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高考圆锥曲线综合题训练


高考圆锥曲线综合题训练 1.已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆 ??? ? ??? ? ? 于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线.
(1)求椭圆的离心率;
2 2 (2)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ? OA ? ? OB(? , ? ? R) ,证明 ? ? ? 为定值.

???? ?

??? ?

??? ?

??? ? y2 2. P 、Q 、M 、 N 四点都在椭圆 x2 ? ? 1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 2 ??? ? ???? ? ???? ??? ? ???? ? 与 FQ 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值.

3.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,Q 是椭 a2 b2

圆外的动点,满足 | F1Q |? 2a. 点 P 是线段 F1Q 与该椭圆的交点,点 T 在线段 F2Q 上,并且 满足 PT ? TF2 ? 0, | TF2 |? 0. (Ⅰ)设 x 为点 P 的横坐标,证明 | F1 P |? a ?

c x; a

(Ⅱ)求点 T 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)试问:在点 T 的轨迹 C 上,是否存在点 M, 使△F1MF2 的面积 S= b 2 . 若存在,求∠F1MF2 的正切值;若不存在,请说明理由.

4.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x 上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足
2

. AO ? BO (如图4所示) (Ⅰ)求 ?AOB 得重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程; (Ⅱ) ?AOB 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. y A B

x O

5. 如图, M 是抛物线上 y2=x 上的一点, 动弦 ME、 MF 分别交 x 轴于 A、 B 两点, 且 MA=MB. (1)若 M 为定点,证明:直线 EF 的斜率为定值; (2)若 M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心 G 的轨迹

y

M B

O
E

A F

x

6 .如图,设抛物线 C : y ? x 的焦点为 F,动点 P 在直线
2

y
F A B

过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、 PB, l : x ? y ? 2 ? 0 上运动, 且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点. (1)求△APB 的重心 G 的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB.

x
O
P

l

7. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0),右顶点为 ( 3,0) 。 (1) 求双曲线 C 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且
OA ? OB ? 2 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

x2 8.已知椭圆 C1 的方程为 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右 4

顶点,而 C2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。

9. 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x
轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的交点为 M, |MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若点 P 为 l 上的动点,求∠F1PF2 最大值.

10. 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准
线 l 与 x 轴的交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l1:x=m(|m|>1),P 为 l1 上的动点,使∠F1PF2 最大的点 P 记为 Q,求点 Q 的坐标(用 m 表示).

l1
P

l

y

x
M A1 F1

O F2

A2

答案: 1. 解:设椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0), F (c,0), a2 b2

x2 y2 ? ?1 a2 b2 2 2 2 2 2 2 2 2 化简得 (a ? b ) x ? 2a cx ? a c ? a b ? 0 .
则直线 AB 的方程为 y ? x ? c, 代入

2a 2 c a 2 c 2 ? a 2b 2 , x1 x 2 ? . 令 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则 x1 ? x 2 ? 2 2 2 2 a ?b ? ??? ? ??? ? ? a ?b ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), a ? (3, ?1), OA ? OB与a 共线,得
3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0.
又 y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c ∴ 3( x1 ? x2 ? 2c) ? ( x1 ? x2 ) ? 0

2a 2 c 3c 3c ? ,∴ a 2 ? 3b 2 即 2 2 a ?b 2 2 6a ∴ c ? a 2 ? b2 ? 3 c 6 故离心率为 e ? ? . a 3 x2 y2 2 2 2 2 2 (II)证明:由(I)知 a ? 3b ,所以椭圆 2 ? 2 ? 1 可化为 x ? 3 y ? 3b . a b ???? ? 设 OM ? ( x, y ) ,由已知得 ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
∴ x1 ? x2 ?

?

? x ? ? x1 ? ? x2 , ? ? y ? ? y1 ? ? y2 . ? M ( x, y) 在椭圆上, ? (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y 2 ) 2 ? 3b 2 .

即 ? ( x1 ? 3 y1 ) ? ? ( x2 ? 3 y 2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b .
2 2 2 2 2 2 2



3 3 1 c, a 2 ? c 2 , b 2 ? c 2 . 2 2 2 2 2 2 2 a c ?a b 3 ∴ x1 x2 ? ? c2 2 2 a ?b 8 ∴ x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 ? x2 ? 3( x1 ? c)( x2 ? c)
由(I)知 x1 ? x2 ?

3 9 ? 4 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 )c ? 3c 2 ? c 2 ? c 2 ? 3c 2 ? 0. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 又 x1 ? 3 y1 ? 3b , x2 ? 3 y 2 ? 3b 又,代入①得 ? ? ? ? 1.
故 ? ? ? 为定值,定值为 1
2 2

2. 解:如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN,直线 PQ、NM 中至少有一条存在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 K,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 的方 程为 y = kx +1 将此式代入椭圆方程得(2+ k 2 ) x 2 +2 kx -1=0 设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),则

y
M F P O N Q

? k ? 2k 2 ? 2 ? k ? 2k 2 ? 2 , x ? 2 2 ? k2 2 ? k2 8(1 ? k 2 ) 2 2 2 2 从而 | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (2 ? k 2 ) 2 x1 ?

2 2(1 ? k 2 ) 亦即 | PQ |? 2 ? k2
(1) 当 k ≠ 0 时 , MN 的 斜 率 为 -

x

1 ,同上可推得 k

1 2 2(1 ? (1 ? ) 2 ) k | MN |? 1 2 2 ? (? ) k
故 四 边 形 面 积

1 1 ) 4(2 ? k 2 ? 2 ) 2 1 k ? k S ? | PQ || MN |? 1 2 2 (2 ? k 2 )(2 ? 2 ) 5 ? 2k 2 ? 2 k k 1 4(2 ? u ) 1 令u =k2 ? 2 得 S ? ? 2(1 ? ) k 5 ? 2u 5 ? 2u 1 ∵ u = k 2 ? 2 ≥2 k 16 当 k =±1 时 u =2,S= 且 S 是以 u 为自变量的增函数 9 16 ∴ ?S?2 9 4(1 ? k 2 )(1 ?
②当 k =0 时,MN 为椭圆长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 。∴S= 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为 3. (Ⅰ)证法一:设点 P 的坐标为 ( x, y). 由 P ( x, y ) 在椭圆上,得

1 |PQ||MN|=2 2

16 。 9

| F1 P |? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? b 2 ? ? (a ? c 2 x) . a

b2 2 x a2

由 x ? a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. ………………………3 分 a a

证法二:设点 P 的坐标为 ( x, y). 记 | F1 P |? r1 , | F2 P |? r2 , 则 r1 ?

( x ? c) 2 ? y 2 , r2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 .

c x. a c 证法三:设点 P 的坐标为 ( x, y). 椭圆的左准线方程为 a ? x ? 0. a
由 r1 ? r2 ? 2a, r12 ? r22 ? 4cx, 得 | F1 P |? r1 ? a ?
2 由椭圆第二定义得 | F1 P | ? c ,即 | F1 P |? c | x ? a |?| a ? c x | . a c a a a2 |x? | c

由 x ? ?a, 知a ?

c c x ? ?c ? a ? 0 ,所以 | F1 P |? a ? x. …………………………3 分 a a

(Ⅱ)解法一:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上.

当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 | PT | ? | TF2 |? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在△QF1F2 中, | OT |?

1 | F1Q |? a ,所以有 x 2 ? y 2 ? a 2 . 2
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . …………………………7 分 解法二:设点 T 的坐标为 ( x, y). 当 | PT |? 0 时,点( a ,0)和点(- a ,0)在轨迹上. 当| PT |? 0且 | TF2 |? 0 时,由 PT ? TF2 ? 0 ,得 PT ? TF2 . 又 | PQ |?| PF2 | ,所以 T 为线段 F2Q 的中点.
? ?x ? ? ? 设点 Q 的坐标为( x , y ) ,则 ? ? ?y ? ? ? x? ? c , 2 y? . 2

? x ? ? 2 x ? c, 因此 ? ? y ? ? 2 y.
2 2 2 由 | F1Q |? 2a 得 ( x ? ? c) ? y ? ? 4a .





将①代入②,可得 x ? y ? a .
2 2 2

综上所述,点 T 的轨迹 C 的方程是 x ? y ? a . ……………………7 分
2 2 2

(Ⅲ)解法一:C 上存在点 M( x0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a2, ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④
2 b2 . 所以,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c c

由③得 | y 0 |? a ,由④得 | y 0 |?
2

当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分
c

当 a ? b 时, MF1 ? (?c ? x0 ,? y 0 ), MF2 ? (c ? x0 ,? y 0 ) , c 由 MF1 ? MF2 ? x0 ? c ? y 0 ? a ? c ? b ,
2 2 2 2 2 2

2

MF1 ? MF2 ?| MF1 | ? | MF2 | cos ?F1 MF2 ,

S?

1 | MF1 | ? | MF2 | sin ?F1 MF2 ? b 2 ,得 tan ?F1 MF2 ? 2. 2

解法二:C 上存在点 M( x0 , y 0 )使 S= b 2 的充要条件是
2 2 ? x0 ? y0 ? a2, ? ?1 2 ? ? 2c | y 0 |? b . ?2

③ ④

b2 b4 b2 b2 2 由④得 | y 0 |? . 上式代入③得 x 0 ? a 2 ? 2 ? (a ? )( a ? ) ? 0. c c c c
于是,当 a ? b 时,存在点 M,使 S= b 2 ; c 当 a ? b 时,不存在满足条件的点 M.………………………11 分
c
2 y0 y0 当 a ? b 时,记 k1 ? k F M ? , , k 2 ? k F2 M ? 1 x0 ? c x0 ? c c
2

2

由 | F1 F2 |? 2a, 知 ?F1 MF2 ? 90? ,所以 tan ?F1 MF2 ?| k1 ? k 2 |? 2. …………14 分
1 ? k1 k 2

x ? x2 ? x? 1 ? ? 3 4.解: (I)设△AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 3 ?
∵OA⊥OB ∴ k OA ? k OB ? ?1 ,即 x1 x 2 ? y1 y 2 ? ?1,……(2) 又点 A,B 在抛物线上,有 y1 ? x1 , y 2 ? x2 ,代入(2)化简得 x1 x2 ? ?1
2 2

…(1)

∴y?

y1 ? y 2 1 2 1 1 2 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? ? (3x) 2 ? ? 3x 2 ? 3 3 3 3 3 3
2 3

所以重心为 G 的轨迹方程为 y ? 3x 2 ? (II) S ?AOB ?

1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 | OA || OB |? ( x12 ? y12 )( x2 ? y2 )? x1 x2 ? x12 y 2 ? x2 y1 ? y12 y 2 2 2 2

由(I)得

S ?AOB ?

1 6 1 1 1 6 6 x1 ? x 2 ?2 ? 2 x16 ? x 2 ?2 ? 2 (?1) 6 ? 2 ? ? 2 ? 1 2 2 2 2

当且仅当 x1 ? x 2 即 x1 ? ? x 2 ? ?1 时,等号成立。
6 6

所以△AOB 的面积存在最小值,存在时求最小值 1;

2 5.解: (1)设 M(y 0 ,y0) ,直线 ME 的斜率为 k(l>0)
2 则直线 MF 的斜率为-k,方程为 y ? y0 ? k ( x ? y0 ).

2 ? ? y ? y0 ? k ( x ? y 0 ) ∴由 ? ,消 x得ky 2 ? y ? y0 (1 ? ky0 ) ? 0 2 ? ?y ? x

1 ? ky0 (1 ? ky0 ) 2 解得 yF ? ,? xF ? k k2
1 ? ky0 1 ? ky0 2 ? y ? yF 1 k ?k (定值) ? E ? ? k ?? 2 2 ?4ky0 xE ? xF (1 ? ky0 ) (1 ? ky0 ) 2 y0 ? k2 k2 k2

∴ k EF

所以直线 EF 的斜率为定值
2 (2) 当?EMF ? 90?时, ?MAB ? 45? , 所以k ? 1, 直线 ME 的方程为 y ? y0 ? k ( x ? y0 )

由?

2 ? ? y ? y0 ? x ? y 0 得 E ((1 ? y0 ) 2 ,1 ? y0 ) 2 ? ?y ? x

同理可得 F ((1 ? y0 ) 2 , ?(1 ? y0 )).
2 2 ? ? (1 ? y0 ) 2 ? (1 ? y0 ) 2 2 ? 3 y0 xM ? xE ? xF y0 x ? ? ? ? ? 3 3 3 设重心 G(x, y) ,则有 ? ? x ? xM ? xE ? xF ? y0 ? (1 ? y0 ) ? (1 ? y0 ) ? ? y0 ? 3 3 3 ?

消去参数 y0 得 y 2 ?

1 2 2 x ? ( x ? ). 9 27 3
y

6. 解: (1) 设切点 A、 B 坐标分别为 ( x, x )和( x1 , x )(( x1 ? x0 ) ,
2 0 2 1

F A

B

x
O
P

l

2 ? 0; ∴切线 AP 的方程为: 2 x0 x ? y ? x0

切线 BP 的方程为: 2 x1 x ? y ? x1 ? 0;
2

x0 ? x1 , y P ? x0 x1 2 x ? x1 ? x P ? xP , 所以△APB 的重心 G 的坐标为 xG ? 0 3 2 2 y ? y ? yP x0 ? x12 ? x0 x1 ( x0 ? x1 ) 2 ? x0 x1 4 xP ? y p yG ? 0 1 ? ? ? , 3 3 3 3 2 所以 y p ? ?3 y G ? 4 xG ,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心 G 的轨迹方程为:
解得 P 点的坐标为: x P ?

1 x ? (?3 y ? 4 x 2 ) ? 2 ? 0,即y ? (4 x 2 ? x ? 2). 3 ??? ? ? x ?x ? 1 ??? 1 ??? 1 2 1 , x0 x1 ? ), FB ? ( x1 , x12 ? ). (2)方法 1:因为 FA ? ( x0 , x0 ? ), FP ? ( 0 4 2 4 4 由于 P 点在抛物线外,则 | FP |? 0. x0 ? x1 1 1 1 ??? ? ??? ? ? x0 ? ( x0 x1 ? )( x0 2 ? ) x0 x1 ? FP ? FA 4 4 ? ??? ? ??? ? ? 2 ? 4, ∴ cos ?AFP ? ??? ??? ? | FP || FA | | FP | 1 | FP | x0 2 ? ( x0 2 ? ) 2 4 x0 ? x1 1 1 1 ??? ? ??? ? ? x1 ? ( x0 x1 ? )( x12 ? ) x0 x1 ? FP ? FB 4 4 ? ??? ? ??? ? ? 2 ? 4, 同理有 cos ?BFP ? ??? ??? ? | FP || FB | | FP | 1 | FP | x12 ? ( x12 ? ) 2 4
∴∠AFP=∠PFB. 方 法 2 : ① 当 x1 x0 ? 0时,由于x1 ? x0 , 不妨设x0 ? 0, 则y 0 ? 0, 所 以 P 点 坐 标 为

x1 |x | 1 ,0) , 则 P 点到直线 AF 的距离为: d1 ? 1 ; 而直线BF的方程 : y ? ? 2 2 4 x1 1 1 即 ( x12 ? ) x ? x1 y ? x1 ? 0. 4 4 1 x x 1 |x | | ( x12 ? ) 1 ? 1 | ( x12 ? ) 1 4 2 4 ? 4 2 ? | x1 | 所以 P 点到直线 BF 的距离为: d 2 ? 1 2 1 x12 ? ( x12 ? ) 2 ? ( x1 ) 2 4 4 (
所以 d1=d2,即得∠AFP=∠PFB.

x12 ?

1 4 x,

1 2 x0 ? 1 4 ( x ? 0),即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, ②当 x1 x0 ? 0 时,直线 AF 的方程: y ? ? 0 0 0 4 x0 ? 0 4 4 1 x12 ? 1 4 ( x ? 0), 即( x 2 ? 1 ) x ? x y ? 1 x ? 0, 直线 BF 的方程: y ? ? 1 1 1 4 x1 ? 0 4 4 所以 P 点到直线 AF 的距离为:

x ?x 1 x ?x 1 1 2 | ( x0 ? )( 0 1 ) ? x0 2 x1 ? x0 | | 0 1 )( x0 2 ? ) 4 2 4 2 4 ? | x0 ? x1 | d1 ? ? 1 2 2 1 2 x0 ? ( x0 ? )2 ? x0 2 4 4 | x ? x0 | 同理可得到 P 点到直线 BF 的距离 d 2 ? 1 ,因此由 d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. 2

x2 y2 7. 解: (Ⅰ)设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 a b
由已知得 a ?

(a ? 0, b ? 0).

3, c ? 2, 再由a 2 ? b 2 ? 2 2 , 得b 2 ? 1.

故双曲线 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0. 3
2 ? ?1 ? 3k ? 0, 2 2 2 ? ? ? ? (6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

(Ⅱ)将 y ? kx ?

2代入

由直线 l 与双曲线交于不同的两点得 ? 即k2 ?

1 且k 2 ? 1. ① 设 A( x A , y A ), B( x B , y B ) ,则 3
??? ? ??? ? 6 2k ?9 , x A xB ? ,由OA ? OB ? 2得x A xB ? y A yB ? 2, 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k

x A ? xB ?

而 xA xB ? y A yB ? x A xB ? (kx A ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2

? (k 2 ? 1)

?9 6 2k 3k 2 ? 7 ? 2 k ? 2 ? . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 1


3k 2 ? 7 ?3k 2 ? 9 1 于是 ? 2,即 ? 0, 解此不等式得 ? k 2 ? 3. 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3
由①、②得

1 ? k 2 ? 1. 3
3 3 ) ? ( ,1). 3 3

故 k 的取值范围为 (?1, ?

2 2 8. 解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 ,则 a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2 得b 2 ? 1. 2 2

a

b

故 C2 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 3 x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8 2kx ? 4 ? 0. 4
1 k2 ? . 4

(II)将 y ? kx ? 2代入

由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得

?1 ? (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 ? 4k 2 ) ? 16(4k 2 ? 1) ? 0, 即



将y ? kx ? 2代入

x2 ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 . 3

由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得

?1 ? 3k 2 ? 0, 1 ? 2 即 k ? 且k 2 ? 1. ? 2 2 2 3 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.
6 2k ?9 设A( xA , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? 6得xA xB ? y A yB ? 6, 而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
? ( k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ? ( k 2 ? 1) ? ? 3k 2 ? 7 . 3k 2 ? 1


?9 6 2k ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2

于是

3k 2 ? 7 15k 2 ? 13 13 1 ? 6, 即 ? 0. 解此不等式得 k 2 ? 或k 2 ? . 2 2 3k ? 1 3k ? 1 15 3

由①、②、③得

1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15
故 k 的取值范围为 (?1, ?

13 3 1 1 3 13 ) ? (? ,? )?( , )?( ,1) 15 3 2 2 3 15

9. 本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程、两条直线的夹角等基础知识,考查解析几何
的基本思想方法和综合解题能力。满分 14 分。 x2 y 2 解:(Ⅰ)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,半焦距为 c ,则 a b 2 a MA1 ? ? a, A1 F1 ? a ? c c ? a2 ? c ? a ? 2?a ? c? ? ? 由题意,得 ?2a ? 4 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?

?

a ? 2, b ? 3, c ? 1

x2 y2 ? ? 1. 4 3 (Ⅱ) 设P ? ?4, y0 ? , y0 ? 0 故椭圆方程为

设直线PF1的斜率k1 ? ? ? ?

y0 y ,直线PF2的斜率k 2 ? ? 0 3 5

0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1 M ? ?F1 PF 为锐角。

?
2

,

? tan ?F1 PF2 ?

2y 2 y0 k2 ? k1 15 ? 2 0 ? ? . 1 ? k1k2 y0 ? 15 2 15 y0 15 15 . 15

当 y0 ? 15,即y0 = ? 15时, tan ?F1 PF2 取到最大值,此时?F1 PF2 最大, 故?F1 PF2的最大值为 arctan

10. 解: (I)设椭圆方程为
半焦距为 c, 则

x2 y2 , l1 ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2 P

l

y

x
M A1 F1

a2 ? a , | A1F1 |? a ? c , c ? a2 ? c ? a ? 2 a(? c ? ? 由 题 意 , 得 ? 2a ? 4 ?a 2 ? b ? 2 2 c ? ? ? a ? 2, b ? 3, c ? 1 | MA1 |? x2 y2 ? ?1 4 3 (II)设 P( m, y0 ),| m |? 1
故椭圆方程为 当 y0 ? 0 时, ?F1 PF2 ? 0 当 y0 ? 0 时, 0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1M ?

O F2

A2

)
, 解 得

?

2 ?只需求 tan ?F1 PF2 的最大值即可。 y0 y0 直线 PF1 的斜率 K1 ? ,直线 PF2 的斜率 K 2 ? , m ?1 m ?1 2 | y0 | 1 2 | y0 | K ? K1 ? ? ? tan ?F1 PF2 ?| 2 |? 2 2 1 ? K1 K 2 m ? 1 ? y0 2 m 2 ? 1? | y0 | m2 ? 1
当且仅当 m ? 1 = | y0 | 时, ?F1 PF2 最大,
2

∴Q(m,± m 2 ? 1 ) ,|m|>1.


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