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极限计算方法总结(简洁版)


极限计算方法总结(简洁版)
一、极限定义、运算法则和一些结果
1.定义: (各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材,这里不一一叙述) 。 说明: (1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证 明,例如: lim 等等 (2)在后面求极限时, (1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定 义证明。 2.极限运算法则 定理 1 已知 lim f ( x) , lim g ( x) 都存在,极限值分别为 A,B,则下面极限都存在,且有 (1)

?0 , 当 | q |? 1时 b ? 0 (a, b为常数且 a ? 0) ; lim(3 x ? 1) ? 5 ; lim q n ? ? ; x ?2 n ?? an n ?? 当 | q |? 1时 ?不存在,

lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B
(2) lim f ( x) ? g ( x) ? A ? B (3) lim

f ( x) A ? , (此时需B ? 0成立) g ( x) B

说明:极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。 3.两个重要极限 (1)

lim

sin x ?1 x?0 x
1 x

(2)

lim(1 ? x) ? e
x ?0



lim (1 ? 1 ) x ? e x x ??

说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,
作者简介:靳一东,男, (1964—) ,副教授。

sin 3 x 3 ? 1 , lim(1 ? 2 x) ?2 x ? e , lim(1 ? ) 3 ? e ;等等。 例如: lim x x?? x ?0 x ?0 3x
4.等价无穷小 定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是 0) 。 定理 3 当 x ? 0 时,下列函数都是无穷小(即极限是 0) ,且相互等价,即有:

1

x

x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin

x ~ arctan x ~ ln(1 ? x) ~ e x ? 1



说明:当上面每个函数中的自变量 x 换成 g ( x) 时( g ( x) ? 0 ) ,仍有上面的等价

关系成立,例如:当 x ? 0 时,
定理 4 如果函数

e3 x ? 1



3x

1? x ; ln(

2

)



? x2 。

f ( x), g ( x), f1 ( x), g1 ( x) 都是 x ? x0 时的无穷小, 且 f ( x) ~ f 1 ( x ) ,g ( x) ~

1

g1 ( x) , 则 当 lim
x ? x0

f1 ( x) f1 ( x) f ( x) 存 在 时 , lim 也 存 在 且 等 于 f ( x) lim , 即 x ? x0 g ( x) x ? x0 g ( x ) g1 ( x ) 1

x ? x0

lim

f1 ( x) f ( x) = lim 。 g ( x) x? x0 g1 ( x)
定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值(或无穷大)时,函数 f ( x) 和 g ( x) 满足: (1) f ( x)

5.洛比达法则

和 g ( x) 的极限都是 0 或都是无穷大; (2) f ( x) 和 g ( x) 都可导,且 g ( x) 的导数不为 0; (3) lim

f ?( x) 存在(或是无穷大) ; g ?( x)

则极限 l i m

f ( x) f ?( x) f ( x) f ?( x) 也一定存在,且等于 l i m ,即 l i m = lim 。 g ( x) g ?( x) g ( x) g ?( x)
0 ? ”型或“ ”型;条件 0 ?

说明:定理 5 称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比 达法则就不能应用。特别要注意条件(1)是否满足,即验证所求极限是否为“

(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。另外,洛比达法则可以连续使用,但 每次使用之前都需要注意条件。 6.连续性 定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果 x0 是函数 f ( x) 的定义去间内的一点, 则有 lim
x ? x0

f ( x ) ? f ( x0 ) 。

7.极限存在准则 定理 7(准则 1) 单调有界数列必有极限。 定理 8(准则 2) 已知 {xn } , { yn } , {z n } 为三个数列,且满足: (1)

yn ? xn ? zn , (n ? 1, 2, 3,? )
(2)
n ??

lim y n ? a , lim z n ? a
n ?? n ??

则极限 lim x n 一定存在,且极限值也是 a ,即 lim x n
n ??

?a。

二、求极限方法举例
1. 用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限 例1

lim
x ?1

3x ? 1 ? 2 x ?1


( 3x ? 1) 2 ? 2 2 3x ? 3 3 ? lim ? 解:原式= lim x ?1 ( x ? 1)( 3 x ? 1 ? 2) x ?1 ( x ? 1)( 3 x ? 1 ? 2) 4
注:本题也可以用洛比达法则。

2

例2

lim n ( n ? 2 ? n ? 1)
n??

解:原式= lim
n??

n[(n ? 2) ? (n ? 1)] 分子分母同除以 ? n ? 2 ? n ?1

n

lim
n??

3 1? 2 1 ? 1? n n

?

3 。 2

例3

lim

(?1) n ? 3 n n ?? 2 n ? 3 n
上下同除以 3n

解:原式

?

1 (? ) n ? 1 lim 3 ?1 。 n ?? 2 n ( ) ?1 3

2. 利用函数的连续性(定理 6)求极限 例4

lim x e
x?2

2

1 x

解:因为 x0

? 2 是函数 f ( x) ? x e 的一个连续点,
2
2

1 x

所以 原式= 2

e ?4 e

1 2



3. 利用两个重要极限求极限 例5

lim

1 ? cos x x ?0 3x 2

x x 2 sin 2 2 ? lim 2 ?1 解:原式= lim x ?0 x ?0 x 2 6 。 3x 2 12 ? ( ) 2 2 sin 2
注:本题也可以用洛比达法则。 例6
2 x

lim(1 ? 3 sin x)
x ?0

1 ?3 sin x 解:原式= lim(1 ? 3 sin x) x ?0

?

?6 sin x x

1

? lim[(1 ? 3 sin x) ?3 sin x ]
x ?0

?6 sin x x

? e ?6 。

例7

lim(
n ??

n?2 n ) n ?1
n ?1 ?3n n ?1

? 3 ?3 ? ) 解:原式= lim(1 ? n?? n ?1
4. 利用定理 2 求极限

? 3 ?3 n?1 ? lim[(1 ? ) ] ? e ?3 。 n?? n ?1

n ?1

?3n

3

例8

lim x 2 sin
x ?0

1 x

解:原式=0 (定理 2 的结果) 。 5. 利用等价无穷小代换(定理 4)求极限 例9

lim
x ?0

x ln(1 ? 3x) arctan( x2 )
2

2 解:? x ? 0时, l n1 (? 3x) ~ 3 x , a r c t axn )(~ x ,

?

原式= lim
x ?0

x ? 3x ?3 。 x2

例 10 lim
x ?0

e x ? e sin x x ? sin x

解:原式= lim
x ?0

e sin x (e x?sin x ? 1) e sin x ( x ? sin x) ? lim ?1 x ?0 x ? sin x x ? sin x



注:下面的解法是错误的:

(e x ? 1) ? (e sin x ? 1) x ? sin x ? lim ?1 。 原式= lim x ?0 x ?0 x ? sin x x ? sin x
正如下面例题解法错误一样:

t a nx ? s i n x x?x lim ?lim 3 ?0 。 3 x ?0 x ?0 x x

例 11

1 tan(x 2 sin ) x lim x ?0 sin x
2

x sin 解:? 当 x ? 0 时,

1 1 1 是无穷小, ? tan( x 2 sin )与x 2 sin 等价 , x x x

x 2 sin
所以, 原式= lim
x?0

1 x ? lim x sin 1 ? 0 x?0 x x

。 (最后一步用到定理 2)

6. 利用洛比达法则求极限 说明:当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时, 洛比达法则还可以连续使用。 例 12

lim

1 ? cos x (例 4) x ?0 3x 2 sin x 1 ? 。 (最后一步用到了重要极限) x ?0 6 x 6

解:原式= lim

cos
例 13

?x

lim
x ?1

2 x ?1
4

?
解:原式= lim
x ?1

?
2

sin

2 ? ?? 。 1 2

?x

例 14

lim
x ?0

x ? sin x x3 1 ? cos x sin x 1 ? = lim 。 (连续用洛比达法则,最后用重要极限) 2 x ? 0 6x 6 3x

解:原式= lim
x ?0

例 15

lim

sin x ? x cos x x ?0 x 2 sin x

原式 ? lim
x ?0

解:

sin x ? x cos x cos x ? (cosx ? x sin x) ? lim 2 x ? 0 x ?x 3x 2 x sin x 1 ? lim ? x ?0 3 3x 2

例 18

1 1 lim [ ? ] x ?0 x ln(1 ? x)
1 1 ? ]?0 x x


解:错误解法:原式= lim [
x ?0

正确解法:

原式 ? lim

ln(1 ? x) ? x ln(1 ? x) ? x ? lim x ?0 x ln( 1 ? x) x?x x ?0 1 ?1 x 1 1 ? x ? lim ? lim ? 。 x ?0 x ?0 2 x (1 ? x ) 2x 2
x ? 2 sin x 3 x ? cos x 1 ? 2 cos x 0 ”型,但用洛比达法则后得到: lim ,此极限 x ? ? 3 ? sin x 0

应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。 例 19 lim
x ??

解:易见:该极限是“

不存在,而原来极限却是存在的。正确做法如下:

2 sin x 1 x 原式= lim (分子、分母同时除以 x)= (利用定理 1 和定理 2) x ?? cos x 3 3? x 1?
7. 利用极限存在准则求极限 例 20 已知 x1

xn ? 2 , xn?1 ? 2 ? xn , (n ? 1, 2,?) ,求 lim n??
n??

解: 易证: 数列 {xn } 单调递增, 且有界 (0< xn <2) , 由准则 1 极限 lim
5

x n 存在, 设 lim x n ? a 。
n??

对已知的递推公式

xn?1 ? 2 ? xn

两边求极限,得:

a ? 2 ? a ,解得: a ? 2 或 a ? ?1 (不合题意,舍去) 。所以 lim x n ? 2 。 n??
例 21 lim (
n??

1 n ?1
2

?

1 n ?2
2

??? 1

1 n ?n
2

) 1 n2 ? n n n2 ?1

解: 易见:

n n2 ? n

?

1 n2 ?1

?

n2 ? 2

???

?

因为

lim
n??

n n2 ? n

? 1 , lim
n??

n n2 ?1
? 1

?1
??? 1 n2 ? n ) ?1 。

所以由准则 2 得: lim (
n??

1 n2 ? 1

n2 ? 2

上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结,由此可以看出,求极限方法灵活多样,而且许多题 目不只用到一种方法,因此,要想熟练掌握各种方法,必须多做练习,在练习中体会。另外,求极限还有 其它一些方法,如用定积分求极限等,由于不常用,这里不作介绍。

6


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