中选出 r 位

的方法有 Cn Cm ? Cn Cm ? ? ? Cn Cm 种。综合两个方面,即得①式。
0 r 1 r 0

r ?1

用心

爱心

专心

-4-

9.母函数。 例 9 一副三色牌共有 32 张,红、黄、蓝各 10 张,编号为 1,2,?,10,另有大、小王 各一张,编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:每张编号为 k 的 k 牌计为 2 分,若它们的分值之和为 2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。 [解] 对于 n∈{1,2,?,2004},用 an 表示分值之和为 n 的牌组的数目,则 an 等于函数 f(x)=(1+ x 2 ) ? (1+ x 2 ) ? ? ?? ? (1+ x 2 ) 的展 开式 中 x 的 系数( 约定 |x|<1 ) ,由 于
2 3 3 n
0 1 10

f(x)=

11 1 10 1 1 3 20 [ (1+ x )(1+ x 2 )? ? ?(1+ x 2 )] = (1 ? x 2 ) 3 1? x (1 ? x)(1 ? x)

3

=

11 1 (1 ? x 2 ) 3。 2 (1 ? x )(1 ? x)

2

而 0 ≤ 2004<2 , 所 以 an 等 于

11

1 n 的展开式中 x 的系数,又由于 2 (1 ? x )(1 ? x)
2

1 1 1 2 3 2 2k = ? =(1+x +x +?+x2k+?)[1+2x+3x +?+(2k+1)x +?],所 2 2 2 (1 ? x )(1 ? x) 1 ? x (1 ? x)
2

以 x 在展开式中的系数为 a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1) ,k=1,2,?,从而,所求的“好牌”组 2 的个数为 a2004=1003 =1006009.
k 10.组合数 C n 的性质。

2k

2

例 10

证明: C2m ?1 是奇数(k≥1).
k = C2 m ?1

k

[证明]

(2 m ? 1)(2 m ? 2) ?(2 m ? 1 ? k ? 1) 2 m ? 1 2 m ? 2 2m ? k ? ? ??? ?令 1? 2 ??? k 1 2 k
2 m ?ti ? p i 2 m ? i 2m ? 2 t i p i ? ? ,它的分子、分母 i pi 2 ti p i

i= 2 i ?pi(1≤i≤k),pi 为奇数,则
k

t

均为奇数,因 C2m ?1 是整数,所以它只能是若干奇数的积,即为奇数。
n n 例 11 对 n≥2,证明: 2 n ? C2 n ?4 . k [证明] 1)当 n=2 时,2 < C 4 =6<4 ;2)假设 n=k 时,有 2 < C 2 k <4 ,当 n=k+1 时,因为
2 2 k k

2

k ?1 C2 ( k ?1) ?

[2(k ? 1)]! 2 ? (2k ? 1)! 2(2k ? 1) k ? ? ? C2k . (k ? 1)!(k ? 1)! (k ? 1)!?k! k ?1

又2 ?

2(2k ? 1) k+1 k k ?1 k k ?1 <4,所以 2 < 2C2k ? C2( k ?1) ? 4C2k ? 4 . k ?1

所以结论对一切 n≥2 成立。 11.二项式定理的应用。
用心 爱心 专心 -5-

例 12 若 n∈N, n≥2,求证: 2 ? ?1 ?

? ?

1? ? ? 3. n?

n

[ 证 明 ]

首 先 ?1 ?

? ?

1? 1 1 0 1 1 2 n ? ? Cn ? Cn ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ? n ? 2, 其 次 因 为 n? n n n
n

n

1 n(n ? 1) ?(n ? k ? 1) 1 1 1 1 ? 1? C ? k ? ? ? ? ? (k ? 2) , 所 以 ?1 ? ? ? k k! k (k ? 1) k ? 1 k n n ? k! ? n?
k n

2+ C n ?
2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? Cn ? n ? 2 ? ? ? ? ??? ? ? 3 ? ? 3. 得证。 2 1 2 2 3 n ?1 n n n n

例 13 证明:

?C
k ?0

n

m?h n?k

m ?1 ? C kh ? C n ?1 ( h ? m ? n).

m?h [证明] 首先,对于每个确定的 k,等式左边的每一项都是两个组合数的乘积,其中 C n ?k h m?h h 是(1+x) 的展开式中 x 的系数。C k 是(1+y) 的展开式中 y 的系数。 从而 C n ? k ? C k 就是
n-k m-h k k

(1+x) ?(1+y) 的展开式中 x y 的系数。 于是,

n-k

k

m-h h

? C nm??kh ? C kh 就是 ? (1 ? x) n?k (1 ? y) k 展开式中 xm-hyh 的系数。
k ?0 k ?0

n

n

另一方面,

? (1 ? x) n?k (1 ? y) k =
k ?0

n

(1 ? x) n ?1 ? (1 ? y ) n ?1 ? (1 ? x) ? (1 ? y )

?C
k ?0

n ?1

k n ?1

k k x k ? ? Cn ?1 y k ?0

n ?1

x? y

=

x k ? y k n?1 k k-1 k-2 k-1 m-h h m?1 = ? C n?1 (x +x y+?+y ),上式中,x y 项的系数恰为 Cn C x ? ? ?1 。 x ? y k ?0 k ?0
n ?1 k k n ?1

所以

?C
k ?0

n

m?h n?k

m ?1 ? C kh ? C n ?1 .

12.概率问题的解法。 例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品, 采用有放回的抽样方式从中抽取 n 件产品, 问:恰好有 k 件是次品的概率是多少? n [解] 把 k 件产品进行编号, 有放回抽 n 次, 把可能的重复排列作为基本事件, 总数为(a+b) (即所有的可能结果) 。 设事件 A 表示取出的 n 件产品中恰好有 k 件是次品, 则事件 A 所包
k 含的基本事件总数为 C n ?a b ,故所求的概率为 p(A)=
k n-k

k k n?k Cn a b . ( a ? b) n

例 15 将一枚硬币掷 5 次,正面朝上恰好一次的概率不为 0,而且与正面朝上恰好两次的 概率相同,求恰好三次正面朝上的概率。 [ 解 ] 设每次抛硬币正面朝上的概率为 p ,则掷 5 次恰好有 k 次正面朝上的概率为
2 2 1 k k p (1 ? p) 3 ? C5 p(1 ? p) 4 ,且 0<p<1,化简得 C5 p (1-p)5-k(k=0,1,2,?,5),由题设 C5

用心

爱心

专心

-6-

p?

1 40 ?2? 3? 1 ? ,所以恰好有 3 次正面朝上的概率为 C5 . ? ? ?? ? ? 3 343 ? 3? ? 3?

3

2

例 16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜的概率为 0.6,乙胜的 概率为 0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜制,问:在哪一种比赛制度下,甲获胜的 可能性大? [解] (1)如果采用三局两胜制,则甲在下列两种情况下获胜:A1—2:0(甲净胜二局) ,
1 A2—2:1(前二局甲一胜一负,第三局甲胜). p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= C 2 ×0.6×0.4

×0.6=0.288. 因为 A1 与 A2 互斥,所以甲胜概率为 p(A1+A2)=0.648. 2 (2)如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜:B1—3:0(甲净胜 3 局) ,B —3: 1(前 3 局甲 2 胜 1 负,第四局甲胜) ,B3—3:2(前四局各胜 2 局,第五局甲胜) 。因为
2 B1,B2,B2 互斥,所以甲胜概率为 p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.6 + C3 ×0.6 ×0.4×
3 2

2 0.6+ C 4 ×0.6 ×0.4 ×0.6=0.68256.
2 2

由(1) , (2)可知在五局三胜制下,甲获胜的可能性大。 例 17 有 A,B 两个口袋,A 袋中有 6 张卡片,其中 1 张写有 0,2 张写有 1,3 张写有 2; B 袋中有 7 张卡片,其中 4 张写有 0,1 张写有 1,2 张写有 2。从 A 袋中取出 1 张卡片,B 袋中取 2 张卡片,共 3 张卡片。求: (1)取出 3 张卡片都写 0 的概率; (2)取出的 3 张卡 片数字之积是 4 的概率; (3)取出的 3 张卡片数字之积的数学期望。 [解](1) p ?
1 2 1 1 1 1 2 C2 ? C2 ? C3 ? C1 ? C2 C1 ? C4 1 4 ; ( 2 ) (3)记ξ 为取出的 ? p ? ? ; 1 2 1 2 63 C6 ? C7 21 C6 ? C7

3 张卡片的数字之积,则ξ 的分布为 ξ p 0 2 4 8

37 42

2 63

4 63

1 42

所以 E? ? 0 ?

37 2 4 1 32 ? 2? ? 4? ? 8? ? . 42 63 63 42 63

三、基础训练题 1.三边长均为整数且最大边长为 11 的三角形有_________个。 2.在正 2006 边形中,当所有边均不平行的对角线的条数为_________。 3. 用 1,2,3, ?,9 这九个数字可组成_________个数字不重复且 8 和 9 不相邻的七位数。 4.10 个人参加乒乓球赛,分五组,每组两个人有_________种分组方法。 5.以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。 1000 6.今天是星期二,再过 10 天是星期_________。 7.由 ( 3x ? 3 2 )100 展开式所得的 x 的多项式中,系数为有理数的共有_________项。 8.如果凸 n 边形(n≥4)的任意三条对角线不共点,那么这些对角线在凸 n 边形内共有 _________个交点。 9.袋中有 a 个黑球与 b 个白球,随机地每次从中取出一球(不放回) ,第 k(1≤k≤a+b)次
用心 爱心 专心 -7-

取到黑球的概率为_________。 10.一个箱子里有 9 张卡片,分别标号为 1,2,?,9,从中任取 2 张,其中至少有一个 为奇数的概率是_________。 11.某人拿着 5 把钥匙去开门,有 2 把能打开。他逐个试,试三次之内打开房门的概率是 _________。 12.马路上有编号为 1,2,3,?,10 的十盏路灯,要将其中三盏关掉,但不能同时关掉 相邻的两盏或三盏,也不能关掉两端的路灯,则满足条件的关灯方法种数是_________。 13.a,b,c,d,e 五个人安排在一个圆桌周围就坐,若 a,b 不相邻有_________种安排方式。
i i 14.已知 i,m,n 是正整数,且 1<i≤m≤n。证明: (1) ni Am ; (2)(1+m) >(1+n) . ? mi An
n m

15.一项“过关游戏”规定:在第 n 关要抛掷一颗骰子 n 次,如果这 n 次抛掷所得到的点数 n 之和大于 2 ,则算过关。问: (1)某人在这项游戏中最多能过几关?(2)他连过前三关 的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有 1,2,3,4,5,6 点数的均匀正方体) 四、高考水平训练题 1.若 n∈{1,2,?,100}且 n 是其各位数字和的倍数,则这种 n 有__________个。 2 2.从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取 3 个不同元素作为二次函数 y=ax +bx+c 的系数,能组 成过原点,且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条。 3.四面体的顶点和各棱的中点共 10 个点,在其中任取 4 个不共面的点,有_________种取 法。 4.三个人传球,从甲开始发球,每次接球后将球传给另外两人中的任意一个,经 5 次传球 后,球仍回到甲手中的传法有_________种。 5.一条铁路原有 m 个车站(含起点,终点) ,新增加 n 个车站(n>1) ,客运车票相应地增 加了 58 种,原有车站有_________个。

? 1 ? 6.将二项式 ? ? x? 4 ? ? 的展开式按降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式 2 x? ?
中 x 的幂指数是整数的项有_________个。 7.从 1 到 9 这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数,共可得到_________种 不同的对数值。 5 8.二项式(x-2) 的展开式中系数最大的项为第_________项,系数最小的项为第_________ 项。 9.有一批规格相同的均匀圆棒,每根被划分成长度相同的 5 节,每节用红、黄、蓝三色之 一涂色,可以有_________种颜色不同的圆棒?(颠倒后相同的算同一种) 10.在 1,2,?,2006 中随机选取 3 个数,能构成递增等差数列的概率是_________。 11.投掷一次骰子,出现点数 1,2,3,?,6 的概率均为

n

1 ,连续掷 6 次,出现的点数 6

之和为 35 的概率为_________。 12.某列火车有 n 节旅客车厢,进站后站台上有 m(m≥n)名旅客候车,每位旅客随意选择 车厢上车,则每节车厢都有旅客上车的概率是_________。 13.某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%,人均粮食占有量比 现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确 到 1 公顷)?(粮食单产=

总产量 ) 耕地面积

用心

爱心

专心

-8-

五、联赛一试水平训练题 1. 若 0<a<b<c<d<500, 有_________个有序的四元数组 (a,b,c,d) 满足 a+d=b+c 且 bc-ad=93. 2.已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素, 并且该直线倾斜角为锐角,这样的直线条数是_________。 3.已知 A={0,1,2,3,4,5,6,7},映射 f:A→A 满足: (1)若 i≠j,则 f(i)≠f(j); (2)若 i+j=7,则 f(i)+f(j)=7,这样的映射的个数为_________。 4. 1, 2, 3, 4, 5 的排列 a1,a2,a3,a4,a5 具有性质: 对于 1≤i≤4,a1,a2,?,ai 不构成 1, 2, ?, i 的某个排列,这种排列的个数是_________。 5. 骰子的六个面标有 1, 2,?, 6 这六个数字, 相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差, 变差的总和叫全变差 V,则全变差 V 的最大值为_________,最小值为_________。 6.某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛 2 场之后 就退出了,这样,全部比赛只进行 50 场,上述三名选手之间比赛场数为_________。 7. 如果 a,b,c,d 都属于{1,2,3,4}且 a≠b,b≠c,c≠d, d≠a; 且 a 是 a,b,c,d 中的最小值, 则不同的四位数 abcd 的个数为_________。 8.如果自然数 a 各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数” ,将所有的吉祥数从小到大 排成一列 a1,a2,a3,?,若 an=2005,则 an=_________。
2 n ?1

9.求值:

? (?1)
k ?1

k ?1

n?k =_________。 k C2 n
1 ,连续掷 10 次,出现的点数之 6

10.投掷一次骰子,出现点数 1,2,?,6 的概率均为

和是 30 的概率为_________。 11.将编号为 1,2,?,9 这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各 有一个小球,设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为 S,求 S 达到最小值的放 法的概率(注:如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合,则认为是相同的放 法) 。 12.甲、乙两人轮流向同一目标射击,第一次甲射击,以后轮流射击,甲每次击中的概率 为 p(0<p<1),乙每次击中的概率为 q(0<q<1),求甲、乙首先击中的概率各是多少?
m m 0 m m?1 n? 2 13 .设 m,n ∈ N,0<m ≤ n ,求证: 2 n?m Cm ? 2n?m?1 Cm ?1 ? ? ? 2 Cn ? Cn?1 ? Cn?1 ? ? m ?1 + Cn ?1 .

六、联赛二试水平训练题 1. 100 张卡片上分别写有数字 1 到 100, 一位魔术师把这 100 张卡片放入颜色分别是红色、 白色、蓝色的三个盒子里,每个盒子里至少放入一张卡片。 一位观众从三个盒子中挑出两个,并从中各选取一张卡片,然后宣布这两张卡片上的两个 数的和数,魔术师知道这个和数之后,便能够指出哪一个是没有被观众取出卡片的盒子。 问:共有多少种放卡片的方法,使得这个魔术师总能够成功?(如果至少有一张卡片被放 入不同颜色的盒子,两种方法被认为是不同的) 2.设 S={1,2,?,10},A1,A2,?,Ak 是 S 的 k 个子集合,满足: (1)|Ai|=5,i=1,2,?,k; (2)|Ai ? Aj|≤2,1≤i<j≤k,求 k 的最大值。 3.求从集合{1,2,?,n}中任取满足下列条件的 k 个数{j1,j2,?,jk}的组合数; (1 )1 ≤ j1<j2<?<jk≤n; (2)jh+1-jh≥m,h=1,2,?,k-1,其中 m>1 为固定的正整数; (3)存在 h0,1
用心 爱心 专心 -9-

≤h0≤k-1,使得 j h 4.设 n ? 2
S1

0

?1

? j h ≥m+1.
0

? 2 S2 ? ? ? 2 Sm ,其中 S1,S2,?,Sm 都是正整数且 S1<S2<?<Sm,求证组合数

m 1 1 n 中奇数的个数等于 2 。 Cn , Cn ,?, Cn

5.

n( n ? 1) 个不同的数随机排成图 13-2 所示的三角形阵,设 Mk 是从上往下第 k 行中的最 2
n ? r ?1

大数,求 M1<M2<?<Mn 的概率。 6.证明:

? kC
k ?1

r ?1 n?k

r ?1 ? Cn ?1 .

用心

爱心

专心

- 10 -


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