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【全国百强校】河北省邯郸市第一中学2017届高三上学期第二次模拟考试数学(文)试题


邯郸市一中高三年级第二次模拟考试试题
年级 高三 科 目 文科数学 命题人 张东旭
[来源:学科网]

审核人 贾立平

第 I 卷(选择题 共 60 分)

一、选择题;本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 个是符合要求的。
1.设集合 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8} , A ? {1,2,3} , B ? {3,5} ,则 (CU A) ? B ? ( A. {1,2,3,4} B. {3,5} C. {5} D. {1,2,3,4,5} )

2. 新定义运算: A. 1 ? i

ab i z = ad ? bc ,则满足 = ? 2 的复数 z 是( c d ?1 z
C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i



B. 1 ? i

3.甲乙两人有三个不同的学习小组 A,B,C 可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组, 则两人参加同一个小组的概率为( A. )

1 3

B.

2 3

C.

1 6

D.

5 6


4.已知 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9 ,则 S9 ? ( A. 24 B. 27 C. 15 D. 54

x2 y 2 5.已知 F1 、F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两焦点, 以线段 F1 F2 为边作正三角形 MF1F2 , a b
若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( A. 4 ? 2 3 B. 3 ? 1 C. )
开始

3 ?1 2

D. 3 ? 1 )

输入x

x ? 2?
否 y ? x2 ? 1
输出y
结束



6.执行如图所示 的程序框图, 若输出的结果为 2, 则可输入的实数 x 值的个数为( A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

y ? log 2 x

7.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? 2

x ?m

? ? 1? m ? R ? 为偶函数.记 a ? f ? log1 ? 3


? 4? , ?

b ? f ? log2 5? , c ? f ? 2m? ,则 a, b, c 的大小关系为(
A. a ? b ? c B. c ? a ? b C. a ? c ? b

D. c ? b ? a

8. 某几何体的三视图如图所示(图中网格的边长为 1 个单位),其中俯视图为扇形,则该几何体的体 积为( A. ) B.

2? 3

4? 3

C.

14? 3

D.

16? 9
)

9.函数 f(x)=-(cos x)lg|x|的部分图像是(

10. 如 图 , 已 知 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 , ? A 的 半 径 为 1 , PQ 为 ? A 的 任 一 条 直 径 , 则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BP ? CQ ? AP ? CB 的值为( )
A. ?1 B. 1 C. 2 D. ?2

11.如图,在三棱锥 S﹣ABC 中,M、N 分别是棱 SC、BC 的中点,且 MN⊥AM, 若 AB=2 A.12π ,则此正三棱锥外接球的体积是( B. 4 3? C. π D.12 π )

12.设函数 f(x)= 则实数 m 的取值范围是( A. m ? 1 B. m ? 1 )

,若方程 4f(x)+x﹣m=0 有且仅有两个实数根,

C. m ?

1 4

D. m ?

1 4

第 II 卷(非选择题共 90 分)
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
? x ? y ? 3 ? 0, ? 13.若平面区域 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

小值是

14. 已知函 数

,若

的图象向左平移

个单位所得的图象与

的图

象向右平移 个单位所得 的图象重合,则

的最小值为

15.若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) ,始终平分圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周 长,则 1 ? 2

a

b

的最小 值为 16.数列 ?an ? 满足 a1 ? a2 ? 1 ,an ? an ?1 ? an ? 2 ? cos 则 S2012 的值为

2n? (n ? N ? ) ,若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 3

三、解答题:本大题共 6 小题。共 70 分.要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 角 A , B , C 所 对 的 边 分 别 为 a , b ,c. 已 知

m? sin C, b 2 ? a 2 ? c 2 , n ? 2 sin A ? sin C, c 2 ? a 2 ? b 2 且 m // n ;
(1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围.

?

?

?

?

18. (本小题满分 12 分)在某高校自主招生考试中,所有选报 II 类志向的考生全部参加了“数学与 逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A, B, C , D, E 五个等级.某考场考生的两科考试成 绩数据统计如下图所示,其中 “ 数学与逻 辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人. (1) 求该考场考生中“阅读与表达”科目中 成绩为 A 的人 数; (2)若等级 A, B, C , D, E 分别对应 5 分, 4 分 , 3 分 , 2 分 , 1 分 , 求该考场考生 “ 数学与 逻辑” 科目的平均分; (3)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A .在至少一科成绩为 A 的考生中, 随机抽取两人进行访谈,求这两人的两科成绩均为 A 的概率.

A1

B1
19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,B1 B ? B1 A ? AB ? BC ? 2 ,?B1 BC ? 90? , D 为
AC 的中点, AB ? B1 D .
[来源:学科网]

C1

A D B
C

(1)求证:平面 ABB1 A1 ? 平面 ABC ;

(2)求三棱锥 C ? BB1 D 的体 积. 20. (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 ? :

$来& 源:ziy uanku.com

x2 y 2 ? ? 1的 4 3

左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F1 、 F2 分 别作两条平行直 线 AB 、 CD 交椭圆 ? 于点 A 、 B 、 C 、 D . (1)求证: | AB |?| CD | ; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x ? ? x ? a ? , a 为常数.
2

(1)若当 x ? 1 时, f ? x ? 取得极值,求 a 的值,并求出 f ? x ? 的单调增区间;
$来& 源:ziy uanku.com

(2)若 f ? x ? 存在极值,求 a 的 取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

e . 2

[来源:学科网]

22. ( 本小题满分 10 分 )4-1 :几何证明选讲如图,在

?ABC 中, CD 是 ?ACB 的平分线, ?ACD 的外接圆交
于点 E , AB ? 2 AC . (1)求证: BE ? 2 AD ; (2)当 AC ? 1 , EC ? 2 时,求 AD 的长.

BC

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方 程为 ?

? x ? 2 ? 2cos ? ( ? 为参数) , 在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O ? y ? 2sin ?

为极点,以 x 轴正 半轴为极轴)中, 直线 l 的方程为 ? sin(? ?

?
4

)?2 2.

(1)求曲线 C 在极坐标系中的方程; (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x | ?2 . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ;

(2)若存在实数 x ,使得 f ( x) ?| x | ?a ,求实数 a 的 取值范围.
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邯郸市一中高三年级第二次模拟考试试题

文科数学答案
一、选择题 1-5 CCABD 二、填空题 13. 6-10 ABBAB 11-12 BB

2

14.4

15. 3 ? 2 2

16.672

三、解答题 17. 解: (1)
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B ,……1 分 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C
[来源:Z+xx+k.Com]

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin A cos B ? sin C cos B , ……2 分 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C ) ? sin A ,……4 分 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 ,因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π ;……6 分 2 3 (Ⅱ) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) ……7 分 2 4 2

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ……8 分 ? 4 2 4 2? 3 ? ?
? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3

?

?

?

?

?

?

……9 分

因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π ,故 π ? 2 A ? π ? 5π ,……10 分 3 3 3 3 3 因此 ?1 ≤ cos 2 A ? π ? 1 ,所以 3 ? T ≤ 9 2 4 3 2

?

?

……12 分

18.解: (Ⅰ) 因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10 ? 0.25 ? 40 人 所 以 该 考 场 考 生 中 “ 阅 读 与 表 达 ” 科 目 中 成 绩 等 级 为 A 的 人 数 为

40 ? (1 ? 0.375 ? 0.375 ? 0.15 ? 0.025) ? 40 ? 0.075 ? 3 ,
( Ⅱ ) 该 考 场 考 生 “ 数 学 与 逻 辑 ” 科 目 的 平 均 分 为

1? 0.2 ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.375 ? 4 ? 0.25 ? 5 ? 0.075 ? 2.9
(Ⅲ)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成绩等级均为 A,所以还有 2 人只有一个科目得分为 A,设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学,则 在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本事件空间为 ? ? { {甲,乙},{甲, 丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁},{丙,丁} ,有 6 个基本事件 设“随机抽取两人进行访谈,这

}

两人的两科成绩等级均为 A”为事件 B,所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个则 19. 解: (Ⅰ)取 AB 中点为 O ,连结 OD , OB1 . 因为 B1 B ? B1 A ,所以 OB1 ? AB . 又 AB ? B1 D , OB1 ? B1 D ? B1 ,
Ziy uanku.com

P( B ) ?

1 6.

A1

B1

C1

A
所以 AB ? 平面 B1OD , 因为 OD ? 平面 B1OD ,所以 AB ? OD .…3 分 由已知, BC ? BB1 ,又 OD // BC ,
资*源% 库

O

D
C

B

所以 OD ? BB1 ,因为 AB ? BB1 ? B ,

所以 OD ? 平面 ABB1 A1 .又 OD ? 平面 ABC , 所以平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 . ………………6 分

(Ⅱ)三棱锥 C ? BB1 D 的体积=三棱锥 B1 ? BCD 的体积 由(Ⅰ)知,平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 ,平面 ABC ? 平面 ABB1 A1 ? AB ,

OB1 ? AB ,

OB1 ? 平面 ABB1 A1

所以 OB1 ? 平面ABC ,即 OB1 ? 平面BCD ,

资*源% 库

B1O 即点 B1 到 平面BCD 的距离,
1 S ?ABC ? 1 2

B1O ? 3

…………………………9 分 ………………………… 11 分

S ?BCD ?

所以 VC ? BB1D ? VB1 ? BCD ?

1 3 ? 1? 3 ? 3 3

………………………… 12 分

[来源:Z+xx+k.Com]

20. 解: (1)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , l AB : x ? my ? 1 .

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 联立 ? 4 得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 . 3 ? x ? my ? 1, ?
∴ y1 ? y2 ?

6m 9 , y1 y2 ? ? . 2 2 3m ? 4 3m ? 4

设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) ,由 AB / / CD ,得 lCD : x ? my ? 1 .

? x2 y 2 ? 1, ? ? 联立 ? 4 得 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 . 3 ? x ? my ? 1, ?
∴ y3 ? y4 ? ?

6m 9 , y3 y4 ? ? . 2 2 3m ? 4 3m ? 4
[来源:Zxxk.Com]

∴ y1 ? y2 ? ?( y3 ? y4 ) , y1 y2 ? y3 y4 .∴ | y1 ? y2 |?| y3 ? y4 | .

2 2 而 | AB |? 1 ? m | y1 ? y2 | , | CD |? 1 ? m | y3 ? y4 | ,∴ | AB |?| CD | .

(2) 由 (1) 知 四边形 ABCD 为平行四边形,S? ABCD ? 4S ?AOB , 且 S ?AOB ?

1 | OF | ? | y1 ? y2 | . ∴ 2

?4 yy S? ABCD ? 4S?ABO ? 2 | y1 ? y2 | ? 2 ( y1? y2) 2 1 2

?2 (

6m 2 9 ) ? 4 ? (? 2 ) 2 3m ? 4 3m ? 4

1 m2 ? 1 ? 24 . ? 24 2 2 1 (3m ? 4) 9(m 2 ? 1) ? 2 ?6 m ?1
设 f (t ) ? 9t ? ( t ? 1 ) , f '(t ) ? 9 ?

1 t

1 9t 2 ? 1 ? 2 ?0, t2 t

∴ f (t ) 在 [1, ??) 上单调递增,∴ f (t )min ? f (1) ? 10 . 故 S? ABCD 的最大值为 6,此时 m ? 0 . 21. 解: (1) f ? ? x ? ?

1 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2? x ? a? ? , x x
3 2

a ? 0a , ? . ∵ x ? 1 时 , f ? x ? 取 得 极 值 , f ? ?1? ? 0 , 3? 2

f ?? x? ?

2 x 2 ? 3x ? 1 ? x ? 0? , x

f ? ? x ? ? 0 ? 2x2 ? 3x ?1 ? 0 ? x ? 0? ,
1 ? 1? x ? 1 或 0 ? x ? , f ? x ? 的单调增 区间为 ? 0, ?、 ?1, ?? ? ; 2 ? 2?
(2) f ? ? x ? ?

2 x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 0) ,令 f ? ? x ? ? 0 , x

2 2 2 则 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 在 ? 0, ??? 上有解,但没有等根, ? ? 4a ? 8 ? 4 a ? 2

?

?

①当 ? 2 ? a ?

2 时, ? ? 0 ,则 2 x2 ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立,即 f ? ? x ? ? 0 ,

f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递 增, f ? x ? 无极值,
②当 a ?

2 时, 2 x 2 ? 2 2 x ? 1 ? 0, x ?

2 , 2

? ? 2 ? 2? ? x ?? ? 0, 2 ? ?, x ?? ? 2 , ?? ? ? 时, f ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 在 ? 0, ??? 上无极值, ? ? ? ?
同理当 a ? ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, ??? 上无极值, ③当 a ? ? 2 或 a ?

2 时, ? ? 0 ,方程有二个解,

ziy uanku.com

x1 ?

a ? a2 ? 2 a ? a2 ? 2 1 ,且 x1 ? x2 ? a, x1 ?x2 ? , , x2 ? 2 2 2

①当 a ? ? 2 时, x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 , x1 , x2 均为负根, ∴ x ? ? 0, ??? 有 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增. ∴ f ? x ? 无极值点, ②当 a ?

2 时, x1 ? x2 ? 0, x1 ?x2 ? 0 ,∴ x1 ?x2 ? ? 0, ??? ;

x
f ? x?

? 0, x1 ?
+ 递增

x1
0 极大值

? x1, x2 ?
递减

x2
0 极小值

? x2 , ???
+ 递增

f ? ? x?

[来源:学*科*网]

∴ f ? x ? 在 x1 处有极大值,在 x2 处有极小值, ∴ a 的取值范围是

?

2, ?? ,
2 2

?

∵ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln x1 ? ln x2 ? ? x1 ? a ? ? ? x2 ? a ?

2 2 ? ln x1 x2 ? ? x12 ? x2 ? ? x12 ? x2 ? 2a ?a ? 2a 2 ? ? 2a ? x1 ? x2 ? ? 2a 2 ? ln 1 ? 2 1 1 e ? ln ? 2 x1 x2 ? ln ? 1 ? ln , 2 2 2 e ∵ x1 ? x2 ,∴ f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ln . . . . .12 分 2
[来源:Zxxk.Com]

22.解: (1)如图所示,

连接 DE ,因为四边形 ACED 是圆的内接四边形,

?BDE ? ?BCA ,

[来源:Z*xx*k.Com]

又 ?DBE ? ?CBA , 所以 ?DBE ~ ?CBA , 即有

BE DE ? . BA CA

又 AB ? 2 AC , 所以, BE ? 2 DE , 又 CD 是 ?ACB 的平分线,所以 AD ? DE , 从而 BE ? 2 AD . (2)因为 AC ? 1 , EC ? 2 ,所以 AB ? 2 AC ? 2 , 设 AD ? t ,根据割线定理得, BD ? BA ? BE ? BC , 即 ( AB ? AD) ? BA ? 2 AD ? (2 AD ? CE ) , 所以 (2 ? t ) ? 2 ? 2t (2t ? 2) , 即 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , 解得 t ?

1 1 或 t ? ?2 (舍去) ,即 AD ? . 2 2
2 2

23.解: (1)曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 , 即 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,将 ?

? x ? ? cos ? 代入方程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 化简得 ? ? 4cos ? . y ? ? sin ? ?

所以,曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? . (2)∵直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,

由?

? x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ?x ? y ? 4 ? 0

得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为 (2, 2),(4,0) ,

所以弦长 | OA |? 2 2 .

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ②当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3
24.(1)①当 x ? ?
[来源:Zxxk.Com]

③当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ? 1

综合①②③不等式的解集为 (??, ?3] ? [1, ??) .

1 a | ? | x | ?1 ? 2 2 1 a 由绝对值的几何意义 ,只需 ? ? 1 ? ? a ? ?3 . 2 2
(2)即 | 2 x ? 1| ?2 | x | ? 2 ? a ?| x+


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