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第3讲 牛顿运动定律 转动定律


第 3 讲 牛顿运动定律 转动定律
一、质心力学(牛二定律) : F ? maC
质心运动定律: 质点系质心运动的加速度与质点系所受全部外力的合力成正比, 与质点系各 质点的总质量成反比,这一定律称质心运动定律. F ? maC , aC 为质点系质心运动的加速 度.该定理表明:不管物体的质量如何分布,也不管外力作用点在物体的哪个位置,质心的 运动总等效于物体

的质量全部集中在此、外力亦作用于此时应有的运动. 运动关联:绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系,称为约束.每个约束 条件可用一个运动方程描写,称为约束方程.可用小量分析方法(微元法)确定它们的大小 关系:设想物系各部分从静止开始匀加速运动极短时间 ?t ,由 ?x ? a ? ?t ? 可知,加速度
2

?

1 2

与位移大小成正比, 确定了相关物体在同时间内的位移比, 便确定了两者加速度的大小关系. 加速度关联举例: (1)如图a所示A和B的加速度的关系: aB=aAcot?. (2)如图b所示A、B、C间的加速度关 系:aC=
1 (aA+aB) . 2 1 aA,方向向下. 2

(3)如图c所示的加速度关系: 当A不动时,aB=aC,方向向上;当C不动时,aB= 则B的加速度是A和C的叠加,即aB=
aa ? ac . 2

1.质量为 M 的不光滑三角形木块 ABC,放在 粗糙的地面上,如图所示,已知角度 θ1 和 θ2, 在 AB 和 BC 上分别有质量为 m1 和 m2 的两个 滑块,它们分别以加速度 a1 和 a2 滑下,而三 角形木块保持静止不动.试求:地面对三角形 木块的支持力和摩擦力.

M

2.如图所示,用一细绳跨过光滑的定滑轮,而在绳的两端各悬质 量为 m1 和 m2 的物体,且有 m1>m2,求它们的加速度以及绳子两 端的张力 F1 和 F2.

3.如图所示的系统中滑轮与细绳质量均可忽略不计, 细绳不可伸长,且它与滑轮间无摩擦.图中三个物体 A、B、C 的质量分别为 m1、m2、m3,它们的加速度方 向按图示设取,试求这三个加速度量的大小.

4.如图,质量为 M,倾角为 θ 的光滑斜面,放置 在光滑水平面上,另有质量为 m 的小物块沿斜面 下滑.试求:斜面在水平桌面上运动的加速度的 大小.

M

二、刚体力学(转动定律) : M ? I?
转动定律:刚体在合外力矩 M 作用下,所获得的角加速度 α 与合外力矩 M 大小成正比,与 转动惯量 I 成反比,即 M ? I? (转动的牛二定律) . 转动惯量是物体在转动中惯性大小的量度,它等于刚体中每个质点的质量 mi 与该质点到转 轴的距离 ri 的平方的乘积的总和,即 I ? lim
n ??

?m r
i ?1

n

2

i i

.从转动惯量的定义式可知,刚体的转

动惯量取决于刚体各部分的质量及对给定转轴的分布情况. 在中学数学层面上, 我们可以用 微元法求一些质量均匀分布的几何体的转动惯量.在此,我们先由类比法引入转动惯量 I.

5.如图所示,考虑到滑轮是有质量(滑轮的半径 R,质量 M,且 质量只分布在圆的边缘)且是粗糙的.现用一细绳跨过定滑轮, 而在绳的两端各悬质量为 m1 和 m2 的物体,且有 m1>m2,求它们 的加速度以及绳子两端的张力 F1 和 F2.假设细绳不可伸长,质 量可忽略,它与滑轮之间没有相对滑动.

6. 一质量为 m 半径为 R 的均质圆筒, 沿倾角为 θ 的粗糙斜面自静止无滑下滚, 求静摩擦力、 质心加速度,以及保证圆筒作无滑滚动所需最小摩擦系数?

三、惯性力与惯性力矩
牛顿运动定律只在一类特殊的参照系中成立,简称惯性系.实验证明,地面已经是一个 相当接近惯性系的参照系. 一般情况下, 相对地面静止的或是匀速直线运动的参照系都可以 看作惯性系. 牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系, 非惯性系相对惯性系必然做加速 运动或旋转运动. 为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用,必须引入一个惯性力 F惯 ? -ma . 如果非惯性系相对惯性系有平动加速度 a, 那么可以假想非惯性系中的所有物体都受到 一个大小为 ma、方向与 a 的方向相反的惯性力,牛顿运动定律即可照用. 例如,一物块 A 放在倾角为? 的光滑斜面 B 上,问斜面 B 必须以多大的加速度运动,才能 保持 A、B 相对静止? 可取 B 作为参考系,A 在这个参照系中应静止.因为 B 是相对地面有加速度的非惯性 系,所以要加上一个惯性力 F 惯=ma,方向水平向右,a 的大小等于 B 相对地面的加速度.由 受力分析图可知: N a A F惯 B mg

?

ma=mgtan? , ∴a=gtan? 如在非惯性参考系中考虑物体的转动趋势,则应考虑惯性力的力矩——惯性力矩.

7.在铅垂平面内有半径为 R 的光滑圆环,另有小环 m 套在大圆环上,可自由滑动,当大圆 环以角速度 ω 绕过 O 的竖直轴旋转时,求小环的平衡位置 θ=?

8.水平木板上有高度为 H 的台阶,均质圆柱体放在面板上,自由地靠在台阶上,圆柱体的 半径 R>H,木板在水平方向上以加速度 a 向右运动,试问木板可能的最大加速度 amax 为多 大时,圆柱体尚未离开木板底座?(摩擦不计)

9.如图所示,质量为 M 的光滑圆形滑块平放在桌面上,一细轻绳跨过此滑块后,两端各挂 一个物体,物体质量分别为 m′和 m,绳子跨过桌边竖直向下,所有摩擦均不计,求滑块 的加速度.


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