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宁夏育才中学2016届高三上学期第四次月考数学试卷(理科)


2015-2016 学年宁夏育才中学高三 (上) 第四次月考数学试卷 (理 科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. x 1.已知集合 M={y|y=2 ,x>0},N={y|y=lgx,x∈M},则 M∩N 为( ) A. (1,+∞) B. (1,2) C.[2,+∞) D.[1,+

∞) 2.在复平面内,复数 z= A. B. C. 的共轭复数的虚部为( D. )

3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( A.y=x B.y=|x|+1 4.定积分 A. B. C.π
3



C.y=﹣x +1 D.y=2 dx 的值为( D.2π

2

﹣|x|



5.已知 x,y 满足约束条件,

,则目标函数 z=2x﹣y 的最大值为(



A.1

B.3

C.

D.

6.设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数 列,则 a1=( ) A.2 B.﹣2 C. D.﹣

7.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 l 的正方形,如图所示,则该几何体的体

积为(



A.

B.

C.

D.

8.已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x+2y﹣3=0 垂直,则 cos( A. B.﹣ C.2 D.﹣

﹣2α)的值为(



9.若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α,则“l⊥m”是“l∥α”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0, 列说法正确的是( )



)的部分图象如图所示,下

A.f(x)的图象关于直线 B.f(x)的图象关于点 C.若方程 f(x)=m 在

对称 对称 上有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是

D.将函数

的图象向左平移

个单位得到函数 f(x)的图象

11.如图,把圆周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上,顶点 A(0,1) ,一动点 M 从 A 开始 逆时针绕圆运动一周,记 大致为( ) =x,直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0) ,则函数 t=f(x)的图象

A.

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)= ﹣g(x)的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

,函数 g(x)=3﹣f(2﹣x) ,则函数 y=f(x)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点,AB=3,BD=1,则 = .

14.设等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9= 15.已知函数 则 tanx0= .



的图象在点 A(x0,y0)处的切线斜率为 1,

16.平面 α 截球 O 所得的截面圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 为 .

,则此球的体积

三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.已知函数 f(x)=sin(x﹣ )+cos(x﹣ ) ,g(x)=2sin
2



(Ⅰ)若 α 是第一象限角,且 f(α)=

,求 g(α)的值;

(Ⅱ)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合.

18.若 A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c.若向量 =(cos2 ,cos ﹣ 1) ,向量 =(1,cos +1)且 2 ? =﹣1. (1)求 A 的值; (2)若 a=2 ,三角形面积 S=

,求 b+c 的值.
2 * *

19. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2n +n, n∈N , 数列{bn}满足 an=4log2bn+3, n∈N . (1)求 an,bn; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 20.如图,在四棱锥 A﹣EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF∥BC, BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为 EF 的中点. (Ⅰ)求证:AO⊥BE. (Ⅱ)求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值; (Ⅲ)若 BE⊥平面 AOC,求 a 的值.

21.设函数 f(x)=e ﹣ax﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时, (x﹣k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大值.

x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C、D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明: (Ⅰ)AC?BD=AD?AB; (Ⅱ)AC=AE.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2014?长葛市三模)在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4 sin(θ+ ) .现以

点 O 为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

(I)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,定点 P(﹣2,﹣3) ,求|PA|?|PB|的值.

选修 4-5:不等式选讲 24. (2015?河北)已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

2015-2016 学年宁夏育才中学高三(上)第四次月考数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. x 1.已知集合 M={y|y=2 ,x>0},N={y|y=lgx,x∈M},则 M∩N 为( ) A. (1,+∞) B. (1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞) 【考点】对数函数的定义域;交集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】利用指数函数的性质,求出集合 M,对数函数的值域求出集合 N,然后求解交集 即可. x 【解答】解:集合 M={y|y=2 ,x>0}={y|>1}, N={y|y=lgx,x∈M}={y|y>0}, 所以 M∩N={y|y>1}. 故选 A. 【点评】本题考查集合的交集的求法,求出函数的值域是解题的关键. 2.在复平面内,复数 z= A. B. C. 的共轭复数的虚部为( D. )

【考点】复数的基本概念. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z,求出 ,则答案可求. 【解答】解:z= ∴ 则复数 z= , 的共轭复数的虚部为 . = ,

故选:D. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了共轭复数的概念,是基础题. 3.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是(
3 2
﹣|x|



A.y=x B.y=|x|+1 C.y=﹣x +1 D.y=2 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 【专题】常规题型. 【分析】首先由函数的奇偶性排除选项 A,然后根据区间(0,+∞)上 y=|x|+1=x+1、y=﹣ x +1、y=2
2
﹣|x|

=

的单调性易于选出正确答案.

【解答】解:因为 y=x 是奇函数,y=|x|+1、y=﹣x +1、y=2 所以选项 A 错误; 又因为 y=﹣x +1、y=2
2
﹣|x|

3

2

﹣|x|

均为偶函数,

=

在(0,+∞)上均为减函数,只有 y=|x|+1 在(0,+∞)

上为增函数, 所以选项 C、D 错误,只有选项 B 正确. 故选:B. 【点评】本题考查基本函数的奇偶性及单调性. 4.定积分 A. B. C.π dx 的值为( D.2π )

【考点】定积分. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】根据的定积分的几何意义,所围成的几何图形的面积是的四分之一,计算即可. 【解答】解:∵y=
2 2



∴(x﹣1) +y =1 表示以(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆, ∴定积分 ∴定积分 dx 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一, dx= ,

故选:A. 【点评】本题主要考查了定积分的几何意义,根据数形结合的思想,属于基础题.

5.已知 x,y 满足约束条件,

,则目标函数 z=2x﹣y 的最大值为(



A.1

B.3

C.

D.

【考点】简单线性规划. 【专题】计算题;对应思想;数形结合法;不等式. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 A(2,1) .

化目标函数 z=2x﹣y 为 y=2x﹣z. 由图可得,当直线 y=2x﹣z 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最大值为 2×2﹣1=3. 故选:B. 【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 6.设{an}的首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S1,S2,S4 成等比数 列,则 a1=( ) A.2 B.﹣2 C. D.﹣

【考点】等比数列的性质;等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由等差数列的前 n 项和求出 S1,S2,S4,然后再由 S1,S2,S4 成等比数列列式求 解 a1. 【解答】解:∵{an}是首项为 a1,公差为﹣1 的等差数列,Sn 为其前 n 项和, ∴S1=a1,S2=2a1﹣1,S4=4a1﹣6, 由 S1,S2,S4 成等比数列,得: 即 ,解得: , .

故选:D. 【点评】本题考查等差数列的前 n 项和公式,考查了等比数列的性质,是基础的计算题. 7.已知一个几何体的三视图是三个全等的边长为 l 的正方形,如图所示,则该几何体的体

积为(



A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】判断几何体是正方体削去一个角,先计算被消去的三棱锥体积,再求几何体的体积 即可. 【解答】解:该几何体是正方体削去一个角,体积为 1﹣ =1﹣ = .

故选:D. 【点评】 本题考查由三视图求几何体的体积和表面积, 根据已知的三视图分析出几何体的形 状是关键.

8.已知倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x+2y﹣3=0 垂直,则 cos( A. B.﹣ C.2 D.﹣

﹣2α)的值为(



【考点】三角函数的化简求值;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】计算题;转化思想;数学模型法;三角函数的求值;直线与圆. 【分析】由直线的垂直与斜率间的关系求得 tanα=2.然后利用诱导公式及万能公式把 cos ( ﹣2α)转化为含 tanα 的代数式得答案. ,

【解答】解:直线 x+2y﹣3=0 的斜率为

∵倾斜角为 α 的直线 l 与直线 x+2y﹣3=0 垂直,∴tanα=2. 则 cos( =﹣cos( ﹣2α)=cos(1007π+ )=﹣sin2α= = ) .

故选:B. 【点评】本题考查三角函数的化简与求值,考查了直线的垂直与斜率间的关系,是基础的计 算题. 9.若 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α,则“l⊥m”是“l∥α”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】利用直线与平面平行与垂直关系,判断两个命题的充要条件关系即可. 【解答】解:l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α,则“l⊥m”可能“l∥α”也可能 l?α, 反之,“l∥α”一定有“l⊥m”, 所以 l,m 是两条不同的直线,m 垂直于平面 α,则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件. 故选:B. 【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用,充要条件的判断,基本知识的考 查.

10.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0, 列说法正确的是( )

)的部分图象如图所示,下

A.f(x)的图象关于直线 B.f(x)的图象关于点 C.若方程 f(x)=m 在

对称 对称 上有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是

D.将函数

的图象向左平移

个单位得到函数 f(x)的图象

【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可 得 f(x)的解析式,结合图象,可得结论. 【解答】解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0, A=2, = = ﹣ ,求得 ω=2, +φ=π,∴φ= ∈[﹣ , ], ,∴f(x)=2sin(2x+ ) , )的部分图象可得

再根据五点法作图可得 2× 在 上,2x+

当实数 m 的取值范围是 时,函数 f(x)的图象和直线 y=m 有 2 个交点, 故选:C. 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的定义域和 值域,属于中档题. 11.如图,把圆周长为 1 的圆的圆心 C 放在 y 轴上,顶点 A(0,1) ,一动点 M 从 A 开始 逆时针绕圆运动一周,记 大致为( ) =x,直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0) ,则函数 t=f(x)的图象

A.

B.

C.

D. 【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据动点移动过程的规律,利用单调性进行排除即可得到结论. 【解答】解:当 x 由 0→ 时,t 从﹣∞→0,且单调递增, 由 →1 时,t 从 0→+∞,且单调递增, ∴排除 A,B,C, 故选:D. 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用特殊值法,结合点的移动规律是解决本 题的关键,综合性较强,有一点的难度.

12.已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=3﹣f(2﹣x) ,则函数 y=f(x)

﹣g(x)的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】开放型;函数的性质及应用. 【分析】求出函数 y=f(x)﹣g(x)的表达式,构造函数 h(x)=f(x)+f(2﹣x) ,作出 函数 h(x)的图象,利用数形结合进行求解即可. 【解答】解:∵g(x)=3﹣f(2﹣x) , ∴y=f(x)﹣g(x)=f(x)﹣3+f(2﹣x) , 由 f(x)﹣3+f(2﹣x)=0,得 f(x)+f(2﹣x)=3, 设 h(x)=f(x)+f(2﹣x) , 若 x≤0,则﹣x≥0,2﹣x≥2,

则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2+x+x , 若 0≤x≤2,则﹣2≤x≤0,0≤2﹣x≤2, 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2, 若 x>2,﹣x<0,2﹣x<0, 2 2 则 h(x)=f(x)+f(2﹣x)=(x﹣2) +2﹣|2﹣x|=x ﹣5x+8.

2

即 h(x)=



作出函数 h(x)的图象如图: 当 y=3 时,两个函数有 2 个交点, 故函数 y=f(x)﹣g(x)的零点个数为 2 个, 故选:A.

【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,根据条件求出函数的解析式,利用数形结合是 解决本题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.在正三角形 ABC 中,D 是 BC 上的点,AB=3,BD=1,则 【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用向量的加法法则化 【解答】解:如图, ,展开后利用数量积运算得答案. = .

∵AB=3,BD=1,∠B=60°, ∴ = =

= 故答案为: .



【点评】本题考查平面向量的数量积运算,考查了向量的加法法则,是基础题.

14.设等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 S3=8,S6=7,则 a7+a8+a9=



【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的性质:若{an}为等比数列,则 Sn,Sn+1,Sn+2,…也成等比数列. 【解答】解:因为{an}为等比数列,所以 S3,S6﹣S3,S9﹣S6,成等比数列, 2 2 则 S3(S9﹣S6)=(S6﹣S3) ,即 8×(S9﹣S6)=(﹣1) , 解得 S9﹣S6= ,即 a7+a8+a9= , 故答案为: . 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和,考查等比数列的性质,考查学生的计算能力,熟练 利用等比数列的性质解题可以简化计算过程,给解题带来方便.

15.已知函数 则 tanx0= . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】综合题.

的图象在点 A(x0,y0)处的切线斜率为 1,

【分析】求导函数,确定切线的斜率,利用切线斜率为 1,即可求得 tanx0 的值. 【解答】解:求导函数,可得 ∵函数 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴tanx0= 故答案为: 【点评】本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查三角函数,属于中档题. 16.平面 α 截球 O 所得的截面圆的半径为 1,球心 O 到平面 α 的距离为 为 4 . ,则此球的体积 的图象在点 A(x0,y0)处的切线斜率为 1

【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题. 【分析】根据条件求出截面圆的半径,根据直角三角形建立条件根据即可求出球的半径. 【解答】解:作出对应的截面图, ∵截面圆的半径为 1,即 BC=1, ∵球心 O 到平面 α 的距离为 , ∴OC= , 设球的半径为 R, 2 2 2 2 在直角三角形 OCB 中,OB =OC +BC =1+( ) =3. 2 即 R =3, 解得 R= , ∴该球的体积为 πR = 故答案为: .
3



【点评】本题主要考查球的体积的计算,根据条件求出球半径是解决本题的关键. 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17.已知函数 f(x)=sin(x﹣ )+cos(x﹣ ) ,g(x)=2sin
2



(Ⅰ)若 α 是第一象限角,且 f(α)=

,求 g(α)的值;

(Ⅱ)求使 f(x)≥g(x)成立的 x 的取值集合. 【考点】两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦. 【专题】三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 【分析】 (1)利用两角和差的三角公式化简函数 f(x)的解析式,可得 f(α)的解析式, 再根据 f(α)= ,求得 cosα 的值,从而求得 g(α)=2sin )≥ ,解不等式 2kπ+ ≤x+
2

=1﹣cosα 的值. ≤2kπ+ ,k∈z,求得 x 的

(2)由不等式可得 sin(x+ 取值集合. 【解答】解: (1)∵f(x)= 所以 f(α)= 又 α∈(0, sinα=

sinx﹣ cosx+ cosx+

sinx=

sinx,

,所以 sinα= .

) ,所以 cosα= ,

所以 g(α)=2sin

2

=1﹣cosα= . sinx≥1﹣cosx, )≥ . ,k∈z,

(2)由 f(x)≥g(x)得 所以 解 2kπ+ sinx+ cosx=sin(x+ ≤x+ ≤2kπ+

,k∈z,求得 2kπ≤x≤2kπ+ 〕k∈z.

所以 x 的取值范围为〔2kπ,2kπ+

【点评】本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式的应用,解三角不等式,正弦函数 的图象及性质,属于中档题. 18.若 A、B、C 为△ABC 的三内角,且其对边分别为 a、b、c.若向量 =(cos2 ,cos ﹣ 1) ,向量 =(1,cos +1)且 2 ? =﹣1. (1)求 A 的值; (2)若 a=2 ,三角形面积 S= ,求 b+c 的值. 【考点】余弦定理的应用;平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;转化思想;向量法;解三角形. 【分析】 (1)直接由已知结合向量数量积的坐标运算求得 cosA=﹣ ,再结合 A∈(0,π) 求得 A 值; (2)利用三角形的面积公式结合余弦定理列式求得 b+c 的值. 【解答】解: (1)∵向量 =(cos2 ,cos ﹣1) ,向量 =(1,cos +1)且 2 ? =﹣1. ∴ , ; ,得 bc=4. .

得 cosA=﹣ ,又 A∈(0,π) ,∴A= (2)由 又由余弦定理得:
2

∴16=(b+c) , ∴b+c=4. 【点评】 本题考查平面向量的数量积运算, 考查了余弦定理在解三角形中的应用, 是基础题. 19. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2n +n, n∈N , 数列{bn}满足 an=4log2bn+3, n∈N . (1)求 an,bn; (2)求数列{an?bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;等差关系的确定;等比关系的确定. 【专题】等差数列与等比数列.
2 * *

【分析】 (Ⅰ)由 Sn=2n +n 可得,当 n=1 时,可求 a1=3,当 n≥2 时,由 an=sn﹣sn﹣1 可求通 项,进而可求 bn (Ⅱ)由(Ⅰ)知,
2

2

,利用错位相减可求数列的和

【解答】解: (Ⅰ)由 Sn=2n +n 可得,当 n=1 时,a1=s1=3 2 2 当 n≥2 时,an=sn﹣sn﹣1=2n +n﹣2(n﹣1) ﹣(n﹣1)=4n﹣1 而 n=1,a1=4﹣1=3 适合上式, 故 an=4n﹣1, 又∵an=4log2bn+3=4n﹣1 ∴ (Ⅱ)由(Ⅰ)知,

2Tn=3×2+7×2 +…+(4n﹣5)?2 ∴

2

n﹣1

+(4n﹣1)?2

n

=(4n﹣1)?2

n

=(4n﹣1)?2 ﹣[3+4(2 ﹣2)]=(4n﹣5)?2 +5 【点评】本题主要考查了数列的递推公式 中的应用,数列求和的错位相减求和方法的应用. 20.如图,在四棱锥 A﹣EFCB 中,△AEF 为等边三角形,平面 AEF⊥平面 EFCB,EF∥BC, BC=4,EF=2a,∠EBC=∠FCB=60°,O 为 EF 的中点. (Ⅰ)求证:AO⊥BE. (Ⅱ)求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值; (Ⅲ)若 BE⊥平面 AOC,求 a 的值. 在数列的通项公式求解

n

n

n

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质.

【专题】空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (Ⅰ)根据线面垂直的性质定理即可证明 AO⊥BE. (Ⅱ)建立空间坐标系,利用向量法即可求二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值; (Ⅲ)利用线面垂直的性质,结合向量法即可求 a 的值 【解答】证明: (Ⅰ)∵△AEF 为等边三角形,O 为 EF 的中点, ∴AO⊥EF, ∵平面 AEF⊥平面 EFCB,AO?平面 AEF, ∴AO⊥平面 EFCB ∴AO⊥BE. (Ⅱ)取 BC 的中点 G,连接 OG, ∵EFCB 是等腰梯形, ∴OG⊥EF, 由(Ⅰ)知 AO⊥平面 EFCB, ∵OG?平面 EFCB,∴OA⊥OG, 建立如图的空间坐标系, 则 OE=a,BG=2,GH=a,BH=2﹣a,EH=BHtan60°= 则 E(a,0,0) ,A(0,0, a) ,B(2, =(﹣a,0, a) , =(a﹣2,﹣ , ,0) , ,0) ,

设平面 AEB 的法向量为 =(x,y,z) , 则 ,即 ,y=﹣1, ,

令 z=1,则 x= 即 =(

,﹣1,1) , ,

平面 AEF 的法向量为

则 cos<

>=

=

即二面角 F﹣AE﹣B 的余弦值为 (Ⅲ)若 BE⊥平面 AOC, 则 BE⊥OC, 即 ∵ ∴ =0, =(a﹣2,﹣



,0) ,
2

=(﹣2,

,0) ,

=﹣2(a﹣2)﹣3(a﹣2) =0,

解得 a= .

【点评】 本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解, 建立坐标系利用向量 法是解决空间角的常用方法. 21.设函数 f(x)=e ﹣ax﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时, (x﹣k)f′(x)+x+1>0,求 k 的最大值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题;压轴题;分类讨论;转化思想. 【分析】 (Ⅰ)求函数的单调区间,可先求出函数的导数,由于函数中含有字母 a,故应按 a 的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性,给出单调区间; (II)由题设条件结合(I) ,将不等式, (x﹣k) f? (x)+x+1>0 在 x>0 时成立转化为 k< (x>0)成立,由此问题转化为求 g(x)= 在 x>0 上的最小值问题,
x

求导,确定出函数的最小值,即可得出 k 的最大值; x x 【解答】解: (I)函数 f(x)=e ﹣ax﹣2 的定义域是 R,f′(x)=e ﹣a, x x 若 a≤0,则 f′(x)=e ﹣a≥0,所以函数 f(x)=e ﹣ax﹣2 在(﹣∞,+∞)上单调递增. x 若 a>0,则当 x∈(﹣∞,lna)时,f′(x)=e ﹣a<0; x 当 x∈(lna,+∞)时,f′(x)=e ﹣a>0; 所以,f(x)在(﹣∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增. x (II)由于 a=1,所以, (x﹣k) f? (x)+x+1=(x﹣k) (e ﹣1)+x+1

故当 x>0 时, (x﹣k) f? (x)+x+1>0 等价于 k<

(x>0)①

令 g(x)=

,则 g′(x)=
x

由(I)知,当 a=1 时,函数 h(x)=e ﹣x﹣2 在(0,+∞)上单调递增, 而 h(1)<0,h(2)>0, x 所以 h(x)=e ﹣x﹣2 在(0,+∞)上存在唯一的零点, 故 g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点,设此零点为 α,则有 α∈(1,2) 当 x∈(0,α)时,g′(x)<0;当 x∈(α,+∞)时,g′(x)>0; 所以 g(x)在(0,+∞)上的最小值为 g(α) . 又由 g′(α)=0,可得 e =α+2 所以 g(α)=α+1∈(2,3) 由于①式等价于 k<g(α) ,故整数 k 的最大值为 2. 【点评】 本题考查利用导数求函数的最值及利用导数研究函数的单调性, 解题的关键是第一 小题应用分类的讨论的方法, 第二小题将问题转化为求函数的最小值问题, 本题考查了转化 的思想, 分类讨论的思想, 考查计算能力及推理判断的能力, 综合性强, 是高考的重点题型, 难度大,计算量也大,极易出错. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时 请写题号. 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 如图,⊙O 和⊙O′相交于 A,B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C、D 两点,连接 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明: (Ⅰ)AC?BD=AD?AB; (Ⅱ)AC=AE.
α

【考点】综合法与分析法(选修) . 【专题】证明题. 【分析】 (I)利用圆的切线的性质得∠CAB=∠ADB,∠ACB=∠DAB,从而有△ACB∽△ DAB, = ,由此得到所证.

(II)利用圆的切线的性质得∠AED=∠BAD,又∠ADE=∠BDA,可得△EAD∽△ABD, = ,AE?BD=AD?AB,再结合(I)的结论 AC?BD=AD?AB 可得,AC=AE.

【解答】证明: (I)∵AC 与⊙O'相切于点 A,故∠CAB=∠ADB, 同理可得∠ACB=∠DAB,

∴△ACB∽△DAB,∴

=



∴AC?BD=AD?AB. (II)∵AD 与⊙O 相切于点 A,∴∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA,∴△EAD∽△ABD, ∴ = ,∴AE?BD=AD?AB.

再由(I)的结论 AC?BD=AD?AB 可得,AC=AE.

【点评】本题主要考查圆的切线的性质,利用两个三角形相似得到成比列线段,是解题的关 键,属于中档题. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23. (2014?长葛市三模)在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4 sin(θ+ ) .现以

点 O 为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) .

(I)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ)设直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,定点 P(﹣2,﹣3) ,求|PA|?|PB|的值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【专题】坐标系和参数方程. 【分析】 (Ⅰ)把直线的参数方程、曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程. (Ⅱ)把直线 l 的参数方程带入到圆 C,利用韦达定理以及直线标准参数方程下 t 的几何意 义求得|PA|?|PB|的值 【解答】 (Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程即 所以 ρ =4ρsinθ+4ρcosθ,所以 x +y ﹣4x﹣4y=0,即(x﹣2) +(y﹣2) =8.
2 2 2 2 2



把直线 l 的参数方程为

(t 为参数)消去参数,

化为普通方程为: . 2 2 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程带入到圆 C:x +y ﹣4x﹣4y=0, 得 ,∴ ,∴t1t2=33.

因为点 P (﹣2, ﹣3) 显然在直线 l 上, 由直线标准参数方程下 t 的几何意义知|PA||PB|=|t1t2|=33, 所以|PA||PB|=33. 【点评】 本题主要考查把参数方程、 极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 参数的几何意义, 属于基础题. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2015?河北)已知函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 (Ⅰ)当 a=1 时,把原不等式去掉绝对值,转化为与之等价的三个不等式组,分别 求得每个不等式组的解集,再取并集,即得所求. (Ⅱ)化简函数 f(x)的解析式,求得它 的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点的坐标,从而求得 f(x)的图象与 x 轴围成的三角 形面积;再根据 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,从而求得 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=1 时,不等式 f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1, 即 ①,或 ②,



③.

解①求得 x∈?,解②求得 <x<1,解③求得 1≤x<2. 综上可得,原不等式的解集为( ,2) .

(Ⅱ)函数 f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=



由此求得 f(x)的图象与 x 轴的交点 A (

,0) ,

B(2a+1,0) , 故 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C(a,a+1) , 由△ABC 的面积大于 6, 可得 [2a+1﹣ ]?(a+1)>6,求得 a>2.

故要求的 a 的范围为(2,+∞) .

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档 题.


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