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2016届高考数学(文科,大纲版)一轮复习配套课件:7.5 圆及直线与圆的位置关系


§7.5

圆及直线与圆的位置关系

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.圆的定义及方程
定义 标准方程

定点 的距离等于______ 定长 的 平面内与______ 限定条件 点的集合(轨迹 ) (a,b) ,半 (x-a)2+ (y-b)2 圆心:________ r>0 = r2 径: r
x2+ y2+ Dx+ Ey + F= 0
? ?x=a+ rcos θ ? ? ?y= b+ rsin θ
D E (- ,- ) 2 2 圆心:__________ ,

一般方程

半径: 1 D2+E2-4F __________________ 2

D2+ E2- 4F>0

参数方程

(______ a,b) , 圆心: r 半径:_____

2.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r) 相离 相切 相交

图形

量 化

方程 观点 几何 观点

< Δ____0 > d_____r

= Δ____0 = d____r

> Δ____0
< d___r

3.圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2,d=|O1O2|) 相离 外切 相交 内切 内含

图形

量的 r1+r2 d=_____ r1 + r2 d>_______ 关系

|r1-r2|< d<r1+r2

d= |r1-r2| d <_____ |r1-r2| ________

思考探究
1.确定一个圆的方程需要几个独立条件? 提示:针对圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2,只要确定a,b,r就

可.对圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,需要确定D、E、
F三个系数就可.故确定一个圆的方程,需要三个独立条件. 2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的条

件是什么?
A=C≠0 ? ? 提示:?B=0 . 2 2 ? ?D +E -4F>0

课前热身
1. (教材改编 )设圆的方程 x2+ y2= 4, 过圆上点 M(- 2, - 2) 的切线方程为( A. y= x C. x+ y+ 2 2= 0 ) B.x+ y+2=0 D. x+ y+ 2= 0

答案:C

? ?x= cos θ- 1 2.曲线 C:? (θ 为参数 )的普通方程为 ( ? ?y= sin θ+ 1

)

A. (x-1)2+ (y+ 1)2= 1 B.(x+ 1)2+(y+1)2=1 C. (x+1)2+ (y- 1)2= 1 D. (x-1)2+ (y- 1)2= 1

答案:C

3.(2012· 高考重庆卷)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+

y2=2的位置关系一定是(
A.相离 C.相交但直线不过圆心

)
B.相切 D.相交且直线过圆心

解析:选 C.∵x2+ y2= 2 的圆心 (0,0)到直线 y=kx+ 1 的距离 d |0- 0+ 1| 1 = = ≤1 , 2 2 1+k 1+k 又∵ r= 2,∴0<d< r.∴直线与圆相交但直线不过圆心.

4.圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为 ________. 答案:(x-1)2+(y-2)2=4 5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦

长为________.
答案:2 3

考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 求圆的方程 求圆的方程有两类方法: (1)几何法,通过研究圆的性质、直 线和圆、 圆与圆的位置关系, 进而求得圆的基本量和方程; (2) 代数法,即用“待定系数法”求圆的方程,其一般步骤是: ①根据题意选择方程的形式:标准形式或一般形式; ②利用条件列出关于 a、b、 r 或 D、 E、 F 的方程组; ③解出 a、b、 r 或 D、 E、 F,代入标准方程或一般方程,另 外,根据条件,设方程时尽量减少参数,这样可减少运算量.

例1 根据下列条件求圆的方程.
(1)经过坐标原点和点 P(1,1), 并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)经过 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段 长为 4 3.
【思路分析】 (1)利用圆心在 OP 的垂直平分线和 2x+ 3y+ 1= 0 的交点,直接求圆心.也可利用一般式 x2+ y2+ Dx+ Ey= 0, 建立 D、 E 的方程. (2)设一般式,利用 P、 Q,弦长 4 3来确定.

【解】 (1)法一:显然,所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上, OP 的垂直平分线方程为: x2+ y2= ?x-1? 2+? y-1? 2, ? ?x+ y- 1= 0, 即 x+ y-1=0.解方程组? ? ?2x+ 3y+ 1= 0, 得圆心 C 的坐标为 (4,-3).又圆的半径 r= |OC|= 5, 所以所求圆的方程为:(x- 4)2+(y+3)2=25. 法二:∵圆过原点,∴方程可设为 x2+ y2+ Dx+ Ey=0. 过点 P(1,1),∴ 1+ 1+ D+ E=0.① D E 圆心(- ,- )在 2x+3y+1= 0 上, 2 2 ? ?D=-8 3E ∴- D- + 1= 0.②由①②得? . 2 ? ?E= 6 ∴方程为 x2+ y2- 8x+ 6y= 0.

(2)设的方程为 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F=0,① 将 P、 Q 点的坐标分别代入①, ? ?4D-2E+ F=- 20, ② 得? ? ?D- 3E- F= 10, ③ 令 x= 0,由①得 y2+ Ey+ F=0,④ 由已知 |y1- y2|=4 3,其中 y1、 y2 是方程④的两根, 所以(y1- y2)2=(y1+ y2)2-4y1y2= E2- 4F=48,⑤ D=-2, ? ? 解②、③、⑤组成的方程组,得?E= 0, ? ?F=-12, 故所求圆的方程为 x2+ y2- 2x- 12= 0 或 x2+ y2- 10x- 8y+ 4=0. D=-10, ? ? 或?E=- 8, ? ?F=4,

【领悟归纳】 无论是圆的标准方程或是圆的一般方程,都有

三个待定系数,因此求圆的方程,应有三个条件.一般地,已
知圆心或半径的条件,选用标准式,否则选用一般式.

考点2 直线与圆的位置关系

在解决直线与圆的问题时,要注意应用数形结合的思想,利用
圆的几何性质简化解题过程.

例2

已知点M(3,1),直线ax-y+4=0及圆

(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过M点的圆的切线方程; (2)若直线ax-y+4=0与圆相切,求a的值. 【思路分析】 (1)设出切线方程易求. (2)利用d=r可求.

【解】

(1)由题意可知 M 在圆(x- 1)2+ (y- 2)2= 4 外,

故当 x= 3 时满足与圆相切. 当斜率存在时设为 y-1=k(x-3),即 kx- y-3k+ 1=0. |k- 2+ 1- 3k| 3 由 = 2,∴k= ,∴所求的切线方程为 2 4 k +1 x= 3 或 3x-4y-5= 0. (2)由 ax- y+ 4= 0 与圆相切知 |a- 2+ 4| 4 = 2,∴ a= 0 或 a= . 2 3 1+a

【失误警示】 待定切线斜率时,要注意斜率不存在的情况,
要用数形结合法检验,同时要确定点与圆的位置关系.

跟踪训练
1.在本例中,若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且 弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.
解:圆心到直线的距离 d=
2

|a+2| 1+a
2

2



l 2 3 又 l= 2 3, r= 2,∴由 r =d +( ) ,可得 a=- . 2 4

考点3 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系综合了点与圆、直线与圆的位置关系特征,

同时也体现了圆本身的特征,圆心距与半径的关系.

例3

圆 O1 的 方 程 为 : x2 + (y + 1)2 = 4 , 圆 O2 的 圆 心

O2(2,1).若圆O2与圆O1外切,求圆O2的方程,并求内公切
线方程.

【思路分析】 设⊙O2的半径,由|O1O2|=r1+r2待定,内公切
线垂直于O1O2.

【解】 设⊙ O2 的半径为 r2 ⊙ O1 的圆心 O1(0,-1), r1=2, 由 |O1O2|= r1+ r2 即 ?0-2? 2+?-1-1? 2=2+ r2, ∴ r2=2 2- 2, ∴⊙ O2 的方程为 (x-2)2+ (y- 1)2= 4( 2- 1)2. ⊙ O1 方程:x2+ y2+ 2y= 3,① ⊙ O2 方程:x2+ y2- 4x-2y=7- 8 2,② ∴①-②得 4x+ 4y =-4+8 2, ∴ x+ y+ 1- 2 2= 0 为内公切线方程.

【思维总结】 本题求内公切线方程时,用了圆系方程: (x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0, 当λ=-1时,表示过两圆公共点的直线.

跟踪训练
2.若圆 O2 与圆 O1 交于 A、B 两点,且|AB|=2 2,求圆 O2 的方程.

1-?-1? 解:∵ AB⊥ O1O2,kO1O2= = 1,∴kAB=-1, 2 设 AB 方程为 y=- x+ b,即 x+ y-b=0, |- 1-b| O1 到 AB 的距离为 d1= , 2 2 2 2 ∵ r1=2, r2 = d + ( 2) ,∴ d 1 1 1= 4- 2= 2, ∴ |1+b|=2,∴ b= 1 或 b=- 3. 当 b= 1 时, AB 方程为 x+ y- 1= 0, |2+ 1- 1| ∴ O2 到 AB 的距离为 d2= = 2, 2

2 2 ∴ r2 2=d2+ ( 2) = 4,

∴⊙ O2 的方程为 (x-2)2+ (y- 1)2= 4. 当 b=- 3 时, AB 方程为 x+ y+3= 0, 6 O2 到 AB 的距离 d3= . 2 6 2 2 ∴ r2= ( ) + ( 2)2=20. 2 ∴⊙ O2 的方程为 (x-2)2+ (y- 1)2= 20, 综上可知⊙ O2 的方程为 (x-2)2+ (y-1)2= 4 或 (x-2)2+ (y- 1)2= 20.

方法感悟
方法技巧

1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件.“选形式、定参
数”是求圆的方程的基本方法,是指根据题设条件恰当选择圆 的方程的形式,进而确定其中的三个参数. 2.求切线方程的4种方法:(1)设切点用切线公式;(2)设有关 点利用向量数量积等于零;(3)设切线斜率利用判别式;(4)设 切线斜率利用圆心到切线的距离等于半径.

3.两圆公切线的条数:
(1)两圆内含时,公切线条数为0; (2)两圆内切时,公切线条数为1; (3)两圆相交时,公切线条数为2; (4)两圆外切时,公切线条数为3; (5)两圆相离时,公切线条数为4. 4.若两圆相交时,把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆

的公共弦所在的直线方程.

失误防范
1.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若只求出一 个结果,应该考虑切线斜率不存在的情况. 2.圆系:(x2 + y2+ D1x+ E1y+ F1)+ λ(x2+ y2+ D2x+ E2y+ F2) = 0 不能表示圆 x2+ y2+ D2x+ E2y+ F2=0.

考向瞭望把脉高考
命题预测
从近两年高考试题分析,圆与直线及圆与圆的位置关系试题是 高考命题的热点,尤其是直线与圆的位置关系,构成了解析几 何问题的基础,并为后继解决直线与圆锥曲线的位置关系埋下 伏笔.试题多以选择题、填空题为主,难度不大,注重“三基” 的考查,注意挖掘基础知识的能力因素,展示通法,结合圆的 有关性质便可顺利得解.同时与函数、方程、不等式有机结合, 加强学生思维能力的考查.

2011年的高考中,大纲全国卷中以圆的切线为背景考查了求圆 心距,重庆卷综合考查了求直线、圆、抛物线相切为背景的半 径r的最值问题,湖北卷则考查了直线,圆弦长为条件求直线

的斜率问题.福建卷求圆的轨迹方程等,都是以考查基本知识、
基本方法、基本技能为出发点的中档难度题目.2012年高考中, 陕西卷、江苏卷、天津卷均以客观题的形式考查直线与圆的位 置关系问题. 预测2014年高考,试题以选择题、填空题为主,突出考查切线

方程、弦长等内容,结合圆的有关性质,通过数形结合思想优
化解题程序,在复习时应重点对待,不可忽视.

规范解答 例 (本题满分13分)(2011· 高考福建卷)已知直线l:y=x+ m,m∈R.

(1)若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P,且点P在y轴上,
求该圆的方程. (2)若直线l关于x轴对称的直线为l′,问直线l′与抛物线C: x2=4y是否相切?说明理由.

【解】

(1)法一:依题意,点 P 的坐标为 (0, m). 0- m 因为 MP⊥ l,所以 × 1=- 1, 2-0 解得 m=2,即点 P 的坐标为 (0,2). 从而圆的半径 r= |MP|= ?2-0? 2+?0- 2?2= 2 2, 故所求圆的方程为 (x-2)2+ y2= 8.(6 分) 法二:设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为 (x-2)2+ y2= r2. 依题意,所求圆与直线 l: x- y+m= 0 相切于点 P(0, m), 2 2 4 + m = r , ? m= 2,

? ? 则?|2- 0+ m| 解得? = r, ?r=2 2. ? ? 2

所以所求圆的方程为 (x- 2)2+ y2= 8.(6 分 )

(2)因为直线 l 的方程为 y= x+ m, 所以直线 l′的方程为 y=-x-m,
? ?y=- x- m, 由? 2 得 x2+ 4x+4m= 0.(8 分 ) ?x =4y ?

Δ= 42- 4× 4m=16(1- m). 当 m=1,即 Δ=0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1,即 Δ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 综上,当 m= 1 时,直线 l′与抛物线 C 相切; 当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切.(13 分 )

【名师点评】 本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识、 考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,化 归与转化思想及分类整合思想.

知能演练轻松闯关

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