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江苏省扬州中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题


2012-2013 学年江苏省扬州中学高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题: (本大题共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 1. (5 分)一元二次不等式(x﹣1) (x﹣3)<0 的解集为 {x|1<x<3} . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 可得对应的抛物线开口向上,且与 x 轴的交点为 1

,3,进而可得不等式的解集. 解答: 解:因为二次函数 y=(x﹣1) (x﹣3)的图象为开口向上的抛物线, 且该抛物线与 x 轴的交点为 1,3, 故不等式(x﹣1) (x﹣3)<0 的解集为{x|1<x<3} 故答案为:{x|1<x<3} 点评: 本题主要考查一元二次不等式的解法,注意三个二次之间的关系是解决问题的关键, 属基础题.

2. (5 分)已知数列 1, , ,

,…的一个通项公式是 an=



考点: 数列的应用. 专题: 规律型;等差数列与等比数列. 分析: 数列 1, , , ,…的分母是相应项数的平方,分子组成以 1 为首项,2 为公差的 等差数列,由此可得结论. 解答: 解:∵ 数列 1, , , ,…的分母是相应项序号的平方,分子组成以 1 为首项,2 为公差的等差数列 ∴ 数列 1, , , ,…的一个通项公式是 an=

故答案为: 点评: 本题考查数列的通项公式,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 3. (5 分)在等差数列 51、47、43,…中,第一个负数项为第 14 项. 考点: 等差数列的通项公式. 分析: 根据等差数列 51、47、43,…,得到等差数列的通项公式,让通项小于 0 得到解集, 求出解集中最小的正整数解即可. 解答: 解:因为数列 51、47、43,…为等差数列,

所以公差 d=47﹣51=﹣4,首项为 51, 所以通项 an=51+(n﹣1)×(﹣4)=55﹣4n 所以令 55﹣4n<0 解得 n> ,

因为 n 为正整数,所以最小的正整数解为 14, 所以第一个负数项为第 14. 故答案为:14 点评: 考查学生会根据条件求等差数列的通项公式,以及会求不等式解集的最小正整数解. 4. (5 分)在等比数列{an}中,已知 a3=2,a6=16,则公比 q= 2 . 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出等比数列的公比,直接代入等比数列的通项公式进行计算. 解答: 3 解:设等比数列{an}的公比为 q,由 a3=2,a6=16, 得 16=2q ,解得 q=2. 故答案为 2. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式, 若给出了等比数列中的一项 am, 则 题是基础题. 5. (5 分)cos174°cos156°﹣sin174°sin156°的值为 .

. 此

考点: 两角和与差的余弦函数;运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 直接利用两角差的余弦公式,求解即可. 解答: 解:cos174°cos156°﹣sin174°sin156°=cos(174°+156°)=cos330°= 故答案为: 点评: 本题考查两角和与差的余弦函数,考查计算能力,是基础题 6. (5 分) (2013?大连一模) 在△ ABC 中, sinA: sinB: sinC=2: 3: 4, 则 cosC 的值为



考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得,可设其三边分别为 2k,3k,4k,再由余弦定理求得 cosC 的值. 解答: 解:在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,由正弦定理可得, 2 2 2 2 可设其三边分别为 2k,3k,4k,由余弦定理可得 16k =4k +9k ﹣12k cosC, 解方程可得 cosC= ,

故答案为:



点评: 本题考查正弦定理、 余弦定理的应用,设出其三边分别为 2k,3k, 4k, 是解题的关键. 7. (5 分)在△ ABC 中,若 A=45°,a= ,B=60°,则 b= .

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由 A 及 B 的度数,求出 sinA 和 sinB 的值,再由 a 的长,利用正弦定理即可求出 b 的 长. 解答: 解:∵ A=45°,a= ,B=60°, ∴ 根据正弦定理 b= = = = 得: .

故答案为: 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,正弦定理很好的建立了三角形的边 角关系,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 8. (5 分)在△ ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是 等腰 三角形. 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 等式即 2cosBsinA=sin(A+B) ,展开化简可得 sin(A﹣B)=0,由﹣π<A﹣B<π, 得 A﹣B=0,故三角形 ABC 是等腰三角形. 解答: 解: 在△ ABC 中, 若 2cosBsinA=sinC, 即 2cosBsinA=sin (A+B) =sinAcosB+cosAsinB, ∴ sinAcosB﹣cosAsinB=0,即 sin(A﹣B)=0,∵ ﹣π<A﹣B<π,∴ A﹣B=0, 故△ ABC 为等腰三角形, 故答案为:等腰. 点评: 本题考查两角和正弦公式,诱导公式,根据三角函数的值求角,得到 sin(A﹣B)=0, 是解题的关键. 9. (5 分)已知点(﹣3,﹣1)和(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的同侧,则 a 的取值范围 为 (﹣∞,﹣7)∪ (24,+∞) . 考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 常规题型. 分析: 由已知点(﹣3,﹣1)和(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的同侧,我们将 A,B 两点 坐标代入直线方程所得符号相 同,则我们可以构造一个关于 a 的不等式,解不等式 即可得到答案. 解答: 解:若(﹣3,﹣1)和(4,﹣6)在直线 3x﹣2y﹣a=0 的同侧 则[﹣3×(﹣3)﹣2×(﹣1﹣+a]×[3×4+2×6﹣a]>0 即(a﹣24) (a+7)>0 解得 a∈(﹣∞,﹣7)∪ (24,+∞)

故答案为: (﹣∞,﹣7)∪ (24,+∞) . 点评: 本题考查的知识点是二元一次不等式与平面区域,根据 A、B 在直线两侧,则 A、B 坐标代入直线方程所得符号相反构造不等式是解答本题的关键. 10. (5 分)已知等差数列{an}中,a1+a13=10,则 a3+a5+a7+a9+a11= 25 . 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 所求式子利用等差数列的性质化简,将已知等式代入计算即可求出值. 解答: 解:∵ 等差数列{an}中,a1+a13=2a7=10,即 a7=5, ∴ (a3+a11)+(a5+a9)+a7=2a7+2a7+a7=5a7=25. 故答案为:25 点评: 此题考查了等差数列的性质,熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键.

11. (5 分)设 sn 为等比数列{an}的前 n 项和,若 8a2+a5=0,则

= ﹣11 .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等比数列的通项公式将已知等式 8a2+a5=0 用首项和公比表示, 求出公比; 再利用 等比数列的前 n 项和公式表示 解答: 解:∵ 8a2+a5=0 4 ∴ 8a1q+a1q =0 ∴ q=﹣2 ,将公比的值代入其中求出值.



=

故答案为:﹣11. 点评: 解决等比数列、等差数列两个特殊数列的有关问题,一般利用通项及前 n 项和公式得 到关于基本量的方程,利用基本量法来解决.

12. (5 分)数列{an}满足 an=

(n∈N ) ,则

*

等于



考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 依题意,利用裂项法可求得 =2×( ﹣

) ,从而可求得答案.

解答: 解:∵ an= ∴ =2×( ﹣ ∴ + +…+

(n∈N ) , ) ,

*

=2[(1﹣ )+( ﹣ )+…+( =2(1﹣ = . . )



)]

故答案为:

点评: 本题考查裂项法求和,求得

=2( ﹣

)是关键,属于中档题.

13. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞) ,若关于 x 的不等式 f (x)<c 的解集为(m,m+8) ,则实数 c 的值为 16 . 考点: 一元二次不等式的应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 2 根据二次函数的值域为[0,+∞) ,可得△ =0,解之得 b= a .由此将关于 x 的不等式 f (x)<c 化简得 x +ax+ a ﹣c<0,再由根与系数的关系解方程 x1﹣x2|=8,即可得到 实数 c=16. 2 解答: 解:∵ 函数 f(x)=x +ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞) , ∴ 函数的最小值为 0,可得△ =a ﹣4b=0,即 b= a
2 2 2 2 2

2

又∵ 关于 x 的不等式 f(x)<c 可化成 x +ax+b﹣c<0,即 x +ax+ a ﹣c<0, ∴ 不等式 f(x)<c 的解集为(m,m+8) ,也就是 方程 x +ax+ a ﹣c 的两根分别为 x1=m,x2=m+8,
2 2

2

2



,可得|x1﹣x2| =(x1+x2) ﹣4x1x2=64,

2

2

即(﹣a) ﹣4( a ﹣c)=64,解之即可得到 c=16 故答案为:16 点评: 本题给出二次函数的值域,讨论关于 x 的不等式 f(x)<c 的解集问题,着重考查了 二次函数的值域、一元二次不等式解法和一元二次方程根与系数的关系等知识,属于

2

2

基础题. 14. (5 分)对于 k∈N ,g(k)表示 k 的最大奇数因子,如:g(3)=3,g(20)=5,设 Sn=g (1)+g(2)+g(3)+…+g(2 ) ,则 Sn=
n *



考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 依题意,可求得 S1,S2,S3,S4,从中寻找出规律,即可求得 Sn. 解答: 解:依题意,S1=g(1)+g(2)=1+1=2; S2=S1+g(3)+g(4)=2+3+1=6; S3=S2+g(5)…+g(8)=6+5+3+7+1=22, S4=g(1)+g(2)+g(3)+…+g(16) =S3+g(9)+g(10)+g(11)+…+g(16) =22+9+5+11+3+13+7+15+1 =86. … ∵ b1=S2﹣S1=4,b2=S3﹣S2=16,b3=S4﹣S3=86﹣22=64,… ∴ {bn}是以 4 为首项,4 为公比的等比数列, n ﹣1 n ∴ bn=4×4 =4 , n 即 Sn+1﹣Sn=4 . ∴ Sn=(Sn﹣Sn﹣1)+(Sn﹣1﹣Sn﹣2)+…+(S2﹣S1)+S1 n﹣1 n﹣2 1 =4 +4 +…+4 +2 = +2

=

. .

故答案为:

点评: 本题考查数列的求和,突出考查累加法求和,作差后判断为等比是关键,属于难题. 二.解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (14 分) (1)已知:tanα=﹣ ,求 (2)已知 α∈(0, ) , sin 的值; ,sin(α+β)= ,求 cosα 的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)所求式子分子分母除以 cosα,利用同角三角函数间的基本关系化为关于 tanα 的 关系式,将 tanα 的值但仍旧是即可求出值; (2)由 β 的范围及 sinβ 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosβ 的值,再由 α 与 β 的范围,及 sin(α+β)的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cos(α+β)

的值,所求式子 cosα 变形为 cos[(α+β)﹣β],利用两角和与差的余弦函数公式化简, 把各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵ tanα=﹣ ,



=

=

=13;

(2)∵ β∈( ∴ cosβ=﹣ ∵ α∈(0, ∴ α+β∈(

,π) ,sinβ= =﹣ , ) ,β∈( ,π ) ,





) ,

∵ sin(α+β)= , ∴ cos(α+β)=﹣ =﹣ , × (﹣ ) + × = .

∴ cosα=cos[ (α+β) ﹣β]=cos (α+β) cosβ+sin (α+β) sinβ=﹣

点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握 公式及基本关系是解本题的关键. 16. (14 分)在△ ABC 中,∠ A,∠ B,∠ C 所对的边分别是 a,b,c. (Ⅰ )用余弦定理证明:当∠ C 为钝角时,a +b <c ; (Ⅱ )当钝角△ ABC 的三边 a,b,c 是三个连续整数时,求△ ABC 外接圆的半径. 考点: 余弦定理. 2 2 2 2 2 分析: (I)∠ C 为钝角时?cosC<0,然后根据余弦定理得出 c =a +b ﹣2ab?cosC>a +b ,即 可证明结论. 2 2 2 (II)先设△ ABC 的三边分别为 n﹣1,n,n+1,从而得出 n﹣1) +n <(n+1) ,求 出 n,当 n=2 时,不能构成三角形,舍去,当 n=3 时,求出△ ABC 三边长,利用余弦 定理求出 cosC,再由正弦定理求出外接圆半径. 解答: 解: (Ⅰ )当∠ C 为钝角时,cosC<0, (2 分) 2 2 2 2 2 由余弦定理得:c =a +b ﹣2ab?cosC>a +b , (5 分) 2 2 2 即:a +b <c . (6 分) (Ⅱ )设△ ABC 的三边分别为 n﹣1,n,n+1(n≥2,n∈Z) , ∵ △ ABC 是钝角三角形,不妨设∠ C 为钝角, 2 2 2 2 由(Ⅰ )得(n﹣1) +n <(n+1) ?n ﹣4n<0?0<n<4, (9 分) ∵ n≥2,n∈Z,∴ n=2,n=3, 当 n=2 时,不能构成三角形,舍去, 当 n=3 时,△ ABC 三边长分别为 2,3,4, (11 分)
2 2 2

, (13 分)

△ ABC 外接圆的半径

. (14 分)

点评: 本题考查了正弦定理和余弦定理,对于外接圆半径利用正弦定理得到即可,属于中档 题. 17. (15 分) (2010?长宁区二模)设函数 f(x)=ax +(b﹣2)x+3(a≠0) ,若不等式 f(x) >0 的解集为(﹣1,3) . (1)求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在 x∈[m,1]上的最小值为 1,求实数 m 的值. 考点: 一元二次不等式的应用;函数单调性的性质. 分析: 由不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3)知:﹣1,3 是方程 f(x)=0 的两根,由韦 达定理便可解得 a,b 的值.由第(1)问求得 f(x)的解析式,得知 f(x)的开口方 向以及对称轴,判断出 f(x)在[m,1]上的单调性,然后由最小值等于 1 列方程,解 得 m 的值. 解答: 解: (1)由条件得
2

解得:a=﹣1,b=4. (2)f(x)=﹣x +2x+3 函数开口方向向下,对称轴方程为 x=1, ∴ f(x)在 x∈[m,1]上单调递增, 2 ∴ x=m 时 f(x)min=﹣m +2m+3=1 解得 . ∵ ,∴ . 点评: 考查一元二次不等式的解法,以及一元二次函数的单调性. 18. (15 分) 如图所示, △ ACD 是边长为 1 的等边三角形, △ ABC 是等腰直角三角形, ∠ ACB=90°, BD 交 AC 于点 E. 2 (1)求 BD 的值; (2)求线段 AE 的长.
2

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: (1)在△ BCD 中,CD=CB=1,∠ DCB=150°,∠ CDB=∠ CBD=15°,利用余弦定理可求 BD ; (2)在△ ADE 中,AD=1,∠ DAE=60°,∠ ADE=45°,则∠ AED=75°,由正弦定理可得 AE 的值. 解答: 解: (1)在△ BCD 中,CD=CB=1,∠ DCB=150°,∠ CDB=∠ CBD=15° 由余弦定理可得:BD =1+1﹣2×1×1×cos150°=2+ (2)在△ ADE 中,AD=1,∠ DAE=60°,∠ ADE=45°,则∠ AED=75° 由正弦定理可得: ∴ AE= 点评: 本题考查余弦定理、正弦定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题. 19. (16 分) (2007?福建)数列{an}的前 N 项和为 Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*) . (I)求数列{an}的通项 an; (II)求数列{nan}的前 n 项和 T. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (I)利用递推公式 an+1=2Sn 把已知转化为 an+1 与 an 之间的关系,从而确定数列 an 的 通项; (II)由(I)可知数列 an 从第二项开始的等比数列,设 bn=n 则数列 bn 为等差数列, 所以对数列 n?an 的求和应用乘“公比”错位相减. 解答: 解: (I)∵ an+1=2Sn, , ∴ Sn+1﹣Sn=2Sn, ∴ =3.
2 2

又∵ S1=a1=1, n﹣1 ∴ 数列{Sn}是首项为 1、公比为 3 的等比数列,Sn=3 (n∈N*) . n﹣2 ∴ 当 n≥2 时,an﹣2Sn﹣1=2?3 (n≥2) , ∴ an= (II)Tn=a1+2a2+3a3+…+nan, 当 n=1 时,T1=1; 当 n≥2 时,Tn=1+4?30+6?31+…+2n?3n﹣2,① 3Tn=3+4?31+6?32+…+2n?3n﹣1,② ① ﹣② 得:﹣2Tn=﹣2+4+2(31+32+…+3n﹣2)﹣2n?3n﹣ 1=2+2? =﹣1+(1﹣2n)?3n﹣1

∴ Tn= +(n﹣ )3n﹣1(n≥2) . 又∵ Tn=a1=1 也满足上式,∴ Tn= +(n﹣ )3
n﹣1

(n∈N*)

点评: 本小题考查数列的基本知识,考查等比数列的概念、通项公式及数列的求和,考查分 类讨论及化归的数学思想方法,以及推理和运算能力. 20. (16 分) (2013?盐城一模)若数列{an}是首项为 6﹣12t,公差为 6 的等差数列;数列{bn} n 的前 n 项和为 Sn=3 ﹣t. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{bn}是等比数列,试证明:对于任意的 n(n∈N,n≥1) ,均存在正整数 Cn,使 得 bn+1=a ,并求数列{cn}的前 n 项和 Tn;

(3)设数列{dn}满足 dn=an?bn,且{dn}中不存在这样的项 dt,使得“dk<dk﹣1 与 dk<dk+1”同 * 时成立(其中 k≥2,k∈N ) ,试求实数 t 的取值范围. 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等差数列的通项公式,可得 an=6n﹣12t;再由数列前 n 项和与第 n 项的关 系,即可算出{bn}的通项公式; n﹣1 (2)由{bn}是等比数列,结合(1)的通项公式可得 bn=2?3 ,算出出 t=1 从而得到 n﹣1 n﹣1 * an=6n﹣12t. 通过变形整理, 得到 bn+1=6 (3 +2) ﹣12, 从而得到存在 cn=3 +2∈N , 使 =bn+1 成立,由等比数列求和公式即可算出{cn}的前 n 项和 Tn;

(3)根据(1)的结论,得 差,得 dn+1﹣dn=8[n﹣(2t﹣ )]?3 (n≥2) .因此,分 t< 、2 m
n

,由此进行作



(m∈N 且 m≥3)三种情况加以讨论,分别根据数列{dn}的单调性

解关于 t 的不等式,最后综合即可得到实数 t 的取值范围. 解答: 解: (1)∵ {an}是首项为 6﹣12t,公差为 6 的等差数列, ∴ an=(6﹣12t)+(n﹣1)×6=6n﹣12t…(2 分) n 而数列{bn}的前 n 项和为 Sn=3 ﹣t,所以 n n﹣1 n﹣1 当 n≥2 时,bn=(3 ﹣1)﹣(3 ﹣1)=2?3 , 又∵ b1=S1=3﹣t, ∴ …(4 分)
1﹣1

(2)∵ 数列{bn}是等比数列,∴ b1=3﹣t=2?3 =2,解之得 t=1, n﹣1 因此,bn=2?3 ,且 an=6n﹣12 …(5 分) n n﹣1 n﹣1 对任意的 n(n∈N,n≥1) ,由于 bn+1=2?3 =6?3 =6(3 +2)﹣12,

令 cn=3

n﹣1

+2∈N ,则

*

=6(3

n﹣1

+2)﹣12=bn+1,所以命题成立 …(7 分)
n

数列数列{cn}的前 n 项和为:Tn=2n+

= ?3 +2n﹣

…(9 分)

(3)根据(1)的结论,得
n+1 n


n

由于当 n≥2 时,dn+1﹣dn=4(n+1﹣2t)?3 因此,可得

﹣4(n﹣2t)?3 =8[n﹣(2t﹣ )]?3 ,

① 若 2t﹣ <2,即 t< 时,则 dn+1﹣dn>0,可得 dn+1>dn, ∴ 当 n≥2 时,{dn}是递增数列,结合题意得 d1<d2, 即 6(3﹣t) (1﹣2t)≤36(2﹣2t) ,解之得 ② 若2 ,即 ≤t≤ ,…(13 分)

,则当 n≥3 时,{dn}是递增数列,
2 3

∴ 结合题意得 d2=d3,4(2t﹣2)×3 =4(2t﹣3)×3 ,解之得 t= (14 分) ③ 若m (m∈N 且 m≥3) ,即 + ≤t≤ + (m∈N 且 m≥3) ,

则当 2≤n≤m 时,{dn}是递减数列,当 n≥m+1 时,{dn}是递增数列, 结合题意,得 dm=dm+1,即 4(2t﹣m)×3 =4(2t﹣m﹣1)×3 (15 分) 综上所述,t 的取值范围是 ≤t≤ 或 t= (m∈N 且 m≥2)…(16
m m+1

,解之得 t=



分) 点评: 本题给出成等差数列和成等比数列的两个数列, 求它们的通项公式并找出由它们的公 共项构成的新数列规律,并依此求新数列的前 n 项和.着重考查了等差数列、等比数 列的通项公式,等差数列、等比数列的前 n 项和公式,考查了分类讨论的数学思想和 数列中的猜想、类比与递推的思想,对数学的综合能力要求较高,属于难题.


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江苏省扬州中学2012-2013学年高一5月月考数学试题
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