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2013届高考数学知识点复习测试题9


第3讲

二元一次不等式(组)与简单线性规划问题
★ 知 识 梳理 ★

(一)二元一次不等式表示的区域
对于直线 Ax ? By ? C ? 0 (A>0)

当 B>0 时 ,

Ax ? By ? C ? 0

表示直线

Ax ? By ? C ? 0

上方区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? c ? 0 的下方区域.

当 B<0 时 ,

Ax ? By ? C ? 0

表示直线

Ax ? By ? C ? 0

下方区域;

Ax ? By ? C ? 0 表示直线 Ax ? By ? c ? 0 的上方区域.

(二)线性规划
(1)不等式组是一组对变量 x、y 的约束条件,由于这组约束条件都是关于 x、y 的一次 不等式,所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、 y 的解析式,我们把它称为目标函数.由于 z=Ax+By 又是关于 x、y 的一次解析式,所以又可 叫做线性目标函数. 另外注意:线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示. (2)一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性 规划问题. (3)那么,满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做 可行域.在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解( x1 , y1 )和 ( x 2 , y 2 )分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解.

线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解 必须首先要看它们是否在可行
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤: 1.首先,要根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域). 2.设 z=0,画出直线 l0. 3.观察、分析,平移直线 l0,从而找到最优解. 4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路: 首先,应准确建立数学模型,即根据题意找出约束条件,确定线性目标函数. 然后,用图解法求得数学模型的解,即画出可行域,在可行域内求得使目标函数取得最

值的解. 最后, 还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解, 即结合实际情况求得最 优解.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点:灵活运用二元一次不等式(组)来表示的平面区域,掌握线 性规划的图解法 2.难点: 如何确定不等式 Ax ? By ? C ? 0(或<0)表示 Ax ? By ? C ? 0 的哪一 侧区域,如何寻求线性规划问题的最优解.
3.重难点:如何将实际问题转化为线性规划问题并准确求得线性规划问题的最优解

(1) 怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?
?x ? y ? 5 ? 0 ? 问题 1. 画出不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域 ?x ? 3 ?
点拨:
x+y=0 5 5 B(- , ) 2 2 x-y+5=0 6 x=3 0 3 C(3,-3) x y A(3,8)

(2)求线性规划的最优解 问题 2. 某人上午 7 时,乘摩托艇以匀速 v 海里/时(4≤ v ≤20)从 A 港出发到距 50 海里的

B 港去,然后乘汽车以 w 千米/时(30≤ w ≤100)自 B 港向距 300 千米的 C 市驶去,应该在
同一天下午 4 至 9 点到达 C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是 x , y 小时. (1)写出 x , y 所满足的条件,并在所给的平面直角坐标系内,作出表示 x , y 范围的图形; (2)如果已知所需的经费 p ? 100 ? 3(5 ? x) ? 2(8 ? y) (元), 那么 v, w 分别是多少时走 得最经济?此时需花费多少元?

点拨:(1) 由题意得: v =

50 300 ,w? ,4≤ v ≤20,30≤ w ≤100, x y

∴3≤x≤10,

5 25 ≤y≤ .① 2 2

由于汽车、摩托艇所要的时间和 x+y 应在 9 至 14 小时之间,即 9≤x+y≤14,② 因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界). (2) 因为 p=100+3(5-x)+2(8-y),所以 3x+2y=131-p,设 131-p=k,那么当 k 最大时,p 最 小,在图中通过阴影部分区域且斜率为-

3 的直线 3x+2y=k 中,使 k 值最大的直线必通过 2

点(10,4),即当 y=4 时,p 最小,此时 x=10,v=12.5,w=30,p 的最小值为 93 元.

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点 1 二元一次不等式(组)与平面区域 题型 1. 求约束条件及平面区域的面积 例 1 .双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的两条渐近线与直线 x=3 围成一个三角形区域, 表示该区域的不等式组是(
?x ? y ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ? ?x ? y ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?


?x ? y ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

A.

B.

C.

D.

?x ? y ? 0 ? ?x ? y ? 0 ?0 ? x ? 3 ?

【解题思路】依据平面区域的画法求解.

[解析]双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x ,两者与直线 x ? 3 围
?x ? y ? 0 成一个三角形区域时有 ?x ? y ? 0 ,故选 ? ?0 ? x ? 3 ?

A。

【名师指引】本题考查了双曲线的渐近线方程以及平面区域画法。
?x ? y ? 5 ? 0 ? 例 2.不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域的面积为________ ?x ? 0 ?

【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积. C [解析]不等式 x ? y ? 5 ? 0 表示直线 x ? y ? 5 ? 0 上及右上方的平面区域, x ? y ? 0 表示直 线 x ? y ? 0 上及右上方的平面区域, x ? 3 表示直线 x ? 3 上及左边的平 A 面区域, 所以原不等式表示的平面区域如图 8-3-1 中的阴影部分 ?ABC ,其中 B
1 11 121 5 5 A(? , ) , B(3, ?3), C (3,8) ,故所求面积 S?ABC ? ? 11? ? 2 2 4 2 2

【名师指引】准确无误作出平面区域是解这类题的关键. 题型 2.求非线性目标函数的最大(小)值 例
z?
?x ? y ? 2 ? 0 3. 已知 ? x ? y ? 4 ? 0 ,求: (1) z ? x2 ? y 2 ? 10 y ? 25 的最小值;(2) ? ?2 x ? y ? 5 ? 0 2y ?1 ?

x ?1

的范围.

【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解 【解析】作出可行域,并求出顶点的坐标 A(1,3) 、 B(3,1) 、 C (7,9) . (1) z ? x2 ? ( y ? 5)2 表示可行域内任一点 ( x, y ) 到定点 M (0,5) 的距离的 平方,过 M 作直线 AC 的垂线,易知垂足 N 在线段 AC 上,故 z 的 最小值是 MN ? 9 .
2 1 y ? (? ) 2 表示可行域内任一点 ( x, y ) 到定点 Q(?1, ? 1 ) 连线斜 (2) z ? 2 ? x ? (?1) 2

率的两倍; 因为 kQA ? 7 , kQB ? 3 .故 z 的取值范围为 [ 3 , 7 ] .
4 8 4 2

【名师指引】求非线性目标函数的最大(小)值问题的关键是从目标

函数联想到相对应的几何意义.最常见的是两点间的距离和斜率公式. 【新题导练】 1. 图中阴影部分是下列不等式中(
?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 A. ? ? ?x ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 C. ? ? ?x ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

)表示的平面区域.

?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 B. ? ? ?x ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ?1 ? 0 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 D. ? ? ?x ? y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

y

2
1
?2
O

1

3 x

解析:用原点作检验.选 C 2.如果直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 相交于 M、N 两点,且点
?kx ? y ? 1 ? 0 ? M、N 关于直线 x ? y ? 0 对称,则不等式组 ?kx ? m y ? 0 所表示的平面区 ?y ? 0 ?

域的面积为________. 解析:因为 M、N 两点关于直线 x ? y ? 0 对称,所以直线 y ? kx ? 1 的斜 率 k ?1, 而 圆 x2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 的 圆 心 (? 1 ,? m )在 直 线 2 2 m ? ?1 ,则不
x? y?0

上,所以

?x ? y ?1 ? 0 等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域就是一个斜边长为 1 的等腰直角 ? ?y ? 0 ? 三角形,面积为 1 . 4

?x ? y ? 2 ? 0 y ? 3. 已 知 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 1 ,则 的取值范围是 x ?x ? y ? 7 ? 0 ?

______. 解析:由 ? x ? y ? 7 ? 0 得 A ? 5 , 9 ? ∴ kOA ? 9 / 5 ? 9 ; ? ? ?
?x ? y ? 2 ? 0

?2 2?

2 2

5

由 ? x ? y ? 7 ? 0 得 B ?1,6? ∴ kOB ? ? 6 ?
? x ?1

6 1

∵ 表示过可行域内一点 ? x, y ? 及原点的直线的斜率 ∴由约束条件画出可行域(如图) ,则 的取值范围为 ?kOA , kOB ? ,
y x

y x

即 ? , 6? ; ?5 ? ? ?
9

考点 2 线性规划中求目标函数的最值问题 题型: 求目标函数的最值
? x ? 4 y ? ?3 ? 例 1. 设 z ? 2 x ? y ,式中变量 x , y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,求 z 的最大值 ?x ? 1 ?

和最小值.
【解题思路】按解题步骤求解. y [解析]作出可行域如图 8-3-6 所示,作直线 l0 : 2 x ? y ? 0 上, 作一组平行于 l0 的直线 l : 2x ? y ? z , z ? R , 可知:直线 l 往右平移时, t 随之增大。 由图象可知,当直线 l 经过点 A(5, 2) 时,对应的 t 最大, 当直线 l 经过点 B(1,1) 时,对应的 t 最小, 所以, zmax ? 2 ? 5 ? 2 ? 12 , zmin ? 2 ?1 ? 1 ? 3 .
O

x ?1 C

l0
B

A x ? 4y ? 3 ? 0

3x ? 5 y ? 25 ? 0

x

【名师指引】要注意到线性目标函数的最大(小)值往往是在边界处取 到.
?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 例 2. 已知 x , y 满足不等式组 ?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,求使 z ? x ? y 取最大值的 ?3 x ? 5 y ? 15 ? 0 ?

整数 x , y . 【解题思路】先作平面区域,再作一组平行线 l : x ? y ? t 平行于 l0 :
x? y ?0

进一步寻找整点. [解析]不等式组的解集为三直线 l1 :2 x ? y ? 3 ? 0 ,l2 :2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,l3 : ,设 l1 与 l2 , l1 与 l3 , 3x ? 5 y ? 15 ? 0 所围成的三角形内部(不含边界)
y
A
O

l1
l3
C

x

l2 与 l3 交点分别为 A, B, C ,则 A, B, C 坐标分别为 A(
C( 75 12 ,? ) , 19 19

15 3 , ) , B(0, ?3) , 8 4

作一组平行线 l : x ? y ? t 平行于 l0 : x ? y ? 0 , 当 l 往 l0 右上方移动时, t 随之增大, ∴当 l 过 C 点时 x ? y 最大为 又由 0 ? x ?
63 ,但不是整数解, 19

75 知 x 可取1, 2,3 , 19

当 x ? 1 时,代入原不等式组得 y ? ?2 , ∴ x ? y ? ?1 ; 当 x ? 2 时,得 y ? 0 或 ?1 , ∴ x ? y ? 2 或 1 ; 当 x ? 3 时, y ? ?1 , ∴ x ? y ? 2 ,故 z ? x ? y 的最大整数解为 ?
?x ? 3 . ? ? y ? ?1 ?x ? 2 或 y?0 ?

【名师指引】在平行域内找整点最优解,一般采用平移找解法,即打 网格,描整点,平移直线,找出最优解

【新题导练】 4. (广东省惠州市 2009 届高三第二次调研考试)设变量 x, y 满足约束
? y ≥ x, ? 条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值( ? x ≥ ?2. ?



A. ?2

B. ?4

C. ?6

D. ?8

解析:画出可行域与目标函数线如下图可知,目标函数在点(-2,

-2)取最小值-8. ∴选 D.
x=-2 (-2,2) 1

y
y=x 1 y= x 3

O
(-2,-2)

2

1 1 y= x- z 3 3

x+2y=2

x

? x?0 ? 5. 已知 x, y 满足约束条件, ?3 x ? 4 y ? 4 则 x2 ? y 2 ? 2x 的最小值是( ? y?0 ?

) C.
24 25

A.

2 5

B . 2 ?1

D. 1 解析: x2 ? y2 ? 2x ? ( x ?1)2 ? y2 ?1 表示的可行域上的点 ( x, y ) 与点 (? 1, 0)的距 离的平方值减 1.选 D
? x ? y ? 3x 6. 定义符合条件 ?0 ? y ? a 的有序数对 ( x, y ) 为“和谐格点”,则当 a ? 3 时, ? ? x, y ? N ? 和谐格点的个

数是

. 7.

? x ? y ? 3x 【解析】作出可行域 ?0 ? y ? a ,数出和谐格点个数为 ? ? x, y ? N ?

考点 3 线性规划在实际问题中的应用 题型:在线性规划模型下的最优化问题. .例 1.(2008· 揭阳一模) 为迎接 2008 年奥运会召开,某工艺品加工厂 准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印· 舞动的北京”和 奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为 A、 两种贵重金 B 属,已知生产一套奥运会标志需用原料 A 和原料 B 的量分别为 4 盒和 3 盒,生产一套奥运会吉祥物需用原料 A 和原料 B 的量分别 为 5 盒和 10 盒.若奥运会标志每套可获利 700 元,奥运会吉祥物每 套可获利 1200 元, 该厂月初一次性购进原料 A、 的量分别为 200 B 盒和 300 盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能 使该厂月利润最大,最大利润为多少? 【解题思路】将文字语言转化为数学 y 式子建立线性规划模型. 40 解析:设该厂每月生产奥运会标志和 A 30 奥运会吉祥物分别为 x, y 套,月利润为 20 3x+10y-300=0 z 元,由题意得 10
?4 x ? 5 y ? 200, ?3x ? 10 y ? 300, ? ( x, y ? N ) ? ? x ? 0, ? y ? 0. ? 目标函数为 z ? 700 x ? 1200 y
o
50 100

x

4x+5y-200=0

作出可行域如图所示
7 z 4 7 3 x? ,? ? ? ? ? ? , 12 1200 5 12 10 ?7 z z ∴当 y ? x ? 通过图中的点 A 时, 最大,这时 Z 最大。 12 1200 1200 ?4 x ? 5 y ? 200 解? , …………10 分 , 得点 A 的坐标为(20,24) ?3x ? 10 y ? 300

目标函数可变形为 y ? ?

将点 A(20, 24) 代入 z ? 700 x ? 1200 y 得 zmax ? 700 ? 20 ? 1200 ? 24 ? 42800 元 答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为 20,24 套时月利润最 大,最大利润为 42800 元. 【名师指引】要注意到生产的产品数量是整数这一隐含条件.

★ 抢 分 频 道 ★

基础巩固训练
? x ? y ? 4, ? 1.已知点 P ? x, y ? 的坐标满足条件 ? y ? x, 则 x 2 ? y 2 的最大值为. ? x ? 1. ?

A.

10

B. 8

C. 16

D.

10
y

解析:画出不等式组对应的可行域如图所示: 易得 A (1, , 1) OA= 2 , x=1
C A

B(2,2) ,OB= 2 2 ,C(1,3) ,OC= 10 ,故|OP|的最大值为 B10 ,
x
y=-x+4

y=x

即 x ? y 的最大值等于 10.故选 D.
2 2

O

? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? 2.已知:点 P 的坐标(x,y)满足: ?3 x ? 5 y ? 25, 及 A(2,0) ,则| OP |·cos∠AOP(O ? x ? 1 ? 0. ?

为坐标原点)的最大值是 5

.

【解析】| OP |·cos ∠AOP 即为 OP 在 OA 上的投影长
? x ? 4 y ? 3 ? 0, ? M (5, ),∴| OP |·cos ∠AOP 的最大值为 5. 2 由? ?3x ? 5 y ? 25

3.(广东省梅州、 揭阳两市四校 2008 届高三第三次联考)已知点 P( x, y )
?x ? y ? 4 ? 的坐标满足条件 ? y ? x ,点 O 为坐标原点,那么 | PO | 的最大值等于 ? x ?1 ?

_______,最小值等于____________.

A B C O





:

10, 2











PO max ? OA ? AB2 ? OB 2 ? ( 2)2 ? (2 2)2 ? 10 ,
PO min ? OC ? 2 ,

4(惠 州 市 2008 届 高 三 第 三 次 调 研 考 试 )
? x ? 0, ? (k为常数), 若z ? x ? 3 y 的最大值为 8, 已知点 P(x,y)满足条件 ? y ? x, ?2 x ? y ? k ? 0 ?

则k ?

.

k ? ?x ? ? 3 ?y ? x k k ? 解析:画图,联立方程 ? 得? ,代入 ? ? 3 ? (? ) ? 8,? k ? ?6 3 3 ?2 x ? y ? k ? 0 ? y ? ? k ? 3 ?
? x ? 0, ? 5.不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)共有 ?4 x ? 3 y ? 12 ?
_____个.

解析:(1,1)(1,2)(2,1) , , ,共 3 个.

6(汕头市金山中学 2009 届高三上学期 11 月月考) 某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、 电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如下表 所示:

产品 消耗量 资源 煤(t) 电力(kw·h) 劳力(个) 利润(万元)

甲产品 (每吨)

乙产品 (每吨)

资源限额 (每天)

9 4 3 6

4 5 10 12

360 200 300

问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨,获得利润总额最大? 解:设此工厂应分别生产甲、乙两种产品 x 吨 y 吨,获得利润 z 万 元…………1 分
?9 x ? 4 y ? 360 ?4 x ? 5 y ? 200 ? ? ?3x ? 10 y ? 300 ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? ? x, y ? N ?

依题意可得约束条件:

…………………………5 分 (图 2

分) 利润目标函数 z ? 6x ? 12y ………………………………8 分 如图,作出可行域,作直线 l : z ? 6x ? 12y, 把直线l 向右上方平移至 l1 位 置, 直线经过可行域上的点 M, 且与原点距离最大, 此时 z ? 6x ? 12y 取 最大值。……10 分

?3x ? 10y ? 300 , 得M (20,24) ? 解方程组 ?4 x ? 5 y ? 200 ………………………………12 分
所以生产甲种产品 20t,乙种产品 24t,才能使此工厂获得最大利润。……14 分

综合拔高训练

7. 由 y ? 2及 x ? y ?

x ? 1 围成的几何图形的面积是多少? x ? 1 围成的几何图形就是其阴影部分,

解析:如下图由 y ? 2及 x ? y ? 且 S ? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 ?1 ? 3 .
2 2

y=x+ y= - y=x y= - ( - (1, 1 x+1 (-2, 2) (2, x 1,2) 2) 2)

8. 已知 1 ? x-y ? 2,且 2 ? x+y ? 4,求 4x-2y 的范围. 错解:由于 1 ? x-y ? 2 2 ? x+y ? 4 ①, ②, ③ ④.

①+② 得 3 ? 2x ? 6

①×(-1)+② 得:0 ? 2y ? 3

③×2+④×(-1)得. 3 ? 4x-2y ? 12
错因:可行域范围扩大了. 正解:线性约束条件是: ? 令 z=4x-2y, 画出可行域如右图所示,

?1 ? x - y ? 2 ?2 ? x ? y ? 4

?x - y ? 1 得 A 点坐标(1.5,0.5)此时 z=4×1.5-2×0.5=5. ?x ? y ? 2 ?x - y ? 2 由? 得 B 点坐标(3,1)此时 z=4×3-2×1=10. ?x ? y ? 4 ? 5 ? 4x-2y ? 10
由?

9.某钢材厂要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格,每张钢 板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表:

A 规格 B 规格 C 格 第一种钢 1 板 第二种钢 1 板 需求 12 15 1 3 2 1



27

每张钢板的面积,第一种为 1m2,第二种为 2 m2,今需要 A、B、 C 三种规格的成品各 12、15、27 块,请你们为该厂计划一下,应 该分别截这两种钢板多少张,可以得到所需的三种规格成品,而 且使所用钢板的面积最小?只用第一种钢板行吗? 解:设需要截第一种钢板 x 张,第二种钢板 y 张,所用钢板面积 为 z m2,则

? x ? y ? 12 ? 2 x ? y ? 15 ? 目标函数 z=x+2y ? x ? 3 y ? 27 ? ? x, y ? N ?

作出可行域如图 作一组平行直线 x+2y=t, 由?
? x ? y ? 12 ? x ? 3 y ? 27

可得交点 ? , ? 但点 ? , ?

9 15 ? ?, ?2 2 ?

2x+y=15

9 15 ? ? 不是可行域内的整点,其附 ?2 2 ?

近的整点(4,8)或(6,7)可都使 z 有最 小值, 且 zmin=4+2×8=20 或 zmin=6+2×7=20 若只截第一种钢板,由上可知 x≥27, 所用钢板面积最少为 z=27(m2); 若只截第二种钢板, y≥15, 则 最少需要钢板 面积 z=2×15=30(m2).它们都比 zmin 大,因此 都不行. x+3y=27 x+2y=0 x+y=12


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