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东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测高三理科数学


东城区 2013-2014 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (理科)
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | ( x ? 1)( x ? 1) ? 0} ,则 A ? B ? (A) (0,1) (C) (??, ?1) ? (0, ??) (2)在复平面内,复数 (A)第一象限 (C)第三象限 (B) (1, 2) (D) (??, ?1) ? (1, ??)

2?i 的对应点位于 i
(B)第二象限 (D)第四象限

(3)设 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
开始

S=1 a=3 S=S×a S ≥100?
否 是 输出 a 结束

(4)执行右图所示的程序框图,输出的 a 的值为 (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 9 (5)在△ ABC 中, a ? 15 , b ? 10 , A ? 60 ,则 cos B ?
?

1 (A) 3
(C)

3 (B) 3
(D)

a =a+2

6 3

2 2 3

2 2 (6)已知直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 4 相交于 M , N 两点,若 MN ? 2 3 ,则 k 的取值范围为

(A) [ ?

3 3 , ] 3 3 3 ] 3

(B) [ ? , ]

1 1 3 3

(C) ( ??, ?

(D) [

3 , ??) 3

( 7 ) 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , ?A ? 90? , ?B ? 30? , AB ? 2 3 , BC ? 2 , 点 E 在 线 段 CD 上 , 若

??? ? ???? ??? ? A E ? A D? ? A B ,则 ? 的取值范围是
(A) [0,1] (B) [0, 3] (C) [0, ]

1 2

(D) [ , 2]

1 2

(8)定义 max{a, b} ? ?

? ?a, a ? b, ? x ? 2, 设实数 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? max{4 x ? y,3x ? y} 的取值范围是 y ? 2, ?b, a ? b, ? ?
(B) [?7,10] (C) [?6,8] (D) [?7,8]

(A) [?6,10]

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

共 110 分)

(9)若函数 f ( x) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? x ,则 f (?2) 的值为
2



(10)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为 .
1

1

2 (主视图)

1 (侧视图)

(俯视图)

(11)若点 P(4, 4) 为抛物线 y ? 2 px 上一点,则抛物线焦点坐标为
2

;点 P 到抛物线的准线的距离

为 (12)函数 y ?



x ? 1 ? x 的最大值为



y P

(13)如图,已知点 A(0, ) ,点 P( x0 , y0 )( x0 ? 0) 在曲线 y ? x 上,若阴影部分面积与△ OAP 面积相等时,则 x0 ?

1 4

2

A



O

x

* (14)设等差数列 ?an ? 满足:公差 d ? N ,an ? N ,且 ?an ? 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若 a1 ? 1 ,
*

则d ?

; 若 a1 ? 2 ,则 d 的所有可能取值之和为
5

.

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 1 .
2

(Ⅰ)求 f (

? ) 的值; 12
? 2

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值和最小值.

(16) (本小题共 13 分) 已知 ?a n ?是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a5 ? 45 , a2 ? a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ?满足:

b b1 b2 ? 2 ?? ? n ? an ? 1 (n ? N*) ,求数列 {bn } 的前 n 项和. 2 2 2n

(17) (本小题共 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, B1B ? 平面 A1B1C1 AC ? CB ? CC1 ? 2 ,?ACB ? 90? , D , E 分 别是 A1 B1 , CC1 的中点. C1 (Ⅰ)求证: C1 D ∥平面 A1 BE ; (Ⅱ)求证:平面 A1 BE ? 平面 AA1 B1 B ; (Ⅲ)求直线 BC1 与平面 A1 BE 所成角的正弦值. C A A (18) (本小题共 13 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? ln x ? A1 E A D A B1 2A

B A

1 ? ax . x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调函数,求 a 的取值范围.

(19) (本小题共 13 分)

已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 上的点到其两焦点距离之和为 4 ,且过点 (0,1) . a 2 b2

(Ⅰ)求椭圆方程; ( Ⅱ) O 为 坐标 原点 ,斜率 为 k 的 直线过 椭圆 的右焦 点, 且与椭 圆交 于点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 若

x1 x2 y1 y2 ? 2 ? 0 ,求△ AOB 的面积. a2 b

(20)本小题共 14 分)

若无穷数列 {an } 满足:①对任意 n ? N * , 则称数列 {an } 为“ T 数列”.

an ? an ? 2 ? an ?1 ;②存在常数 ,对任意 n ? N * ,an ? M , M 2

(Ⅰ)若数列 {an } 的通项为 an ? 8 ? 2 (n ? N*) ,证明:数列 {an } 为“ T 数列” ;
n

(Ⅱ)若数列 {an } 的各项均为正整数,且数列 {an } 为“ T 数列” ,证明:对任意 n ? N * , an ? an ?1 ; (Ⅲ)若数列 {an } 的各项均为正整数,且数列 {an } 为“ T 数列” ,证明:存在 n0 ? N * ,数列 {an0 ? n } 为等 差数列.

东城区 2013-2014 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)C (2)D (6)A (3)A (7)C (4)C (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?6 (10)

3 2

(11) (1, 0) , 5

(12) 2

(13)

6 (14) 1, 63 4

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)
2 解: (Ⅰ)由 f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2sin x ? 1 ?

3 sin 2 x cos x ? cos 2 x ,
??8 分

得 f ( x ) ? 2sin(2 x ? (Ⅱ)因为 0 ? x ?

? ? ? ) .所以 f ( ) ? 2sin ? 3 . 6 12 3

? ? ? ?? ? ? ? ,所以 ? 2 x ? ? .当 2 x ? ? ,即 x ? 时, 6 6 6 6 6 2 2
? 2

函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最大值为 2 .当 2 x ?

? ?? ? ,即 x ? 时, ? 2 6 6

函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值为 ?1 .???????13 分 (16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则依题设 d ? 0 . 由 a3a5 ? 45 ,得 (7 ? d )(7 ? d ) ? 45 ,可得 d ? 2 . 可得 an ? 2n ? 1.???????????6 分 (Ⅱ)设 cn ? 由 a2 ? a6 ? 14 ,可得 a4 ? 7 . 所以 a1 ? 7 ? 3d ? 1 .

? 2

bn ,则 c1 ? c2 ? ? ? cn ? an ? 1 . 2n

即 c1 ? c2 ? ? ? cn ? 2n , 所以 cn ?1 ? 2 ,可知 cn ? 2 (n ? N*) .

可得 c1 ? 2 ,且 c1 ? c2 ? ? ? cn ? cn ?1 ? 2(n ? 1) . 所以 bn ? 2
n ?1



所以数列 ?bn ?是首项为 4 ,公比为 2 的等比数列.

4(1 ? 2n ) ? 2n ? 2 ? 4 . ??????????13 分 所以前 n 项和 Sn ? 1? 2
(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)取 AB 的中点 F ,连结 DF ,交 A1 B 于点 M ,可知 M 为 DF 中点, 连结 EM ,易知四边形 C1 DME 为平行四边形, 所以 C1 D ∥ EM .

又 C1 D ? 平面 A1 BE , EM ? 平面 A1 BE ,

所以 C1 D ∥平面 A1 BE .????4 分

证明: (Ⅱ)因为 A1C1 ? C1 B1 ,且 D 是 A1 B1 的中点,所以 C1 D ? A1 B1 . 因为 BB1 ? 平面 A1 B1C1 ,所以 BB1 ? C1 D .所以 C1 D ? 平面 AA1 B1 B . 又 C1 D ∥ EM ,所以 EM ? 平面 AA1 B1 B .又 EM ? 平面 A1 BE , 所以平面 A1 BE ? 平面 AA1 B1 B .???????????9分 解: (Ⅲ)如图建立空间直角坐标系 C ? xyz , 则 B(0, 2,0) , C1 (0, 0, 2) , E (0,0,1) , A1 (2, 0, 2) .

???? ? BC1 ? ( 0?,

???? ??? ? 2, , EA 2 ) 1 ? (2, 0,1) , EB ? (0, 2, ?1) .
C1

设平面 A1 BE 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

z A D A M A F A

B1 2A

???? ? ? EA1 ? n ? 0, 则 ? ??? 错误!未找到引用源。 ? EB ? n ? 0. ? ?
?2 x ? z ? 0, 所以 ? 错误!未找到引用源。 ?2 y ? z ? 0.
令 x ? 1. 则 n ? (1, ?1, ?2) .

A1

E A C A

B A y A

A x A

???? ? ???? ? BC1 ? n 3 设向量 n 与 BC1 的夹角为 ? ,则 cos ? ? ???? .错误!未找到引用源。 ? ?? 6 BC1 n
所以直线 BC1 与平面 A1 BE 所成角的正弦值为 (18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ?

3 . ????????????14 分 6

1 1 1 x ?1 ( x ? 0) , f '( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x

所以,当 0 ? x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 . 所以,当 x ? 1 时,函数有最小值 f (1) ? 1 . (Ⅱ) f '( x) ? ?????6分

1 1 ax 2 ? x ? 1 ? 2 ?a ? . x x x2

当 a ? 0 时, ax 2 ? x ? 1 在 x ? [2, ??) 上恒大于零,即 f ?( x) ? 0 ,符合要求. 当 a ? 0 时,要使 f ( x) 在区间 [2, ??) 上是单调函数, 当且仅当 x ? [2, ??) 时, ax ? x ? 1 ? 0 恒成立.
2

即a ?

1? x 恒成立. x2

设 g ( x) ?

1? x , x2

则 g '( x ) ?

x?2 , x3

又 x ? [2, ??) ,所以 g '( x) ? 0 ,即 g ( x) 在区间 [2, ??) 上为增函数,

1 1 g ( x) 的最小值为 g (2) ? ? ,所以 a ? ? . 4 4 1 综上, a 的取值范围是 a ? ? ,或 a ? 0 .?????13 分 4
(19) (共 13 分) 解(Ⅰ)依题意有 a ? 2 , b ? 1.

故椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ???????5分 4

(Ⅱ)因为直线 AB 过右焦点 ( 3, 0 ) ,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 联立方程组 ? 4 ? y ? k ( x ? 3). ?

消去 y 并整理得 (4k ? 1) x ? 8 3k x ? 12k ? 4 ? 0 . (*)
2 2 2 2

8 3k 2 12k 2 ? 4 故 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? . 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
x1 x2 y1 y2 x1 x2 ,即 ? ? 0 ? y1 y2 ? 0 . 2 2 又 a b 4

?k 2 . y1 y2 ? k ( x1 ? 3) ? k ( x2 ? 3) ? 2 4k ? 1
所以

2 3k 2 ? 1 ?k 2 1 . ? ? 0 ,可得 k 2 ? ,即 k ? ? 2 2 2 4k ? 1 4k ? 1 2

2 方程(*)可化为 3x 2 ? 4 3x ? 2 ? 0 ,由 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ,可得 AB ? 2 .

原点 O 到直线 AB 的距离 d ? (20) (共 14 分)

3k k2 ?1

? 1 . 所以 S?AOB ?

1 AB ? d ? 1 . 2

?13 分

(Ⅰ)证明:由 an ? 8 ? 2 ,可得 an ? 2 ? 8 ? 2
n

n?2

, an ?1 ? 8 ? 2

n ?1



所以 an ? an ? 2 ? 2an ?1 ? 8 ? 2 ? 8 ? 2
n

n?2

? 2(8 ? 2n?1 ) ? ?2n ? 0 ,

所以对任意 n ? N * ,

an ? an ? 2 ? an ?1 .又数列 {a } 为递减数列,所以对任意 n ? N * , an ? a1 ? 6 . n 2

所以数列 {an } 为“ T 数列” .?????????????5 分 (Ⅱ)证明:假设存在正整数 k ,使得 ak ? ak ?1 .由数列 {an } 的各项均为正整数,可得 ak ? ak ?1 ? 1 .

ak ? ak ? 2 ? ak ?1 ,可得 a ? 2a ? a ? 2(a ? 1) ? a ? a ? 2 . 由 k ?2 k ?1 k k k k 2
且 ak ? 2 ? 2ak ?1 ? ak ? 2ak ?1 ? ak ?1 ? ak ?1 . 同理 ak ?3 ? ak ?1 ? 2 ? ak ? 3 ,

依此类推,可得,对任意 n ? N * ,有 ak ? n ? ak ? n . 因为 ak 为正整数,设 ak ? m ,则 m ? N * . 在 ak ? n ? ak ? n 中,设 n ? m ,则 ak ? n ? 0 . 与数列 {an } 的各项均为正整数矛盾. 所以,对任意 n ? N * , an ? an ?1 .?????????????10 分 (Ⅲ)因为数列 {an } 为“ T 数列” , 所以,存在常数 M ,对任意 n ? N * , an ? M . 设 M ?N*. 由(Ⅱ)可知,对任意 n ? N * , an ? an ?1 , 则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? an?1 ? ? . 若 an ? an ?1 ,则 an ?1 ? an ? 0 ;若 an ? an ?1 ,则 an ?1 ? an ? 1 . 而 n ? 2 时,有 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) . 所以 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 ,?, an ? an ?1 ,?,中最多有 M 个大于或等于 1 , 否则与 an ? M 矛盾. 所以,存在 n0 ? N * ,对任意的 n ? n0 ,有 an ? an ?1 ? 0 . 所以,对任意 n ? N * , an0 ? n ?1 ? an0 ? n ? 0 . 所以,存在 n0 ? N * ,数列 {an0 ? n } 为等差数列.????????????14 分


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