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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练63


题组层级快练(六十三)
x2 y2 1.已知对任意 k∈R,直线 y-kx-1=0 与椭圆 + =1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围是( 5 m A.(0,1) C.[1,5)∪(5,+∞) 答案 C x2 y2 解析 直线 y=kx+1 过定点(0,1),只要(0,1)不在椭圆 + =1 外部即可. 5 m x2 y2 从而 m≥1.又因为椭圆 + =1 中 m≠5, 5 m 所以 m 的取值范围是[1,5)∪(5,+∞). 2. 椭圆的焦点为 F1, F2, 过 F1 的最短弦 PQ 的长为 10, △PF2Q 的周长为 36, 则此椭圆的离心率为( A. 3 3 1 B. 3 D. 6 3 ) B.(0,5) D.[1,5) )

2 C. 3 答案 C 解析 PQ 为过 F1 垂直于 x 轴的弦,

b2 则 Q(-c, ),△PF2Q 的周长为 36. a ∴4a=36,a=9. a2-c2 b2 由已知 =5,即 =5. a a 又 a=9,解得 c=6, c 2 2 解得 = ,即 e= . a 3 3 x2 y2 3.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点 a b 坐标为(1,-1),则 E 的方程为( x2 y2 A. + =1 45 36 x2 y2 C. + =1 28 18 答案 D 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ) x2 y2 B. + =1 36 27 x2 y2 D. + =1 18 9

∵A,B 在椭圆上,∴

? ?x y ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 + =1, ① a2 b2 ②

①-②,得

?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? + =0, a2 b2 ?y1+y2??y1-y2? b2 即 2=- , a ?x1+x2??x1-x2? ∵AB 的中点为(1,-1),∴y1+y2=-2,x1+x2=2. 而 y1-y2 0-?-1? 1 b2 1 =kAB= = ,∴ 2= . 2 a 2 x1-x2 3-1

又∵a2-b2=9,∴a2=18,b2=9. x2 y2 ∴椭圆 E 的方程为 + =1.故选 D. 18 9 1 x2 y2 4.(2015· 安徽安庆六校联考)已知斜率为- 的直线 l 交椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)于 A,B 两点,若点 2 a b P(2,1)是 AB 的中点,则 C 的离心率等于( 1 A. 2 3 C. 4 答案 D 1 1 b2 1 1 b2 b2 1 c 解析 kAB=- ,kOP= ,由 kAB· kOP=- 2,得 ×(- )=- 2.∴ 2= .∴e= = 2 2 a 2 2 a a 4 a b2 3 1- 2= . a 2 ) B. D. 2 2 3 2

x2 y2 1 5.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的两个实根分别 a b 2 为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)在( A.圆 x2+y2=2 内 B.圆 x2+y2=2 上 C.圆 x2+y2=2 外 D.以上三种情形都有可能 答案 A
2 c 1 a b c b2 2c b +2ca 2 2 解析 由已知得 e= = ,c= ,x1+x2=- ,x1x2=- ,x2 1+x2=(x1+x2) -2x1x2= 2+ = a 2 2 a a a a a2

)



b2+a2 2a2 < 2 =2,因此点 P(x1,x2)必在圆 x2+y2=2 内. a2 a x2 6.设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 +y2=1 上的点,则 P,Q 两点间的最大距离是( 10 A.5 2 C.7+ 2 答案 D B. 46+ 2 D.6 2 )

解析 设圆的圆心为 C,则 C(0,6),半径为 r= 2,点 C 到椭圆上的点 Q( 10cosα,sinα)的距离|CQ| = ? 10cosα?2+?sinα-6?2= 46-9sin2α-12sinα= 2?2 2 50-9? ?sinα+3? ≤ 50=5 2,当且仅当 sinα=-3

时取等号,所以|PQ|≤|CQ|+r=5 2+ 2=6 2,即 P,Q 两点间的最大距离是 6 2,故选 D. 7.(2015· 河南豫东、豫北十所名校阶段测试)如图所示,内外两个椭圆的离心率相同,从外层椭圆顶点 x2 y2 1 向内层椭圆引切线 AC,BD,设内层椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0),若直线 AC 与 BD 的斜率之积为- , a b 4 则椭圆的离心率为( )

1 A. 2 C. 3 2

B.

2 2

3 D. 4

答案 C x2 y2 解析 设外层椭圆方程为 =1(a>b>0,m>1),则切线 AC 的方程为 y=k1(x-ma),切线 BD 2+ ?ma? ?mb?2
?y=k1?x-ma?, ? 2 3 2 2 4 2 2 2 的方程为 y=k2x+mb,则由? 消去 y,得(b2+a2k2 1)x -2ma k1x+m a k1-a b =0. 2 2 2 2 ? ? bx ? + ? ay ? = a b , ?

因为

2 2 2 2 2 4 2 2 2 Δ=(2ma3k2 1) -4(b +a k1)(m a k1-a b )=0,整理,得

2 1 2 b k1= 2· 2

. a m -1

?y=k2x+mb, ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由? 消去 y,得(b2+a2k2 2)x +2a mbk2x+a m b -a b =0,因为 Δ2=(2a mbk2) - 2 2 2 2 ??bx? +?ay? =a b , ?

b2 2 2 2 2 2 2 2 4×(b2+a2k2 (m -1). 2)(a m b -a b )=0,整理,得 k2= 2· a 所以 b4 2 2 k1· k2= 4.因为 a
2 2 1 b2 1 2 c2 a -b 3 3 k1k2=- ,所以 2= ,e = 2= 2 = ,所以 e= ,故选 C. 4 a 4 a a 4 2

8. 椭圆 mx2+ny2=1 与直线 y=1-x 交于 M, N 两点, 若原点 O 与线段 MN 的中点 P 连线的斜率为 m 则 的值是________. n 答案 2 2

2 , 2

? ?y=1-x, 解析 由? 2 消去 y, 2 ?mx +ny =1 ?

得(m+n)x2-2nx+n-1=0. n m 则 MN 的中点 P 的坐标为( , ). m+n m+n

m 2 ∴kOP= = . n 2 y2 x2 9.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为 1,则椭圆方程为 a b ________. 答案 y2 2 +x =1 4

y2 x2 解析 ∵椭圆 2+ 2=1 的右顶点为 A(1,0), a b ∴b=1,焦点坐标为(0,c),∵过焦点且垂直于长轴的弦长为 1,即 1=2|x|=2b =2. y2 则椭圆方程为 +x2=1. 4 x2 y2 10.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),以 O 为圆心,短半轴长为半径作圆 O,过椭圆的长轴的一端点 P 作圆 a b O 的两条切线,切点为 A,B,若四边形 PAOB 为正方形,则椭圆的离心率为________. c2 2b2 2 1- 2= = ,a a a a

答案

2 2

解析 如图,因为四边形 PAOB 为正方形, 且 PA, PB 为圆 O 的切线,所以△OAP 是等腰直角三角形, c 2 故 a= 2b.所以 e= = . a 2 x2 y2 11.(2013· 福建)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+c) a b 与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________. 答案 3-1

解析 由直线 y= 3(x+c)知其倾斜角为 60° , 由题意知∠MF1F2=60° ,则∠MF2F1=30° ,∠F1MF2=90° . 故|MF1|=c,|MF2|= 3c. 又|MF1|+|MF2|=2a,∴( 3+1)c=2a. 即 e= 2 = 3-1. 3+1

→ → x2 12.设 F1,F2 分别是椭圆 +y2=1 的左、右焦点,若 P 是该椭圆上的一个动点,求PF1· PF2取值范围. 4 答案 [-2,1]

解析 易知 a=2,b=1,c= 3, 所以 F1(- 3,0),F2( 3,0). 设 P(x,y), → → 则PF1· PF2=(- 3-x,-y)· ( 3-x,-y) x2 1 =x2+y2-3=x2+1- -3= (3x2-8). 4 4 → → 因为 x∈[-2,2],故当 x=0,即点 P 为椭圆短轴端点时,PF1· PF2有最小值-2; → → 当 x=± 2,即点 P 为椭圆长轴端点时,PF1· PF2有最大值 1. → → 所以PF1· PF2的取值范围为[-2,1]. x2 y2 2 13.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点 A(2,0),离心率为 ,直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不 a b 2 同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 x2 y2 答案 (1) + =1 4 2 10 时,求实数 k 的值. 3

(2)k=± 1

c 2 解析 (1)∵a=2,e= = ,∴c= 2,b= 2. a 2 x2 y2 椭圆 C: + =1. 4 2 y=k?x-1?, ? ?2 2 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则由?x y 消 y,得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. ? 4 + 2 = 1, ? ∵直线 y=k(x-1)恒过椭圆内一点(1,0), ∴Δ>0 恒成立. 2k2-4 4k2 由根与系数的关系,得 x1+x2= . 2,x1x2= 1+2k 1+2k2 1 1 S△AMN= ×1×|y1-y2|= ×|kx1-kx2| 2 2 =
2 |k| |k| 16+24k 10 ?x1+x2?2-4x1x2= . 2 = 2 2 1+2k 3

即 7k4-2k2-5=0,解得 k=± 1. 14.(2015· 安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 x2+y2-4x+2 2y=0 的圆心 C. (1)求椭圆的方程; 2 ,且椭圆经过圆 C: 2

(2)设直线 l 过椭圆的焦点且与圆 C 相切,求直线 l 的方程. x2 y2 答案 (1) + =1 8 4 (2) 2x-5y+2 2=0 或 2x+y+2 2=0 解析 (1)圆 C 方程化为(x-2)2+(y+ 2)2=6, 圆心 C(2,- 2),半径 r= 6. x2 y2 设椭圆的方程为 2+ 2=1(a>b>0),则 a b

?a +b =1, ? b 2 ?1-?a? =? 2 ? ,
2 2 2 2

4

2

2 ? ?a =8, 所以? 2 ?b =4. ?

x2 y2 所以所求的椭圆方程是 + =1. 8 4 (2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是 F1(-2,0),F2(2,0), |F2C|= ?2-2?2+?0+ 2?2= 2<r< 6. F2 在圆 C 内,故过 F2 没有圆 C 的切线. 设 l 的方程为 y=k(x+2),即 kx-y+2k=0, |2k+ 2+2k| 点 C(2,- 2)到直线 l 的距离为 d= , 1+k2 |2k+ 2+2k| 由 d= 6,得 = 6. 1+k2 化简,得 5k2+4 2k-2=0,解得 k= 2 或 k=- 2. 5

故 l 的方程为 2x-5y+2 2=0 或 2x+y+2 2=0. 15.(2014· 北京文)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最小值. 答案 (1)e= 2 2 (2)2 2

x2 y2 解析 (1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1, 4 2 所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2. 因此 a=2,c= 2. c 2 故椭圆 C 的离心率 e= = . a 2 (2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0.

→ → 2y0 2 2 2 因为 OA⊥OB,所以OA· OB=0,即 tx0+2y0=0,解得 t=- .又 x2 0+2y0=4,所以|AB| =(x0-t) +(y0 x0
2 2y0 2?4-x2 4y2 x2 8 0? 0 0 2 2 4-x0 x0+ ?2+(y0-2)2=x2 -2)2=? + y + + + 4 = + +4(0<x2 2 +4=x0+ 2 0 0 0≤4). x0 ? ? x0 2 x0 2 x2 0

x2 8 0 2 2 因为 + 2≥4(0<x2 0≤4),且当 x0=4 时等号成立,所以|AB| ≥8. 2 x0 故线段 AB 长度的最小值为 2 2. x2 y2 16.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1(-1,0),且点 P(0,1)在 a b C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2:y2=4x 相切,求直线 l 的方程. x2 答案 (1) +y2=1 2 (2)y= 2 2 x+ 2或 y=- x- 2 2 2

解析 (1)椭圆 C1 的左焦点为 F1(-1,0),∴c=1. 又点 P(0,1)在曲线 C1 上, 0 1 ∴ 2+ 2=1,得 b=1,则 a2=b2+c2=2. a b x2 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 2 (2)由题意可知,直线 l 的斜率显然存在且不等于 0,设直线 l 的方程为 y=kx+m, x ? ? 2 +y2=1, 由? 消去 y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. ? ?y=kx+m, 因为直线 l 与椭圆 C1 相切, 所以 Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理,得 2k2-m2+1=0.①
2 ? ?y =4x, 由? 消去 y,得 k2x2+(2km-4)x+m2=0. ?y=kx+m, ? 2

因为直线 l 与抛物线 C2 相切, 所以 Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理,得 km=1.② 2 2 ? ? ?k= , ?k=- , 2 2 综合①②,解得? 或? ? ? ?m= 2. ?m=- 2. 所以直线 l 的方程为 y= 2 2 x+ 2或 y=- x- 2. 2 2


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