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河南省郑州市2012届高三第一次质量预测数学(理)试题


2012 年高中毕业年级第一次质量预测 理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分 第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页,考试时间为 120 分钟,满分 150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题 卡上作答,在试题卷上答题无效
王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
·2007·

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第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.如果复数 A. ?

2 3

2 ? bi (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等于 1 ? 2i 2 B. C. 2 D.2 3

2.函数 f ? x ? ? A. ?0,???

2x ? 1 定义域为 log 2 x
C. ?0,1? D. ?0,1? ? ?1,???

B. ?1,???
2

3.在二项式( x ? 为 A. 32 B. -32

1 n ) 的展开式中,所有二项式系数的和是 32,则展开式中各项系数的和 x
C. 0 D. 1

4.已知点 F、A 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? 的左焦点、右顶点,点 B(0,b)满足 a 2 b2

FB ? AB ? 0 ,则双曲线的离心率为
A.

2

B.

3

C.

1? 3 2

D.

1? 5 2

5.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为

A. 6 ? 5

B. 6 ? 2 5

C. 8 ? 5

D. 8 ? 2 5

?x ? y ? 1 ? 0 ? x?2 y 6.若实数 x, y满足? x ? y ? 0 则z ? 3 的最小值是 ?x ? 0 ?

A.0

B. 1

C.

3

D. 9

7. 给出 30 个数:1,2,4,7,11?,要计算这 30 个数的和,现已给出了该问题的程序框图 如下图所示,那么框图中判断①处和执行框②处应分别填入 A. i ? 30 ? 和 p ? p ? i ? 1 B. i ? 31 ? 和 p ? p ? i ? 1 C. i ? 31 ? 和 p ? p ? i D. i ? 30 ? 和 p ? p ? i

8.已知曲线 y ? 2 sin? x ?

? ?

??

1 ?? ? ? cos? ? x ? 与直线 y ? 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右 2 4? ?4 ?

依次记为 P1, P2, P3?,则| P P |等于 1 5 A. ? B. 2 ? C. 3 ? D. 4 ?

9.如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y ? x 2 和曲线 y ?

x 围成一个叶形图

(阴影部分) 向正方形 AOBC 内随机投一点 , (该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的) , 则所投的点落在叶形图内部的概率是 A.

1 2

B.

1 6

C.

1 4

D.

1 3

10.若 a>b>0,则代数式 a ?
2

1 的最小值为 b ( a ? b)

A.2

B. 3

C. 4

D. 5

11.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于点 C, 若∣BC∣=2∣BF∣,且∣AF∣=3,则此抛物线方程为 A. y 2 ? 9 x B. y 2 ? 6 x C. y 2 ? 3x D. y 2 ? 3x

12.定义在 ?? 1,1? 上的函数 f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ;当 x ? ?? 1,0?时f ?x ? ? 0. ? ? ? 若 p ? f? ?? f? A.R>Q>P

? x? y ?

?1? ?5?

?1? ?, Q ? ? 11?

?1? f ? ?, R ? f ?0? ;则 P,Q,R 的大小关系为 ?2?
C. P>R>Q D. Q>P>R 第Ⅱ卷

B. R>P>Q

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.若直线 l1 : ax ? 2 y ? 0和l2 : 3x ? ?a ? 1?y ? 0 平行,则实数 a 的值为 .

14. 在△ABC 中,已知 a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对的边,S 为△ABC 的面积.若向量 p= 4, a 2 ? b 2 ? c 2 , q=

?

? ?

3, S 满足 p∥q,则∠C=

?

.

15. 定义在 R 上的函数 f ?x ? 在[0, ? ?)是增函数,则方程 f ?x ? ? f (2 x ? 3) 的所有实数根的 和为 . 16.在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14. (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? an ? q n ( q ? 0 ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .
a

.

18. (本小题满分 12 分) 第 30 届夏季奥运会将于 2012 年 7 月 27 日在伦敦举行, 当地某学校招募了 8 名男志愿者和 12 名女志愿者。 将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm) :若身高在 180cm 以上 (包

括 180cm)定义为“高个子” ,身高在 180cm 以下(不包括 180cm)定义为“非高个子”,且只 有“女高个子”才能担任“礼仪小姐” 。 (I)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人, 那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (Ⅱ)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的 人数,试写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S-ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,CD=3AB=3,平面 SAD⊥平面 ABCD,E 是线段 AD 上一点,AE=ED= 3 ,SE⊥AD. (Ⅰ)证明:平面 SBE⊥平面 SEC; (Ⅱ)若 SE=1,求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中 , 顶 点 A ?? 1,0? , B ?1,0? , 动 点 D , E 满 足 : ① DA ? DB ? DC ? 0 ; ②

EC ? 3 EA ? 3 EB ,③ DE与AB 共线.
(Ⅰ)求△ABC 顶点 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在圆心在原点的圆,只要该圆的切线与顶点 C 的轨迹有两个不同交点 M,N,就 一定有 OM ? ON ? 0 ,若存在,求该圆的方程;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ?x ? ? ln x ? p?x ? 1?, p ? R .

(Ⅰ)当 p ? 1 时,求函数 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ) 设函数 g ?x? ? xf ?x? ? p 2x2 ? x ? 1 , 对任意 x ? 1 都有 g ?x ? ? 0 成立, p 的取值范围. 求 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答时请写 清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,锐角△ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足为 H,点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点. (Ⅰ)求证:四点A,I,H,E共圆; (Ⅱ)若∠C= 50 ,求∠IEH 的度数.
?

?

?

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 3t ?y ? t

, ?t为参数? .在极坐标系(与直角坐

标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为

? ? 4 cos? .
(Ⅰ)求圆 C 在直角坐标系中的方程; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求实数 a 的值. (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? a ? 2 x ? 1?a ? R? . (Ⅰ)当 a=3 时,求函数 f ?x ? 的最大值; (Ⅱ)解关于 x 的不等式 f ?x ? ? 0 .

2012 年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学
一、选择题 1-12

参考答案

ADCDD BDBDC CB 14. ? ;
3

二、填空题 13. 2 或 ?3 ; 三、解答题

15.4;

16. 43? .

17.解: (I)设 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,则由 a5 ? 9, a2 ? a6 ? 14, 得?
? a1 ? 4d ? 9, ? 2a1 ? 6d ? 14, ?a1 ? 1, ?d ? 2,

????2 分

解得 ?

所以 ?an ? 的通项公式 an ? 2n ?1. (II)由 an ? 2n ?1得 bn ? 2n ?1 ? q2n?1 .

????5 分 ????7 分

① 当 q ? 0且q ? 1 时, Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1)? ? ? q1 ? q3 ? q5 ? ? ? q 2 n?1 ?
?n ?
2

q ?1 ? q 2 n ? 1 ? q2

;????10 分

② 当 q ? 1 时, bn ? 2n ,得 Sn ? n(n ? 1) ;
?n(n ? 1), ( q ? 1) ? ? 所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? ? ????12 分 q ?1 ? q 2 n ? 2 , ? q ? 0且q ? 1? ?n ? 1 ? q2 ? ?

18.解: (Ⅰ)根据茎叶图,有“高个子”8 人, “非高个子”12 人,
5 1 ? , 20 4 1 1 所以选中的 “高个子” 8 ? ? 2 人, 有 “非高个子” 12 ? ? 3 人. 有 ???? 4 4

用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是

3分 用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中” ,则它的对立事件

A 表示“没有一名“高个子”被选中” ,

则 P( A) ? 1 ?

2 C3 2 C5

?1?

3 7 ? . 10 10

因此,至少有一人是“高个子”的概率是

7 .????6 分 10

(Ⅱ)依题意,所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数 X 的 取值分别为 0,1, 2, 3 .
P( X ? 0) ?
3 C4 1 ? , 3 C8 14 2 1 C4 C4 3 ? , 3 C8 7

P( X ? 1) ?

1 2 C4C4 3 ? , 3 C8 7

P( X ? 2) ?

P( X ? 3) ?

3 C4 1 ? . 3 C8 14

因此,X 的分布列如下: X
p

0

1

2

3

1 14

3 7

3 7

1 14

????10 分 所以 X 的数学期望 EX ? 0 ?
1 3 3 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 14 7 7 14 2

????12 分

19.解: (Ⅰ)? 平面 SAD ? 平面 ABCD ,平面 SAD ? 平面 ABCD ? AD ,
SE ? 平面 SAD , SE ? AD , ? SE ? 平面 ABCD ,

????2 分

? BE ? 平面 ABCD, ? SE ? BE.

? AB ? AD , AB // CD , CD ? 3 AB =3, AE=ED= 3 ,
??AEB ? 30? , ?CED ? 60?.

所以 ?BEC ? 90? 即 BE ? CE. ????4 分 结合 SE ? CE ? E 得 BE⊥平面 SEC,
? BE ? 平面 SBE , ? 平面 SBE⊥平面 SEC. ????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,直线 ES,EB,EC 两两垂直. 如图, EB 为 x 轴, 以 EC 为 y 轴,以 ES 为 z 轴,建立空间直角坐标 以 系. 则 E(0,0,0), C(0, 2 3,0), S (0,0,1), B(2,0,0) ,
??? ? ??? ? ?CB ? (2, ?2 3,0), CS ? (0, ?2 3,1) .
z S

设平面 SBC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,
? ??? ? ?n ? CB ? 0, ? 则 ? ? ??? ? ?n ? CS ? 0, ?
A x B E D

?

? 解得一个法向量 n ? ( 3,1, 2 3) ,????9 分

设直线 CE 与平面 SBC 所成角为 ? ,
? ??? ? ??? ? n ? CE 1 则 sin ? ? ? ??? ? . 又 CE ? (0, ?2 3,0), ? 4 n ? CE

C

y

所以直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值 . ????12 分

1 4

20.解:(I)设 C(x,y),由 DA ? DB ? DC ? 0 得,动点 D 的坐标为 ? , ? ; ? ? 3 3
x y ? ?

??? ??? ???? ? ?

?

由 EA ? EB 得,动点 E 在 y 轴上,再结合 DE 与 AB 共线,
y 得,动点 E 的坐标为 ? 0, ? ; ? ? ? 3?

??? ?

??? ?

????

??? ?

????2 分
y2 , 9

由 EC ? 3 EA 的, x2 ? ( y ? )2 ? 3 ? 1 ?
y 2 x2 整理得, ? ? 1 . 27 3

??? ?

??? ?

y 3

因为 ?ABC 的三个顶点不共线,所以 y ? 0 ,

故 ?ABC 顶点 C 的轨迹方程为

y 2 x2 ? ? 1( y ? 0) .????5 分 27 3

(II)假设存在这样的圆,其方程为 x2 ? y2 ? r 2 (r ? 0) , 当直线 MN 的斜率存在时, 设其方程为 y ? kx ? m , 代入椭圆的方程, 得 (k 2 ? 9) x2 ? 2kmx ? m2 ? 27 ? 0 , 设 M ? x1 , y1 ? ,N ? x2 , y2 ? , 则 x1 ?
?2km ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 9)(m2 ? 27) ?2km ? 4k 2 m2 ? 4(k 2 ? 9)(m2 ? 27) , , x2 ? 2(k 2 ? 9) 2(k 2 ? 9)

2km ? x1 ? x2 ? ? 2 , ? ? k ?9 所以 ? (*)????7 分 m 2 ? 27 ?x x ? , ? 1 2 k2 ? 9 ?

由 OM ? ON ? 0 ,得 x1x2 ? y1 y2 ? 0, 即 x1x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 , 将式子(*)代入上式,得 m 2 ?
27 2 ( k ? 1) .????9 分 10

???? ???? ?

又直线 MN: y ? kx ? m 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 相切知: r ? 所以 r 2 ?
27 27 ,即存在圆 x 2 ? y 2 ? 满足题意; 10 10

m 1? k 2

.

当直线 MN 的斜率不存在时,可得 x1 ? x2 ?
???? ???? ? OM ? ON ? 0 .

27 27 , y1 ? ? y2 ? 满足 10 10

综上所述:存在圆 x 2 ? y 2 ?

27 满足题意. ????12 分 10

21.解: (I)当 p =1 时, f ( x) = ln x - x + 1 ,其定义域为 ? 0,??? . 所以 f ?( x) ? ? 1 .????2 分
1 x

由 f ?( x) ? ? 1 ? 0 得 0 ? x ? 1 , 所以 f ( x) 的单调增区间为 ? 0,1? ; 单调减区间为 ?1, ?? ? .????5 分 (II) 由函数 g ( x) ? xf ( x) ? p(2x2 ? x ?1) ? x ln x ? p( x2 ?1) ,得 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px . 由(I)知,当 p =1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 , 即不等式 ln x ? x ? 1成立.
1 2

1 x

????7 分

① 当 p ? ? 时, g?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px ? ( x ?1) ? 1 ? 2 px ? (1 ? 2 p) x ? 0 , 即 g(x)在 ?1,??? 上单调递减, 从而 g ( x) ? g (1) ? 0 满足题意; ???? 9分 ② 当 ? ? p ? 0 时,存在 x ? ?1, ?
?
1 2

?

1 ? ? 使得 ln x ? 0,1 ? 2 px ? 0 , 2p ? ? ? 1 ? ? 上单调递增, 2p ?

从而 g ?( x) ? ln x ? 1 ? 2 px ? 0 ,即 g(x)在 ?1, ? 从而存在 x0 ? ?1, ?
? ?

1 ? ? 使得 g ( x0 ) ? g (1) ? 0 不满足题意; 2p ?

③当 p ? 0 时,由 x ? 1 知 g ( x) ? x ln x ? p( x2 ?1) ? 0 恒成立,此时不满 足题意. 综上所述,实数 p 的取值范围为 p ? ? .
1 2

????12 分

22.证明: (Ⅰ)由圆 I 与边 AC 相切于点 E, 得 IE⊥AE; ????2分 结合 IH⊥AH,得 ?AEI ? ?AHI ? 90?. 所以,四点 A,I,H,E 共圆. ????5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知四点 A,I,H,E 共圆,得, ?IEH ? ?HAI ;????7分 在
?HIA

中, ?HIA ? ?ABI ? ?BAI ? ?B ? ?A ? (?B ? ?A) ? (180? ? ?C ) ? 90? ? ?C. 结合 IH⊥AH,得 ?HAI ? 90? ? ?HIA ? ?C ; 所以 ?IEH ? ?C . 由 ?C ? 50? 得 ?IEH ? 25?. ????10 分 23.解(Ⅰ)由 ? ? 4cos? 得 ? 2 ? 4? cos? ,????2分 结合极坐标与直角坐标的互化公式 ? 即 ( x ? 2)2 ? y2 ? 4. (Ⅱ)由直线 l 的参数方程 ? ? 得, x ? 3 y ? a ? 0 . 结合圆 C 与直线 l 相切,得 解得 a ? ?2或6 .
? x ? ? cos ? 得 x2 ? y 2 ? 4 x , y ? ? sin ? ?
1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

????5分
? x ? a ? 3t (t为参数) 化为普通方程, ?y ? t ?

????7分
2?a 1? 3 ? 2,

????10 分

24、解: (Ⅰ)当 a=3 时,
?? x ? 1, ( x ? 3) ? f ( x) ? x ? 3 ? 2 x ? 1 ? ??3 x ? 5, (1 ? x ? 3) ? x ? 1, ( x ? 1) ?

????3分

所以,当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值 2. ????5分 (Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 2 x ?1 ,
2 2 两边平方得: ? x ? a ? ? 4 ? x ? 1? ,

即 3x2 ? 2(a ? 4) x ? 4 ? a2 ? 0 , 得 ? x ? (2 ? a)? (3x ? (2 ? a)) ? 0 ,

????7分

所以,①当 a ? 1 时,不等式的解集为 [2 ? a,

2?a ]; 3

②当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? x x ? 1? ; ③当 a ? 1 时,不等式的解集为 [
2?a , 2 ? a] .???10 分 3


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