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导数的概念教案及说明


课题:导数的概念(第三课时)
一、教材分析
1. 本节内容: 《导数的概念》这一小节分“曲线的切线”,“瞬时速度”,“导数的概念”,“导数的几何 意义”四个部分展开,大约需要 4 个课时.第一、二课时学习“曲线的切线”,“瞬时速度”,今 天说的是第三课时的内容导数概念的形成. 2. 导数在高中数学中的地位与作用: 导数作为微积分的核心概念之一,在高中数学中具有

相当重要的地位和作用. 从横向看,导数处于一种特殊的地位.它是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题 的重要工具,它以更高的观点和更简捷的方法简化中学数学的许多问题. 从纵向看,导数是对函数知识的深化,对极限知识的发展,同时为以后研究导数的几何意义及 应用打下必备的基础,具有承前启后的重要作用.

二、学情分析
1. 有利因素:学生已较好地掌握了函数极限的知识,又刚刚学过曲线的切线、瞬时速度,并 积累了大量的关于函数变化率的经验;另外,我班学生思维比较活跃,对数学新内容的学习,有相 当的兴趣和积极性,这为本课的学习奠定了基础.

2. 不利因素:导数概念建立在极限基础之上,超乎学生的直观经验,抽象度高;再者,本课
内容思维量大,对类比归纳,抽象概括,联系与转化的思维能力有较高的要求,学生学习起来有一 定难度.

三、目标分析
1. 教学目标 (1)知识与技能目标:①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法. (2)过程与方法目标:通过导数概念的形成过程,让学生掌握从具体到抽象,特殊到一般的 思维方法;领悟极限思想和函数思想;提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力. (3)情感、态度与价值观目标: ①通过合作与交流,让学生感受探索的乐趣与成功的喜悦,体会数学的理性与严谨,激发学 生对数学知识的热爱,养成实事求是的科学态度. ②培养学生正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点,形成正确的数学观. 2. 教学重、难点 【确定依据】依据教学大纲的要求,结合本节内容和本班学生的实际 重点:导数的定义和用定义求导数的方法. 难点:对导数概念的理解. 【难点突破】本课设计上从瞬时速度、切线的斜率两个具体模型出发,由特殊到一般、从具

体到抽象利用类比归纳的思想学习导数概念;把新知的核心“可导”和“导数”两个问题结合起来, 利用转化的思想与学生已有的极限知识相联系,将问题化归为考察一个关于自变量 ?x 的函数
F (?x) ? f ( x0 ? ?x) 当 ?x ? 0 时极限是否存在以及极限是什么的问题. ?x

四、教学法分析
1. 教法、学法:引导发现式教学法,类比探究式学习法 教学中遵循“学生为主体,教师为主导,知识为主线,发展思维为主旨”的“四主”原则.以 恰当的问题为纽带,给学生创设自主探究、合作交流的空间,指导学生类比探究形成导数概念.引 导学生经历数学知识再发现的过程,让学生在参与中获取知识,发展思维,感悟数学. 2. 教学手段:多媒体辅助教学 【设计意图】通过多媒体弥补传统教学的不足,增强教学效果的直观性,帮助学生更好地理解 无限逼近思想,揭示导数本质.

五、教学过程分析
【确定依据】 为更好落实教学目标, 把数学知识的 “学术形态” 转化为数学课堂的 “教学形态”, , 为学生创设探究空间,让学生充分经历、体验数学知识再发现的过程,从中获取知识,发展思维,感受探 索的乐趣.

(一)教学环节

复习引入 提出问题 入新课

类比探索 形成概念 共性 揭示本质

引申拓展 发展概念 景 导 入新课

练习反馈 巩固概念 调节展 发展概念 景 导 入新课

小结整理 形成系统 展 发展 概念景 导入新课

分层作业 深化概念

华识 形成系统 展 发展 概念景 导入新课

(二)教学过程
教学 环节
【回顾 1】 复 习 引 入 当运动员从 10 米高台跳水时,从腾空到进入水面的过程中, 不同时刻的速度是不同的.假设 t 秒后运动员相对地面的高度为:





师生活动
学生相互交 流探讨瞬时速 度和和切线的 斜率两个具体 问题, 解决方法 上有什么共同 之处.

设计意图
针对新概念创设 相 应 的 学生熟悉的问 题情景, 让学生从概念 的现实原型,体验、感 受 直 观 背景和概念间 的关系, 为学生主动建 构 新 知 提供自然的生 长点.

H (t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 ,问在 2 秒时运动员的瞬时速度为
多少?

提 出 问 题

【回顾 2】 已知曲线 C 是函数

f ( x) ? ?4.9x 2 ? 6.5x ? 10的图象,求

曲线上点 P ( x0 , y0 ) 处的切线斜率. 【思考】对瞬时速度和和切线的斜率两个具体问题,解决方法 上有什么共同之处?

①归纳共性
研究

揭示本质

求解问题

求解方法

本质

思想

类 比


对象 物体 运动 规律 体 H=h(t) 例 曲线上 子 曲线 P ( x0 , y=f(x) 点处切线的斜率 求横坐标 求纵坐标 增量 求割线的 求切线的斜率 物体在 t 0 时 的瞬时速度 求平均 求时间 增量 求位移 增量 ? h 求瞬时速度 平均

探 索

?t

?h 速度 ?t

?h v ? lim ?t ?0 ?t

速度 的极 限 割线

极限 思想

y0 )

增量

?x

?y

?y 斜率 ?x

?y k ? lim ?x ?0 ?x

斜率 的极 限

极限 思想

形 成 概 念

一 函数在 x 般 情 形 函数 y=f(x)

? x0
? ? ? ? ? ?

处的变化率

【师生活动】将学生分成若干学习小组,以表格为载体为师生、生生互动搭起积极交流的探究平台.教师 巡视,鼓励学生参与,对个别学有困难的小组加以指导.探究后,共同归纳得出:两个问题的解决在方法、本 质、思想上都有相同之处.一个是“位移改变量与时间改变量之比”的极限,一个是“纵坐标改变量与横坐标 改变量之比”的极限.如果舍去它们的具体含义,都可以概括为求平均变化率的极限. 【设计意图】给学生创设探究的平台,分析瞬时速度和切线的斜率两个具体问题,讨论解决这两个问题的 方法、本质、思想上有什么共同之处,引导学生分析、观察、归纳,打通揭示事物本质的思维通道.

教学 环节





师生活动
引导学生利用求瞬时速度的方法

设计意图
用 具 体 到抽象,特殊 到一般的思 维方式,利用 瞬时速度进 ,并对 行类比迁移, 自然引出函 数在一点处 的概念.

②类比迁移 形成概念 类 比 探 索 【思考】考虑求一般函数 y=f(x) 在点 x0 到 x0 + ?x 之间的平均变化率的极限问题, 也就是怎样计算函数 在点 x0 处的变化率?

和思想类比探究,猜想得出函数在点

x0 处的变化率 lim
=

?x ?0

?y ?x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim ?x ?0 ?x

猜想的合理性进行分析后,引出

定义 1: (函数在一点处可导及其导数) 可 导 和 导 数

形 引出导数定义后,回归问题情景,反思概念的 成 概 念 “原型”解释“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本 质. 由 具 体 到抽象再回 到具体的过 程,感知上升 到了理性,强 化了对概念 的理解.

引 导 学 ③剖析概念 类 比 判断函数 探 转化 索 是否存在 形 【探讨 2】导数是什么? 成 描述角度 概 念 图形语言 文字语言 符号语言 本 质 分析导数的本质后, 同时简单提及导 数产生的时代背景. 让学生感 受数学文化 的熏陶,了解 导数的文化 价值、科学价 值和应用价 值. 加深理解 组织学生阅读“导数”定义,抓住 定义中的关键词“可导”与“导数”交 流探讨, 然后通过师生互动挖掘这些概 念之间的深层含义. 生以数学语 言(文字语 言、符号语 言 、图形语 言)的理解、 把握、运用为 切入点去揭 示概念的内 涵与外延,提 高学生数学 阅读和自主 学习的能力.

【探讨 1】 怎样判断函数在一点是否可导?

y ? f (x) 在点 x0 处是否可导
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 判 断 极 限 lim ?x ?0 ?x

瞬时变化率
?x ?0

lim

?y ?x

(切线斜率)

教 学





师生活动

设计意图

环 节
【探讨 3】求导数的方法是什么? 类 比 探 索 形 成 概 念 【例 1】求函数 y=x2 在点 x 让学生类比瞬时速度的问题, 根据导数定义归纳出求函数 用定义法求导数是 本课的重点之一.有了可 导这个逻辑基础, 导数成 为可导的自然结果, 求导 数的方法则是对导数概 念的理解与应用.让学生 积极主动参与, 进行有意 义的建构, 有利于重点知 识的掌握.

y ? f (x) 在点 x0 处导数的方法
步骤: (1)求函数的增量; (2)求平均变化率; (3)取极限,得导数.

? 1 处的导数.

学生动手解答,老师强调符号 语言的规范使用, 对诸如 ( ?x ) 忘
2

本题是教材上的一道 例题.在学生建立起导数 概念, 明确用定义求导数 的方法之后,进行强化训 练, 渗透算法思想, 加深 对导数概念的理解, 强化 对重点知识的巩固.

写括号的现象加以纠正.

利用例 1 继续设问,函数在 x 那么 引 申 拓 展

? 1 处可导,

师生互动,共同探讨归纳函 数在开区间 ( a, b) 的每一点可导, 每一点就有确定的唯一的导数.这 样在开区间 ( a, b) 内构成一个特 殊的映射,这里的映射是数集到数 集的映射,就是函数,我们把这个 新函数叫做

通过层层展开的探 讨, 激活学生知识思维的 “最近发展区” ,引导学 生主动将新问题与原认 知结构中函数的相关知 识相联系, 自然引入导函 数概念, 从而完成从函数

x ? -1 , x ? 2 , x ? 3 这些点也可导

吗?从而引申拓展出定义 2: (函数在开区间

( a, b) 内可导)
【探讨 1】函数在开区间内可导,那么对于 每一个确定的值,都有唯一确定的导数值与之相 对应,这样在开区间内存在一个映射吗?

发 展 概 念 【探讨 2】存在的这个映射是否构成一个新 的函数呢?若能,新函数的定义域和对应法则 分别是什么呢?

f (x)

在开区间

?函数在 开区间内可导 ? 函数
在一点可导 在开区间内的导函数的 两次拓展.

( a, b) 内的导函数。它的定义域是

教 学 环 节





师生活动

设计意图

【探讨 3】怎样求新函数的解析式?

开区间 ( a, b) , 对应法则是对开区间 内每一点求导.运用函数思想,只要 把求一点处的导数 x0 替换成 x ,就

探讨后引出定义 3: (函数 开区间 ( a, b) 内的导函数)

y ? f (x) 在

可以求出导函数的解析式.

引 申 拓 【例 2】已知 y= 展 分学习小组让学生动脑思考, 本例共两个 小问,第(1)小问 是教材上的一道 例题, 第(2)小问 是补充题.两问都 是求导数, 但它们 有本质上的区别! 学生容易产生混 淆.通过此题让学 生辨清“函数

x ,求(1)y′;(2)y′|x=2.

动手“操作” ,相互交流。书面总结 出两小问的区别与联系, 选出代表作 品用投影仪全班交流.完善后,屏幕 显示形成共识: 【区别】 (1)函数

f (x) 在点 x0 处的

发 展 概 念

导数,是在点 x0 处的变化率,是一 个常数; (2) 函数

f (x) f (x) 的导数是对开 f (x) 在开

在一点处

的导数” “函数 、

区间内任意点 x 而言, 是

f (x)

在开区间

区间内任意点 x 的变化率, 是一个函 数. 【 联 系 】 一 般 而 言 ,

内的导数”与“导 数”三者的关系.

y ? f (x) 在 x0 处 的 导 数 就 是 导
函数

f ?(x) 在 x = x0 处的函数值,

表示为 y ? | x ? x0 ,这也是求 的一种方法.

f / ( x0 )

教学 环节





设计意图

练习: 练 习 反 馈 1.已知 y=x -2x+1,求 y′,y′|x=2.
3

设计练习 1,巩固求导 方法; 设计练习 2,通过适 当的变式训练,揭示概念的 内涵,提高学生的模式识别 的能力,培养学生思维的深 刻性和灵活性; 设计练习 3, C.2 f′(x0) D.-2 f′(x0) 体验实际应用,展示概念的 外延,让学生认识到数学来 源于生活并应用于生活.通 过练习,反馈学生对知识技 能的掌握情况,以便及时调 节教学,更好的达成教学目 标.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ? ?x) 2. 设函数 f(x)在 x0 处可导, lim 则 等 ?x ?0 ?x
于 A. f′(x0) B.0

巩 固 概 念

3. 已知一个物体运动的位移 S(m)与时间 t(s)满足关系 S(t) =-2t +5t (1)求物体第 5 秒和第 6 秒的瞬时速度; (2)求物体在 t 时刻的瞬时速度; (3)求物体 t 时刻运动的加速度,并判断物体作什么运动?
2

小 结 整 理 形 成 系 统 ①知识层面 :

y ? f ( x)在x 0 处可导及其导数 y ? f ( x)在开区间(a, b)内可导 y ? f ( x)在开区间(a, b)内的导数
②方法层面:用定义求导数的三个步骤 ③思想层面:极限思想、函数思想、类比思想、转化思想 ④应用层面:举出生活中与导数有关的实例(涉及变化率问题 的问题可以考虑用导数解决). 必做题:1.教材 P124 习题 3.1 1、2、3、4、5

引导学生从知识、 方法、 思想和应用四个层面进行小 结,理清知识结构,提炼数 学方法和领悟数学思想,培 养应用意识.

弹性的分层作业,照顾 到各种层次的学生.补充的 必做 3,为下节课研究导数 的几何意义打下伏笔.可导 与连续的关系,设计成选作 题, 既不影响主体知识建构, 又能使学有余力的学生得到 进一步的发展.利用网络, 便 于学生开展自主学习,拓展 学习方式和平台.

分 层 作 业 值为( (A)0 )

2. 已知 f(3)=2, f

?(3) ? ?2, 则 lim
x?3

2 x ? 3 f ( x) 的 x?3
(D)不存在

(B)-4 3.已知曲线 C 是函数

(C)8

f ( x) ? 2x 2 ? 1 的图象

(1)求点 A(1,3)处的切线的斜率 深 化 概 念 2.函数 (2)求函数在 x=1 处的导数 选做题: 1.有条件的同学上网查阅有关微积分产生的时代背景 和历史意义的资料并交流讨论.

f (x) =|x|在 x=0 处是否可导?

3.函数 y=f(x)在 x=x0 处可导是它在 x=x0 处连续的 A.充分不必要条件 C.充要条 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(三)板书设计(板书附后)

【设计意图】本课使用了电脑投影屏幕,黑板上的板书保留勾勒本课知识发展的主要线索,呈 现完整的知识结构体系,用彩色粉笔突出重点,强化学生对新信息的纳入,同时对新学的符号语言 的规范使用进行示范. 板书设计:

导数的概念 (第三课时)
例1.。。。 。。。。

电子屏幕

定义1

函数在点x可导及导数 例2.。。。。。 。。 。。 。

定义2

函数在开区间内可导

课堂练习

定义3

函数在开区间内的导函数 课堂小结 辨析: f ′(x0) 与 导数 f ′(x) 布置作业

又能使学有余力的学生得到进一步的发展.以上,体现了以学生的发展为本,不是教教材而是用 教材教;教学中不是重结论,而是重过程和方法;不是采用接受式的学习方式,而是采用探究、交 流的方式;不是统一要求,而是因材施教尊重个体差异.这样的设计符合学生认知规律,促进了个性 化学习,更好地实现了教学目标.

《导数的概念》教案说明
本节课的设计以新课程的教学理念为指导,遵循“学生为主体,教师为主导,知识为主线,发 展思维为主旨”的原则。以学生发展为本,让学生在经历数学知识再发现的过程中获取知识,发展 思维,感悟数学。教学的设计充分考虑了以下几方面内容 : 一、教学内容的数学本质 (1)导数的科学价值和应用价值 导数是微积分的核心概念之一,是从生产技术和自然科学的需要中产生的,它深刻揭示了函

数变化的本质,其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用,而且在日常 生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 (2)知识的内在联系 在中学数学中,导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看,导数在现行高中教材体系中处 于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点,是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题 的重要工具,它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看,导数是函数一章学习的延续和深化,也是对极限知识的发展,同时为后继研究导数 的几何意义及应用打下必备的基础,具有承前启后的重要作用。 (3)数学思想方法的提炼 通过本课导数概念的形成过程,让学生掌握从具体到抽象,特殊到一般的思维方法;领悟极限 思想和函数思想;提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力.进一步体会数学的本质。 二、教学目标的确定 学情是确定教学目标的基础之一。导数概念建立在极限基础之上,无限逼近的思想超乎学生的 直观经验,抽象度高;再者,本课所用教材没有给出严格的函数极限的定义。如果对教学目标没有 准确的定位,教学的重心很可能被难以理解的极限所牵制。因此,教学中,兼顾数学理想与严谨的 同时,也充分考虑学生的认知规律和可接受性原则,循序渐近,螺旋上升。 立足于学情,结合教学大纲的要求,本课从“知识与技能” “过程与方法” “情感、态度与价值 观”三方面拟定了立体化的教学目标。以过程与方法为平台,以情感、态度的体验与价值观为依托, 让数学知识在课堂中得以传承,能力得到发展。做到知识与能力并重,认知与情感相融。 三、教学诊断分析 导数的定义和用定义求导数的方法是本节的重点,教材后续内容在推导导数运算法则与某些导 数公式时,都是以此为依据的。根据求物体瞬时速度的方法和思想进行迁移,并结合导数的定义学 生不难掌握求导方法。但是学生对文字,符号,图形三种语言的相互转化仍有一定困难,特别是对 符号语言的规范使用要加以强调,因此在教学中注重培养学生的数学交流能力。 对导数概念的理解是本课的难点。具体教学表明,难点又主要集中在对瞬时变化率中“瞬时” 二字的理解上。教学中借助于多媒体直观演示,无限逼近的过程,帮助学生更好理解极限思想,扫 清思维障碍,有效突破难点。 导数的定义中还包含了可导的概念,如果 ?x ? 0 时,

?y 有极限,才有函数 y ? f (x) 在点 x 0 处 ?x

可导,进而才能得到 f (x) 在点 x 0 处的导数。那么“可导”和“导数”两个问题可结合起来,利用转 化的思想与已有的极限知识相联系,将问题化归为考察一个关于自变量 ?x 的函数
F (?x) ? f ( x0 ? ?x) 当 ?x ? 0 时极限是否存在以及极限是什么的问题。教学表明,一部份学生往往把 ?x

需要判断的极限误认为是 f (x) 在 x 0 处的极限,须重视。 导函数简称导数,教材前后两处出现“导数”定义,初学者易产生混淆。问题的实质就在于弄 清“函数 f (x) 在一点处的导数”“函数 f (x) 在开区间内的导数”与“导数”三者的区别与联系。 、 教学中通过改编的例题,组织学生动脑思考,动手操作,相互交流,帮助学生理清概念间的关系。

四、教法的特点以及预期效果 教学中充分发挥学生的主体和教师的主导作用。用新课程理念处理传统教材,以恰当的问题为 纽带,给学生创设自主探究、合作交流的空间,指导学生类比探究形成导数概念,引导学生经历数 学知识再发现的过程。因此采用了引导发现式教学法。 (1)教 学 设 计 上 ,把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态” ,返璞归真,从 两个反应概念现实原型的具体问题出发,让学生像 数 学 家 那 样 去 “ 想 数 学 ” , “ 经 历 ” 一 遍 发 现 、 创 新 的 过 程 , 体现了以学生的发展为本,不是教教材而是用教材教。 (2)在概念的教学过程中,与一般设想不同。如一般设想是“重结果,轻过程” ,常常是直接 给出一个定义,几项注意后,就是大量变式训练。本课的设计上注重过程教学,提出问题、观察归 纳、概括抽象,拓展概念让学生充分经历了具体到抽象,特殊到一般,感性到理性,直观到严谨的 知识再发现过程,引导学生经历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程,让学生在参与中获 取知识,发展思维,感悟数学。 (3)教学过程中,以三种不同数学语言的识别、理解、组织、转换为切入点,组织学生进行数 学阅读,培养自主学习的能力。借助于多媒体,直观显示 ?t ? 0 而引起平均速度的系列变化,让学 生从“数”的角度领悟极限思想,通过割线变切线的动态过程,让学生从“形”的角度领悟极限思 想。从而,更好地揭示导数的本质。 (4)教学中,对不同层次的学生,提出不同的教学要求,采取不同的教学方法进行情感激励。 对学有困难的学生更多地给予帮助和肯定,以激发他们学习数学的兴趣和信心。根据不同学情,把 可导与连续的关系,设计成弹性化的选作题,既不影响主体知识建构,又能使学有余力的学生得到进 一步的发展, 尊重了学生的个体差异,让每位学生的数学才能都能获得较好的发展。 (5)教学中,努力以数学文化滋养课堂。让学生了解导数的科学价值、文化价值和基本思想, 体会到数学的理性与严谨,激发起对数学知识的热爱,养成实事求是的科学态度。同时,培养学生 正确认识量变与质变、运动与静止等辩证唯物主义观点,形成正确的数学观。 以上的教学设计,符合学生认知规律,促进了个性化学习,有利于教学目标的落实。 五、 教学反思 一个概念的形成是螺旋式上升的,对新概念的抽象不仅是对结果的抽象,更是对方法和过程的 抽象.本课设计上,把数学知识的“学术形态”转化为数学课堂的“教学形态” ,返璞归真,从两个 反应概念现实原型的具体问题出发,引出函数在一点处的导数再到开区间内的导函数,引导学生经 历了一个完整的数学概念发生、发展的探究过程.提出问题、观察归纳、概括抽象,拓展概念让学生 充分经历了具体到抽象,特殊到一般,感性到理性,直观到严谨的知识再发现过程,教师作为学生 学习的组织者、引导者、合作者创设机会和空间,激活学生思维的最近发展区,倡导学生积极参与, 自主探究,发现知识,培养能力.把可导与连续的关系,设计成弹性化的选作题,既不影响主体知识 建构,


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