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3.2《简单的三角恒等变换(二)》课件(人教A版必修4)


课程目标设置

典型例题精析

知能巩固提高

一、选择题(每题5分,共15分) 1.设sinα ∶sin ? =8∶5,则cosα =( ) 2 4 (A) - 7 (B) 7 (C) 4 (D)5 25 5 25 ? 4 ? 【解析】选B.由已知可得cos = ,从而cos

α=2cos 2 2 5 2 -1= 7 . 25

2.函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R的最大值为(
(A)1 (B) 2 (C)2 (D) 2 2

)

【解析】选B.f(x)=sin2x-cos2x=
值为 2.

2 sin(2x-

? ),故最大 4

3.(2010·嘉兴高一检测)函数f(x)=|sin( 小正周期为( (A)4π ) (C)2π (D)π

1 ? )|的最 x+ 2 3

(B)3π

【解析】选C.f(x)=|sin( =

? 1 + )| x 3 2

1 ? sin 2 ( x+ ) 2 3

2? ? = 1? 1-cos(x+ ) ? 2? 3 ? ?

故最小正周期为2π.

二、填空题(每题5分,共10分)
4.已知sinα =cos2α ,α ∈(
? , π ),则tanα =_____. 2

【解析】由sinα=cos2α得:
1 或sinα=-1,∵α∈( ? , π), 2 2 3 ∴sinα=-1应舍去,故sinα= 1 , 从而cosα= , 2 2 ∴tanα= - 3 . 3 答案: - 3 3

sinα=1-2sin2α,解得sinα=

5.(2010·广州高一检测)函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈
[0,2π ]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则k的 取值范围是______.

【解题提示】解答本题的最好方法就是数形结合.
【解析】该函数的图象如图:由图象观察可知1<k<3.

答案:1<k<3

三、解答题(6题12分,7题13分,共25分) 6.(2010·湛江高一检测)已知函数f(x)=cos22x- 2? cos2x, 3 x∈R. (1)求函数y=f(x)的值域; (2)判断直线x= ? 是否为y=f(x)的对称轴,并说明理由. 3 【解题提示】判断一结论不成立时,只要找出一个反例即 可,比如该题的第(2)问.

2? 【解析】(1)f(x)=cos22xcos2x 2 3 ? 2 ? =(cos2x), 3 9 ∵x∈R,∴-1≤cos2x≤1,

∴当cos2x=1时,f(x)min=1- 2? , 3 当cos2x=-1时,f(x)max=1+ 2? 3 2? 2? ∴函数y=f(x)的值域为[11+ ]. , 3 3 2? (2)不是.f(0)=1, 3 f( 2? )= 1 + ? , 4 3 3 2? ∴f(0)≠f( ), 3 ∴直线x= ? 不是y=f(x)的对称轴. 3

7.如图所示,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ 的扇形,A是扇 形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC

交于点C.

? ,求点A在何位置时,能使矩形ABOC的面积最 2 大,并求出这个最大面积; ? (2)当θ = ,求点A在何位置时,能使平行四边形ABOC的面 3 积最大,并求出这个最大面积.

(1)若θ =

【解析】(1)如图,连接OA,设∠AOP=α,矩形ABOC的面积
为S,则OB=cosα,AB=sinα.

∴S=OB·AB=sinαcosα=
∴当2α=

? ? 1 时,Smax= , ,即α= 2 4 2

1 sin2?, 2

∴所以当A点为弧PQ的中点时,矩形ABOC的面积最大,最大面
积为
1 . 2

(2)如图,连接OA,设∠AOP=α,过A作AH⊥OP,垂足为H, 在Rt△AOH中,AH=sinα,OH=cosα. 在Rt△ABH中, ∴BH=
AH ? = tan = 3, BH 3

3 sin?, 3 ∴OB=OH-BH=cosα-

3 sin?. 3

设平行四边形ABOC的面积为S,则 S=OB·AH=(cosα=sinαcosα=

3 2 sin ? 3

3 sin? )sinα 3

1 3 (1-cos2α) sin2? 2 6 3 1 3 = sin2? + cos2α6 2 6 ? 3 = )- 3 sin (2α+ 6 3 6 ? ∵0<α< , 3 ? ? 5? ∴ <2α+ < , 6 6 6

∴当2α+ Smax=

? ? ? = , 即α= 时, 6 6 2

3 , 6

∴所以当A点为弧PQ的中点时,平行四边形ABOC的面积最大, 最大面积为 3 . 6

? 1.(5分)函数f(x)=1+4cosx-4sin2x,x∈[- , 2? ],有 4 3 ( )

(A)最大值0,最小值-8
(B)最大值5,最小值-4 (C)最大值5,最小值-3 (D)最大值 2 2-1, 最小值-3

【解析】选B.经化简整理, f(x)=(2cosx+1)2-4,
? 2? 又x∈[ - , ], 4 3 1 ∴ - ≤cosx≤1 2 2 1 ∴当cosx= - 时,即x= ? 时,f(x)min=-4, 3 2

当cosx=1时,即x=0时,f(x)max=5.

2.(5分)(2010·长沙高一检测)方程sinx+

3cosx +a=0

在(0,π )内有两个相异的解α ,β ,则α +β =____ 【解题提示】本题通过等价转化就可以利用数形结合的方 法来解决.等价转化是数学中的重要方法之一.

? ),g(x)=-a,则 3 原方程在(0,π)内有两个相异的解等价于函数f(x)与g(x)

【解析】令f(x)=sinx+

3cosx =2sin(x+

在(0,π)内的图象有两不同的交点.f(x)与g(x)在(0,π) 内的图象如图:

由图象可知图象交点关于直线x=
? ? 从而α+β=2× = . 6 3 ? 答案: 3

? 对称, 6

3.(5分)已知f(x)= asin[(1-a)x]+cos[(1-a)x]的最大 值为2,则f(x)的最小正周期为_____. 【解析】∵f(x)=

a+1sin[(1-a)x+φ],

由已知得 a+1 =2,从而a=3, ∴f(x)=2sin(-2x+φ), ∴T= 2? =π. |-2| 答案:π

4.(15分)将一块圆心角为120°,半径为20 cm的扇形铁片
裁出一块矩形,如图所示,有两种裁法:让矩形的一边在扇形 的一半径OA上或让矩形一边与弦AB平行,请问哪种裁法能得到 最大面积的矩形?请求出这个最大值.

【解析】对图(1),矩形与弧AB交于点M.连接OM,

令∠AOM=θ,则MN=20sinθ,
ON=20cosθ, ∴S1=ON·MN=400sinθcosθ =200sin2θ, ∴当sin2θ=1,即θ=45°时,(S1)max=200(cm2);

对图(2),矩形与弧AB交于M、Q两点.连接OM,
令∠AOM=α,则MQ=40sin(60°-α), MN=

40 3 sin?, 3

800 3 [cos(2α-60°)-cos60°]. 3 当cos(2α-60°)=1,即α=30°时,
∴S2=MQ·MN= (S2)max=

400 3 (cm2). 3

400 3 cm2>200cm2, 3 ∴用图(2)这种裁法好,得到的最大矩形面积为 400 3 cm2 . 3


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