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一元一次方程应用题归类汇集(实用)


一元一次方程应用题归类汇集
一、列方程解应用题的一般步骤(解题思路)
(1)审—审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系(找出等量关系) . (2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数. (3)列—列出方程:设出未知数后,表示出有关的含字母的式子,然后利用已找出的等量关系 列出方程. (4)解——解方程:解所列的方程,求出未知数的值. (5)答

—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际, 检验后写出答案. (注意带上单位)

二、各类题型解法分析
一元一次方程应用题归类汇集: 行程问题,工程问题,和差倍分问题(生产、做工等各类问题) , 等积变形问题,调配问题,分配问题,配套问题,增长率问题, 数字问题,方案设计与成本分析 ,古典数学,浓度问题等。
第一类、行程问题 基本的数量关系: (1)路程=速度×时间 ⑵ 速度=路程÷时间 ⑶ 时间=路程÷速度 要特别注意:路程、速度、时间的对应关系(即在某段路程上所对应的速度和时间各是多少) 常用的等量关系: 1、甲、乙二人相向相遇问题 ⑴甲走的路程+乙走的路程=总路程 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 2、甲、乙二人中,慢者所行路程或时间有提前量的同向追击问题 ⑴甲走的路程-乙走的路程=提前量 ⑵二人所用的时间相等或有提前量 3、单人往返 ⑴ 各段路程和=总路程 ⑵ 各段时间和=总时间 ⑶ 匀速行驶时速度不变 4、行船问题与飞机飞行问题 ⑴ 顺水速度=静水速度+水流速度 ⑵ 逆水速度=静水速度-水流速度 5、考虑车长的过桥或通过山洞隧道问题 将每辆车的车头或车尾看作一个人的行驶问题去分析,一切就一目了然。 6、时钟问题: ⑴ 将时钟的时针、分针、秒针的尖端看作一个点来研究 ⑵ 通常将时钟问题看作以整时整分为起点的同向追击问题来分析。 常用数据:① 时针的速度是 0.5°/分 ② 分针的速度是 6°/分 ③ 秒针的速度是 6°/秒 一、一般行程问题(相遇与追击问题) 1、从甲地到乙地,某人步行比乘公交车多用 3.6 小时,已知步行速度为每小时 8 千米,公交车的速度为每小 时 40 千米,设甲、乙两地相距 x 千米,则列方程为 。 解:等量关系 步行时间-乘公交车的时间=3.6 小时 列出方程是:

x x ? ? 3.6 8 40

2、甲、乙两人在相距 18 千米的两地同时出发,相向而行,1 小时 48 分相遇,如果甲比乙早出发 40 分钟, 那么在乙出发 1 小时 30 分相遇,当甲比乙每小时快 1 千米时,求甲、乙两人的速度。 解:等量关系 甲行的总路程+乙行的路程=总路程 (18 千米) 设乙的速度是 x 千米/时,则列出方程是: ?1

1? 1 ? 2 ? 1 ?( x ? 1) ? 1 x ? 18 2? 2 ? 3
1

3、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米,可比预定时间早到 15 分钟;若每小时行 9 千米, 可比预定时间晚到 15 分钟;求从家里到学校的路程有多少千米? 解:等量关系 ⑴ 速度 15 千米行的总路程=速度 9 千米行的总路程 ⑵ 速度 15 千米行的时间+15 分钟=速度 9 千米行的时间-15 分钟 老师提醒:速度已知时,设时间列路程等式的方程,设路程列时间等式的方程。 方法一:设预定时间为 x 小/时,则列出方程是:15(x-0.25)=9(x+0.25) 方法二:设从家里到学校有 x 千米,则列出方程是:

x 15 x 15 ? ? ? 15 60 9 60

4、在 800 米跑道上有两人练习中长跑,甲每分钟跑 320 米,乙每分钟跑 280 米,两人同时同地同向起跑, t 分钟后第一次相遇,t 等于 分钟。 老师提醒:此题为环形跑道上,同时同地同向的追击问题(且为第一次相遇) 等量关系:快者跑的路程-慢者跑的路程=800 (俗称多跑一圈) 320t-280t=800 t=20 5、一列客车车长 200 米,一列货车车长 280 米,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车车尾完全离开经 过 16 秒,已知客车与货车的速度之比是 3:2,问两车每秒各行驶多少米? 老师提醒:将两车车尾视为两人,并且以两车车长和为总路程的相遇问题。 等量关系:快车行的路程+慢车行的路程=两列火车的车长之和 设客车的速度为 3x 米/秒,货车的速度为 2x 米/秒,则 16×3x+16×2x=200+280 6、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时 3.6km,骑自行车的人 的速度是每小时 10.8km。如果一列火车从他们背后开来,它通过行人的时间是 22 秒,通过骑自行车的人的时 间是 26 秒。⑴ 行人的速度为每秒多少米? ⑵ 这列火车的车长是多少米? 老师提醒:将火车车尾视为一个快者,则此题为以车长为提前量的追击问题。 等量关系: ① 两种情形下火车的速度相等 ② 两种情形下火车的车长相等 在时间已知的情况下,设速度列路程等式的方程,设路程列速度等式的方程。 解:⑴ 行人的速度是:3.6km/时=3600 米÷3600 秒=1 米/秒 骑自行车的人的速度是:10.8km/时=10800 米÷3600 秒=3 米/秒 ⑵ 方法一:设火车的速度是 x 米/秒,则 26×(x-3)=22×(x-1) 解得 x=4 方法二:设火车的车长是 x 米,则

x ? 22 ? 1 x ? 26 ? 3 ? 22 26

7、休息日我和妈妈从家里出发一同去外婆家,我们走了 1 小时后,爸爸发现带给外婆的礼品忘在家里,便立刻带 上礼品以每小时 6 千米的速度去追我们,如果我和妈妈每小时行 2 千米,从家里到外婆家需要 1 小时 45 分钟, 问爸爸能在我和妈妈到外婆家之前追上我们吗? (提示:此题为典型的追击问题) 解:设爸爸用 x 小时追上我们,则 6x=2x+2×1 解得 x=0.5 0.5 小时<1 小时 45 分钟 答:能追上。 8、一次远足活动中,一部分人步行,另一部分乘一辆汽车,两部分人同地出发。汽车速度是 60 千米/时,步行的 速度是 5 千米/时,步行者比汽车提前 1 小时出发,这辆汽车到达目的地后,再回头接步行的这部分人。出发 地到目的地的距离是 60 千米。问:步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇(汽车掉头的时间 忽略不计) 老师提醒:此类题相当于环形跑道问题,两者行的总路程为一圈 即 步行者行的总路程+汽车行的总路程=60×2 解:设步行者在出发后经过 x 小时与回头接他们的汽车相遇,则 5x+60(x-1)=60×2 9、一列火车长 150 米,以每秒 15 米的速度通过 600 米的隧道,从火车进入隧道口算起,到这列火车完全通过隧道 所需时间是【 】 (A)60 秒 (B)50 秒 (C)40 秒 (D)30 秒 老师提醒:将车尾看作一个行者,当车尾通过 600 米的隧道再加上 150 米的车长时 所用的时间,就是所求的完全通过的时间,哈哈!你明白吗? 解:时间=(600+150)÷15=50(秒) 选 B。
2

10、某人计划骑车以每小时 12 千米的速度由 A 地到 B 地,这样便可在规定的时间到达 B 地,但他因事将原计划的 时间推迟了 20 分,便只好以每小时 15 千米的速度前进,结果比规定时间早 4 分钟到达 B 地,求 A、B 两地间 的距离。 解:方法一:设由 A 地到 B 地规定的时间是 x 小时,则 12x= 15 ? ? x ?

? ?

20 4 ? ? ? 60 60 ?

x=2

12 x=12×2=24(千米) (设路程,列时间等式)

方法二:设由 A、B 两地的距离是 x 千米,则

x x 20 4 ? ? ? 12 15 60 60

x=24

答:A、B 两地的距离是 24 千米。

温馨提醒:当速度已知,设时间,列路程等式;设路程,列时间等式是我们的解题策略。 11、甲、乙两人相距 5 千米,分别以 2 千米/时的速度相向而行,同时一只小狗以 12 千米/时的速度从甲处奔向乙, 遇到乙后立即掉头奔向甲,遇到甲后又奔向乙……直到甲、乙相遇,求小狗所走的路程。 注:此为二题合一的题目,即独立的二人相遇问题和狗儿的独自奔跑。只是他们的开始与结束时间是一样的, 以此为联系,使本题顿生情趣,为诸多中小学资料所采纳。 解:设甲、乙两人相遇用 x 时,则 2x+2x=5

x?

5 4

12 x ? 12 ?

5 ? 15 (千米) 4

答:小狗所走的路程是 15 千米。 12、一列火车匀速行驶,经过一条长 300m 的隧道需要 20s 的时间。隧道的顶上有一盏灯,垂直向下发光,灯光照 在火车上的时间是 10s,根据以上数据,你能否求出火车的长度?火车的长度是多少?若不能,请说明理由。 老师解析:只要将车尾看作一个行人去分析即可, 前者为此人通过 300 米的隧道再加上一个车长,后者仅为此人通过一个车长。 此题中告诉时间,只需设车长列速度关系,或者是设车速列车长关系等式。 解:方法一:设这列火车的长度是 x 米,根据题意,得

300 ? x x ? 20 10

x=300

答:这列火车长 300 米。

方法二:设这列火车的速度是 x 米/秒, 根据题意,得 20x-300=10x x=30 10x=300 答:这列火车长 300 米。 13、甲、乙两地相距 x 千米,一列火车原来从甲地到乙地要用 15 小时,开通高速铁路后,车速平均每小时比原来 加快了 60 千米, 因此从甲地到乙地只需要 10 小时即可到达, 列方程得 。 答案:

x x ? ? 60 10 15

14、列车在中途受阻,耽误了 6 分钟,然后将时速由原来的每小时 40 千米提高到每小时 50 千米,问这样走多少千 米,就可以将耽误的时间补上? 解:设走 x 千米就补上耽误的时间,则

x x 6 ? ? 40 50 60

x=20

答:走 20 千米就补上耽误的时间。 15、两列火车分别行驶在平行的轨道上,其中快车车长为 100 米,慢车车长 150 米,已知当两车相向而行时, 快车驶过慢车某个窗口所用的时间为 5 秒。 ⑴ 两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少? ⑵ 如果两车同向而行,慢车速度为 8 米/秒,快车从后面追赶慢车,那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到 快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒? 老师解析:① 快车驶过慢车某个窗口时:研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的 相遇问题,此时行驶的路程和为快车车长! ② 慢车驶过快车某个窗口时:研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的 相遇问题,此时行驶的路程和为慢车车长! ③ 快车从后面追赶慢车时:研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的 追击问题,此时行驶的路程和为两车车长之和! 解:⑴ 两车的速度之和=100÷5=20(米/秒)
3

慢车经过快车某一窗口所用的时间=150÷20=7.5(秒) ⑵ 设至少是 x 秒, (快车车速为 20-8)则 (20-8)x-8x=100+150 x=62.5 答:至少 62.5 秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。 16、甲、乙两人同时从 A 地前往相距 25.5 千米的 B 地,甲骑自行车,乙步行,甲的速度比乙的速度的 2 倍还 快 2 千米/时,甲先到达 B 地后,立即由 B 地返回,在途中遇到乙,这时距他们出发时已过了 3 小时。 求两人的速度。 解:设乙的速度是 x 千米/时,则 3x+3 (2x+2)=25.5×2 ∴ x=5 2x+2=12 答:甲、乙的速度分别是 12 千米/时、5 千米/时。 17、一辆汽车上午 10:00 从安阳出发匀速行驶,途经曲沟、水冶、铜冶三地,时间如下表,
地名 时间 安阳 10:00 曲沟 10:15 铜冶 11:00

水冶在曲沟和铜冶两地之间,距曲沟 10 千米,距铜冶 20 千米,安阳到水冶的 路程有多少千米? 解:设安阳到水冶有 x 千米,则

x ? 10 x ? 20 或 ? 0.25 1

x ? 10 10 ? 20 ? 0.25 0.75

解,得 x=20 答:安阳到水冶的路程有 20 千米。 18、甲骑自行车从 A 地到 B 地,乙骑自行车从 B 到 A 地,两人都匀速前进,已知两人在上午 8 时同时出发, 到上午 10 时,两人还相距 36 千米,到中午 12 时,两人又相距 36 千米,求 A、B 两地间的路程。 解:设 A、B 两地间的路程是 x 千米,则 方法一:

x ? 36 x ? 36 ? 2 4
解,得

方法二:x+36=36×2×2

x=108

答:A、B 两地间的路程是 108 千米。

二、环行跑道与时钟问题:
1、在 6 点和 7 点之间,什么时刻时钟的分针和时针重合? 老师解析:6:00 时分针指向 12,时针指向 6,此时二针相差 180°, 在 6:00~7:00 之间,经过 x 分钟当二针重合时,时针走了 0.5x°分针走了 6x° 以下按追击问题可列出方程,不难求解。 解:设经过 x 分钟二针重合,则 6x=180+0.5x 解得 x ?

360 8 ? 32 11 11

2、甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步,甲分钟跑 240 米,乙每分钟跑 200 米,二人同时同地同向出发,几 分钟后二人相遇?若背向跑,几分钟后相遇? 老师提醒:此题为环形跑道上,同时同地同向的追击与相遇问题。 解:① 设同时同地同向出发 x 分钟后二人相遇,则 240x-200x=400 x=10 ② 设背向跑,x 分钟后相遇,则 240x+200x=400

x=

1 11

3、在 3 时和 4 时之间的哪个时刻,时钟的时针与分针:⑴重合;⑵ 成平角;⑶成直角; 解:⑴ 设分针指向 3 时 x 分时两针重合。 x ? 5 ? 3 ? 答:在 3 时 16

1 x 12

x?

180 4 ? 16 11 11

4 分时两针重合。 11

⑵ 设分针指向 3 时 x 分时两针成平角。 x ? 5 ? 3 ? 答:在 3 时 49

1 x ? 60 ? 2 12

x ? 49

1 11

1 分时两针成平角。 11
4

⑶设分针指向 3 时 x 分时两针成直角。 x ? 5 ? 3 ? 答:在 3 时 32

1 x ? 60 ? 4 12

x ? 32

8 11

8 分时两针成直角。 11

4、某钟表每小时比标准时间慢 3 分钟。若在清晨 6 时 30 分与准确时间对准,则当天中午该钟表指示时间 为 12 时 50 分时,准确时间是多少? 解:方法一:设准确时间经过 x 分钟,则 x∶380=60∶(60-3) 解得 x=400 分=6 时 40 分 6:30+6:40=13:10 方法二:设准确时间经过 x 时,则

3 ? 1? 5 ? x ? 6 ? ? x ? 12 60 ? 2? 6

三、行船与飞机飞行问题:
1、 一艘船在两个码头之间航行,水流的速度是 3 千米/时,顺水航行需要 2 小时,逆水航行需要 3 小时, 求两码头之间的距离。 解:设船在静水中的速度是 x 千米/时,则 3×(x-3)=2×(x+3) 解得 x=15 2×(x+3)=2×(15+3) =36(千米)答:两码头之间的距离是 36 千米。 2、一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时 24 千米,顺风飞行需要 2 小时 50 分钟,逆风飞行需要 3 小时, 求两城市间的距离。 解:设无风时的速度是 x 千米/时,则 3×(x-24)= 2

5 ×(x+24) 6

3、小明在静水中划船的速度为 10 千米/时,今往返于某条河,逆水用了 9 小时,顺水用了 6 小时, 求该河的水流速度。 解:设水流速度为 x 千米/时,则 9(10-x)=6(10+x) 解得 x=2 答:水流速度为 2 千米/时. 4、某船从 A 码头顺流航行到 B 码头,然后逆流返行到 C 码头,共行 20 小时,已知船在静水中的速度 为 7.5 千米/时,水流的速度为 2.5 千米/时,若 A 与 C 的距离比 A 与 B 的距离短 40 千米,求 A 与 B 的距离。 解:设 A 与 B 的距离是 x 千米,(请你按下面的分类画出示意图,来理解所列方程)

x 40 ? ? 20 解得 x=120 7.5 ? 2.5 7.5 ? 2.5 x x ? x ? 40 ② 当 C 在 BA 的延长线上时, 解得 x=56 ? ? 20 7.5 ? 2.5 7.5 ? 2.5
① 当 C 在 A、B 之间时, 答:A 与 B 的距离是 120 千米或 56 千米。

第二类:工程问题
工程问题的基本关系: 工作量=工作效率×工作时间 ;工作效率=工作量÷工作时间 ;工作时间=工作量÷工作效率 注意:一般情况下把总工作量设为 1,完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1 1、做某件工作,甲单独做要 8 小时才能完成,乙单独做要 12 小时才能完成, 问:① 甲做 1 小时完成全部工作量的几分之几?

1 8
1 12
1 1 ? 8 12

② 乙做 1 小时完成全部工作量的几分之几? ③ 甲、乙合做 1 小时完成全部工作量的几分之几? ④ 甲做 x 小时完成全部工作量的几分之几?

1 x 8
5

⑤ 甲、乙合做 x 小时完成全部工作量的几分之几? ⑥ 甲先做 2 小时完成全部工作量的几分之几? 乙后做 3 小时完成全部工作量的几分之几? 1 ? 3
12

1 1 ( ? )x 8 12

1 ?2 8

甲、乙再合做 x 小时完成全部工作量的几分之几? ( 1 ? 1 ) x 8 12 三次共完成全部工作量的几分之几? 结果完成了工作,则可列出方程: 1 ? 2 ? 1 ? 3 ? ( 1 ? 1 ) x ? 1 8 12 8 12 2、一项工程,甲单独做要 10 天完成,乙单独做要 15 天完成,两人合做 4 天后,剩下的部分由乙单独做, 还需要几天完成? 解:设还需要 x 天完成,依题意,得 (

1 1 1 ? )? 4 ? x ?1 10 15 15

解得 x=5

答:还需要 5 天完成

3、食堂存煤若干吨,原来每天烧煤 4 吨,用去 15 吨后,改进设备,耗煤量改为原来的一半,结果多烧了 10 天, 求原存煤量. 解:设原存煤量为 x 吨,依题意,得 x ? 15 ? x ? 15 ? 10 2 4 解得 x=55 答:原存煤量为 55 吨

4、一水池,单开进水管 3 小时可将水池注满,单开出水管 4 小时可将满池水放完。现对空水池先打开进水管 2 小 时,然后打开出水管,使进水管、出水管一起开放,问再过几小时可将水池注满? 解:设再过 x 小时可将水池注满,依题意,得 1 ? 2 ? ( 1 ? 1 ) x ? 1 3 3 4 解得 x=4 答:再过 4 小时可将水池注满。

5、甲、乙两个工程队合做一项工程,乙队单独做一天后,由甲、乙两队合做两天后就完成了全部工程.已知甲队单

2 ,问甲、乙两队单独做,各需多少天? 3 2 答:常规解法:设乙队单独做要 x 天完成,那么甲队单独做要 X 天完成。由题意得 3
独做所需天数是乙队单独做所需天数的

巧解:设乙队每天完成的工作量为 x,那么甲队每天完成的工作量为

,由题意得:

6、一项工程 300 人共做, 需要 40 天,如果要求提前 10 天完成,问需要增多少人? 解:由已知每人每天完成 则列出方程为

1 ,设需要增 x 人, 40 ? 300 1 ? x ? 300 ? ? 30 ? 1 解得 x=100 40 ? 300

答:需要增 100 人 7、某工作,甲单独干需用 15 小时完成,乙单独干需用 12 小时完成,若甲先干 1 小时、乙又单独干 4 小时,剩下的 工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务? 答:4

解:设甲、乙两个龙头齐开 x 小时。由已知得,甲每小时灌池子的
6

1 1 ,乙每小时灌池子的 。 2 3

列方程:

1 1 1 2 1 5 2 ×0.5+( + )x= , + x= , 2 2 3 3 4 6 3 1 x= =0.5 x+0.5=1(小时) 2

5 5 x= 6 12

答:一共需要1小时。 8、一水池有一个进水管,4 小时可以注满空池,池底有一个出水管,6 小时可以放完满池的水.如果两水管同时打开, 那么经过几小时可把空水池灌满? 解:令水箱为 1,进水管每小时注水

1 1 , 出水管每小时放水 , 4 6

设两水管同时打开 , 经过 x 小时可把空水池灌满 则由题意列出方程为(

1 1 - )x=1 , 解得 x=12 4 6

9、某工厂计划 26 小时生产一批零件,后因每小时多生产 5 件,用 24 小时,不但完成了任务,而 且还比原计划多生产了 60 件,问原计划生产多少零件?

(

X ? 5) ? 24 ? 60 ? X , X=780 26
1 - 6(

10、某工程,甲单独完成续 20 天,乙单独完成续 12 天,甲乙合干 6 天后,再由乙继续完成,乙 再做几天可以完成全部工程?

1 1 1 ? )= X 20 12 12

X=2.4

11、已知甲、乙二人合作一项工程,甲 25 天独立完成,乙 20 天独立完成,甲、乙二人合 5 天后, 甲另有事,乙再单独做几天才能完成? 1 -(

1 1 1 ? ) ?5 ? X , X=11 25 20 20 1 1 ab ? )? a b a?b

12、① 完成一项工程甲需要 a 天,乙需要 b 天,则二人合做需要的天数为 1/( (

② 某工人原计划每天生产 a 个零件,现实际每天多生产 b 个零件,则生产 m 个零件提前的天 数为(

m m bm )。 ? ? a a ? b a ( a ? b)

13、一个水池安有甲乙丙三个水管,甲单独开 12h 注满水池,乙单独开 8h 注满,丙单独开 24h 可排掉满池的水, 如果三管同开,多少小时后刚好把水池注满水?

1 1 1 ( ? - )X ? 1 12 8 24

X=6

14、甲、乙两个水池共蓄水 50t,甲池用去 5t,乙池又注入 8t 后,甲池的水比乙池的水少 3t, 问原来甲、乙两个水池各有多少吨水? X-5+3=50-X+8 X=27 50-27=23

15、将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需 6 小时,乙独做需 4 小时,甲先做 30 分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作? 1-

1 1 1 1 11 , 2 小时 12 分 ? ? ( ? ) X , X= 6 2 6 4 5

7

二、市场经济问题 1.某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅.经过测试:同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅,可供 1680 名学生就餐; 同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅,可供 2280 名学生就餐. (1)求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐; (2)若 7 个餐厅同时开放,能否供全校的 5300 名学生就餐?请说明理由. 解: (1) 设 1 个小餐厅可供 y 名学生就餐, 则 1 个大餐厅可供 (1680-2y) 名学生就餐, 根据题意, 得2 (1680-2y) +y=2280 解得:y=360(名)所以 1680-2y=960(名) (2)因为 960 ? 5 ? 360 ? 2 ? 5520 ? 5300 , 所以如果同时开放 7 个餐厅,能够供全校的 5300 名学生就餐. 2.工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利 45 元;按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元 销售该工艺品 12 件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?解:设该工艺品每件的进价是 x 元, 标价是(45+x)元.依题意,得: 8(45+x)×0.85-8x=(45+x-35)×12-12x 解得:x=155(元)所以 45+x=200(元) 3.(2006·益阳市)八年级三班在召开期末总结表彰会前,班主任安排班长李小波去商店买奖品,下面是李小波 与售货员的对话: 李小波:阿姨,您好! 售货员:同学,你好,想买点什么? 李小波:我只有 100 元,请帮我安排买 10 支钢笔和 15 本笔记本. 售货员:好,每支钢笔比每本笔记本贵 2 元,退你 5 元,请清点好,再见. 根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗? 解:设笔记本每本 x 元,则钢笔每支为(x+2)元,据题意得 10(x+2)+15x=100-5 解得,x=3(元)所以 x+2=5(元)答: (略).

4.某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元,若每月用电量超过 a 千瓦 则超过部分按基本电价的 70%收费. (1)某户八月份用电 84 千瓦时,共交电费 30.72 元,求 a. (2)若该用户九月份的平均电费为 0.36 元,则九月份共用电多少千瓦??应交电费是多少元?解: (1)由题 意,得 0.4a+(84-a)×0.40×70%=30.72 解得 a=60

(2)设九月份共用电 x 千瓦时, 0.40×60+(x-60)×0.40×70%=0.36x 解得 x=90 所以 0.36×90=32.40(元)答: 90 千瓦时,交 32.40 元.

5.某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机.已知该厂家生产 3?种不同型号的电视机,出厂价分别 为 A 种每台 1500 元,B 种每台 2100 元,C 种每台 2500 元. (1)若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共 50 台,用去 9 万元,请你研究一下商场的进货方案. (2)若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元,销售一台 B 种电视机可获利 200 元,?销售一台 C 种电视机可 获利 250 元,在同时购进两种不同型号的电视机方案中,为了使销售时获利最多,你选择哪种方案? 解:按购 A,B 两种,B,C 两种,A,C 两种电视机这三种方案分别计算, 设购 A 种电视机 x 台,则 B 种电视机 y 台. (1)①当选购 A,B 两种电视机时,B 种电视机购(50-x)台,可得方程
8

1500x+2100(50-x)=90000

x=25

50-x=25

②当选购 A,C 两种电视机时,C 种电视机购(50-x)台,可得方程 1500x+2500(50-x)=90000 x=35 50-x=15

③当购 B,C 两种电视机时,C 种电视机为(50-y)台.可得方程 2100y+2500(50-y)=90000 4y=350,不合题意

可选两种方案:一是购 A,B 两种电视机 25 台;二是购 A 种电视机 35 台,C 种电视机 15 台. (2)若选择(1)①,可获利 150×25+250×15=8750(元) 若选择(1)②,可获利 150×35+250×15=9000(元) 故为了获利最多,选择第二种方案. 6.某商店开张为吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种旅游鞋每双进价为 60 元,八折出售后,商家 所获利润率为 40%。问这种鞋的标价是多少元?优惠价是多少? 利润率=

利润 成本

40%=

80% X ? 60 60

X=105 105*80%=84 元

7. 某产品按原价提高 40% 后打八折销售,每件商品赚 270 元,问该商品原标价多少元?现销售价是多少? X(1+40%)80% - X=270 X=2250

2250(1+40%)80%=2520 元 8.甲乙两件衣服的成本共 500 元,商店老板为获取利润,决定将家服装按 50%的利润定价,乙服装按 40%的利润 定价,在实际销售时,应顾客要求,两件服装均按 9 折出售,这样商店共获利 157 元,求甲乙两件服装成本 各是多少元? 甲 X 乙 50– X 109X(1+50%) – X+(500-X)(1+40%)90% - (500 - X)=157 X=300 某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐,共售出 1000 张门票,已知成人票每张 8 元,学生票每张 5 元, 共得票款 6950 元,成人票和学生票各几张?

8X+5(1000-X)=6950 X=650 1000-650=350
利润问题 利润问题的基本关系:①获利=售价-进价②打几折就是原价的十分之几 1 某商场按定价销售某种电器时,每台获利 48 元,按定价的 9 折销售该电器 6 台与将定价降低 30 元销售该电器 9 台所获得的利润相等,该电器每台进价、定价各是多少元?

(48+X)90%*6 – 6X=(48+X-30)*9 – 9X

X=162 162+48=210

2、甲、乙两种商品的单价之和为 100 元,因为季节变化,甲商品降价 10%,乙商品提价 5%,调价后,甲、乙两商 品的单价之和比原计划之和提高 2%,求甲、乙两种商品的原来单价?

[x(1-10%)+(100-x)(1+5%)]=100(1+2%)
四、分配问题

x=20

1 某车间有 16 名工人,每人每天可加工甲种零件 5 个或乙种零件 4 个.在这 16 名工人中,一部分人加工甲种 零件,其余的加工乙种零件.?已知每加工一个甲种零件可获利 16 元,每加工一个乙种零件可获利 24 元.若 此车间一共获利 1440 元,?求这一天有几个工人加工甲种零件.解:设这一天有 x 名工人加工甲种零件, 则这天加工甲种零件有 5x 个,乙种零件有 4(16-x)个.
9

根据题意,得 16×5x+24×4(16-x)=1440

解得 x=6

2 有两个工程队,甲工程队有 32 人,乙工程队有 28 人,如果是甲工程队的人数是工程队人数的 2 倍,需从乙 工程队抽调多少人到甲工程队?

32+X=(28-X)*2

X=8

3 某班同学利用假期参加夏令营活动,分成几个小组,若每组 7 人还余 1 人,若每组 8 人还缺 6 人,问该班分 成几个小组,共有多少名同学?

7X+1=8X-6

X=7

4. 将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米,300 毫米和 80?毫米的长方体铁盒中的水,倒入一个内径 为 200 毫米的圆柱形水桶中,正好倒满,求圆柱形水桶的高(精确到 0.1 毫米, ? ≈3.14) . 解:设圆柱形水桶的高为 x 毫米,得 ? · (

200 2 ) x=300×300×80 x≈229.3 2

5 有某种三色冰淇淋 50 克,咖啡色、红色和白色配料的比是 2:3:5,?这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白 色配料分别是多少克? 解:设这种三色冰淇淋中咖啡色配料为 2x 克, 那么红色和白色配料分别为 3x 克和 5x 克. 根据题意,得 2x+3x+5x=50 得 x=5 于是 2x=10,3x=15,5x=25

五、数字问题 数字问题的基本关系:数字和数是不同的,同一个数字在不同数位上,表示的数值不同. 1 一个两位数,个位数字比十位数字小 1,这个两位数的个位十位互换后,它们的和是 33,求这个两位数.

10(X+1)+X+10X+X+1+33 X+2+X+X-2=2004

x=1 x=668

为 21 666 668 670

2 已知三个连续偶数的和是 2004,求这三个偶数各是多少?

年龄问题 (1) 某同学今年 15 岁, 他爸爸今年 39 岁, 问几年以后, 爸爸的年龄是这位同学年龄的 2 倍?

(15+x)*2=39+x

x=9
( 2 ) 三 位 同 学 甲 乙 丙 , 甲 比 乙 大 1 岁 , 乙 比 丙 大 2 岁 , 三 人 的 年 龄 之 和 为 41 , 求 乙 同 学 的 年 龄 .

x+1+x+x-2=41 x=14
(3)今年哥俩的岁数加起来是 55 岁。曾经有一年,哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同,那时哥哥的岁数恰好是弟 弟岁数的两倍.哥哥今年几岁?

曾经:哥哥

弟弟

曾经:哥哥
10

弟弟

X 今年:X+ X+
X 2

X 2

X

X 2

X X=22

今年:55-X X 55-x-x= XX 2

X +X =55 2

X=22

(4).兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍? 解:设 x 年后,兄的年龄是弟的年龄的 2 倍, 则 x 年后兄的年龄是 15+x,弟的年龄是 9+x. 由题意,得 2×(9+x)=15+x 18+2x=15+x,2x-x=15-18∴x=-3 答:3 年前兄的年龄是弟的年龄的 2 倍. (点拨:-3 年的意义,并不是没有意义,而是指以今年为起点前的 3 年,是与 3?年后具有相反意义的量)

(一)和、差、倍、分问题——读题分析法
这类问题主要应搞清各量之间的关系,注意关键词语。仔细读题,找出表示相等关系的关键字, 例如: “大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套??” ,利用这些关键字列出 文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程. 1、倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率?”来体现。 2、多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现。 增长量=原有量× 增长率 现在量=原有量+增长量

例 1.某单位今年为灾区捐款 2 万 5 千元,比去年的 2 倍还多 1000 元,去年该单位为灾区捐款多少元?

例 2. 旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 25%, 第二次旅程中用去剩余汽油的 40%, 这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少 1 公斤,求油箱里原有汽油多少公斤?

(二)等积变形问题
等积变形是以形状改变而体积不变为前提。 常用等量关系为:原料体积=成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变, 但体积不变. ①圆柱体的体积公式 ②长方体的体积
2 V=底面积× 高=S· h= ? r h

V=长× 宽× 高=abc

例 3.现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯 30 米,可足够锻造直径为 0.4 米,长为 3 米的圆柱形机轴多少
11

根?

(三)数字问题
1.要搞清楚数的表示方法:一个三位数,一般可设百位数字为 a,十位数字是 b,个位数字为 c(其 中 a、b、c 均为整数,且 1≤a≤9, 0≤b≤9, 0≤c≤9) ,则这个三位数表示为:100a+10b+c. 2.数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大 1;偶数用 2n 表示,连续的 偶数用 2n+2 或 2n-2 表示;奇数用 2n+1 或 2n—1 表示。

例 4.有一个三位数,个位数字为百位数字的 2 倍,十位数字比百位数字大 1,若将此数个位与百位 顺序对调(个位变百位)所得的新数比原数的 2 倍少 49,求原数。

例 5.一个 2 位数,个位上的数字比十位上的数字大 5,且个位上的数字与十位上的数字的和比这个 2 位数的 大 6,求这个 2 位数。

(四)商品利润问题(市场经济问题或利润赢亏问题)
(1)销售问题中常出现的量有:进价(或成本)、售价、标价(或定价) 、利润等。 (2)利润问题常用等量关系: 商品利润=商品售价-商品进价=商品标价×折扣率-商品进价
商品售价-商品进价 商品利润 商品进价 商品利润率= 商品进价 × 100%= × 100%

(3)商品销售额=商品销售价× 商品销售量 商品的销售利润=(销售价-成本价)× 销售量 (4)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打 8 折出售,即按原标价的 80%出 售.即商品售价=商品标价×折扣率.

例 5: 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价,又以 8 折优惠卖出,结果每件仍获利 15 元,这 种服装每件的进价是多少?

12

(五)行程问题——画图分析法
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图 形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得布列方程的依据,最后利 用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量) ,填入有关的代数式是获得方程的基础. 1.行程问题中的三个基本量及其关系: 路程=速度× 时间 2.行程问题基本类型 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距 (3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 水流速度=(顺水速度-逆水速度)÷2 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.即顺水逆水问题常用 等量关系:顺水路程=逆水路程. 常见的还有:相背而行;行船问题;环形跑道问题。 时间=路程÷ 速度 速度=路程÷ 时间

例 6:甲、乙两站相距 480 公里,一列慢车从甲站开出,每小时行 90 公里,一列快车从乙站开出, 每小时行 140 公里。 (1)慢车先开出 1 小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇? (2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距 600 公里? (3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距 600 公里? (4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车? (5)慢车开出 1 小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车? (此题关 键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。)

例 7: 一艘船在两个码头之间航行,水流速度是 3 千米每小时,顺水航行需要 2 小时,逆水航行需 要 3 小时,求两码头的之间的距离?

13

(六)工程问题
1.工程问题中的三个量及其关系为:
工作效率 ? 工作总量 工作时间 工作时间 ? 工作总量 工作效率

工作总量=工作效率× 工作时间

2.经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位 1。即完成某项任务的各工作量的和=总工 作量=1. 工程问题常用等量关系:先做的+后做的=完成量.

例 9:一件工程,甲独做需 15 天完成,乙独做需 12 天完成,现先由甲、乙合作 3 天后,甲有其他任 务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?

例 10:一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管 6 小时可注满水池;单独开乙 管 8 小时可注满水池,单独开丙管 9 小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放 2 小时,然后打开 丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?

(七)储蓄问题
1.顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的 时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率. 2.储蓄问题中的量及其关系为: 利息=本金× 利率× 期数
利率 ? 利息 本金 × 100%

本息和=本金+利息

利息税=利息×税率(20%)

例 11:某同学把 250 元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元,求银行 半年期的年利率是多少?(不计利息税)

(八)配套问题:
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这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。

例 12:某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母,每人每小时平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个,应如何 分配生产螺栓和螺母的工人,才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)?

例 13:机械厂加工车间有 85 名工人,平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个,已知 2 个大齿 轮与 3 个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好 配套?

(九)劳力调配问题
这类问题要搞清人数的变化,常见题型有: (1)既有调入又有调出; (2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变; (3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。

例 14.某厂一车间有 64 人,二车间有 56 人。现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的 一半。问需从第一车间调多少人到第二车间?

例 15.甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调 100 人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间 剩余人数的 6 倍;如果从甲车间调 100 人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来甲乙车间的人数。

例 16:有两个工程队,甲队有 285 人,乙队有 183 人,若要求乙队人数是甲队人数的 ,应从乙队调 多少人到甲队?

(十)比例分配问题
比例分配问题的一般思路为:设其中一份为 x ,利用已知的比,写出相应的代数式。 常用等量关系:各部分之和=总量。

例 14:甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为 4:3;乙、丙之比为 6:5,又知甲与 丙的和比乙的 2 倍多 12 件,求每个人每天生产多少件?

15

例 15:学校分配学生住宿,如果每室住 8 人,还少 12 个床位,如果每室住 9 人,则空出两个房间。 求房间的个数和学生的人数。

(十一)年龄问题

例 17:兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁,多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍?

例 18:三位同学甲乙丙,甲比乙大 1 岁,乙比丙大 2 岁,三人的年龄之和事 41,求乙同学的年龄。

(十二)比赛积分问题
例 19:某企业对应聘人员进行英语考试,试题由 50 道选择题组成,评分标准规定:每道题的答案选 对得 3 分, 不选得 0 分, 选错倒扣 1 分。 已知某人有 5 道题未作, 得了 103 分, 则这个人选错了 题。 道

(十二)方案选择问题
例 20.某蔬菜公司的一种绿色蔬菜,若在市场上直接销售,每吨利润为 1000 元,?经粗加工后销售, 每吨利润可达 4500 元,经精加工后销售,每吨利润涨至 7500 元,当地一家公司收购这种蔬菜 140 吨, 该公司的加工生产能力是: 如果对蔬菜进行精加工,每天可加工 16 吨,如果进行精加工,每天可加工 6 吨,?但两种加工方式不能同时进行,受季度等条件限制,公司必须在 15 天将这批蔬菜全部销售或加工 完毕,为此公司研制了三种可行方案: 方案一:将蔬菜全部进行粗加工. 方案二:尽可能多地对蔬菜进行粗加工,没来得及进行加工的蔬菜,?在市场上直接销售. 方案三:将部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好 15 天完成. 你认为哪种方案获利最多?为什么?

(十四)古典数学
例 21.100 个和尚 100 个馍,大和尚每人吃两个,小和尚两人吃一个,问有多少大和尚,多少小和 尚。

例 22.有若干只鸡和兔子,它们共有 88 个头,244 只脚,鸡和兔各有多少只?

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