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曲线与方程1


y A M x O B

——2016/04/05——

求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:

一、建立适当的坐标系,设曲线上任一点的坐标,及相关点 的坐标; 二、(限)找条件,由条件(代)列方程; 三、化简方程。 证明所得方程(可以省略)为所求的曲线方程。

以上步骤用一句话概括就是:

建设现(限)代化。

1 已知A(-a,0),B(a,0)(a∈R+),若动点M与两定点

A,B构成直角三角形,求直角顶点M的轨迹方程。
2 在ΔABC中,已知顶点A(1,1),B(3,6),且ΔABC的

面积等于3,求顶点C的轨迹方程。 3(江苏06)已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内 的动点,满足 | MN | | MP | ? MN ? MP ? 0,则动点P(x,y)的轨迹 方程为 。
? ? ? ?

例1 △ABC的顶点B、C的坐标分别为(0,0)、(4,0),AB边上 的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程。

解:设点A的坐标分别为A(x,y),AB的中点D的坐标为D(x1, y1), x ? x1 ? ? ? 2 于是依据中点坐标公式,得? ?y ? y 1 ? 2 ? y 因为AB边上的中线CD=3, A(x,y) 2 2 所以(x1-4) +y1 =9, D
于是化简整理,得 (x-8)2+y2=36, OB C x

所以点A的轨迹方程为(x-8)2+y2=36(y≠0)。

例1 △ABC的顶点B、C的坐标分别为(0,0)、(4,0),AB边上 的中线的长为3,求顶点A的轨迹方程。 y D OB C M A(x,y) x

解:过A作AM||CD,交x轴于点M,于是|AM|=6

又由中点坐标公式得M(8,0),从而依据两点间的距离公式, 得(x-8)2+y2=36 (y≠0) 。

第一种求轨迹的方法叫做相关点坐标分析法(代入法);第二种方法借助 添辅助线MA,巧用图形的性质,

例2

已知ΔABC中,已知顶点A(-2,0),B(0,-2),第

三个顶点在y=3x2-1上运动,求ΔABC的重心的轨迹方程。

例3

已知G是ΔABC的重心,A(0,-1),B(0,1),在x轴上有
? ? ? ?

一点M,且M满足 | MA | ?| MC | , ,求点C的轨迹方 GM ? ? AB (? ? R) 程。

求曲线方程的过程中: 1.充分利用图形特点来挖掘几何条件列方程可以使 过程变得简洁。(数形结合!) 2.有时直接找曲线上的点的坐标满足的关系是相当 困难的,这时我们要巧妙地借助与它相关的点来分析, 会更容易发现问题中的代数关系,从而列出方程。(相关 点坐标分析法,代入法)

例4 经过原点的直线l与圆x2+y2-6x-4y+9=0相交于两个不同 的点A、B,求线段AB中点的轨迹方程。

y M

l

B
O

??

A

C x

例4 经过原点的直线l与圆x2+y2-6x-4y+9=0相交于两个不同 的点A、B,求线段AB中点的轨迹方程。 解:设点M的坐标为M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), x1 ? x2 ? 2 2 x ? ? x ? y ( 1 ) ? ? 1 1 ? 6 x1 ? 4 y1 ? 9 ? 0 ? 2 点差法 则? ,且? 2 2 ? x ? y (2) y ? y 2 ? 6 x2 ? 4 y 2 ? 9 ? 0 ? 2 2 ?y ? 1 ? 2 ? 于是(1)-(2),得(x1-x2)(x1+x2)+(y1+y2)(y1-y2) -6( x1-x2)-4(y1-y2)=0,
y y1 ? y2 因为k AB ? kOM,即 ? (易知x1 ? x2), x x1 ? x2 y y 所以2 x ? ? 2 y ? 6 ? 4 ? 0,即x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 0。 x x 故所求点的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? (在已知圆内部一段弧 0 对应的
方程)。

例4 经过原点的直线l与圆x2+y2-6x-4y+9=0相交于两个不同 的点A、B,求线段AB中点M的轨迹方程。

y M B

l

O

O`

??

A

C x

例4 经过原点的直线l与圆x2+y2-6x-4y+9=0相交于两个不同 的点A、B,求线段AB中点M的轨迹方程。 解:设点M的坐标为M(x,y),又圆x2+y2-6x-4y+9=0的圆心 为(3,2),
3 因为OC的中点O` 的坐标为( , 1 ),且 | OC |? 13。 2

因为M为AB的中点,所以有3圆的几何性质知MC ? OM。 所以点M在以OC为直径的圆O`上。
3 2 13 2 因为圆O` 的方程为(x ? ) ? (y ? 1 ) ? (以下同解法1 )。 2 4

例4 经过原点的直线l与圆x2+y2-6x-4y+9=0相交于两个不同 的点A、B,求线段AB中点M的轨迹方程。

y M B

l

O

O`

??

A

C x

例4 经过原点的直线l与圆x2+y2-6x-4y+9=0相交于两个不同 的点A、B,求线段AB中点M的轨迹方程。 解:设点M的坐标为M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2), x1 ? x2 ? x? ? ? 2 于是令直线l的方程为y ? kx, 则? , ? y ? y1 ? y2 ? 2 ?

? y ? kx 由方程组 ? 2 2 x ? y ? 6 x ? 4 y ? 10 ? 0 ?
消去 y 得 (1 ? k 2 ) x2 ? (6 ? 4k ) x ? 9 ? 0

y
6 ? 4k 9 x1 ? x2 ? ,x1 x2 ? , 2 2 1? k 1? k
3 ? 2k ? x? ? ? 1? k 2 所以? , ? y ? k 3 ? 2k ? 1? k 2 ?

l M B

??

A

C

O

x

于是消去参数k,得所求点的轨迹方程为x 2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 0。

1:动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点B(3,0)

连线的中点的轨迹方程是( C )
3 2 13 2 (A)(x ? ) ? (y ? 1 ) ? 2 4 (C)(2 x ? 3) ? 4 y ? 1
2 2

(B) ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 1

3 2 1 2 (D)(x ? ) ? y ? 2 2

2:点M(x,y)与定点F(1,0)距离和它到直线 1 x=8的距离的比为 ,则动点M的轨迹方程为( D ) 2
x2 y2 (A) ? ?1 4 3 x2 y2 (C) ? ?1 16 12 x2 y2 (B) ? ?1 8 7 (D) 3x 2 ? 4 y 2 ? 8 x ? 60 ? 0


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