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江苏省2009年普通高校对口单招文化统考数学试卷答案


江苏省 2009 年普通高校对口单招文化统考 《数学》试题答案及评分参考
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 D 5 B 6 A 7 B 8 C 9 D 10 C 11 D 12 B

二、填空题 13、 3 三、解答题 19、解:因为 a // b 所以 sin ? ? 3cos ? ? 0 ,………………………………………………2 分 所以 tan ? ? 3 .…………………………………………………………1 分 (1) tan( 14、

3 5

15.

1 16、 4

1

17、 6

18、 0

? ?

?
4
2

??) ?

tan

?
4

? tan ?

1 ? tan

?
4

? tan ?

?

1? 3 ? ?2 …………………………2 分 1? 3

(2) 4sin ? ? sin 2?

4sin 2 ? ? 2sin ? ? cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 4 tan 2 ? ? 2 tan ? ………………………………………………2 分 tan 2 ? ? 1

4?9 ? 2?3 ? 3. …………………………………………………2 分 9 ?1 S 2 20、解: (1)由题意得: n ? 3n ? 2 ,所以 Sn ? 3n ? 2n ,…………………1 分 n ?
所以 a1 ? S1 ? 3 ? 2 ? 5 ,…………………………………………1 分

a2 ? S2 ? S1 ? 3 ? 22 ? 2 ? 2 ? 5 ? 11.
当 n ≥2 时, an ? Sn ? Sn ?1

? (3n2 ? 2n) ? [3(n ? 1)2 ? 2(n ? 1)]

? 6n ? 1 ,…………………………………………2 分
当 n =1 时 a1 ? 5 ? 6 ?1 ? 1 , 所以数列 ? an ? 的通项公式为 an ? 6n ? 1 .…………………………1 分 (2)因为 f (n) ≥ S n ? 22 , 所以 3n ? 2 ? 3n ? 2n ? 22 ,………………………………………1 分
2

所以 3n ? n ? 24 ? 0, 所以 ?
2

8 ? n ? 3 ,…………………………1 分 3

因为 n ? N ? , 所以n ? 1, 2,3 .………………………………………1 分 21、解: (1)设甲射击三次,第三次才命中目标为事件 A, 则 P( A) ? (1 ? 0.8) ? 0.8 ? 0.032 .…………………………………4 分
2

(2)设甲、乙两人各试射一次,只有一人命中目标为事件 B, 则 P( B) ? (1 ? 0.8) ? 0.6 ? 0.8 ? (1 ? 0.6) ? 0.44 .……………………5 分 (3)设甲比乙命中目标次数恰好多一次为事件 C, 则 P(C ) ? C2 (1 ? 0.8) ? (1 ? 0.6) ? 0.8 ? C2 ? 0.6 ? (1 ? 0.6)
1 2 2 1

=0.0512+0.3072=0.3584.……………………………5 分 22、解: (1)由题意,得: y ? P ? Q ? 10 ? 2 x ? 8 x ? 10 ,…………………3 分 令 x ? t , 则x ? t (t ? 0) ,
2

所以 y ? 2t ? 8t ? 10 ? 2(t ? 2) ? 2 ,……………………………2 分
2 2

当 t=2 时, ymin ? 2 ,……………………………………………2 分 此时 x ? t ? 4,
2

所以经过 4 小时池中水量最小,最小量为 2 吨.………………2 分 (2)令 y ? 10 ,由(1)得: 2t ? 8t ? 10 ? 10 ,
2

所以 t=4 或 t=0(舍去) ,

所以 x =16, 所以经过 16 小时关闭进水管阀门.……………………………3 分 23、 (1)证明:在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,平面 AAC1C ? 平 1 面 ABC,交线为 AC,△ABC 为等边三角形, 因为 D 为 AC 的中 点, 所以 BD⊥AC,…………2 分 所以 BD ? 平面A1 ACC1 , 所以 BD ? A1 D .………………………2 分 (2)解:由(1)得: BD ? 平面A1 ACC1 , 所以 A1D 为 BA1 在平面 AA1C1C 内的射影, 所以 ?BA1D 即为直线 BA1 与平面 A1 ACC1 所成角,2 分 在 Rt ?A1 BD中, BD ? 3, A1 D ? 5 . 所以 tan ?BA1 D ?

BD 3 15 15 ? ? ,所以 ?BA1 D ? arctan .…………2 分 A1 D 5 5 5

(3)解:过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E, 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 A1 ABB1 ? 平面ABC ,交线为 AB, 所以 DE ? 平面A1 ABB1 .……………………………………………………2 分 设 B1 到平面 A1 BD 的距离为 h, 因为 VB1 ? A1BD ? VD ? A1BB1 , 所以 S?A1BD ? h ?

1 3

1 S?A B B ? DE ,……………………………………………2 分 3 11

S?A1BD ?

1 1 15 BD ? A1 D ? 3? 5 ? 2 2 2

S?A1BB1 ?

1 1 A1B1 ? BB1 ? ? 2 ? 2 ? 2 , 2 2

在 Rt ?BDE中, DE ?

1 3 , BD ? 2 2
? 2?
15 2 3 2

所以 h ?

S ?A1B1B ? DE S ?A1BD

?

2 5 , 5

所以 B1 到平面 A1 BD 的距离为

2 5 .………………………………………2 分 5

24、解: (1)由题意可设双曲线 C 的方程

x2 y2 ,且由题意可得: ? ? 1 ( a >0, b >0) a 2 b2

?c 2 ? a 2 ? b 2 ? 10 ? ………………………………………………………3 分 ?b ? ?3 ?a
解得 a ? 1, b ? 9 ,
2 2

所以双曲红 C 的方程为 x ?
2

y2 ? 1 .……………………………………3 分 9

(2)假设存在题中的直线 l ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 3 ,

? y ? kx ? 3 ? 2 2 由 ? 2 y2 消去 y,得: (9 ? k ) x ? 6kx ? 18 ? 0 ,…………………2 分 x ? ?1 ? 9 ?
?9 ? k 2 ? 0 ? 由题意得 ? 2 2 ?36k ? 4 ? 18(9 ? k ) ? 0 ?
解得 k <18 且 k ≠9. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
2 2

①…………………………………………1 分

x 1 ? x2 ?
???? ?

6k , 9?k2

x1 ? x2 ? ?
???? ?

18 ………………………………………1 分 9?k2

又 B2 A ? ( x1 , y1 ? 3), B2 B ? ( x2 , y2 ? 3) ,

因为以 BA 为直径的圆过点 B2,所以 B2 A ? B2 B , 从而 B2 A ? B2 B ? 0 ,即 x1 x2 ? ( y1 ? 3)( y2 ? 3) ? 0 ,……………………1 分 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) ? 9 ? 0 . 又 y1 ? y2 ? kx1 ? 3 ? kx2 ? 3 ? k ( x1 ? x2 ) ? 6 ?

???? ?

???? ?

???? ???? ? ?

6k 2 54 , ?6? 2 9?k 9 ? k2

y1 ? y2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9

?18k 2 18k 2 ? ? ?9 ? 9 9 ? k2 9 ? k2
所以 ?

18 3 ? 54 ?9? ?9 ? 0 2 9?k 9 ? k2

2 解得: k ? 17 (满足①式) ,即 k ? ? 17 ,

所以这样的直线 l 存在,其方程为 y ? ? 17 x ? 3 .…………………………3 分 25、 (1) a ?

1 , b ? ?1 .(答案不唯一,满足条件 0<a<1,b≤-1)…………3 分 2

(2)P={(1,2)(1,3)} , m =3(答案不唯一,满足条件 m <-2 或 m >2.)…………………………2 分


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