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16届高二文科数学半期巩固练习6答案


文科练习 6

姓名 _______
1. 设曲线 y ? x ? 1 在点 (3, 2) 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a 等于( D ) x ?1 A. 2 B. 1 C. ? 1 D. ? 2 2 2 2. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的值是( A ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

3. 已知函数 f ( x) ? 2 x 的反函数 g ( x) 满足 g (a) ? g (b) ? 4 ,则 1 ? 1 的最小值为 a b ( C ) A. 1 B. 1
3

C. 1
2

D. 1
4

4. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c ,其中 0 ? b ? 4, 0 ? c ? 4 ,记事件 A 为 “函数 f ( x) f (2) ? 12 满足条件: ? ”, 则事件 A 发生的概率为( B ) ? f ( ? 1) ? 1 ? 1 A. 4 B. 1 C. 1 D. 9 3 9 2 2 2 2 x y 5.已知 F1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a >0,b >0 ) 的左、 右焦点, 若 | PF2 | P 为双曲线左支上的任意一点, a b | PF1 | 的最小值为 8a ,则双曲线离心率 e 的取值范围是( C ) A. (1, ??) B. (0,3] C. (1,3] D. (1, 2] 6. 已知圆 C 与直线 x ? y ? 4 ? 0 及 x ? y ? 0 都相切,且圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方程 为 . ? x ? 1?2 ? ? y ? 1?2 ? 2 7.某高中在校学生 2000 人, 高一年级与高二年级人数相同并且都比高三年级多 1 人, 为了响应市教育局 “阳 光体育”号召,该校开展了跑步和跳绳两项比赛,要求每人都参加而且只参加其中一项,各年级参与项目 人数情况如下表: 高一年级 高二年级 高三年级 a c 跑步 b y x 跳绳 z 2 a : b : c ? 2 : 3 : 5 其中 ,全校参与跳绳的人数占总人数的 ,为了了解学生对本次活动的满意度,采用分层
5

抽样从中抽取一个 200 人的样本进行调查,则高二年级中参与跑步的同学应抽取______人.36

1 3 8.已知向量 a ? (? , ), OA ? a ? b, OB ? a ? b ,若 ?OAB 是等边三角形,则 ?OAB 的面积为 2 2
3 3

.

9. 数 列

?an ?

满 足 a1 ? 1 , 且 对 任 意 的 正 整 数 m, n 都 有 am ? n ? am ? an ? mn , 则

1 1 1 1 = . 2013 ? ? ? ? 1007 a1 a2 a2012 a 2013 10. 甲、乙两个盒子中各有 3 个球,其中甲盒中有 2 个黑球 1 个白球,乙盒中有 1 个黑球 2 个白球,所有 球之间只有颜色区别. (Ⅰ)若从甲、乙两个盒子中各取一个球,求取出的 2 个球颜色相同的概率; (Ⅱ)将这两个盒子中的球混合在一起,从中任取 2 个, 求取出的 2 个球中至少有一个黑球的概率.

解:将甲盒中的 2 个黑球 1 个白球分别记为 A1 , A2 , B1 ; 乙盒子中的 1 个黑球 2 个白球分别记为 A3 , B2 , B3 . (Ⅰ) “从甲、乙两个盒子中各取一个球”的基本事件有: ????1 分

( A1 , A3 ) ( A1 , B2 ) ( A1 , B3 ) ( A2 , A3 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( B1 , A3 ) ( B1 , B2 ) ( B1 , B3 ) ,共 9 个. ?3 分 记取出的 2 个球颜色相同为事件 M ,则事件 M 包含的基本事件有:( A1 , A3 ) ( A2 , A3 ) ( B1 , B2 ) ( B1 , B3 ) ,共 4
个. ??5 分
? P( M ) ? 4. 9

??6 分

(Ⅱ) “从 6 个球中任取两个球”的基本事件有: ( A1 , A2 ) ( A1 , A3 ) ( A1 , B1 ) ( A1 , B2 ) ( A1 , B3 )

( A2 , A3 ) ( A2 , B1 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( A3 , B1 ) ( A3 , B2 ) ( A3 , B3 ) ( B1 , B2 ) ( B1 , B3 ) ( B2 , B3 ) , 共 15
个. ??8 分 设“取出的 2 个球中至少有一个黑球”为事件 N ,则事件 N 包含的基本事件有 ??10 分
? P( N ) ? 12 4 . ? 15 5

( A1 , A2 ) ( A1 , A3 ) ( A1 , B1 ) ( A1 , B2 ) ( A1 , B3 ) ( A2 , A3 ) ( A2 , B1 ) ( A2 , B2 ) ( A2 , B3 ) ( A3 , B1 ) ( A3 , B2 ) ( A3 , B3 ) 共
12 个. ??12 分(也可用间接法) 11.四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD , E 为 SD 的中点,已知

?ABC ? 45 ,AB ? 2,BC ? 2 2 , SB ? SC ? 3. S (Ⅰ)求证: SA ? BC ; (Ⅱ)在 BC 上求一点 F ,使 EC / / 平面 SAF ; (Ⅲ)求三棱锥 D ? EAC 的体积. E (Ⅰ)证明:连接 AC, ?ABC ? 45 ,AB ? 2,BC ? 2 2 , C 由余弦定理得 AC ? 2 ,? AC ? AB ???1 分 取 BC 中点 G ,连接 SG, AG ,则 AG ? BC . D A SB ? SC ,? SG ? BC , SG AG ? G , ? BC ? 面 SAG,? BC ? SA. ????4 分 (Ⅱ)当 F 为 BC 的中点 G 时, EC / / 面 SAF ??5 分 证明:取 SA 中点 M ,连接 EM , MG . E 为 SD 的中点, 1 1 ? EM / / DA, CG / / DA,? EM / /CG 2 2 ????7 分 ? 四边形 EMGC 为平行四边形,? EC / / MG . MG ? 面 SAG, EC ? 面 SAG ,? EC / / 面 SAG ,即 EC / / 面 SAF . ????8 分 (Ⅲ) 面 SBC ? 面 ABCD, SG ? 面 SBC ,面 SBC 面 ABCD ? BC , SG ? BC , ? SG ? 面 ABCD ,且 SG ? 1, E 为 SD 的中点,? E 到面 ABCD 的距离为 1 . ?10 分
2

B

?VD ? EAC ? VE ? DAC

1 1 1 1 ? ? ?2?2? ? . 3 2 2 3

????12 分

12 已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上,离心率 e ? 2 ,且经过点 A(?2,1) . 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)斜率为 ?1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,求证:直线 AP 与 AQ 的倾斜角互补.
2 2 解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为: x ? y ? 1 , (a ? b ? 0 ) 2 2

a

b

2 2 2 由 e ? c ? 2 ,得 a ? 2c , b ? a ? c ? c 2 2 2

????2 分 ????3 分 ????4 分

a

2

2 ∵ 椭圆经过点 (?2,1) ,则 4 ? 1 ? 1 ,解得 c ? 3 2 2

2c

c

2 2 ∴ 椭圆的方程为 x ? y ? 1 6 3 (Ⅱ)设直线 l 方程为 y ? ? x ? m . P( x1 , y1 ), Q( x1 , y1 )

由?

? y ? ?x ? m 2 联立得: 3 x ? x2 y 2 ?1 ? ? 3 ?6

? 4mx ? 2m 2 ? 6 ? 0

令 ? ? 0 ,得 ?3 ? m ? 3 4m 2m 2 ? 6 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 3 3 y1 ? 1 y2 ? 1 ( x2 ? 2)( y1 ? 1) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) k AP ? k AQ ? ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

????6 分

?

x2 y1 ? x1 y2 ? ( x1 ? x2 ) ? 2( y1 ? y2 ) ? 4 (m ? 3)( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 4m ? 4 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

????10 分
? (m ? 3) 4m 4m ? 12 ? ? 4m ? 4 3 3 ?0 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
2

????11 分 ????12 分

? k AP ? ? k AQ ,所以,直线 AP 与 AQ 的倾斜角互补.
13. 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x ) ? ?
1? a , (a ? R). x (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值;

(Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若在区间 ?1, e ? ( e ? 2.718 )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x ,定义域为 (0,??) ,

1 x ?1 ,当 x ? (0,1) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? (1,??) 时, f ' ( x) ? 0 . ? x x 所以单调减区间为 (0,1) ;单调增区间为 (1,??) , 故 x ? 1时, f ( x) 有极小值,极小值为 1. ????3 分 f ' ( x) ? 1 ?
(Ⅱ) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? a ln x ? 1 ? a ,则 x 2 a 1 ? a x ? ax ? (1 ? a ) ( x ? 1 ? a )( x ? 1) , h ' ( x) ? 1 ? ? 2 ? ? x x x2 x2 因为 x ? 0, 所以 x ? 1 ? 0, 令 x ? 1 ? a ? 0, 得 x ? 1 ? a .

????4 分

若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 h ' ( x) ? 0 恒成立,则 h( x) 在 (0,??) 上为增函数; 若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1,则 x ? (0,1 ? a ) 时, h ' ( x) ? 0 , x ? (1 ? a,??) 时 h ' ( x) ? 0 , 所以此时单调减区间为 (0,1 ? a ) ; 单调增区间为 (1 ? a,??) ????7 分 ( Ⅲ) 由第 (Ⅱ) 问的解答可知只需在[1, e] 上存在一点 x0 ,使得 h( x 0 ) ? 0 . 若 a ? ?1 时,只需 h?1? ? 2 ? a ? 0 , 解得 a ? ?2 , 又 a ? ?1 , 所以 a ? ?2 满足条件.?8 分 若 0 ? 1 ? a ? 1 , 即 ? 1 ? a ? 0 时,同样可得 a ? ?2 ,不满足条件. ????9 分 若 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, h( x) 在 1 ? a 处取得最小值, ????10 分 令 h(1 ? a ) ? 1 ? a ? a ln(1 ? a ) ? 1 ? 0 , 即 1 ? a ? 1 ? a ln(1 ? a ) ,所以 a ? 1 ? 1 ? ln(a ? 1) a 设 a ? 1 ? t ,考察式子 ????11 分

t ?1 ? ln t , 由1 ? t ? e , 所以左端大于 1,而右端小于 1,所以不成立. t ?1 当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时, h( x) 在 [1, e] 上单调递减,只需 h(e) ? e ? a ? 1 ? a ? 0 得
e

a > e ? 1 ,又因为 (e ? 1) ? e ? 1 ? ?2e ? 0 ,所以, a > e ? 1 或 a ? ?2 ???12 分
2
2

2

e ?1

e ?1

e ?1

e ?1


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