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2013高一第二学期理科数学第2次月考


2012-2013 学年第二学期会昌中学第 2 次月考 高一理科数学试题
时间:120 分钟 一. 满分:150 分 命题人:文桂生 选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,

9.若实数 x、y 满足 4 +4 =2 A.0<t≤2

x

y

x+1

+2

y+1

,则 t=2 +2 的取值范围是( C.2<t≤4 D.t≥4

x

y

)

B.0<t≤4

10.等比数列{an}的公比为 q,其前 n 项的积为 Tn,并且满足条件 a1>1,a99a100-1>0,

只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x-3)>0},则A∩B=( ) 2 2 A.(-∞,-1) B.{-1,- } C.(- ,3) D.(3,+∞) 3 3

a99-1 <0.给出下列结论:①0<q<1;②a99·a101-1<0;③T100 的值是 Tn 中最大的; a100-1
④使 Tn >1 成立的最大自然数 n 等于 198.其中正确的结论是( A.①②④ B.②④ C.①② ) D.①②③④

2.设数列{an}是等差数列,若 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+…+a7=( A.14 B.21 C.28 D.35

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。)
) 11.已知向量 a=(1,3),b=(3,n),若 2a-b 与 b 共线,则实数 n 的值是
12.过两直线 x+3y-10=0 和 y=3x 的交点,并且与原点距离为 1 的直线方程

.

3.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若角 A、B、C 依次成等差数列,且



.

a ? 1, b ? 3, 则S?ABC =(
A.



13.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 C. 2 D.2

cos B b ,则角 B 的大小 ?? cos C 2a ? c
.

3 2

B. 3

为________ 14.若存在实数 x ? [1, 2] 满足 2x ? a ? x 2 ,则实数 a 的取值范围是 ..

4. 若非零向量 a , b , c 满足 a ∥ b ,且 a ⊥ c ,则 c ·( a +2 b )=( A.4 B.3 C.2 D.0 ) D.150°

).

15. 如图,将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表.已知表中的第一列

a1,a2,a5,…构成一个公比为 2 的等比数列,从第 2 行起,每一行都是一个公差为 d 的等
差数列.若 a4=5,a86=518,则 d= .

5.边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为( A.90° B.120° C.135°

6.经过点 P(2,-1),且在 y 轴上的截距等于它在 x 轴上的截距的 2 倍的直线 l 的方程 是( ) B.2x+y=4 C.2x+y=3 D.2x+y=3 或 x+2y=0

a1 a2 a5
……

a3 a4 a6 a7 a8 a9

A.2x+y=2

7.P 点在直线 3x+y-5=0 上,且 P 到直线 x-y-1=0 的距离为 2,则 P 点坐标 为 ( ) B.(2,1) C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)

A.(1,2)

三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
16.(本小题满分 12 分)已知 a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2).

?2x+y≥4, 8.设 x,y 满足?x-y≥-1, ?x-2y≤2,
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值

则 z=x+y(

)

(1)若| c |=2 5,且 c ∥ a ,求 c 的坐标; (2)若| b |= 5 ,且 a +2 b 与 2 a - b 垂直,求 a 与 b 的夹角 θ . 2

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,又无最大值

高一年级第二学期第 2 次月考理科数学试卷

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17.(本小题满分 12 分) A、B 是直线 y ? 0与函数f ( x) ? 2 cos2

20.(本小题满分 13 分)

?x
2

? cos(?x ?

?
3

) ? 1(? ? 0) 图像的两个相邻交点,且

已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2、a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=anlog0.5an,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn+n·2
n+1

| AB |?

?
2

. (I)求 ? 的值;(II)在锐角 ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,若

>50 成立的正整数 n 的最小值.

3 f ( A) ? ? , c ? 3, ?ABC 的面积为 3 3 ,求 a 的值. 2

18.(本小题满分 12 分) x+1 设关于 x 的不等式 x(x-a-1)<0(a∈R)的解集为 M,不等式 ≤0 的解集为 N. x-3 (1)当 a=1 时,求集合 M;(2)若 M? N,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分)
已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? a ( S n ? a n ? 1) ( a 为常数,且 a ? 0, a ? 1 ). (Ⅰ)求 ?a n ?的通项公式;(Ⅱ)设 bn ? a n ? S n ? a n ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值;
2

(Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下,设 c n ? 求证: Tn ? 2n ?

1 1 ? ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn , a n ? 1 a n ?1 ? 1

1 . 2

19.(本小题满分 12 分) 已知直线 l:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0 及点 P(3,4). (1)证明直线 l 过某定点,并求该定点的坐标. (2)当点 P 到直线 l 的距离最大时,求直线 l 的方程.

高一年级第二学期第 2 次月考理科数学试卷

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2012-2013 学年第二学期会昌中学第 2 次月考高一理科数学试题答案
一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 B 6 D 7 C 8 B 9 C 10 A

17.解:(1) f ( x) ? 1 ? cos?x ?

1 3 ? cos?x ? sin ?x ? 1 ? ? 3 sin(?x ? ). 2 2 3

由函数的图象及 | AB |?

?
2

,得到函数的周期 T ?

2?

?

? 2?

?
2

,解得 ? ? 2.

9. 依题意得,(2x+2y)2-2×2x×2y=2(2x+2y),则 t2-2t=2×2x×2y≤2× 解得 0≤t≤4;又 t2-2t=2×2x×2y>0,且 t>0, 因此有 t>2,故 2<t≤4,选 C.

t2 , 4

(2)? f ( A) ? ? 3 sin(2 A ? 又? ?ABC 是锐角三角形, ? 即A?

?

? 3 3 . ) ? ? ? sin(2 A ? ) ? 3 2 3 2

?
3

? 2A ?

?
3

?

2? ? ? ,? 2 A ? ? , 3 3 3

10.由 a1>1,a99a100>1,(a99-1)· 100-1)<0,∴a99>1,0<a100<1,0<q<1.a99a101=a2 <1, (a 100 n?n-1? n?n-1? n-1 由 Tn=a1a2…an=an· 2 ,若 Tn<1,即 an· 2 <1,即 a1· 2 <1, q 1q 1q n-1 由 a99>1,0<a100<1,∴a1·99<1,知要求 Tn<1 的最小自然数,即 99≤ q , 2 ∴n≥199,∴Tn<1 的最小自然数为 199,∴T198<1 不正确.
二、填空题 11. 13. 9 12. x=1 或 4x-3y+5=0

?
3

.

由 S ?ABC ?
2 2

1 3b 3 bc sin A ? ? ? 3 3, 得b ? 4 2 2 2
2 2 2

由余弦定理,得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ?

1 ? 13, 即 a ? 13 . 2

18.解:(1)当 a=1 时,由已知得 x(x-2)<0.所以 M={x| 0<x<2}.

(2)由已知得 N={x| -1≤x<3}.

2? 3

①当 a<-1 时,因为 a+1<0,所以 M={x| a+1<x<0}. 因为 M? N,所以-1≤a+1<0,解得-2≤a<-1. ②若 a=-1 时,M=?,显然有 M? N,所以 a=-1 成立. ③若 a>-1 时,因为 a+1>0,所以 M={x| 0<x<a+1}.

14.

(??,8)

15.

3 2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 16.解:(1)设 c=(x,y),由 c∥a 和|c|=2 5可得

?1·y-2·x=0 ? 2 2 ?x +y =20

,∴?

?x=2 ?y=4

或?

?x=-2 ?y=-4



又 N={x| -1≤x<3},因为 M? N,所以 0<a+1≤3,解得-1<a≤2. 综上所述,a 的取值范围是[-2,2].

∴c=(2,4)或 c=(-2,-4). (2)∵(a+2b)⊥(2a-b),∴(a+2b)·(2a-b)=0,即 2a2+3a·b-2b2=0. 5 5 2 2 ∴2|a| +3a·b-2|b| =0.∴2×5+3a·b-2× =0,∴a·b=- . 4 2
19. 解:(1)证明

l 的方程化为 a(2x+y+1)+b(x+y-1)=0,
得?

a·b ∴cos θ = = |a||b|

5 - 2 5· 5 2

?2x+y+1=0 由? ?x+y-1=0,

?x=-2 ?y=3

,∴直线 l 恒过定点(-2,3).

=-1.∵θ ∈[0,π ],∴θ =π .

(2)设直线 l 恒过定点 A(-2,3),当直线 l 垂直于直线 PA 时,点 P 到直线 l 的距离最大,又 4-3 1 直线 PA 的斜率 kPA= = ,∴直线 l 的斜率 kl=-5. 3+2 5 故直线 l 的方程为 y-3=-5(x+2),即 5x+y+7=0.
20.解(1)设等比数列{an}的公比为 q.依题意,有 2(a3+2)=a2+a4, 高一年级第二学期第 2 次月考理科数学试卷 第 3 页 (共 2 页)

代入 a2+a3+a4=28,得 a3=8,∴a2+a4=20,
3 ?a1q+a1q =20 于是有? ?a3=a1q2=8

(III)证明:由(Ⅱ)知 bn ? ( ) n ,

?a1=2 ,解得? ?q=2

?a1=32 ? ,或? 1 ?q=2 ?

1 2

.

所以 cn ?

1 1 ( )n ? 1 2

?

1 1 ( ) n ?1 ? 1 2

?

2n 2 n ?1 1 1 ? n ?1 ? 2? n ? n?1 n 2 ? 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

又{an}是单调递增数列,∴a1=2,q=2,所以 an=2·2n-1=2n. (2)bn=anlog0.5an=2 ·log0.52 =-n·2 ,
n n n

所以 c n ? 2 ?

1 1 ? n ?1 n 2 2 1 1 1 1 1 1 ? 2 ) ? (2 ? 2 ? 3 ) ? ? ? (2 ? n ? n?1 ) 2 2 2 2 2 2

∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n, ① -2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,② 2? 1-2 ? ①-②,得 Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1= -n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1, 1-2 ∴Sn+n·2n+1=2n+1-2,Sn+n·2n+1>50,即 2n+1-2>50,即 2n+1>52, 当 n≤4 时,2n+1≤25=32<52;当 n≥5 时,2n+1≥26=64>52. 故使 Sn+n·2n+1>50 成立的正整数 n 的最小值为 5.
n

Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? (2 ? ? 2n ? 1 1 1 ? n?1 ? 2n ? 2 2 2

21 解(Ⅰ) S1 ? a( S1 ? a1 ? 1) ∴ a1 ? a, 当 n ? 2 时, S n ? a( S n ? a n ? 1) S n ?1 ? a( S n ?1 ? a n ?1 ? 1) 两式相减得: a n ? a ? a n ?1 ,

an ? a 即 {an } 是等比数列.∴ an ? a ? a n ?1 ? a n ; an ?1

a(a n ? 1) n (2a ? 1)a 2 n ? aa n a , bn ? (Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? (a ) ? , a ?1 a ?1
n 2

若 {bn } 为等比数列,则有 b2 2 ? b1 b3, 而 b1 ? 2a , b2 ? a (2a ? 1) , b2 ? a (2a ? a ? 1) 故
2 3 4 2

[a 3 (2a ? 1)] 2 ? 2 a 2 a 4(2 a 2+ a +1),解得 a ?
再a ?

1 2

1 1 n 1 将代入得 bn ? ( ) 成立,所以 a ? . 2 2 2

高一年级第二学期第 2 次月考理科数学试卷

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