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湖南省怀化市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 (Word版含解析)


湖南省怀化市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (3 分)计算机执行右边的程序段后,输出的结果是()

A.1,3

B.4,1

C.4,﹣2

D

.1,﹣2

2. (3 分)计算 sin(﹣240°)的值为() A. B. C. D.

3. (3 分)以下给出的函数中,以 π 为周期的奇函数是() A.y=cos x﹣sin x C. y=sinx?cosx
2 2

B. y=sin|x| D.y=tan

4. (3 分)要从已编号(01~06)的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射 试验,用系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是() A.5,15,25,36,45,55 B. 2,4,8,16,32,48 C. 2,12,23,34,45,56 D.3,13,23,33,43,53

5. (3 分)若向量 =(2,x) , =(3,6)为共线向量,则 x 的值等于() A.2 B. 3 C. 4 D.5

6. (3 分) 设一组数据的平均数是 2.8, 方差是 3.6, 若将这组数据中的每一个数据都加上 10, 得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是() A.13.6,12.8 B.2.8,13.6 C.12.8,13.6 D.12.8,3.6 7. (3 分)一只蚂蚁在三边长分别为 3、4、5 的三角形面上自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三 角形的三个顶点的距离不超过 1 的概率为() A. B.
5

C.
3 2

D.

8. (3 分)用秦九韶算法计算函数 f(x)=2x ﹣3x +2x +x﹣3 的值,若 x=2,则 V3 的值是 ()
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A.﹣28

B.29

C.55

D.47

9. (3 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的 s 的值为()

A.﹣1

B. 1

C. 0

D.3

10. (3 分)已知向量 =(cos75°,sin75°) , =(cos15°,sin15°) ,那么 A. B. C. D.1

的值是()

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共计 20 分.请把答案填在答题卡上的相应横 线上. 11. (4 分)四进制数 123(4)化为十进制数为. 12. (4 分)若 = , =t ,则 t 的值是.

13. (4 分)函数 f(x)=sin2x 的图象可以由 g(x)=sin(2x﹣ )的图象向左平移个单位得 到. 14. (4 分)下列式子描述正确的有. ①sin1°<cos1<sin1<cos1°; ② ? =0?| + |=| ﹣ |; ③cos α=(1+sinα) (1﹣sinα) ; ④( ? ) =
2 2 2 2

?

2



⑤2sin x=1+cos2x; ⑥sin( ﹣α)≠cos( + α) .

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15. (4 分)在平面斜坐标系 xOy 中,∠xOy=60°,平面上任意一点 P 关于斜坐标系 xOy 的 斜坐标定义为:若 =x +y ,其中向量 , 分别为斜坐标轴 x,y 轴

同方向的单位向量,则 P 点的坐标为(x,y) . (1)若 P 点的坐标为(3,﹣2) ,则| |;

(2)以 O 为圆心,2 为半径的圆在斜坐标系下的方程为.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (7 分)已知 tanα= ,求下列式子的值. (1) (2)sin α﹣sin2α 17. (7 分)将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次,记第一次出现的点数为 x,第二次出现的点数为 y. (Ⅰ)求事件|x﹣y|=2 的概率; 2 2 (Ⅱ)求事件“点(x,y)在圆 x +y =17 面上”(包括边界)的概率. 18. (8 分)从某校 2014-2015 学年高一年级 800 名学生中随机抽取 100 名测量身高,测量 后发现被抽取的学生身高全部介于 155 厘米和 195 厘米之间, 将测量结果分为八组: 第一组, 求| ﹣x |的取值范围. 20. (10 分)如图所示,在△ ABC 中,AB=4,AC=2,若 O 为△ ABC 的外心. (Ⅰ)求 (Ⅱ)求 ? ? 的值; 的值; + )? =( + )? =( + )? =0,
2

(Ⅲ)若平面内一点 P 满足( 试判定点 P 的位置.

21. (10 分)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+

)﹣

cos x+

2

,x∈R.

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期、对称轴和单调递增区间;
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(Ⅱ)若函数 g(x)与 f(x)关于直线 x= 值.

对称,求 g(x)在闭区间上的最大值和最小

湖南省怀化市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. (3 分)计算机执行右边的程序段后,输出的结果是()

A.1,3

B.4,1

C.4,﹣2

D.1,﹣2

考点: 顺序结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序代码,依次根据赋值语句的功能写出 a,b 的值即可得解. 解答: 解:模拟执行程序代码,可得 a=1,b=3 a=4,b=1 输出 a,b 的值为:4,1. 故选:B. 点评: 本题主要考查了顺序结构的程序代码,考查了赋值语句的功能,属于基础题. 2. (3 分)计算 sin(﹣240°)的值为() A. B. C. D.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 运用诱导公式和特殊角的三角函数值即可化简求值. 解答: 解:sin(﹣240°)=﹣sin(180°+60°)=sin60°= .

故选:A. 点评: 本题主要考查了诱导公式和特殊角的三角函数值的应用,属于基础题. 3. (3 分)以下给出的函数中,以 π 为周期的奇函数是()
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A.y=cos x﹣sin x C. y=sinx?cosx

2

2

B. y=sin|x| D.y=tan

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 化简函数的解析式,再利用函数 y=Asin(ωx+φ) 、y=Acos(ωx+φ)的周期为 可得结论. 2 2 解答: 解:由于 y=cos x﹣sin x=cos2x,为偶函数,故排除 A; 由于 y=sin|x|为偶函数,故排除 B; 由于 y=sinx?cosx= sin2x,为奇函数,且周期为 由于 y=tan 的周期为 =2π,故排除 D, =π,故满足条件; ,

故选:C. 点评: 本题主要考查二倍角公式,函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性,利用了函数 y=Asin (ωx+φ) 、y=Acos(ωx+φ)的周期为 ,属于基础题.

4. (3 分)要从已编号(01~06)的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射 试验,用系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是() A.5,15,25,36,45,55 B. 2,4,8,16,32,48 C. 2,12,23,34,45,56 D.3,13,23,33,43,53 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样方法的特点是抽取的一组数据间隔都相同, 应用排除法得出正确的选 项. 解答: 解:根据系统抽样方法的特点是抽取的该组数据的间隔相同,都等于 =10,

由此排除选项 A、B、C,得出正确的选项是 D. 故选:D. 点评: 本题考查了系统抽样方法的应用问题,解题时应熟知系统抽样方法的特点是什么.

5. (3 分)若向量 =(2,x) , =(3,6)为共线向量,则 x 的值等于() A.2 B. 3 C. 4 D.5

考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知的向量平行得到坐标之间 2×6=3x,解答即可. 解答: 解:因为向量 =(2,x) , =(3,6)为共线向量,
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所以 2×6=3x,解得 x=4; 故选 C. 点评: 本题考查了向量平行的坐标关系;属于基础题. 6. (3 分) 设一组数据的平均数是 2.8, 方差是 3.6, 若将这组数据中的每一个数据都加上 10, 得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是() A.13.6,12.8 B.2.8,13.6 C.12.8,13.6 D.12.8,3.6 考点: 极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: 一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6,将这组数据中的每一个数据都加上 1,得到 一组新数据,由数据的平均数和方差的计算公式能求出所得新数据的平均数和方差 解答: 解:一组数据的平均数是 2.8,方差是 3.6, 将这组数据中的每一个数据都加上 1,得到一组新数据, 由数据的平均数和方差的计算公式得: 所得新数据的平均数为 12.8,方差为 3.6. 故选:D. 点评: 本题考查了如何求一组数据的平均数与方差, 由此题得出的结论是, 一组数据的每 个数改变同样的大小,其平均数也改变同样的大小,但方差不变. 7. (3 分)一只蚂蚁在三边长分别为 3、4、5 的三角形面上自由爬行,某时刻该蚂蚁距离三 角形的三个顶点的距离不超过 1 的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义, 关键是要找出蚂蚁距离三角形的三个顶点的 距离不超过 1 区域面积,利用面积比求概率. 解答: 解:由已知得到三角形为直角三角形,三角形 ABC 的面积为 ×3×4=6, 离三个顶点距离都不大于 1 的地方如图三角形的阴影部分, 它的面积为半径为 1 的半圆面积 S= π×1 =
2



所以其恰在离三个顶点距离不超过 1 的概率为: 故选 B



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点评: 本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式;关键是找出事 件的测度是符合条件的面积. 8. (3 分)用秦九韶算法计算函数 f(x)=2x ﹣3x +2x +x﹣3 的值,若 x=2,则 V3 的值是 () A.﹣28 B.29 C.55 D.47 考点: 秦九韶算法. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 先将函数的解析式分解为 f(x)=( ( ( (2x+0)x﹣3)x+2)x+1)x﹣3 的形式,进 而根据秦九韶算法逐步代入即可得到答案. 解答: 解:∵f(x)=2x ﹣3x +2x +x﹣3=( ( ( (2x+0)x﹣3)x+2)x+1)x﹣3 当 x=2 时, v0=﹣3, v1=(﹣3)×2+0=﹣6, v2=(﹣6)×2﹣3=﹣15, v3=(﹣15)×2+2=﹣28. 故选:A. 点评: 本题考查的知识点秦九韶算法,熟练掌握秦九韶算法的方法和步骤是解答的关键. 9. (3 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的 s 的值为()
5 3 2 5 3 2

A.﹣1

B. 1

C. 0

D.3

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序进行模拟计算即可. 解答: 解:第一次:S=2+1=3,i=2,不满足条件 i>4, 第二次:S=3+1=4,i=3,不满足条件 i>4, 第三次:S=0+1=1,i=4,不满足条件.i>4, 第四次:S=﹣1+1=0,i=5,满足条件.i>4, 故输出 S=0, 故选:C 点评: 本题主要考查程序框图的识别和运行,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键.
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10. (3 分)已知向量 =(cos75°,sin75°) , =(cos15°,sin15°) ,那么 A. B. C. D.1

的值是()

考点: 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 计算题. 分析: 由题意求出 的坐标,由向量的数量积的坐标运算和两角差的余弦公式,求出 的模.

的自身的数量积的值,即求出 解答: 解:由题意得, ∴( ∴ )?( =1,

=(cos75°﹣cos15°,sin75°﹣sin15°) ,
2 2 2

)=(cos75°﹣cos15°) +(sin75°﹣sin15°) =2﹣2cos60 =1,

故选 D. 点评: 本题考查了向量数量积坐标运算以及应用, 主要利用平方关系和两角差的余弦公式 进行求解,考查了如何利用向量的数量积运算求向量的模. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共计 20 分.请把答案填在答题卡上的相应横 线上. 11. (4 分)四进制数 123(4)化为十进制数为 27. 考点: 进位制. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 利用累加权重法,即可将四进制数转化为十进制,从而得解. 解答: 解:由题意,123(4)=1×4 +2×4 +3×4 =27, 故答案为:27. 点评: 本题考查四进制与十进制之间的转化, 熟练掌握四进制与十进制之间的转化法则是 解题的关键,属于基本知识的考查.
2 1 0

12. (4 分)若

=



=t

,则 t 的值是



考点: 向量数乘的运算及其几何意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意得到 A,B,P 三点共线,并且 BP=3AP,得到 , 的关系.

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解答: 解:由题意, t= ;

=

,得到如图 P,A,B 的位置关系,所以

,所以

故答案为:﹣ .

点评: 本题考查了向量数乘、向量共线;属于基础题.

13. (4 分)函数 f(x)=sin2x 的图象可以由 g(x)=sin(2x﹣ )的图象向左平移 个单位 得到. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由条件根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论. 解答: 解:由 g(x)=sin(2x﹣ )的图象向左平移 个单位,可得函数 y=sin2(x+ ) ﹣ ]=f(x)=sin2x 的图象, 故答案为: . 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题. 14. (4 分)下列式子描述正确的有①②③. ①sin1°<cos1<sin1<cos1°; ② ? =0?| + |=| ﹣ |; ③cos α=(1+sinα) (1﹣sinα) ; ④( ? ) =
2 2 2 2

?

2



⑤2sin x=1+cos2x; ⑥sin( ﹣α)≠cos( + α) .

考点: 专题: 分析: 解答:

平面向量数量积的运算. 平面向量及应用. 分别利用三角函数的定义、公式和向量的运算对六个式子分别分析选择. 解:对于①,因为角度 1 弧度大于 1°,sin1°<cos1<sin1<cos1°;正确;

对于②,由 ? =0?两个向量垂直,根据向量的平行四边形法则?| + |=| ﹣ |;正确; 对于③,cos α=1﹣sin α=(1+sinα) (1﹣sinα) ; 正确;
2 2

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对于④, ( ? )=

2

,当 θ=

,④( ? ) =

2

2

?

2

;才正确;故④错

误; 2 对于⑤2sin x=1﹣2cos2x≠1+cos2x;故错误; 对于⑥,sin( ﹣α)=sin=cos( + α) ;故⑥错误.

故答案为:①②③; 点评: 本题考查了三角函数的定义、 基本关系式、 倍角公式以及向量的运算; 属于中档题. 15. (4 分)在平面斜坐标系 xOy 中,∠xOy=60°,平面上任意一点 P 关于斜坐标系 xOy 的 斜坐标定义为:若 =x +y ,其中向量 , 分别为斜坐标轴 x,y 轴

同方向的单位向量,则 P 点的坐标为(x,y) . (1)若 P 点的坐标为(3,﹣2) ,则| | ;
2 2

(2)以 O 为圆心,2 为半径的圆在斜坐标系下的方程为 x +y +xy=4. 考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: (1)若 P 点的坐标为(3,﹣2) ,利用数量积得性质可得| (2)以 O 为圆心,2 为半径的圆满足| 解答: 解: (1)∵ ∴ 故 (2)∵ 即
2 2

|;

|=1,利用数量积得性质即可得出结论.

, = =7,

. ,∴ ,化简得 x +y +xy=4.
2 2



故答案为: (1) ; (2)x +y +xy=4. 点评: 正确理解斜坐标系定义和掌握数量积得运算公式是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 50 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (7 分)已知 tanα= ,求下列式子的值. (1) (2)sin α﹣sin2α 考点: 同角三角函数基本关系的运用.
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2

专题: 三角函数的求值. 分析: (1)原式分子分母除以 cosα,利用同角三角函数间基本关系化简,将 tanα 的值代 入计算即可求出值; (2)原式分母看做“1”,利用同角三角函数间基本关系化简,将 tanα 的值代入计算即可求 出值. 解答: 解: (1)∵tanα= ,

∴原式=

=

= ;

(2)∵tanα= ,

∴原式=

=

=

=﹣ .

点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 17. (7 分)将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次,记第一次出现的点数为 x,第二次出现的点数为 y. (Ⅰ)求事件|x﹣y|=2 的概率; (Ⅱ)求事件“点(x,y)在圆 x +y =17 面上”(包括边界)的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 总的基本事件共 36 种结果,列举分别可得事件所包含的基本事件数,由概率公式 可得. 解答: 解:将一枚骰子抛掷两次共出现 6×6=36 种结果. (Ⅰ) 设事件“|x﹣y|=2”为事件 A,则事件 A 出现的情况有(1,3) , (2,4) , (3,1) , (3,5) , (4,2) , (4,6) , (5,3) , (6,4)共 8 种, 由概率公式可得 ;
2 2 2 2

(Ⅱ)设事件“点(x,y)在圆 x +y =17 面上”为事件 B,则事件 B 出现的情况有 (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (1,4) , (4,1) ,共 10 种, 同理可得 点评: 本题考查古典概型及其概率公式,列举是解决问题的关键,属基础题. 18. (8 分)从某校 2014-2015 学年高一年级 800 名学生中随机抽取 100 名测量身高,测量 后发现被抽取的学生身高全部介于 155 厘米和 195 厘米之间, 将测量结果分为八组: 第一组 0.32×100×8=256(人) ;…(4 分) (Ⅱ)从图中知由前四组的频率为
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5×(0.008+0.016+0.04+0.04)=0.52,0.52﹣0.5=0.02, ∴在第四组中,0.02=0.04×0.5, ∴175﹣0.5=174.5, ∴中位数为 174.5cm;…(6 分) 平均数为: 157.5×0.04+162.5×0.08+167.5×0.2+172.5×0.2 +177.5×0.3182.5×0.08+187.5×0.06+192.5×0.04=174.1(cm) . …(8 分) 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了求中位数与平均数的应用问题, 是基础题目.

19. (8 分)已知向量 , 不共线,t 为实数. (Ⅰ)若 = , =t , = ( + ) ,当 t 为何值时,A,B,C 三点共线;

(Ⅱ)若| |=| |=1,且 与 的夹角为 120°,实数 x∈,求| ﹣x |的取值范围. 考点: 平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)因为 A,B,C 三点共线,则存在实数 λ,使得 由此得到关于 λ,t 的方程解之; (Ⅱ)求出 与 的数量积,然后将所求平方,转化为 与 的模和数量积的运算,集合二次 函数求最值. 解答: 解: (Ⅰ)A,B,C 三点共线,则存在实数 λ,使得 即 (Ⅱ)由 ,则 ,则 , 因为 当 所以 时, ,当 时, 的最小值为 …(6 分) …(8 分) …(5 分) …(4 分) , ,

的最大值为 的取值范围是

点评: 本题考查了平面向量共线以及数量积公式的运用. 20. (10 分)如图所示,在△ ABC 中,AB=4,AC=2,若 O 为△ ABC 的外心. (Ⅰ)求 ? 的值;

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(Ⅱ)求

?

的值; + )? =( + )? =( + )? =0,

(Ⅲ)若平面内一点 P 满足( 试判定点 P 的位置.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由垂径分弦定理得 出; (Ⅱ)利用向量三角形法则可得: 得出; (III)利用已知可得: 解答: 解: (Ⅰ)由垂径分弦定理得 ∴ (Ⅱ)同样 = . (Ⅲ)由 同理有: ∴ , , = = . ,即点 P 与 O 点重合. , ,展开利用(I)的结论即可 ,利用数量积运算性质即可得

,即点 P 与 O 点重合,

∴点 P 为△ ABC 的外心. 点评: 本题考查了向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、圆的垂经定理,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题.
2

21. (10 分)已知函数 f(x)=cosx?sin(x+

)﹣

cos x+

,x∈R.

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期、对称轴和单调递增区间;
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(Ⅱ)若函数 g(x)与 f(x)关于直线 x= 值.

对称,求 g(x)在闭区间上的最大值和最小

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x) = ,由周期公式可求最小正周期,由 得单调增区间. (Ⅱ)设 g(x)图象上任意一点为(x,y) ,点(x,y)关于 对称的点 得对称轴.由

在函数 f(x)上,可得 g(x)解析式,结合 x 的范围,由正弦函数的性质即可求得最大值 及最小值. 解答: 解:由 = = = = …(3 分) …(4 分) ,故对称轴为 得 …(7 分) …(5 分) ,

(Ⅰ)函数 f(x)的最小正周期为 令 由 即单调增区间为 (Ⅱ)设 g(x)图象上任意一点为(x,y) , 点(x,y)关于 对称的点 得

在函数 f(x)上,即

…(8 分) 又 故 ,所以 …(9 分) ,则

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所以



…(10 分)

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用, 正弦函数的图象和性质, 属于基本知 识的考查.

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湖南省怀化市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷
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