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2016-2017学年湖南省益阳市赫山区箴言中学高一(下)3月月考数学试卷(解析版)


2016-2017 学年湖南省益阳市赫山区箴言中学高一(下)3 月月考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在下列每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. (4 分)一组数据 3,4,5,s,t 的平均数是 4,这组数据的中位数是 m,对于任意实数 s, t,从 3,4,5,s,t,m 这组数据中任取一个,取到数字 4 的概率的最大值为( A. B. C. D. )

2. (4 分)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算 器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0、1 表示没有击中目标,2、3、4、5、6、7、8、 9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机模拟产生了 20 组随机 数: 7527 0371 0293 7140 9857 6233 2616 8045 0347 6011 4373 3661 8636 6947 1417 4698 4281 )

9597 7424 7610

根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( A.0.852 B.0.8192 C.0.75 D.0.8

3. (4 分)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出 i 的结果为(



A.7

B.8

C.9

D.10

4. (4 分)如果某地财政收入 x(亿元)与支出 y(亿元)满足线性回归方程 =bx+a+e(单位: 亿元) ,其中 b=0.8,a=2,|e|≤0.5,如果今年该地区的财政收入为 10 亿元,则年支出预计 不会超过( )

A.9 亿元 B.9.5 亿元 C.10 亿元 D.10.5 亿元 5. (4 分)定义 n!=1×2×…×n,下面是求 10!的程序,则_____处应填的条件是( )

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A.i>10

B.i>11

C.i<=10 D.i<=11

6. (4 分) (文科)设一组数据的方差 s2,将这组数据的每个数据乘以 10,所得到一组新数据 的方差是( A.0.1s2 ) B.100s2 C.10s2 D.s2

7. (4 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; ②若 α∥β,β∥λ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β. 其中正确命题的个数有( A.0 B.1 C.2 D.3 ,则 f(x+1)的定义域为( ) )

8. (4 分)若 f(x)=

A. (﹣ ,0) B. (﹣ ,0]

C. (﹣ ,+∞)

D. (0,+∞)

9. (4 分)函数 f(x)=

,则 y=f(1﹣x)的图象是(



A.

B.

C.

D.

10. (4 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2|x﹣m|﹣1(m 为实数)为偶函数,记 a=f(log0.53) , b=f(log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 11. (4 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几 何体的各个面中最大面的面积为( ) )

A.1

B.

C.

D.2
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12. (4 分)设直线 l:3x+4y+a=0,圆 C: (x﹣2)2+y2=2,若在圆 C 上存在两点 P,Q,在直线 l 上存在一点 M,使得∠PMQ=90°,则 a 的取值范围是( A.[﹣18,6] B.[6﹣5 ,6+5 ) ,﹣6+5 ]

] C.[﹣16,4] D.[﹣6﹣5

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上) 13. (4 分)函数 f(x)=exlnx﹣1 的零点个数是 个.

14. (4 分)采取系统抽样的方法从 1000 名学生中抽出 20 名学生,将这 1000 名学生随机编 号 000~999 号并分组:第一组 000~049 号,第二组 050~099 号,…,第二十组 950~999 号,若在第三组中抽得号码为 122 的学生,则在第十八组中抽得号码为: 的学生.

15. (4 分)在区间[0,5]上随机地选择一个数 t,则方程 x2+2tx+3t﹣2=0 有两个负实根的概 率为 .

16. (4 分)甲、乙两艘船都需要在某个泊位停靠 8 小时,假设它们在一昼夜的时间段中随机 地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 56 分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (8 分)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,其兼具文化性和社会性,是精神 文明建设成果的一个重要指标和象征.2015 年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开展状 况进行了年龄的调查, 随机抽取了 40 名广场舞者进行调查,将他们年龄分成 6 段: [20,30) , [30,40) ,[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80]后得到如图的频率分布直方图.问: (1)估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数; (2)求 40 名广场舞者年龄的众数和中位数的估计值; (3)若从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名,求这两名广场舞者中年龄在[30,40) 恰有 1 人的概率.

18. (8 分)假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如表的统计
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资料: 使用年限 x(年) 维修费用 y(万元) 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,试求: (1)线性回归方程; (2)根据回归直线方程,估计使用年限为 12 年时,维修费用是多少?

参考公式: =

, = ﹣

, = x+ .

19. (10 分)一个均匀的正四面体的四个面分别写有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次, 正四面体底面上的数字分别为 x1,x2,记 t= (1)分别求出 t 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 t≥4 的概率. 20. (10 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD, PD=DC, E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小. .

21. (10 分)已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a) . (Ⅰ)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程. (Ⅱ)a= ,过点 M 作圆 O 的两条弦 AC,BD 互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.

22. (10 分)已知函数 f(x)=2x+1 定义在 R 上. (1)若 f(x)可以表示为一个偶函数 g(x)与一个奇函数 h(x)之和,设 h(x)=t,p(t) =g(2x)+2mh(x)+m2﹣m﹣1(m∈R) ,求出 p(t)的解析式;
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(2)若 p(t)≥m2﹣m﹣1 对于 x∈[1,2]恒成立,求 m 的取值范围.

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2016-2017 学年湖南省益阳市赫山区箴言中学高一(下)3 月月考 数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在下列每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1. (4 分) (2017 春?赫山区校级月考)一组数据 3,4,5,s,t 的平均数是 4,这组数据的中 位数是 m,对于任意实数 s,t,从 3,4,5,s,t,m 这组数据中任取一个,取到数字 4 的概 率的最大值为( A. B. C. ) D.

【分析】推导出 s+t=8,当 s=t=4 时,则中位数 m=4,由此能求出取到数字 4 的概率的最大值. 【解答】解:∵平均数为 4,∴s+t=4×5﹣3﹣4﹣5=8, 当 s=t=4 时,则中位数 m=4, 则取到 4 的概率为: = ; 当 s≠t,即 s≠4,t≠4 时,m=4 则取到 4 的概率为: .

∴取到数字 4 的概率的最大值为 取到数字 4 的概率的最大值为 . 故选:A. 【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平均数、中位数的定义 的定义的合理运用.

2. (4 分) (2016 春?西宁期末)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击 4 次,至少击中 3 次的概率:先由计算器给出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 0、1 表示没有击中目标,2、 3、4、5、6、7、8、9 表示击中目标,以 4 个随机数为一组,代表射击 4 次的结果,经随机 模拟产生了 20 组随机数: 7527 0371 0293 7140 9857 6233 2616 8045 0347 6011 4373 3661 8636 6947 1417 4698 4281

9597 7424 7610
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根据以上数据估计该射击运动员射击 4 次至少击中 3 次的概率为( A.0.852 B.0.8192 C.0.75 D.0.8



【分析】由题意知模拟射击 4 次的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数,在 20 组随机 数中表示种射击 4 次至少击中 3 次的有多少组,可以通过列举得到共多少组随机数,根据概 率公式,得到结果. 【解答】解:由题意知模拟射击 4 次的结果,经随机模拟产生了如下 20 组随机数, 在 20 组随机数中表示射击 4 次至少击中 3 次的有: 7527 0293 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281,共 15 组随机数, ∴所求概率为 0.75. 故选:C. 【点评】本题考查模拟方法估计概率、随机数的含义与应用,是一个基础题,解这种题目的 主要依据是等可能事件的概率,注意列举法在本题的应用.

3. (4 分) (2016?湖南校级模拟)阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出 i 的结果为( )

A.7

B.8

C.9

D.10

【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值,模 拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:第一次执行循环体后,S=lg ,不满足退出循环的条件,i=3; 再次执行循环体后,S= ,不满足退出循环的条件,i=5; 再次执行循环体后,S= ,不满足退出循环的条件,i=7; 再次执行循环体后,S= ,不满足退出循环的条件,i=9; 再次执行循环体后,S= 故输出的 i 值为 9, 故选:C 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环
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,满足退出循环的条件,

的方法解答.

4. (4 分) (2009 春?大兴区期末)如果某地财政收入 x(亿元)与支出 y(亿元)满足线性回 归方程 =bx+a+e(单位:亿元) ,其中 b=0.8,a=2,|e|≤0.5,如果今年该地区的财政收入为 10 亿元,则年支出预计不会超过( )

A.9 亿元 B.9.5 亿元 C.10 亿元 D.10.5 亿元 【分析】将所给数据代入 y=bx+a+e,利用|e|≤0.5,即可求得结论. 【解答】解:∵某地的财政收入 x 与支出 y 满足的线性回归模型是 y=bx+a+e(单位:亿元) , 其中 b=0.8,a=2, ∴y=0.8x+2+e 当 x=10 时,y=0.8x+2+e=10+e ∵|e|≤0.5,∴﹣0.5≤e≤0.5 ∴9.5≤y≤10.5, ∴今年支出预计不超出 10.5 亿元 故选 D. 【点评】本题考查线性回归模型的运用,考查学生的计算能力,属于基础题.

5. (4 分) (2017 春?赫山区校级月考)定义 n!=1×2×…×n,下面是求 10!的程序,则_____ 处应填的条件是( )

A.i>10

B.i>11

C.i<=10 D.i<=11

【分析】模拟程序框图的运行过程,可以得出该程序的判断框中应填的条件是什么. 【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下; 输入 n,i=1,s=1,s=1×1=1! , i=1+1=2,s=1!×2=2! , i=2+1=3,s=2!×3=3! ,
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i=3+1=4,s=3!×4=4! , …, i=9+1=10,s=9!×10=10! , i=10+1=11,11>10,否,输出 s=10! ,结束. ∴判断框中应填 i>10. 故选 A. 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,即可得出正 确的答案来,是基础题.

6. (4 分) (2006 秋?无锡期末) (文科)设一组数据的方差 s2,将这组数据的每个数据乘以 10,所得到一组新数据的方差是( A.0.1s2 B.100s2 C.10s2 D.s2 )

【分析】先设原数据的平均数,然后求出每个数据都乘以 10 后的平均数,最后利用方差公式 进行求解即可. 【解答】解:设该组数据为 x1、x2、x3…xn,则设其平均数为 ;若将每个数据都乘以 10,则 有 10x1、10x2、10x3…10xn,则其平均数为 10 . 于是原数据方差为:s2= [(x1﹣ )2+(x2﹣ )2+…+(xn﹣ )2, 新数据方差为:s2= [(10x1﹣10 )2+(10x2﹣10 )2+…+(10xn﹣10 )2]=100s2. 故选 B. 【点评】本题说明了当数据都乘以一个数 a 时,方差变为原方差 a2 倍,同时考查了运算能力, 属于基础题.

7. (4 分) (2017 春?赫山区校级月考)设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平 面,给出下列四个命题: ①若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α; ②若 α∥β,β∥λ,m⊥α,则 m⊥γ; ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n; ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β. 其中正确命题的个数有( A.0 B.1 C.2 D.3
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【分析】①利用线面垂直的性质可得:若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n? α; ②利用平面平行的传递性和平行平面的性质可得:若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ,又 m⊥α,则 m ⊥γ ; ③利用线面平行的性质可得:若 m∥α,n∥α,则 m∥n、相交或为异面直线; ④利用面面垂直的性质可得:若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 或相交. 【解答】解:①若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n? α,因此①不正确; ②若 α∥β,β∥γ,则 α∥γ,又 m⊥α,则 m⊥γ,正确; ③若 m∥α,n∥α,则 m∥n、相交或为异面直线,因此不正确; ④若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β 或相交,因此不正确. 综上可知:只有②正确. 故选:B. 【点评】本题综合考查了空间中线面的位置关系及其判定性质,属于基础题.

8. (4 分) (2017 春?赫山区校级月考) 若f (x) =

, 则f (x+1) 的定义域为 (



A. (﹣ ,0) B. (﹣ ,0]

C. (﹣ ,+∞)

D. (0,+∞)

【分析】根据对数函数的性质求出函数的定义域即可. 【解答】解:由题意得:0<2x﹣1<1,解得: <x<1, 故 f(x)的定义域是( ,1) , 由 <x+1<1,解得:﹣ <x<0, 故函数 f(x+1)的定义域是(﹣ ,0) , 故选:A. 【点评】本题考查了求函数的定义域问题,考查对数函数的性质,是一道基础题.

9. (4 分) (2017?湖北二模)函数 f(x)=

,则 y=f(1﹣x)的图象是(



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A.

B.

C.

D.

【分析】根据图象的平移和对称即可求出答案.

【解答】解:f(x)=

,则 y=f(1﹣x)的图象是由 y=f(x)的图象,

沿 y 轴对折,得到 y=f(﹣x)的图象,再向右平移一个单位得到的, 故选:C

【点评】本题考查了图象的平移和对称,属于基础题.

10. (4 分) (2015?天津)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 x

| ﹣m|

﹣1(m 为实数)为偶函数,记 )

a=f(log0.53) ,b=f(log25) ,c=f(2m) ,则 a,b,c 的大小关系为( A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a 【分析】根据函数的奇偶性得出 f(x)=2|x|﹣1=

,利用单调性求解即可.

【解答】解:∵定义在 R 上的函数 f(x)=2|x﹣m|﹣1(m 为实数)为偶函数, ∴f(﹣x)=f(x) , m=0, ∵f(x)=2|x|﹣1= ,

∴f(x)在(0,+∞)单调递增, ∵a=f(log0.53)=f(log23) ,b=f(log25) ,c=f(2m)=f(0)=0,
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0<log23<log25, ∴c<a<b, 故选:B 【点评】本题考查了对数函数的性质,函数的奇偶性,单调性,计算能力,属于中档题.

11. (4 分) (2016?九江一模)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体 的三视图,则该几何体的各个面中最大面的面积为( )

A.1

B.

C.

D.2

【分析】由题意,几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥,有 3 个面是全等的等腰直角三角 形,面积为 =2,另一侧面是等边三角形,边长为 2 ,求出面积,即可得出结论.

【解答】解:由题意,几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥,有 3 个面是全等的等腰直角 三角形,面积为 =2, ,面积为 , =2 ,

另一侧面是等边三角形,边长为 2

所以该几何体的各个面中最大面的面积为 2 故选:D.

【点评】本题考查三视图,考查学生的计算能力,确定几何体的形状是关键.

12. (4 分) (2016?西城区二模)设直线 l:3x+4y+a=0,圆 C: (x﹣2)2+y2=2,若在圆 C 上存 在两点 P,Q,在直线 l 上存在一点 M,使得∠PMQ=90°,则 a 的取值范围是( A.[﹣18,6] B.[6﹣5 ,6+5 ] C.[﹣16,4] D.[﹣6﹣5 ,﹣6+5 ] )

【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为 C(2,0)到直线 l 的距离小于或等于 2, 再由点到直线的距离公式得到关于 a 的不等式求解. 【解答】解:圆 C: (x﹣2)2+y2=2,圆心为: (2,0) ,半径为 ,

∵在圆 C 上存在两点 P,Q,在直线 l 上存在一点 M,使得∠PMQ=90°, ∴在直线 l 上存在一点 M,使得 M 到 C(2,0)的距离等于 2,
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∴只需 C(2,0)到直线 l 的距离小于或等于 2, 故 故选:C. 【点评】本题考查直线和圆的位置关系,由题意得到圆心到直线的距离小于或等于 2 是解决 问题的关键,属中档题 ≤2,解得﹣16≤a≤4.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横 线上) 13. (4 分) (2012?蓝山县校级模拟)函数 f(x)=exlnx﹣1 的零点个数是 1 个.

【分析】由于连续函数 f(x)=exlnx﹣1 在[0,+∞)上是增函数,f(1)<0,f(e)>0,可 得函数 f(x)=exlnx﹣1 在[1,e)上有唯一零点,由此得到答案. 【解答】解:由于连续函数 f(x)=exlnx﹣1 在[1,+∞)上是增函数, 证明:设 1≤x1<x2,f(x1)﹣f(x2)= 由 1≤x1<x2 可得 >0,lnx1<lnx2,故 ﹣ < (lnx1﹣lnx2) .

(lnx1﹣lnx2)<0,故,f(x1)<f(x2) ,故 f

(x)=exlnx﹣1 在[1,+∞)上是增函数. 再由 f(1)=0﹣1=﹣1<0,f(e)=ee﹣1>0 可得 f(1)f(e)<0, 故函数 f(x)=exlnx﹣1 在[1,e)上有唯一零点, 故答案为 1. 【点评】本题主要考查函数的零点的定义,判断函数的零点所在的区间的方法,属于基础题.

14. (4 分) (2017 春?赫山区校级月考) 采取系统抽样的方法从 1000 名学生中抽出 20 名学生, 将这 1000 名学生随机编号 000~999 号并分组: 第一组 000~049 号, 第二组 050~099 号, …, 第二十组 950~999 号,若在第三组中抽得号码为 122 的学生,则在第十八组中抽得号码为: 872 的学生.

【分析】根据系统抽样的方法的要求,确定抽取间隔即可得到结论. 【解答】解:依题意可知,在随机抽样中,第一组随机抽取的编号为 001,以后每隔 50 个号 抽到一个人, 若在第三组中抽得号码为 122 的学生,则第一组抽取的号码为 22, 则抽取的号码构成以 022 为首项,d=50 为公差的等差数列, ∴an=22+50(n﹣1)=50n﹣38.
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∴a18=18×50﹣38=872. 故答案为:872. 【点评】本题主要考查系统抽样方法.根据系统抽样的定义确定抽取间距,利用等差数列的 通项公式进行求解是解决本题的关键.

15. (4 分) (2017 春?赫山区校级月考)在区间[0,5]上随机地选择一个数 t,则方程 x2+2tx+3t ﹣2=0 有两个负实根的概率为 .

【分析】由一元二次方程根的分布可得 t 的不等式组,解不等式组,由长度之比可得所求概 率. 【解答】解:方程 x2+2tx+3t﹣2=0 有两个负根等价于



解关于 p 的不等式组可得 <t≤1 或 t≥2,

∴所求概率 P= 故答案为:

= ,

【点评】本题考查几何概型,涉及一元二次方程根的分布,属基础题.

16. (4 分) (2012?增城市校级模拟)甲、乙两艘船都需要在某个泊位停靠 8 小时,假设它们 在一昼夜的时间段中随机地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 . 【分析】设出甲、乙到达的时刻,列出所有基本事件的约束条件同时列出这两艘船中至少有 一艘在停靠泊位时必须等待约束条件,利用线性规划作出平面区域,利用几何概型概率公式 求出概率. 【解答】解:设甲到达的时刻为 x,乙到达的时刻为 y 则所有的基本事件构成的区域 Ω={(x,y)| }

这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待包含的基本事件构成的区域 A={(x,y)| 这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为:

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P(A)=

=1﹣

= .

故答案为: .

【点评】本题主要考查建模、解模能力;解答关键是利用线性规划作出事件对应的平面区域, 再利用几何概型概率公式求出事件的概率.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 56 分.解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (8 分) (2016?银川模拟)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,其兼具文化性 和社会性,是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015 年某高校社会实践小组对某小 区广场舞的开展状况进行了年龄的调查,随机抽取了 40 名广场舞者进行调查,将他们年龄分 成 6 段:[20,30) ,[30,40) ,[40,50) ,[50,60) ,[60,70) ,[70,80]后得到如图的频 率分布直方图.问: (1)估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数; (2)求 40 名广场舞者年龄的众数和中位数的估计值; (3)若从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名,求这两名广场舞者中年龄在[30,40) 恰有 1 人的概率.

【分析】 (1)先求出 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的频率,由此能估计在 40 名广场 舞者中年龄分布在[40,70)的人数.
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(2)利用频率分布直方图,能估计 40 名广场舞者年龄的众数和中位数. (3)年龄在[20,40)中的广场舞者共 10 人,其中[30,40)区间内有 4 人,由此能求出从 年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名,这两名广场舞者中年龄在[30,40)恰有 1 人的 概率. 【解答】解: (1)40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的频率为: (0.020+0.030+0.025)×10=0.75, ∴估计在 40 名广场舞者中年龄分布在[40,70)的人数为: 0.75×40=30. (2)频率分布直方图中小矩形最高的是区间[50,60) , ∴40 名广场舞者年龄的众数的估计值为 55. ∵[20,50)区间人的频率为(0.005+0.010+0.020)×10=0.35, ∴40 名广场舞者年龄的中位数的估计值为: 50+ =55.

(3)年龄在[20,40)中的广场舞者共(0.005+0.010)×10×40=6 人, 其中[30,40)区间内有 0.010×40×10=4 人, ∴从年龄在[20,40)中的广场舞者中任取 2 名,这两名广场舞者中年龄在[30,40)恰有 1 人的概率: P= = .

【点评】本题考查众数、中位数、概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意频率分 布直方图的合理运用.

18. (8 分) (2017 春?赫山区校级月考)假设关于某设备的使用年限 x(年)和所支出的维修 费用 y(万元)有如表的统计资料: 使用年限 x(年) 维修费用 y(万元) 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,试求: (1)线性回归方程; (2)根据回归直线方程,估计使用年限为 12 年时,维修费用是多少?

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参考公式: =

, = ﹣

, = x+ .

【分析】 (1)根据所给的数据,做出变量 x,y 的平均数,根据最小二乘法做出线性回归方程 的系数,写出线性回归方程; (2)当自变量为 20 时,代入线性回归方程,求出维修费用,这是一个预报值. 【解答】 解: (1) 由题意知 =4, =5, = =5﹣4×1.23=0.08, ∴ =1.23x+0.08 (2)当自变量 x=12 时,预报维修费用是 y=1.23×12+0.08=14.84(万元) , 即估计使用 12 年时,维修费用是 14.84 万元. 【点评】本题考查线性回归方程,考查最小二乘法,考查预报值的求法,属于中档题. =1.23,

19. (10 分) (2017 春?赫山区校级月考)一个均匀的正四面体的四个面分别写有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷两次,正四面体底面上的数字分别为 x1,x2,记 t= (1)分别求出 t 取得最大值和最小值时的概率; (2)求 t≥4 的概率. 【分析】 (1)当 x1=x2=1 时,t 取得最大值;当 x1=x2=3 时,t 取得最小值 0.由此能求出结果. (2)当 t≥4 时,t 的取值为 5,8.分别利用列举法求出当 t=5 时和当 t=8 时的概率,由此能 求出 t≥4 的概率. 【解答】解: (1)当 x1=x2=1 时, t=(x1﹣3)2+(x2﹣3)2 可取得最大值 8,此时 P= 当 x1=x2=3 时,t= (2)当 t≥4 时,t 的取值为 5,8. ①当 t=5 时, (x1,x2)可能是: (2,1) 、 (1,4) 、 (1,2) 、 (4,1) , 此时 P= ; ②当 t=8 时,由(1)可知:P= ∴t≥4 的概率为: = .
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; .

可取得最小值 0,此时 P=



【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法和分类讨论思想 的合理运用.

20. (10 分) (2004?天津)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底 面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

【分析】法一: (1)连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO 要证明 PA∥平面 EDB,只需证明直线 PA 平行平面 EDB 内的直线 EO; (2)要证明 PB⊥平面 EFD,只需证明 PB 垂直平面 EFD 内的两条相交直线 DE、EF,即可; (3)必须说明∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角,然后求二面角 C﹣PB﹣D 的大小. 法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC=a. (1)连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG,求出 (2)证明 EF⊥PB, (3)求出 【解答】解:方法一: (1)证明:连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形,∴点 O 是 AC 的中点 在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA∥EO 而 EO? 平面 EDB 且 PA?平面 EDB, 所以,PA∥平面 EDB ,即可证明 PA∥平面 EDB;

,即可证明 PB⊥平面 EFD; ,利用 ,求二面角 C﹣PB﹣D 的大小.

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(2)证明: ∵PD⊥底面 ABCD 且 DC? 底面 ABCD,∴PD⊥DC ∵PD=DC,可知△PDC 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC.① 同样由 PD⊥底面 ABCD,得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC,∴BC⊥平面 PDC. 而 DE? 平面 PDC,∴BC⊥DE.② 由①和②推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB? 平面 PBC,∴DE⊥PB 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E,所以 PB⊥平面 EFD.

(3)解:由(2)知,PB⊥DF,故∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角. 由(2)知,DE⊥EF,PD⊥DB. 设正方形 ABCD 的边长为 a, 则 在 Rt△PDB 中, , . .

在 Rt△EFD 中,

,∴



所以,二面角 C﹣PB﹣D 的大小为



方法二:如图所示建立空间直角坐标系,D 为坐标原点,设 DC=a. (1)证明:连接 AC,AC 交 BD 于 G,连接 EG. 依题意得 . 且

∵底面 ABCD 是正方形,∴ G 是此正方形的中心,故点 G 的坐标为 . ∴ ,这表明 PA∥EG.

而 EG? 平面 EDB 且 PA?平面 EDB,∴PA∥平面 EDB.

(2)证明;依题意得 B(a,a,0) ,
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又 ∴PB⊥DE.

,故



由已知 EF⊥PB,且 EF∩DE=E,所以 PB⊥平面 EFD.

(3)解:设点 F 的坐标为(x0,y0,z0) , 从 而 x0=λa , y0=λa , z0= (

,则(x0,y0,z0﹣a)=λ(a,a,﹣a) . 1 ﹣ λ ) . a . 所 以

由条件 EF⊥PB 知, ∴点 F 的坐标为 ∴

,即 ,且 ,

,解得

即 PB⊥FD,故∠EFD 是二面角 C﹣PB﹣D 的平面角. ∵ ,且 , ,







. .

所以,二面角 C﹣PB﹣D 的大小为

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【点评】本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,二面角等基础知识,考查空间想象 能力和推理论证能力.

21. (10 分) (2017 春?赫山区校级月考)已知圆 O:x2+y2=4 和点 M(1,a) . (Ⅰ)若过点 M 有且只有一条直线与圆 O 相切,求实数 a 的值,并求出切线方程. (Ⅱ)a= ,过点 M 作圆 O 的两条弦 AC,BD 互相垂直,求|AC|+|BD|的最大值.

【分析】 (Ⅰ)要求过点 M 的切线方程,关键是求出切点坐标,由 M 点也在圆上,故满足圆 的方程,则易求 M 点坐标,然后代入圆的切线方程,整理即可得到答案. (Ⅱ)由于直线 AC、BD 均过 M 点,故可以考虑设两个直线的方程为点斜式方程,但由于点 斜式方程不能表示斜率不存在的情况,故要先讨论斜率不存在和斜率为 0 的情况,然后利用 弦长公式,及基本不等式进行求解. 【解答】解: (Ⅰ)由条件知点 M 在圆 O 上, ∴1+a2=4 ∴a=± 当 a= 时,点 M 为(1, =﹣ ) ,kOM= ,k 切线=﹣

此时切线方程为:y﹣ 即:x+ 当 a=﹣ y﹣4=0

(x﹣1)

时,点 M 为(1,﹣ =

) ,kOM=﹣

,k 切线=

此时切线方程为:y+ 即:x﹣ y﹣4=0

(x﹣1)

∴所求的切线方程为:x+

y﹣4=0 或 x﹣

y﹣4=0 + )

(Ⅱ)当 AC 的斜率为 0 或不存在时,可求得 AC+BD=2( 当 AC 的斜率存在且不为 0 时, 设直线 AC 的方程为 y﹣ =k(x﹣1) ,
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直线 BD 的方程为 y﹣ 由弦长公式 l=2 可得:AC=2

=﹣ (x﹣1) ,

BD=2

∵AC2+BD2=4(

+

)=20

∴(AC+BD)2=AC2+BD2+2AC×BD≤2(AC2+BD2)=40 故 AC+BD≤2 即 AC+BD 的最大值为 2 【点评】求过一定点的圆的切线方程,首先必须判断这点是否在圆上.若在圆上,则该点为 切点,若点 P(x0,y0)在圆(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2(r>0)上,则 过点 P 的切线方程为(x ﹣ a) (x0﹣a)+(y﹣b) (y0﹣b)=r2(r>0) ;若在圆外,切线应有两条.一般用“圆心到切线 的距离等于半径长”来解较为简单.若求出的斜率只有一个,应找出过这一点与 x 轴垂直的另 一条切线.

22. (10 分) (2017 春?赫山区校级月考)已知函数 f(x)=2x+1 定义在 R 上. (1)若 f(x)可以表示为一个偶函数 g(x)与一个奇函数 h(x)之和,设 h(x)=t,p(t) =g(2x)+2mh(x)+m2﹣m﹣1(m∈R) ,求出 p(t)的解析式; (2)若 p(t)≥m2﹣m﹣1 对于 x∈[1,2]恒成立,求 m 的取值范围. 【分析】 (1)求出 g(x)和 h(x)的解析式,从而求出 p(t)的解析式即可; (2)问题转化为 m≥﹣ 对于 t∈[ , ]恒成立,令 φ(t)=﹣ =﹣( + ) ,根

据函数的单调性求出 mm 的范围即可. 【解答】解: (1)假设 f(x)=g(x)+h(x)①,其中 g(x)偶函数,h(x)为奇函数, 则有 f(﹣x)=g(﹣x)+h(﹣x) ,即 f(﹣x)=g(x)﹣h(x)②, 由①②解得 , .

∵f(x)定义在 R 上,∴g(x) ,h(x)都定义在 R 上. ∵ ,
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∴g(x)是偶函数,h(x)是奇函数,∵f(x)=2x+1, ∴ 由 ∴ ,则 t∈R,平方得 , , , .

∴p(t)=t2+2mt+m2﹣m+1. (2)∵t=h(x)关于 x∈[1,2]单调递增,∴ ≤t≤ ∴p(t)=t2+2mt+m2﹣m+1≥m2﹣m﹣1 对于 t∈[ , ∴m≥﹣ 令 φ(t)=﹣ +∞)递减, 故 φ(t)在 t∈[ , ]上单调递减, , 对于 t∈[ , ]恒成立, ,函数在(0, )递增, ( , , ]恒成立,

=﹣( + ) ,此对勾函数的”拐点”为 x=±

∴φ(t)max=φ( )=﹣ ∴m≥﹣ .

【点评】本题考查了求函数的解析式问题,考查函数的单调性以及函数恒成立,是一道中档 题.

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