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1.3.2球的体积和表面积教学设计


《1.3.2 球的体积和表面积》教学设计
教材:人民教育出版社 A 版普通高中课程标准实验教科书《数学必修 2》
长泰二中 沈秋彬

一、 教学目标
知识目标:
4 1、掌握球的体积公式 V ? ? R 3 、表面积公式 S ? 4? R2 . 3 2、会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题,培养学生应用数学的能力. 3、能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接”与“外切”的几何体问题. 能力目标: 通过类比、归纳、猜想等合情推理培养学生勇于探索的精神. 提高学生分析、综合、抽 象概括等逻辑推理能力 情感目标: 通过寻求如何研究球的内切与外接的方法,培养学生将数学知识和生活实际相联系的意 识,对学生进行“事物具有多面性”的辩证唯物主义思想教育.

二、 教学重点、难点
重点:球的体积和表面积的计算公式的应用. 难点:解决与球相关的“内接”与“外切”的几何体问题

三、教学方法
采用试验探索,启发式的教学方法. 教辅手段:圆柱、圆锥、半球容积比实物模型;一盆水;多媒体.

四、教学过程
教学 环节 教学内容 师生互动
A

设计意 图

复 习 引 入

1.球的概念: 球面可以看作一个半圆绕着它的直 径所在的直线旋转一周所形成的曲面, 球面所为成的几何体叫做球体,简称 球. 一个球用表示它的球心的字母表 示,例如球 O . 2. 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分 别是什么?柱体、锥体、台体的体积公式分 什么? (1) .多面体的面积和体积公式 侧面积(S 侧) 全面积(S 全) 名称 棱 柱 棱柱 直截面周长 ×l

R O

C

B

别是

体 积(V)

S 侧+2S 底

S 底·h=S 直
截面

·h

直棱 柱 棱 锥 棱锥

ch 各侧面积之 和 1 ch′ 2 各侧面面积 之和 1 2

S 底·h S 侧+S 底
1 S 3


教 师 提 出 问 方 正棱 题 , 学 生 面唤起 锥 思考作答. 学生对 1 棱台 球体的 S 侧+S 上底 3 h(S 上底+S 下底 棱 概念的 台 正棱 认识, + S下底 ? S下底 ) +S 下底 台 加深印 (c+c′)h′ 象;另 表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 一 方 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。 面,为 (2) .旋转体的面积和体积公式 本节做 名 圆柱 圆锥 圆台 好必要 称 的知识 2π rl π rl π (r1+r2)l S侧 铺垫.

·h

π (r1+r2)l+ π (r21+r22) 1 1 π r2h(即π π r2h π h(r21+r1r2+r22) V 2 r l) 3 3 表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的 底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。

S全

2π r(l+r)

π r(l+r)

3.正四面体:每个面都是正三角形的正三棱锥。 教学 环节
教学内容 师生互动 设计意 图

知 识 的 形 成

问题提出:球也是一个旋转体,它也有表面积和体积,怎样 求一个球的表面积和体积也就成为我们学习的内容. 1.球的体积 可先求半径为 R 的半球的体积.为此,采用倒水做实验的 方法,直观得出球的体积公式. 取三个形状不同的容器,其 中一个是半球形的,一个是圆柱形的,一个是圆锥形的,它 们的高和底面圆的半径长都是 R .先在半球和圆锥容器里灌 满水,然后倒入圆柱形容器里,我们可以发现,这些水恰好 把圆柱形容器灌满.这个实验告诉我们,半球的体积等于与它 等底、等高的圆柱与圆锥的体积的差,就是:
1 2 V半球 ? V圆柱 ? V圆锥 ? ?R 2 ? R ? ?R 2 ? R ? ?R 3 所 以 , 3 3 4 3 V球 ? ?R 3

师生共同 完成倒水 实验,教 师引导学 生探索发 现球的体 积公式.

从实验 入手, 激发学 生的学 习兴 趣,让 学生发 现并体 验数学 中的美

2 球的表面积:
王新敞
奎屯 新疆

(以后讲)

1 V ? (h1 ? ?S1 ? h2 ? ?S 2 ? ? ? hi ? ?Si ? ?) 3





hi ? R



且 教师 渗 讲解,学 透微积 生感悟分 分 思 割、近似、 想. 极限等思 想

S ? ?S1 ? ?S2 ??? ?Si ??

∴可得 V ?

1 R?S , 3

4 1 4 又∵ V ? ? R 3 ,∴ R ? S ? ? R 3 , 3 3 3

∴ S ? 4? R2 即为球的表面积公式

王新敞
奎屯

新疆

4 小结:球的体积公式 V ? ? R 3 、表面积公式 S ? 4? R2 都是以 3 R为 自变量的函数。 练习 1:如果球的体积是 36 ? cm3,那么它的半径是 .3 练习 2: 若两个球的体积之比为 8:27,那么两个球的表面 积之比为( C ) (A)8:27 (B)2:3 (C)4:9 (D)2:9 例 1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,,求证: 2 教 师 (1)球的体积等于圆柱体积的 引导学生 3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 共同完成

应 用 举 例

证明: (1)设球的半径为 R,则圆柱的 底面半径为 R,高为 2R. 则有 V 球= ?R 3 , V 圆柱=π R2· 2R=2π R3,所以 V 球= V圆柱 . (2)因为 S 球=4π R2,S 圆柱侧=2π R· 2R=4π R2,所以 S 球=S 圆柱侧.
2 3 4 3

让 学生巩 固加深 所学内 容并灵 活 运 用.

变式 1:把上一题的圆柱改为正方体,且正方体的 棱长为 a, 球的半径为多少? 变式 2:若把球吹大到内切于正方体的棱,且正方 体的棱长为 a,此时球的半径又为多少? 变式 3:若球接着吹大到刚好包围整个正方体即球 各个顶点都在球面上, 且正方体的棱长为 a,此时球的 半径又为多少?

图1

图2 图3

例 2、如果一个几何体的正视图与侧视图都是全等的

长方形,边长分别是 4 cm 与 2 cm,如图所示,俯视
应 用 举 例

图是一个边长为 4 cm 的正方形. (1)求该几何体的全面积. (2)求该几何体的外接球的体积. 解
【审题指导】根据本题所给条 件中的三视图, 判断该几何体的 形状与几何体中相关的数量关 系, 根据这些求该几何体的全面 积及其外接球的体积. 【规范解答】(1)由题意可知, 该几何体是长方体,

底面是正方形,边长是 4,高是 2,?????????3 分 因此该几何体的全面积是: 2×4×4+4×4×2=64 (cm2), 即几何体的全面积是 64 cm2. ????????? 6 分 (2)由长方体与球的性质可得, 长方体的体对角线是球的直径, 记长方体的体对角线为 d,球的半径是 r, d ? 16 ? 16 ? 4 ? 36 ? 6, 所以球的半径为 r=3. ???????????????????9 分 4 4 因此球的体积 V ? ?r 3 ? ? 27 ? ? 36? cm 3 ,

3

3

?

?

所以外接球的体积是 36π cm3. ?????????12 分 课堂 练习 1. 一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是 4cm,这个球的 学 生 32 3? 体积为_______cm3. 思考、解 2. 有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧 答 , 老 师 棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比 巡视,个 _____________. 别指导, 1: 2 2 : 3 3 发现共性 问题,及 时让同学 讨论. 巩固所 学 知 识 , 培 养学生 的分析 和解决 问题的 能力以 及基本 的运算 能力.

为高三 复习做 准备 1.通过做实验的方法,获得了球的体积公式和表面积公式. 学生小 4 结,可 2.掌握球的体积公式 V ? ? R 3 、表面积公式 S ? 4? R2 以逐步 3 3.熟练掌握球的内切、外接问题 学 生 提高学 解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径 小结,教师 生自我 或半径,关键是根据“切点”和“接点”,作出轴截面图,把空间 完善. 获取知 问题转化为平面问题来计算. 识的能 力.教 课堂 师 完 小结 善,使 知识更 系 统 化.
思考 题

思考: 若把正方体 A、 B、 C1、 1 连接起来成一个什么图形? D 这个图形的外接球半径等价于什么图形外接球的半径?

1、课本 P29B1 2、 《世纪金榜》 P16 例 2 3、 《世纪金榜》P17 基础自主演练 6 4、半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面 圆内,若正方体的边长为

6 ,求半球的表面积和体积。

解:作轴截面如图所示, CC? ? 6 , AC ? 2 ? 6 ? 2 3 , 设球半径为 R , 则 R2 ? OC 2 ? CC?2 作业

课 下 学生独立 完成.

D' A' D A O B' B C C'

? ( 6) ? ( 3) ? 9 ∴ R ? 3, ∴ S球 ? 4? R2 ? 36? , 4 V球 ? ? R 3 ? 36? . 3
2 2

A' R A O

C'

C

思考题: 正三棱锥的高为 1,底面边长为 2 6 。求棱锥的全面积和它 的内切球的表面积。


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