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吉林省长春市2015届高三新起点调研考试数学(理)试题


长春市 2014—2015 学年新高三起点调研考试

数学试题卷(理科)
第Ⅰ 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题卡上) 1. 已知集合 A ? {1,16,4 x} , B ? {1, x2} ,若 B ? A ,则 x ? A. 0 B. ?4 C. 0 或 ?4 D. 0 或 ?4 2. 如图,在复平面内,复数 z1 和 z2 对应的点分别是 A 和 B ,

y 2 A 1 2 B x

z 则 1 ? z2
A. C.

1

5 5 2 2
3

3 3 1 D. 2
B. B. y ? ln(? x) C. y ? xe
?x

-2

-1

O -1 -2

3. 下列函数中,既是奇函数又存在极值的是

2 x 4. 已知向量 m 、 n 满足 | m |? 2 , | n |? 3 , | m ? n |? 17 ,则 | m ? n |?
A. y ? x D. y ? x ? A. 7 B. 3 5. 已知 x 、 y 取值如下表: C.

11

D.

13

0 1 4 5 6 y m 1.3 5.6 7.4 3m ? ? x ? 1 ,则 m 的值(精确 画散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且求得回归方程为 y 到 0.1)为 A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

x

8 3 8 B. ( ? 4 2)? 3 C. (4 ? 2 2)?
D. (8 ? 4 2)?

A. ( ? 2 2)?

4

正视图

侧视图

7. 已 知 数 列 {an} 为 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 若

俯视图

S4 ? 20 , S6 ? S2 ? 36 ,则该等差数列的公差 d ? A. ?2 B. 2 C. ?4 2 8. 函数 f ( x) ? sin x ? ln( x ?1) 的部分图像可能是
y
y y

D. 4
y

O

.

x

O

.

x

O

x

O

x

A

B

C

D

9. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 A. 14 B. 15 C. 16 10. 若 a ? 2 , b ?
x

开始

D. 17

x , c ? log 1 x ,则“ a ? b ? c ”是“ x ? 1 ”的
2

S ? 0, n ? 1
S ? S ? log 2 n ?1 n?2

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

11. 过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 作直线与此抛物线相交于

n ? n ?1

A 、 B 两点, O 是坐标原点,当 OB ≤ FB 时,直线 AB 的斜率的
取值范围是 A. [? 3,0)

S ? ?3?
是 输出n



(0, 3]

B. (??, ?2 2] [2 2, ??) C. (??, ? 3] [ 3, ??)

结束

D. [?2 2,0) (0,2 2] 12. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足①f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,②f ( x) ? f (?2 ? x) ? 0 ,③ 在

? ? 1 ? x 2 ??? x ? ? [ 1 , 0 ] [?1,1] 上 表 达 式 为 f ( x) ? ? , 则 函 数 f ( x) 与 函 数 ? ?1 ? x???????? x ? (0,1]

?2 x ????????? x ≤ 0 ? g ( x) ? ?log x???x ? 0 的图像在区间 [?3,3] 上的交点个数为 1 ? ? 2
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

第Ⅱ 卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 若函数 f ( x) ? x ?
?e 1 ,则 ? f ( x)dx ? ____________. ?1 x

2 14. 在 ( x ? )(1 ? x ) 的展开式中, x 项的系数是____________.
4

2 x

? y ≥ 2x ? 2 2 2 15. 若实数 x, y 满足 ? ? y ≥ ? x ? 1 ,则 z ? x ? y 的取值范围是___________. ? y ≤ x ?1 ? 16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱, 则半径为 R 的球的内接正三 棱柱的体积的最大值为__________.
三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 10 分) 在△ ABC 中,三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且 2b cos C ? 2a ? c . (1) 求角 B ; (2) 若△ ABC 的面积 S ?

3 3 , a ? c ? 4 ,求 b 的值. 4

18.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且满足 Sn ? 2an ? 2 . (1) 求数列 {an } 的通项公式; (2) 设 bn ? log2 an ,求数列 {an ? bn} 的前 n 项和 Tn .

19.(本小题满分 12 分) 频率 每年 5 月 17 日为国际电信日, 某市电信公司每年在电 1/2 信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠, 优惠方案如下: 选择套餐一的客户可获得优惠 200 元,选择套餐二的客户 3/8 可获得优惠 500 元,选择套餐三的客户可获得优惠 300 元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图, 1/8 现将频率视为概率. 套餐1 套餐2 套餐3 套餐种类 (1) 求某两人选择同一套餐的概率; (2) 若用随机变量 X 表示某两人所获优惠金额的总和,求 X 的分布列和数学期望.

20.(本小题满分 12 分) 如图所示几何体是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 截去三 棱锥 B1 ? A1BC1 后所得,点 M 为 AC 1 1 的中点.
A1

D1
M

C1

MBD ; (1) 求证:平面 AC 1 1D ? 平面

ABCD 所成锐二面角的余 (2) 求平面 A 1BC1 与平面
弦值.
A

D
B

C

21.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 如图,椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F , a b 过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点 . AF 的最大值是
3 M , BF 的最小值是 m ,满足 M ? m ? a 2 . 4
B

y
A G
F D

O E

x

(1) 求该椭圆的离心率; O是 (2) 设线段 AB 的中点为 G ,AB 的垂直平分线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点, 坐标原点. 记 ?GFD 的面积为 S1 , ?OED 的面积为 S2 ,求

2 S1S 2 的取值范围. S12 ? S 2 2

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1) 若 x ?

ex ,其中 a 为实数,常数 e ? 2.718 1 ? ax 2

.

1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值; 3 (2) 当 a ? ?4 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (3) 当 a 取正实数时, 若存在实数 m , 使得关于 x 的方程 f ( x) ? m 有三个实数根, 求a
的取值范围.

长春市 2014—2015 学年新高三起点调研考试 数学(理科)试题答案及评分参考
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. C 2. A 3. D 4. B 5. C 7. B 8. B 9. C 10. B 11. D 简答与提示: 1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.
2

6. D 12. B

【试题解析】C 由题可得 x ? 16 或 x ? 4 x ,则 x ? ?4,0,4 ,又当 x ? 4 时, A 集合
2

2.

出现重复元素,因此 x ? 0 或 ?4 . 故选 C. 【命题意图】 本题考查复数的除法运算与复数模的概念, 另外对复平面上点与复数的对 应也提出较高要求. 【试题解析】A 由图可知: z1 ? i , z2 ? 2 ? i , ,则 z1 ?
z2 i 5 . 故选 A. ? 2?i 5
3

3.

【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念,同时也对函数单调性与函数极值做出考查. 【试题解析】D 由题可知,B、C 选项不是奇函数,A 选项 y ? x 单调递增(无极值) , 而 D 选项既为奇函数又存在极值. 故选 D. 【命题意图】 本题主要对向量的运算进行考查, 同时也对向量的几何意义等考点提出一 定的要求. 【试题解析】B 由 | m ? n |? 17 ,且 | m ? n |2 ? | m ? n |2 ? 2m2 ? 2n2 ? 26 可知,

4.

| m ? n |? 3 . 故选 B.
5. 【命题意图】本题考查了回归直线的特征,对解释变量的运算也有提及.

? ? x ? 1 可得 y ? 4.2 ,则 4m ? 6.7 ,解 【试题解析】C 将 x ? 3.2 代入回归方程为 y
6. 得 m ? 1.675 ,即精确到 0.1 后 m 的值为 1.7 . 故选 C. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算. 【试题解析】D 如图所示,该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和, 1 即 S ? ? 4? r 2 ? ? rl ? 8? ? 4 2? ? (8 ? 4 2)? . 故选 D. 2 【命题意图】本题考查数列基本量的求法. 【试题解析】B 由题意, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 20 , a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 36 , 作差可得 8d ? 16 ,即 d ? 2 . 故选 B. 【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性. 【试题解析】B 由题可知, f ( x ) 为奇函数,且 sin x 存在多个零点导致 f ( x ) 存在多

7.

8.

个零点,故 f ( x ) 的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选 B. 9. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解. 【试题解析】C 由程序框图可知,从 n ? 1 到 n ? 15 得到 S ? ?3 ,因此将输出 n ? 16 . 故选 C. 10. 【命题意图】本题考查指对幂三种基本初等函数的图像 和充要条件的概念等基础知识. 【试题解析】B 如右图可知,“ x ? 1 ” ? “ a ? b ? c ”, 但“ a ? b ? c ” ? 即“ a ? b ? c ”是“ x ? 1 ”的必 / “ x ? 1 ”, 要不充分条件. 故选 B. 11. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛 物线的位置关系等知识. 【试题解析】D 由题可知,点 B 的横坐标 xB ?

p 时, 4

2p 2p ,故直线 AB (即直线 FB )的斜率的取 ? yB ? 2 2 值范围是 [?2 2,0) (0,2 2] . 故选 D.
满足 OB ? FB ,此时 ? 12. 【命题意图】本题借助分段函数考 查函数的周期性、对称性以及函数 图像交点个数等问题. 【试题解析】B 根据① 可知 f ( x ) 图像的对称中心为 (1,0) ,根据② 可 知 f ( x ) 图像的对称轴为 x ? ?1 , 结合③ 画出 f ( x ) 和 g ( x) 的部分图 像,如图所示,据此可知 f ( x ) 与 g ( x) 的图像在 [?3,3] 上有 6 个交点. 故选 B. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
-3 y 1 -1 1 3 x

O

e2 ? 1 13. 2

14. ?12

15. [ , 25]

1 2

16. R

3

简答与提示: 13. 【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识.
e 1 x2 e2 ? 1 【试题解析】计算可得 ? ( x ? )dx ? ( ? ln x) 1 ? . ?1 x 2 2 ?e

14. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.
2 【试题解析】在 ( x ? )(1 ? x ) 的展开式中, x 项是 x ? C4 (? x) ?
4 1

2 x

2 3 C4 (? x)3 ? ?12 x 2 , x
y F(3,4)

故 x 的系数为 ?12 . 15. 【命题意图】 本题考查线性规划以及目标函数的几何意义 等知识. 【试题解析】由题可知,可行域如右图,目标函数
2

故 z ? x 2 ? y 2 的几何意义为区域内点到原点距离的平方, 1 z 的取值范围是 [ , 25] . 2 16. 【命题意图】 本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的 最值问题.

1
N

O 1

x

【试题解析】 设三棱柱的高为 2t , 由题意可得, 正三棱柱的体积为 V ? 求导可得当 t ?

3 3 2 (R t ? t 3 ) , 2

3 R 时, V 取得最大值为 R 3 . 3

三、解答题 17. (本小题满分 10 分) 【命题意图】 本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用, 结合三角 形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解:(1) 根据正弦定理 2b cos C ? 2a ? c 可化为 2sin B cos C ? 2sin A ? sin C 即 2sin B cos C ? 2sin( B ? C ) ? sin C 整理得 2sin C cos B ? sin C ,即 cos B ?

1 ? ,B ? . 2 3

(5 分)

(2) 由△ ABC 的面积 S ? 由余弦定理得 b ?

1 3 3 ,可知 ac ? 3 ,而 a ? c ? 4 ac sin B ? 2 4
a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) 2 ? 3ac ? 7 .
(10 分)

18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】 本题考查数列通项公式及其前 n 项和公式的求法, 其中涉及错位相减法在 数列求和问题中的应用. 【试题解析】解:(1) 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2 ? 2an ?1 ? 2 ,有 an ? 2an ?1 , 所以数列 {an } 是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,有 an ? 2n . (2) 由(1)知 bn ? log2 2 ? n ,有 an ? bn ? n ? 2
n n

(6 分)

Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ?

? n ? 2n ① ? n ? 2n?1 ② ? 2n ? n ? 2n?1

① ?2 , 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ① -② ,得 ?Tn ? 2 ? 22 ?

整理得 Tn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2 . (12 分) 19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解,通过分布列的计算,考查学生的 数据处理能力. 【试题解析】解:(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为

1 1 1 1 3 3 13 P? ? ? ? ? ? ? . 8 8 2 2 8 8 32 1 1 1 P( X ? 400) ? ? ? 8 8 64 6 1 1 3 P( X ? 500) ? C2 ? ? ? 8 8 64 3 3 9 P( X ? 600) ? ? ? 8 8 64 8 1 1 1 P( X ? 700) ? C2 ? ? ? 8 2 64 24 1 1 3 P( X ? 800) ? C2 ? ? ? 2 8 64 1 1 16 P( X ? 1000) ? ? ? 2 2 64 综上可得 X 的分布列为: 400 X 1 P 64

(4 分)

(2) 由题意知某两人可获得优惠金额 X 的可能取值为 400,500,600,700,800,1000.

(8 分) 500 600 700 800 1000

6 64

9 64

8 64

24 64

16 64

(10 分)

X 的数学期望 1 6 9 8 24 16 EX ? 400 ? ? 500 ? ? 600 ? ? 700 ? ? 800 ? ? 1000 ? ? 775 . 64 64 64 64 64 64
(12 分) 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题以正方体为载体,考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计, 考查了空间平面的垂直关系,以及二面角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证 能力和运算求解能力.

【试题解析】 (1) 证明:因为几何体是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 截取三棱锥 B1 ? A1 BC1 后所得,
? ? DA1 ? DC1 ? ? ? ? DM ? A1C1 ? A1M ? C1M ? ? ? ? ? BA1 ? BC1 ? ? ? ? ? BM ? A1C1 ? ? A1C1 ? 平面MBD ? A1M ? C1M ? ? ? 平面A1C1D ? 平面MBD .(6 分) ? ? ? ? ? ? ????????????????????DM BM ? M ? ? ? ???????????????????????????????????????????????????? A1C1 ? 平面A1C1D ? ? (2) 以 D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, z 设 DA ? 1 , C1 D1 依题意知, A1 (1,0,1), B(1,1,0), C1 (0,1,1) , M

有 A1B ? (0,1, ?1), AC 1 1 ? (?1,1,0) 设平面 A1 BC1 的一个法向量 n ? ( x, y, z) ,

A1

? ? y?z?0 ? n ? A1 B ? 0 有? 代入得 ? , A ?? x ? y ? 0 x ? ?n ? A1C1 ? 0 设 x ? 1 ,有 n ? (1,1,1) ,平面 ABCD 的一个法向量 m ? (0,0,1) ,
设平面 A1 BC1 与平面 ABCD 所成锐二面角大小为 ? ,有 cos? ? 所以平面 A1 BC1 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为
3 . 3

D B

C y

n?m 3 , ? 3 | n || m |
(12 分)

21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算,直线和椭圆的综合应用,考查学生 的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解:(1) 设 F (?c,0)(c ? 0) ,则根据椭圆性质得

M ? a ? c, m ? a ? c, 而 M ? m ?
因此椭圆的离心率为 e ?

3 2 3 a ,所以有 a 2 ? c 2 ? a 2 ,即 a 2 ? 4c 2 , a ? 2c , 4 4
(4 分)

c 1 ? . a 2

x2 y2 ? ?1. 4c 2 3c 2 根据条件直线 AB 的斜率一定存在且不为零,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c) , ? y ? k ( x ? c) ? 并设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则由 ? x 2 消去 y 并整理得 y2 ? ?1 ? 2 2 ? 4c 3c 2 2 2 2 2 (4k ? 3) x ? 8ck x ? 4k c ?12c2 ? 0
(2) 由(1)可知 a ? 2c , b ? a2 ? c2 ? 3c ,椭圆的方程为

8ck 2 6ck , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2c) ? 2 , 2 4k ? 3 4k ? 3 4ck 2 3ck , 2 ). 所以 G(? 2 4k ? 3 4 k ? 3
从而有 x1 ? x2 ? ?

(6 分)

3ck ck 2 4k 2 ? 3 x ? ? 因为 DG ? AB ,所以 , . ? k ? ? 1 D 4k 2 ? 3 4ck 2 ? 2 ? xD 4k ? 3
由 Rt ?FGD 与 Rt ?EOD 相似,所以

S1 GD ? ? S2 OD 2


2

(?

4ck 2 ck 2 2 3ck ? ) ? ( 2 )2 2 2 4k ? 3 4 k ? 3 4k ? 3 ? 9 ? 9 ? 9 . 2 ck k2 (? 2 ) 2 4k ? 3

(10 分)

S1 ? t ,则 t ? 9 ,从而 S2 9 2S S 2S1S2 2 2 9 ? ? ? ,即 2 1 2 2 的取值范围是 (0, ) . 2 2 1 1 41 41 S1 ? S 2 S1 ? S2 t? 9? t 9

(12 分)

22. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的运算,用导数来研 究函数的单调性、极值等,以及函数与不等式知识的综合应用,考查学生解决问题的综 合能力. 【试题解析】解:(1) f ?( x) ? 因为 x ?

(ax 2 ? 2ax ? 1)e x (1 ? ax 2 )2

(2 分)

1 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点,所以 f ?( ) ? 0 , 3 3 1 2 9 即 a ? a ? 1 ? 0, a ? . 9 3 5 9 9 2 5 9 1 5 2 而当 a ? 时, ax ? 2ax ? 1 ? ( x ? 2 x ? ) ? ( x ? )( x ? ) , 5 5 9 5 3 3 1 9 可验证: x ? 是函数 f ( x ) 的一个极值点. 因此 a ? . (4 分) 3 5 (?4 x 2 ? 8 x ? 1)e x ? a ? ? 4 (2) 当 时, f ( x) ? (1 ? 4 x 2 )2
2 令 f ?( x) ? 0 得 ?4 x ? 8x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 1 ?

所以当 x 变化时, f ?( x ) 、 f ( x ) 的变化是

1 5 ,而 x ? ? . 2 2
1 5 ( ,1 ? ) 2 2

x
f ?( x ) f ( x)

1 (??, ? ) 2

1 5 (? ,1 ? ) 2 2

1?

5 2

(1 ?

5 1 , ) 2 2

1?

5 2

(1 ?

5 , ??) 2

?

?

0
极小值

?

?

0
极大值

?

5 1 1 5 , ) , ( ,1 ? ); 2 2 2 2 1 1 5 5 f ( x) 的单调减区间是 (??, ? ) , (? ,1 ? ) , (1 ? , ??) ; (9 分) 2 2 2 2 (ax 2 ? 2ax ? 1)e x (3) 当 a 取正实数时, f ?( x) ? , (1 ? ax 2 )2
因此 f ( x ) 的单调增区间是 (1 ?

令 f ?( x) ? 0 得 ax ? 2ax ? 1 ? 0 ,
2

当 a ? 1 时,解得 x1 ?

f ( x) 在 (??, x1 ) 和 ( x2 , ??) 上单调递增,在 ( x1 , x2 ) 上单调递减,
但是函数值恒大于零,极大值 f ( x1 ) ,极小值 f ( x2 ) ,并且根据指数函数和二次函

a ? a2 ? a a ? a2 ? a . , x2 ? a a

ex ? ?? ,当 x ??? 时, 数的变化速度可知当 x ??? 时, f ( x) ? 1 ? ax 2 ex f ( x) ? ? 0 . 因此当 f ( x2 ) ? m ? f ( x1) 时, 关于 x 的方程 f ( x) ? m 一定 1 ? ax 2
总有三个实数根,结论成立; 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 的单调增区间是 (??, ??) ,无论 m 取何值,方程 f ( x) ? m 最多有一个实数根,结论不成立. 因此所求 a 的取值范围是 (1, ??) . (12 分)


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