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2015高考题分类概率统计二项式定理


2015 高考题分类概率统计二项式定理
参考答案与试题解析

一.选择题(共 25 小题) 1. (2015?湖北)已知(1+x) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等,则奇数项的 二项式系数和为( ) 12 11 10 9 A.2 B.2 C.2 D.2 【考点】二项式定理;二项式系数的性质. 【专题】二项式定理. 【分析】直接利用二项式定理求出 n,然后利用二项式定理系数的性质求出结果即可.
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n

【解答】解:已知(1+x) 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等, 可得
10

n

,可得 n=3+7=10. =2 .
9

(1+x) 的展开式中奇数项的二项式系数和为:

故选:D. 【点评】本题考查二项式定理的应用,组合数的形状的应用,考查基本知识的灵活运用以及 计算能力. 2. (2015?陕西)二项式(x+1) (n∈N+)的展开式中 x 的系数为 15,则 n=( A.7 B.6 C.5 D.4 【考点】二项式定理的应用. 【专题】二项式定理.
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n

2



【分析】由题意可得

=
n

=15,解关于 n 的方程可得.
2

【解答】解:∵二项式(x+1) (n∈N+)的展开式中 x 的系数为 15, ∴ =15,即 =15,解得 n=6,

故选:B. 【点评】本题考查二项式定理,属基础题. 3. (2015?河北) (x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为( A.10 B.20 C.30 D.60 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题;二项式定理. 【分析】利用展开式的通项,即可得出结论.
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2

5

5 2



【解答】解: (x +x+y) 的展开式的通项为 Tr+1= 令 r=2,则(x +x) 的通项为 令 6﹣k=5,则 k=1, ∴(x +x+y) 的展开式中,x y 的系数为
2 5 5 2 2 3

2

5

, = ,

=30.

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故选:C. 【点评】本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,确定通项是关键.

4. (2015?湖南)已知(



) 的展开式中含 x

5

的项的系数为 30,则 a=(



A. B.﹣ C.6 D.﹣6 【考点】二项式定理的应用. 【专题】二项式定理. 【分析】根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项,整理成最简形式,
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令 x 的指数为 求得 r,再代入系数求出结果. 【解答】解:根据所给的二项式写出展开式的通项, Tr+1= = ;

展开式中含 x ∴ ∴r=1,并且 ,

的项的系数为 30,

,解得 a=﹣6.

故选:D. 【点评】本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这 种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具. 5. (2015?山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,3 ) ,从中 随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) 2 (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ ) ,则 P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ <ξ<μ+2σ)=95.44%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【专题】计算题;概率与统计.
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2

【分析】由题意 P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,可得 P(3<ξ<6)= (95.44%﹣68.26%) ,即可得出结论. 【解答】解:由题意 P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%, 所以 P(3<ξ<6)= (95.44%﹣68.26%)=13.59%. 故选:B. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量 μ 和 σ 的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.

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6. (2015?湖南)在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为 正态分布 N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( ) 附“若 X﹣N=(μ,a ) ,则 P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826. p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.
2

A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【专题】计算题;概率与统计.

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【分析】求出 P(0<X≤1)= ×0.6826=0.3413,即可得出结论. 【解答】解:由题意 P(0<X≤1)= ×0.6826=0.3413, ∴落入阴影部分点的个数的估计值为 10000×0.3413=3413, 故选:C. 【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量 μ 和 σ 的应用,考查曲线的对称性,属于基础题. 7. (2015?湖北)设 X~N(μ1,σ1 ) ,Y~N(μ2,σ2 ) ,这两个正态分布密度曲线如图所 示.下列结论中正确的是( )
2 2

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C.对任意正数 t,P(X≤t)≥P(Y≤t) D.对任意正数 t,P(X≥t)≥P(Y≥t) 【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【专题】概率与统计. 【分析】直接利用正态分布曲线的特征,集合概率,直接判断即可. 【解答】解:正态分布密度曲线图象关于 x=μ 对称,所以 μ1<μ2,从图中容易得到 P(X≤t) ≥P(Y≤t) . 故选:C.
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【点评】本题考查了正态分布的图象与性质,学习正态分布,一定要紧紧抓住平均数 μ 和标 准差 σ 这两个关键量,结合正态曲线的图形特征,归纳正态曲线的性质. 8. (2015?北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层插样的方法调查教师 的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本的老年教师人数为( ) 类别 人数 900 老年教师 1800 中年教师 1600 青年教师 4300 合计 A.90 B.100 C.180 D.300 【考点】分层抽样方法. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】由题意,老年和青年教师的人数比为 900:1600=9:16,即可得出结论. 【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为 900:1600=9:16, 因为青年教师有 320 人,所以老年教师有 180 人, 故选:C. 【点评】本题考查分层抽样,考查学生的计算能力,比较基础.
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9. (2015?陕西)某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图 所示,则该校女教师的人数为( )

A.93 B.123 C.137 D.167 【考点】收集数据的方法. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】利用百分比,可得该校女教师的人数. 【解答】解:初中部女教师的人数为 110×70%=77;高中部女教师的人数为 150×40%=60, ∴该校女教师的人数为 77+60=137, 故选:C.
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【点评】本题考查该校女教师的人数,考查收集数据的方法,考查学生的计算能力,比较基 础. 10. (2015?四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否 存在显著差异, 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查, 则最合理的抽样方法 是( ) A.抽签法 B.系统抽样法 C.分层抽样法 D.随机数法 【考点】收集数据的方法. 【专题】应用题;概率与统计. 【分析】若总体由差异明显的几部分组成时,经常采用分层抽样的方法进行抽样. 【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异, 这种方式具有代表性,比较合理. 故选:C. 【点评】本小题考查抽样方法,主要考查抽样方法,属基本题.
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11. (2015?黑龙江) 根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量 (单位: 万吨) 柱形图,以下结论中不正确的是( )

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【考点】频率分布直方图. 【专题】概率与统计. 【分析】 A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量减少的最多, 故 A 正确; B 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少,故 B 正确; C 从图中看出,2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故 C 正确; D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,与年份负相关,故 D 错误. 【解答】 解: A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减 少,且减少的最多,故 A 正确; B2004﹣2006 年二氧化硫排放量越来越多, 从 2007 年开始二氧化硫排放量变少, 故 B 正确; C 从图中看出,2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,故 C 正确;
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D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少,而不是与年份正相关,故 D 错误. 故选:D 【点评】本题考查了学生识图的能力,能够从图中提取出所需要的信息,属于基础题. 12. (2015?重庆)重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如,则这组数据的中 位数是( )

A.19 B.20 C.21.5 D.23 【考点】茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】根据中位数的定义进行求解即可. 【解答】解:样本数据有 12 个,位于中间的两个数为 20,20,
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则中位数为



故选:B 【点评】本题主要考查茎叶图的应用,根据中位数的定义是解决本题的关键.比较基础. 13. (2015?湖南)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图 所示.若将运动员按成绩由好到差编为 1﹣35 号,再用系数抽样方法从中抽取 7 人,则其中 成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )

A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】茎叶图. 【专题】概率与统计. 【分析】对各数据分层为三个区间,然后根据系数抽样方法从中抽取 7 人,得到抽取比例为
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,然后各层按照此比例抽取. 【解答】解:由已知,将个数据分为三个层次是[130,138],[139,151],[152,153],根据 系数抽样方法从中抽取 7 人,得到抽取比例为 , 所以成绩在区间[139,151]中共有 20 名运动员,抽取人数为 20× =4; 故选 B. 【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法;关键是正确分层,明 确抽取比例.

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14. (2015?安徽)若样本数据 x1,x2,…,x10 的标准差为 8,则数据 2x1﹣1,2x2﹣1,…, 2x10﹣1 的标准差为( ) A.8 B.15 C.16 D.32 【考点】极差、方差与标准差. 【专题】概率与统计. 【分析】 根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差, 然后结合变量之间的方差关系进 行求解即可.
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【解答】解:∵样本数据 x1,x2,…,x10 的标准差为 8, ∴ =8,即 DX=64, 数据 2x1﹣1,2x2﹣1,…,2x10﹣1 的方差为 D(2X﹣1)=4DX=4×64, 则对应的标准差为 = =16,

故选:C. 【点评】 本题主要考查方差和标准差的计算, 根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键. 15. (2015?湖北)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送 来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这批米内夹谷约 为( ) A.134 石 B.169 石 C.338 石 D.1365 石 【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】根据 254 粒内夹谷 28 粒,可得比例,即可得出结论.
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【解答】解:由题意,这批米内夹谷约为 1534×

≈169 石,

故选:B. 【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查学生的计算能力,比较基础. 16. (2015?湖北)已知变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,变量 y 与 z 正相关,下列结论中 正确的是( ) A.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 C.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 【考点】变量间的相关关系. 【专题】概率与统计. 【分析】由题意,根据一次项系数的符号判断相关性,由 y 与 z 正相关,设 y=kz,k>0, 得到 x 与 z 的相关性. 【解答】解:因为变量 x 和 y 满足关系 y=﹣0.1x+1,一次项系数为﹣0.1<0,所以 x 与 y 负 相关;
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变量 y 与 z 正相关,设,y=kz, (k>0) ,所以 kz=﹣0.1x+1,得到 z=

,一次项系

数小于 0,所以 z 与 x 负相关; 故选:A. 【点评】 本题考查由线性回归方程, 正确理解一次项系数的符号与正相关还是负相关的对应 是解题的关键.

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17. (2015?福建)为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 8.6 10.0 11.3 11.9 收入 x(万元)8.2 7.5 8.0 8.5 9.8 支出 y(万元)6.2 根据上表可得回归直线方程 ,其中 ,据此估计,该社区一户

收入为 15 万元家庭年支出为( ) A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元 【考点】线性回归方程. 【专题】概率与统计.
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【分析】由题意可得 和 ,可得回归方程,把 x=15 代入方程求得 y 值即可. 【解答】解:由题意可得 = (8.2+8.6+10.0+11.3+11.9)=10, = (6.2+7.5+8.0+8.5+9.8)=8, 代入回归方程可得 =8﹣0.76×10=0.4, ∴回归方程为 =0.76x+0.4, 把 x=15 代入方程可得 y=0.76×15+0.4=11.8, 故选:B. 【点评】本题考查线性回归方程,涉及平均值的计算,属基础题. 18. (2015?河北)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.己知某同学每次 投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648B.0.432 C.0.36 D.0.312 【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 【专题】概率与统计. 【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可. 【解答】解:由题意可知:同学 3 次测试满足 X∽B(3,0.6) ,
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该同学通过测试的概率为 故选:A. 【点评】本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查.

=0.648.

19. (2015?广东)已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品的概率为( ) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】首先判断这是一个古典概型,而基本事件总数就是从 5 件产品任取 2 件的取法,取 到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可.
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【解答】解:这是一个古典概型,从 5 件产品中任取 2 件的取法为
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∴基本事件总数为 10; 设“选的 2 件产品中恰有一件次品”为事件 A,则 A 包含的基本事件个数为 ∴P(A)= =0.6. =6;

故选:B. 【点评】考查古典概型的概念,以及古典概型的概率求法,明白基本事件和基本事件总数的 概念,掌握组合数公式,分步计数原理. 20. (2015?广东) 袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球, 其中有 10 个白球, 5 个红球. 从 袋中任取 2 个球,所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率为( ) A. B. C. D.1
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【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】概率与统计. 【分析】首先判断这是一个古典概型,从而求基本事件总数和“所取的 2 个球中恰有 1 个白 球,1 个红球”事件包含的基本事件个数,容易知道基本事件总数便是从 15 个球任取 2 球的 取法,而在求“所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球”事件的基本事件个数时,可利用分 步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可. 【解答】解:这是一个古典概型,从 15 个球中任取 2 个球的取法有 ∴基本事件总数为 105; 设“所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球”为事件 A; 则 A 包含的基本事件个数为 ∴P(A)= . =50; ;

故选:B. 【点评】 考查古典概型的概念, 以及古典概型的求法, 熟练掌握组合数公式和分步计数原理.

21. (2015?山东)在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“﹣1≤log 概率为( A. B. ) C.
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(x+ )≤1”发生的

D.

【考点】几何概型. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】先解已知不等式,再利用解得的区间长度与区间[0,2]的长度求比值即得. 【解答】解:利用几何概型,其测度为线段的长度. ∵﹣1≤log (x+ )≤1

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∴ 解得 0≤x≤ , ∵0≤x≤2 ∴0≤x≤

∴所求的概率为:P= 故选:A 【点评】 本题主要考查了几何概型, 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面 积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型. 22. (2015?湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率,P2 为事 件“xy≤ ”的概率,则( A.p1<p2< B.
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) C.p2< D.

【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】分别求出事件“x+y≤ ”和事件“xy≤ ”对应的区域,然后求出面积,利用几何概型公 式求出概率,比较大小. 【解答】解:由题意,事件“x+y≤ ”表示的区域如图阴影三角形,

p1=



满足事件“xy≤ ”的区域如图阴影部分

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所以 p2=

=

=

> ;

所以



故选:B. 【点评】本题考查了几何概型的公式运用;关键是分别求出阴影部分的面积,利用几何概型 公式解答. 23. (2015?陕西)设复数 z=(x﹣1)+yi(x,y∈R) ,若|z|≤1,则 y≥x 的概率为( A. + B. +
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C. ﹣

D. ﹣

【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比,分别求面积可得. 【解答】解:∵复数 z=(x﹣1)+yi(x,y∈R)且|z|≤1, ∴|z|= ≤1,即(x﹣1) +y ≤1,
2 2

∴点(x,y)在(1,0)为圆心 1 为半径的圆及其内部, 而 y≥x 表示直线 y=x 左上方的部分, (图中阴影弓形) ∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比, ∴所求概率 P= 故选:D. =

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【点评】本题考查几何概型,涉及复数以及圆的知识,属基础题. 24. (2015?福建)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标为(1,0) ,且点 C 与点 D 在函数 f(x)= 点取自阴影部分的概率等于( ) 的图象上,若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此

A.

B.

C.
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D.

【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】由题意易得矩形和三角形顶点的坐标,进而可得面积,由几何概型可得. 【解答】解:由题意可得 B(1,0) ,把 x=1 代入 y=x+1 可得 y=2,即 C(1,2) , 把 x=0 代入 y=x+1 可得 y=1,即图中阴影三角形的第 3 个定点为(0,1) , 令 =2 可解得 x=﹣2,即 D(﹣2,2) ,

∴矩形的面积 S=3×2=6,阴影三角形的面积 S′= ×3×1= , ∴所求概率 P= =

故选:B 【点评】本题考查几何概型,涉及面积公式和分段函数,属基础题. 25. (2015?湖北)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 P1 为事件“x+y≥ ”的概率,P2 为事 件“|x﹣y|≤ ”的概率,P3 为事件“xy≤ ”的概率,则(
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A.P1<P2<P3 B.P2<P3<P1 C.P3<P1<P2 D.P3<P2<P1 【考点】几何概型. 【专题】概率与统计. 【分析】作出每个事件对应的平面区域,求出对应的面积,利用几何概型的概率公式进行计 算比较即可. 【解答】解:分别作出事件对应的图象如图(阴影部分) :
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P1:D(0, ) ,F( ,0) ,A(0,1) ,B(1,1) ,C(1,0) , 则阴影部分的面积 S1=1×1﹣ S2=1×1﹣2× =1﹣ = , =1﹣ = ,

S3=1× +

dx= + lnx|

= ﹣ ln = + ln2,

∴S2<S3<S1, 即 P2<P3<P1, 故选:B.

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【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,利用数形结合是解决本题的关键.本题也可以 直接通过图象比较面积的大小即可比较大小. 二.填空题(共 1 小题) 26. (2014 春?三亚校级期末)已知数列{an}是公差为非负数的等差数列,记前 n 项和为 Sn, 若 S10≥40,S15≤135,则 2a2﹣a8 的最小值为 ﹣15 . 【考点】等差数列的性质. 【专题】综合题;等差数列与等比数列.
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【分析】由 S10≥40,S15≤135,可得 2a1+9d≥8,a1+7d≤9,利用 2a2﹣a8=a1﹣5d= ﹣ (a1+7d) ,即可得出结论.

(2a1+9d)

【解答】解:∵S10≥40,S15≤135, ∴2a1+9d≥8,a1+7d≤9, ∴2a2﹣a8=a1﹣5d= (2a1+9d)﹣ (a1+7d)≥ =﹣15,

∴2a2﹣a8 的最小值为﹣15. 故答案为:﹣15. 【点评】本题考查等差数列的通项与求和,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 三.解答题(共 4 小题) 27. (2012?田家庵区校级一模)已知集合 P= 域为 Q. (1)若 P∩Q≠?,求实数 a 的取值范围; (2)若方程 ,求实数 a 的取值的取值范围.
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,y=log2(ax ﹣2x+2)的定义

2

【考点】集合的包含关系判断及应用;对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (1)是一个存在性的问题,此类题求参数一般转化为求最值.若是存在大于某式的 值成立,一般令其大于其最小值, (2)也是一个存在性的问题,其与(1)不一样的地方是其为一个等式,故应求出解析式对 应函数的值域,让该参数是该值域的一个元素即可保证存在性. 2 【解答】解: (1)由已知 Q={x|ax ﹣2x+2>0},若 P∩Q≠?, 则说明在 在 . 内至少有一个 x 值,使不等式 ax ﹣2x+2>0,即,
2

∴a 的取值范围是 a>﹣4; (2)∵方程
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【点评】考查存在性问题求参数范围,本题中两个小题都是存在性,因为其转化的最终形式 不一样, 所以求其参数方式不一样, 一是其最值, 一是求值域. 答题者应细心体会其不同. 此 类题一般难度较大,要求有较强的逻辑推理能力进行正确的转化.

28. (2015?重庆)如题图,三棱锥 P﹣ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC=3,∠ACB= E 分别为线段 AB,BC 上的点,且 CD=DE= (Ⅰ)证明:DE⊥平面 PCD (Ⅱ)求二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值. ,CE=2EB=2.

.D,

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定. 【专题】空间角. 【分析】 (Ⅰ)由已知条件易得 PC⊥DE,CD⊥DE,由线面垂直的判定定理可得;
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(Ⅱ)以 C 为原点,分别以 得 , ,





的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系,易 ,平面 PCD 的法向量 可取 ,由向

的坐标,可求平面 PAD 的法向量

量的夹角公式可得. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵PC⊥平面 ABC,DE?平面 ABC,∴PC⊥DE, ∵CE=2,CD=DE= ,∴△CDE 为等腰直角三角形, ∴CD⊥DE,∵PC∩CD=C, DE 垂直于平面 PCD 内的两条相交直线, ∴DE⊥平面 PCD (Ⅱ)由(Ⅰ)知△ CDE 为等腰直角三角形,∠DCE= ,

过点 D 作 DF 垂直 CE 于 F,易知 DF=FC=FE=1,又由已知 EB=1,故 FB=2, 由∠ACB= 得 DF∥AC, , , ,故 AC= DF= , 的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系,

以 C 为原点,分别以

则 C(0,0,0) ,P(0,0,3) ,A( ,0,0) ,E(0,2,0) ,D(1,1,0) ,
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=(1,﹣1,0) ,

=(﹣1,﹣1,3) ,

=( ,﹣1,0) ,

设平面 PAD 的法向量

=(x,y,z) ,由



故可取

=(2,1,1) , 可取 =(1,﹣1,0) ,

由(Ⅰ)知 DE⊥平面 PCD,故平面 PCD 的法向量

∴两法向量夹角的余弦值 cos<



>=

=

∴二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值为



【点评】本题考查二面角,涉及直线与平面垂直的判定,建系化归为平面法向量的夹角是解 决问题的关键,属难题. 29. (2015?汕头一模)已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图 为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(1)求证:BN⊥平面 C1B1N; (2)设 θ 为直线 C1N 与平面 CNB1 所成的角,求 sinθ 的值;

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(3)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上求一点 P,使 MP∥平面 CNB1,求

的值.

【考点】直线与平面所成的角;简单空间图形的三视图;直线与平面平行的判定;直线与平 面垂直的判定. 【专题】综合题. 【分析】 (1)该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
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BA,BC,BB1 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BC,BB1 所在直线别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 ,证出 =0, =0 后即可证明 BN⊥平面 C1B1N; ,利用 与此法向量的夹角求出直线 C1N 与平面

(2)求出平面 NCB1 的一个法向量 CNB1 所成的角

(3)设 P(0,0,a)为 BC 上一点,由 MP∥平面 CNB1,得知 为 0 求出 a 的值,并求出 .



,利用向量数量积

【解答】 (1)证明:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角 梯形, ∴BA,BC,BB1 两两垂直. …(2 分) 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BB1,BC 所在直线别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 则 N(4,4,0) ,B1(0,8,0) ,C1(0,8,4) ,C(0,0,4) ∵ =(4,4,0)?(﹣4,4,0)=﹣16+16=0 =(4,4,0)?(0,0,4)=0 ∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; …(4 分) (2)解:设 n2=(x,y,z)为平面 NCB1 的一个法向量, 则



;…(8 分) ,∵MP∥

(3)∵M(2,0,0) .设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则 平面 CNB1, ∴ 又 PM?平面 CNB1,∴MP∥平面 CNB1,
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∴当 PB=1 时,MP∥平面 CNB1 ∴ …(12 分)

【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系及判断,线面角求解,利用空间向量的 方法,能够降低思维难度,但要注意有关的运算要准确. 30. (2015?哈尔滨校级一模) 如图所示的多面体中, 正方形 BB1C1C 所在平面垂直平面 ABC, △ ABC 是斜边 的等腰直角三角形,B1A1∥BA, .

(1)求证:C1A1⊥平面 ABB1A1; (2)求直线 BC1 与平面 AA1C1 所成的角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【专题】综合题. 【分析】解法 1: (1)证明 C1A1⊥平面 ABB1A1,利用线面垂直的判定定理,只需证明 A1C1⊥A1O,A1C1⊥AB; (2)作 BD⊥直线 AA1 于 D,连接 C1D,∠BC1D 即为直线 BC1 与平面 AA1C1 所成的角, 再利用正弦函数,可求直线 BC1 与平面 AA1C1 所成的角的正弦值; 解法 2: (1)C 为原点,以 CA 为 x 轴建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,利用数 量积为 0 证明垂直关系,即可证得线面垂直;
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(2)求出面 A1C1C 的法向量 量积公式即可求解.



,利用向量的数

【解答】解法 1: (1)证明:取 AB 的中点 O,连接 A1O,OC. ∵AC=BC,∴CO⊥AB, ∵四边形 A1OBB1 为平行四边形,∴ ∵ ,∴

又由 CC1⊥面 ABC 知 CC1⊥CO,∴四边形 A1OCC1 为矩形, ∴A1C1⊥A1O,A1C1⊥AB…(4 分) 又∵A1O∩AB=C,∴C1A1⊥平面 ABB1A1…(6 分) (2)解:作 BD⊥直线 AA1 于 D,连接 C1D. 由(1)知平面 AA1C1⊥平面 ABB1A1,从而 BD⊥平面 AA1C1, ∴∠BC1D 即为直线 BC1 与平面 AA1C1 所成的角.…(8 分) ∵ ,∴ ,
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于是

,∴





∴直线 BC1 与平面 AA1C1 所成的角的正弦值为

.…(12 分)

解法 2:CA,CB,CC1 两两垂直,且 CA=CB=CC1=1,以 C 为原点,以 CA 为 x 轴建立空 间直角坐标系如图, 则 所以 , .…(2 分) (1)证明:∵ , , , , ,

∴C1A1⊥AA1,C1A1⊥AB, 又∵AA1∩AB=A, ∴C1A1⊥平面 ABB1A1…(6 分) (2)设面 A1C1C 的法向量为 ,



,可得



令 x=1,则 又 ,

…(8 分)

设直线 B 证明 C1 与平面 AA1C1 所成的角为 θ,则 .…(12 分)

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【点评】本题考查线面垂直,考查线面角,两法并用,解题的关键是掌握线面垂直的判定, 作出线面角,正确构建空间直角坐标系,利用向量方法解决立体几何问题.

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