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浦东新区2008学年度第一学期期末试卷(文)


浦东新区 2008 学年度第一学期期末质量抽测试卷 文科) 高三数学 (文科)
考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,作答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,并 在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 21 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本题满分 60 分)本大题共有 12 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 5 分,否则一律得零分。

2n ?1 = 1.计算: lim n n →∞ 2 + 1
2.函数 f ( x) =



1? x 的定义域是 1+ x
2


n +1

3.用数学归纳法证明等式:1 + a + a + L + a 时,等式左边= 4.若函数 f ( x ) = x ? .

=

1 ? a n+2 * ( a ≠ 1 ,n ∈ N ) ,验证 n = 1 1? a

1 ( x > 0) 的反函数为 f x

?1

( x) ,则 f

?1

( ? 2) =

. . . . .

5.等差数列 {a n } 中,公差 d = 1 , a 3 + a 4 = 1 ,则 a 2 + a 4 + L + a 20 = 6.函数 f ( x ) =

3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ( x ∈ R ) 的最小正周期为

7.在二项式 ( x + 1)10 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 8.无穷等比数列 {a n } 各项和 S 的值为 2,公比 q < 0 ,则首项 a1 的取值范围是 9.如图, ?ABC 中, ∠C = 90 , ∠A = 30 , BC = 1 。在三角形内挖去半圆
o o

(圆心 O 在边 AC 上,半圆与 BC、AB 相切于点 C、M,与 AC 交于 N) ,则图 中阴影部分绕直线 AC 旋转一周所得旋转体的体积为 10.函数 y = . .

30 , x ∈ [0,1] 的值域是 4 ? 2 x +1 + 6
x

11.对于函数 f ( x ) = mx ? | x + 1 | ( x ∈ [ ?2,+∞) ) ,若存在闭区间

[a, b] ? [?2,+∞) (a < b) , 使得对任意 x ∈ [a, b] ,恒有 ≠

f ( x) = c ( c 为实常数) ,则实数 m =



12.研究问题:“已知关于 x 的不等式 ax ? bx + c > 0 的解集为 (1, 2) ,解关于 x 的不等式
2

cx 2 ? bx + a > 0 ”,有如下解决方案:
解:由 ax ? bx + c > 0 ? a ? b( ) + c ( ) > 0 ,令 y =
2

1 x

1 x

2

1 1 ,则 y ∈ ( , 1) , x 2

所以不等式 cx ? bx + a > 0 的解集为 ( , 1) .
2

1 2

参考上述解法,已知关于 x 的不等式 则关于 x 的不等式

k x+b + < 0 的解集为 (?2, ? 1) U (2, 3) , x+a x+c


kx bx + 1 + < 0 的解集为 ax + 1 cx + 1

二、选择题(本题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结 论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 4 分,否则一律得零分. 13.集合 A = { y y = x , x ∈ R} , B = {?2,?1,1,2} ,则下列结论正确的是 ………(
2



A. A U B = (0, +∞ ) C. A I C R B = [0,+∞)

B. (C R A) U B = (?∞,0] D. (C R A) I B = {?2,?1}

14.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加迎新座谈会,若这 4 人中必须既有男生又有女生, 不同的选法共有 ……………………………………………………………………( A.140 种 15.“ a = B. 120 种 C.35 种 D.34 种 ) )

1 a ”是“对任意的正数 x, 均有 x + ≥ 1 ”的 …………………………………( x 4
B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
o

A.充分非必要条件 C.充要条件

16.直角 ?POB 中, ∠PBO = 90 ,以 O 为圆心、 OB 为半径作圆弧 交 OP 于 A 点.若弧 AB 等分△POB 的面积,且∠AOB= α 弧度, 则 …………………………………………………………… ( A. tan α = α B. tan α =2 α D. 2 sin α = cos α C. sin α =2cos α )

三、解答题(本题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤。 17. 满分 12 分)本题有 2 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分。 ( 小题, 若集合 A = {x | log a ( x ? x ? 2) > 2 , a > 0 且 a ≠ 1}
2

(1)若 a = 2 ,求集合 A ; (2)若

9 ∈ A ,求 a 的取值范围. 4

18. 满分 12 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. ( 小题, 如图: 三棱锥 P ? ABC 中, ⊥底面 ABC , PA 若底面 ABC 是边长为 2 的正三角形, PB 且 与底面 ABC 所成的角为

π
3

.若 M 是 BC 的中点,求:

(1)三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)异面直线 PM 与 AC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

P

A M B
19. 满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. ( 小题,

C

?ABC 中,三个内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ,若 B = 60 o , a = ( 3 ? 1)c .
(1)求角 A 的大小; (2)已知当 x ∈ [

π π

, ] 时,函数 f ( x) = cos 2 x + a sin x 的最大值为 3,求 ?ABC 的面积. 6 2

20. 满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 ( 小题, 满分 6 分. 已知函数 f ( x ) =

x 2 + 1 ? ax ,其中 a > 0 .

(1)若 2 f (1) = f ( ?1) ,求 a 的值; (2)当 a ≥ 1 时,判断函数 f (x ) 在区间 [0,+∞ ) 上的单调性; (3)若函数 f (x ) 在区间 [1,+∞) 上是增函数,求 a 的取值范围.

21. 满分 20 分)本题共有 4 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满 ( 小题, 分 5 分,第 4 小题满分 6 分. 对于给定数列 {cn } ,如果存在实常数 p , q 使得 cn +1 = pcn + q 对于任意 n ∈ N 都成立,
*

我们称数列 {cn } 是 “M 类数列”. (1)若 a n = 2n , bn = 3 ? 2 , n ∈ N ,数列 {an } 、 {bn } 是否为“M 类数列”?若是,指出它
n
*

对应的实常数 p, q ,若不是,请说明理由; (2)证明:若数列 {an } 是“M 类数列”,则数列 {a n + a n +1 } 也是“M 类数列”; (3) 若数列 {an } 满足 a1 = 1 ,an + an+1 = 2n + t ( n ∈ N ) ,t 为常数. 求数列 {an } 前 2009 项
*

的和.并判断 {an } 是否为“M 类数列”,说明理由; (4)根据对(2) (3)问题的研究,对数列 {an } 的相邻两项 a n 、 a n +1 ,提出一个条件或结论 与“M 类数列”概念相关的真命题,并探究其逆命题的真假.


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