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2014年高中数学 第一章 解三角形测试卷B 新人教A版必修5


第一章 解三角形单元检测题 B
一、选择题 1.在 ?ABC 中, A ? 45 , B ? 60 , a ? 10 ,则 b ? ( )

A. 5 2

B. 10 2
2

10 6 C. 3
2 2

D. 5 6 )

2.在 ?ABC 中,

若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定

3.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若

a?

5 b 2 , A ? 2 B ,则 cos B ? ( )

5 A. 3

5 B. 4

5 C. 5

5 D. 6


4.在 ?ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,那么角 A 等于( A. 30
?

B. 60

?

C. 120

?

D. 150

?

5.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为 A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三 角形 D、由增 加的长度决定 6.不解三角形,下列判断正确的是( ) A. a ? 7 , b ? 14 , A ? 30 ,有两解 B. a ? 30 , b ? 25 , A ? 150 ,有一解

( )

C. a ? 6 , b ? 9 , A ? 45 ,有两解 D. b ? 9 , c ? 10 , B ? 60 ,无解
? ? 7.在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 , C ? 120 ,则 ?ABC 的面积是(



A. 9

B. 18

C. 9 3

D. 18 3

8.在 ?ABC 中 ,若 A.等腰三角形

sin B sin C ? cos 2
B.直角三角形

A 2 ,则 ?ABC 是(
C.等边三角形

) D.等腰直角三角形 )

9.在 ?ABC中, B ? 45 , C ? 60 , c ? 1 ,则最短边的边长等于(

6 A. 3

6 B. 2

1 C. 2

3 D. 2

? 10.如果满足 ?ABC ? 60 , AC ? 12 , BC ? k 的△ ABC 恰有一个,那么 k 的取值范围是

( )A. k ? 8 3

B. 0 ? k ? 12

C. k ? 12

D. 0 ? k ? 12 或 k ? 8 3
1

11.在 ?ABC 中,

A?

?
3 , BC ? 3 ,则 ?ABC 的周长为( ) 4 3 sin( B ?
B.

4 3 sin( B ?
A.

?
3

)?3

?
6

)?3

6sin( B ?
C.

?
3

)?3
D.

6 sin( B ?

?
6

)?3

12.锐角三角形 ?ABC 中,若 A ? 2 B ,则下列叙述正确的是(

).

① sin 3B ? sin C A.①② B.①②③ 二、填空题

tan


3B C tan ? 1 2 2
D.①④

?
③6

?B?

?
4

a ? [ 2, 3] ④b

C.③④

13.在 ?ABC 中,若 sin( A ? B)sin( A ? B) ? sin C ,则 此三角形形状是_______.
2

14.在 ?ABC 中,已知 A ? 60 , b ? 1 ,

S?ABC

a?b?c ? ? 3 ,则 sin A ? sin B ? sin C _______.

15.在 ?ABC 中,如果 a : b : c ? 2: 6 : ( 3 ?1) ,那么这个三角形的最小角是________. 16.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a, b, c 成等差数列, B ? 30 , ?ABC 的

3 面积为 2 ,则 b ? ____.
三、解答题 17. 如图,海中有一小岛,周围 3.8 海里内有暗礁.一军舰从 A 地出发由西向东航行,望见小 岛 B 在北偏东 75° , 航行 8 海里到达 C 处, 望见小岛 B 在北偏东 60° .若此舰不改变航行的方 向继续前进,问此舰有没有触礁的危险? 18. 在 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 是 角

A ,B ,C

所 对 边 的 长 , S 是 ?ABC 的 面 积 . 已 知

S ? a2 ? (b ? c)2 ,求 tan A 的值.
19.在 ?ABC 中,已知 a ? a ? 2(b ? c) , a ? 2b ? 2c ? 3 .
2

(1)若 sin C : sin A ? 4 : 13 ,求 a, b, c ; (2)求 ?ABC 的最大角的弧度数.

2

20.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内,已知飞机的高度为海拔 10000m,速度 为 180km/h.飞机先看到山顶的俯角为 150,经过 420s 后又看到山顶的俯角为 450,求山顶的 海拔高度(取 2 =1.4, 3 =1.7) .

15

45

A

B

D

21. 在 ?ABC 中,

C
图1 图2

C 已知角 A ,B ,
的对边分别是 a , b , c ,且 a ? b ? c ? 3ab .
2 2 2

(1)求角 C 的大小;

0? A?
(2)如果

2? A m ? 2 cos 2 ? sin B ? 1 3 , 2 ,求实数 m 的取值范围.

22.半圆 O 的直径为 2, A 为直径延长线上一点,且 OA ? 2 . B 为半圆上任意一点,以 AB 为 边向外作等边 ?ABC ,则 B 点在什么位置时四边形 OACB 的面积最大? 求出这个最大面 积. B 1 θ O 2 x A C

3

解三角形测试答案 1.D 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.D 11.D 12.B

2 39 13.直角三角形 14. 3

A?
15.

?
4 . 16. 1 ? 3

17.解:过点 B 作 BD⊥AE 交 AE 于 D , 北 由已知,AC=8,∠ABD=75°,∠CBD=60° 在 Rt△ABD 中,AD=BD·tan∠ABD=BD·tan 75° 在 Rt△CBD 中, 75 CD=BD·tan∠CBD=BD·tan60° A ∴AD-CD=BD(tan75°-tan60°)=AC=8,

B

60
C D E

BD ?


8 8 ? 0 tan 75 ? tan 60 tan(45 ? 30 ) ? 3
0

? 4 ? 3.8
∴该军舰没有触礁的危险. 18.解:∵ S ? a ? (b ? c) ,
2 2

S?

1 1 bc sin A, bc sin A 2 2 ? 2 2 ∴ a ? (b ? c) .

b2 ? c 2 ? a 2 1 1 b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2bc(1 ? ) sin A, ? 1 ? sin A 4 2bc 4 即 ∴ .
1 1 1 cos A ? 1 ? sin A cos 2 A ? 1 ? sin A ? sin 2 A 4 2 16 即 ,则 , 17 2 1 8 sin A ? sin A ? 0 sin A ? 2 17 ( sin A ? 0 舍去). 化简得 16 ,解得 1 15 sin A 8 cos A ? 1 ? sin A ? tan A ? ? 4 17 ,故 cos A 15 . 代入
19.解: (1)由正弦定理,有 sin C : sin A ? c : a ? 4 : 13 ,∴可设 c ? 4k , a ? 13k .
2 2 由已知条件得 a ? a ? 2c ? 2b , 2c ? a ? 3 ? 2b ,故 a ? a ? 2c ? 2c ? a ? 3 .

∴ 13k ? 13k ? 8k ? 8k ? 13k ? 3 ,即 13k ? 16k ? 3 ? 0 ,∴
2
2

k?

3 13 或 k ? 1 .

k?
∵当

3 13 时, b ? 0 ,故舍去, ∴ k ? 1 ,

∴ a ? 13 ,

b?

5 ? 13 2 ,c ? 4.
4

(2)由已知二式消去 2b ,得

c?

a2 ? 3 4 ,代入 a 2 ? a ? 2b ? 2c ? 0 中,

b?


1 2 1 (a ? 2a ? 3) ? (a ? 3)(a ? 1) 4 4 ,

∵ a, b, c ? 0 ,∴ a ? 3 .

b?c ?


a2 ? 3 1 1 (? a ? 3) ? 0 c ? a ? ? a ? (a ? 3)(a ? 1) ? 0 2 4 4 , ,

∴ b ? c, a ? c ,故 c 为最大边,所以角 C 最大.

(?a ? 3)(a 2 ? a) a ?b ?c 4 cos C ? ? 1 2ab 2a (a ? 3)(a ? 1) 4 ∵
2 2 2

a2 ?

?

4a 2 ? (a ? 3)a(a ? 1) 4a ? (a 2 ? 2a ? 3) 1 ? ?? 2 2a(a ? 3)(a ? 1) 2(a ? 2a ? 3) 2,
C? 2? 3 .

而 0 ? C ? ? ,∴

20.解:如图 ∵ ?A ? 150 , ?DBC ? 450,∴ ?ACB ? 300,

1 AB= 180000 ? 42 0× 3600 = 21000(m ) BC AB ? ∴在 ?ABC 中, sin A sin ?ACB

BC ?


21000 ? sin 150 ? 10500 ( 6 ? 2) 1 2

∵ CD ? AD , ∴ CD ? BC sin ?CBD ? BC ? sin 45
0

( 6 ? 2) = 10500

?

2 2

(1.7 ? 1) ( 3 ? 1) = 10500 = 10500
5

=7350 山顶的海拔高度=10000-7350=2650(米)

a 2 ? b2 ? c 2 3 ? 2 2 2 2ab 2 . 21.解: (1)由 a ? b ? c ? 3ab ,得 cos C ?
由余弦定理知

? 3 C? 6. 2 ,∴

m ? 2cos 2
(2)∵

A 1 ? cos A ? sin B ?1 ? 2 ? sin[ ? ?( A ? C)] ?1 2 2

? cos A ? sin( A ? C ) ? cos A ? sin( A ?

?
6

)

? cos A ? sin A cos

?
6

? cos A sin

?
6

? cos A ?

3 1 sin A ? cos A 2 2

1 3 ? ? ? ? cos A ? sin A ? cos A cos ? sin A sin ? cos( A ? ) 2 2 3 3 3
0? A?


2? 3

?
∴3

? A?

?
3

??
.

? 1 1 ?1 ? cos( A ? ) ? [ ?1, ) 3 2 ,即 m 的取值范围是 2 . ∴
22.解:设 AB ? x , ?AOB ? ? ,在 ?ABC 中运用余弦定理, 得 x 与 ? 存在关系:

x2 ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2cos ? ? 5 ? 4cos ? .
又设四边形 OACB 的面积 是 S ,则



S ? S?AOB ? S?ABC ? sin ? ?

3 2 x 4 .



S ? sin ? ? 3 cos ? ?
将①式代入②得 ∵ ? ? (0, ? ) ,∴

5 3 ? 5 3 ? 2sin(? ? ) ? 4 3 4 .

?

?
3

?? ?

?
3

?

2? 3 .

??
∴当且仅当

?
3

?

?
2 ,即

??

5? 8?5 3 Smax ? 6 时, 4 .
6

5? 8?5 3 4 . 即以 OA 为始边,OB 逆时针方向旋转 6 时,四边形 OACB 面积最大,最大值为

7


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